数学中考总复习第28讲解直角三角形

第28讲 解直角三角形了解直角三角形的定义，掌握边角之间的关系，并考点一 锐角三角函数定义 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．sin A=∠A 的对边斜边=a c ；cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc ；tan A ＝∠A 的对边邻边＝ab .考点二 特殊角的三角函数值考点三 解直角三角形1．直角三角形的边角关系： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2； (2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；(3)边角之间的关系：sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ，tan B ＝ba.2．解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如a ，∠A )，其解法为：∠B ＝90°－∠A ，c ＝asin A，b ＝atan A(或b ＝c 2－a 2)； (2)已知斜边和一个锐角(如c ，∠A )，其解法为：∠B ＝90°－∠A ，a ＝c ·sin A ，b ＝c ·cos A (或b ＝c 2－a 2)；(3)已知两直角边a ，b ，其解法为：c ＝a 2＋b 2，由tan A ＝ab，得∠A ，∠B ＝90°－∠A ；(4)已知斜边和一直角边(如c ，a )，其解法为：b ＝c 2－a 2，由sin A ＝ac，求出∠A ，∠B＝90°－∠A ．考点四 解直角三角形的应用1．仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i 表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( )．A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12 C ．cos B ＝32D ．tan B ＝ 3 2．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为( )．A ．12B ．22C ．32D ．333．如图，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cos B ＝45，则AC ＝__________.4．首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演．如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？(结果精确到0.1米)(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，3≈1.73)规律-方法探究一、锐角三角函数的定义【例1】 在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，则tan B ＝__________.A ．43B ．34C ．35D ．45解析：∵sin A ＝45，∴BC AB ＝45，于是设BC ＝4a ，AB ＝5A ．在Rt △ABC 中，由勾股定理，可得AC ＝3A ．∴tan B ＝AC BC ＝3a 4a ＝34.故选B ．答案：B求锐角三角函数值时，必须牢记锐角三角函数的定义，解题的前提是在直角三角形中；如果题目中无直角时，我们必须想法构造一个直角三角形．二、特殊角的三角函数值【例2】 计算：|－2|＋2sin 30°－(－3)2＋(tan 45°)－1.解：原式＝2＋2×12－3＋1－1＝1.牢记特殊角的三角函数值，理解绝对值、负整数指数的意义是解题的关键． 三、解直角三角形【例3】 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别在AC ，AB 上，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，AE ＝6，cos A ＝35.求(1)DE ，CD 的长；(2)tan ∠DBC 的值．解：(1)∵DE ⊥AB ，∴∠DEA ＝90°.在Rt △AED 中，cos A ＝AE AD ，即6AD ＝35. ∴AD ＝10.根据勾股定理得DE ＝AD 2－AE 2＝102－62＝8.又∵DE ⊥AB ，DC ⊥BC ，BD 平分∠ABC ，∴DC ＝DE ＝8.(2)∵AC ＝AD ＋DC ＝10＋8＝18，在Rt △ABC 中，cos A ＝AC AB ，即18AB ＝35，∴AB ＝30.根据勾股定理得BC ＝AB 2－AC 2＝302－182＝24.∴在Rt △BCD 中，tan ∠DBC ＝DC BC ＝824＝13.解这类问题主要是综合运用勾股定理、锐角三角函数定义、直角三角形的两个锐角互为余角．解题时应尽量使用原始数据，能用乘法算就尽量不用除法．四、解直角三角形在实际中的应用【例4】 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB ．小刚在D 处用高1.5 m 的测角仪CD ，测得教学楼顶端A 的仰角为30°，然后向教学楼前进40 m 到达E ，又测得教学楼顶端A 的仰角为60°.求这幢教学楼的高度AB ．解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG ＝AGFG，∴FG ＝AG tan ∠AFG ＝AG3.在Rt △ACG 中，tan ∠ACG ＝AGCG，∴CG ＝AGtan ∠ACG＝3AG .又CG －FG ＝40，即3AG －AG3＝40，∴AG ＝20 3.∴AB ＝203＋1.5(米)．答：这幢教学楼的高度AB 为(203＋1.5)米．利用解直角三角形的知识解决实际问题时，其步骤是：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)． (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形．为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造．如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A ，再在河这边沿河边取两点B ，C ，在点B 处测得点A 在北偏东30°方向上，在点C 处测得点A 在西北方向上，量得BC 长为200米，请你求出该河段的宽度．(结果保留根号)知能优化训练1．(2012四川乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为( )．A ．12B ．22C ．32D ．12．(2011山东日照)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A ＝ba.则下列关系式中不成立．．．的是( )．A ．tan A ·cot A ＝1B ．sin A ＝tan A ·cos AC ．cos A ＝cot A ·sin AD ．tan 2A ＋cot 2A ＝1 3．(2012湖南株洲)数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是__________米．4．(2012山东济宁)在△ABC 中，若∠A ，∠B 满足⎪⎪⎪⎪cos A －12＋⎝⎛⎭⎫sin B －222＝0，则∠C ＝__________.5．(2011广东湛江)如图，某军港有一雷达站P ，军舰M 停泊在雷达站P 的南偏东60°方向36海里处．另一艘军舰N 位于军舰M 的正西方向，与雷达站P 相距182海里，求：(1)军舰N 在雷达站P 的什么方向？(2)两军舰M ，N 的距离．(结果保留根号)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，则cos B 的值等于( )．A ．35B ．45C ．34D ．552．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )．A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米 3．如图所示，在数轴上点A 所表示的数x 的范围是( )．A ．32sin 30°＜x ＜sin 60°B ．cos 30°＜x ＜32cos 45°C ．32tan 30°＜x ＜tan 45°D ．32cot 45°＜x ＜cot 30°4．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥A B ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的值是( )．A ．3B ．6C ．8D ．9 5．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于__________．6．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13米，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE 为__________米．7．一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B 处(如图)，上午9时行至C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是__________海里．(结果保留根号)8．如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30 m，则电梯楼的高BC为__________米(精确到0.1)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)9．某商场为缓解我市“停车难”的问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5 m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮则认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果(结果用三角函数表示)．参考答案基础自主导学自主测试1．D 2.B 3.54．解：如图，过A作AD⊥CB，垂足为点D.在Rt△ADC中，∵CD＝36，∠CAD＝60°.∴AD＝CDtan 60°＝363＝123≈20.76(米)．在Rt△ADB中，∵AD ≈20.76，∠BAD ＝37°. ∴BD ＝AD ×tan 37°≈20.76×0.75＝15.57≈15.6(米)． 答：气球应至少再上升15.6米．规律方法探究变式训练 解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D .据题意，∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°. ∴∠CAD ＝45°，∴∠ACD ＝∠CAD ， ∴AD ＝CD ，∴BD ＝BC －CD ＝200－AD .在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝ADBD，∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD )·tan 60°＝3(200－AD )． ∴AD ＋3AD ＝2003(米)．∴AD ＝20033＋1＝(300－1003)米．答：该河段的宽度为(300－1003)米．知能优化训练中考回顾 1．C 2.D3．103 4.75°5．解：如图，过点P 作PQ ⊥MN ，交MN 的延长线于点Q . (1)在Rt △PQM 中，由∠MPQ ＝60°， 得∠PMQ ＝30°，又PM ＝36，∴PQ ＝12PM ＝12×36＝18(海里)．在Rt △PQN 中，cos ∠QPN ＝PQ PN ＝18182＝22，∴∠QPN ＝45°，即军舰N 在雷达站P 的东南方向(或南偏东45°方向)． (2)由(1)知Rt △PQN 为等腰直角三角形， ∴PQ ＝NQ ＝18(海里)． 在Rt △PQM 中，MQ ＝PQ ·tan ∠QPM ＝18·tan 60°＝183(海里)，∴MN ＝MQ －NQ ＝183－18(海里)． 答：两军舰的距离(183－18)海里． 模拟预测1．B 2.A 3.D 4.B 5.126.127.20 3 8．82.09．解：小亮说法正确． 在△ABD 中，∠ABD ＝90°，∠BAD ＝18°，BA ＝10，∴tan ∠BAD ＝BDBA，∴BD ＝10×tan 18°，∴CD ＝BD －BC ＝10×tan 18°－0.5. 在△ABD 中，∠CDE ＝90°－∠BAD ＝72°. ∵CE ⊥ED ，∴sin ∠CDE ＝CECD，∴CE ＝CD ×sin ∠CDE ＝(10×tan 18°－0.5)×sin 72°(m)． 答：限制高度CE 约为(10×tan 18°－0.5)×sin 72° m.。