三 07-08高数B2试卷(A)(答案)

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线性代数07-08第一学期期末(A卷)答案

北京师范大学珠海分校2007-2008学年第一学期期末考试（A ）答案开课单位：应用数学系课程名称：线性代数任课教师：__李兴斯考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空（每空3分，共30分）1、行列式123456____0_____789=2、行列式sin cos cos sin _______+-=-32323302xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则+=21232A A 04、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==65，则||______=30AB5、设A 为3阶方阵，且A =3，则A -=13 96、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11111101101，则A 的秩()R A = 3 7、已知4阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式8=*A ，则=A 28、向量组,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111110221002αααα线性相关还是无关线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1212369线性相关，则___3____=x10、设4元方程组=0Ax 的系数矩阵A 的秩为2，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式197621962394180第3行第2列元素的代数余子式A =32（ D ）（A ）3；（B ）6；（C ）9；（D ）12。

2、若1112131112131212223221222331323331323323,2323a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a ==，则()21=D C D（A ）2；（B ）4；（C ）6；（D ）8。

07-08-1高数A(上)试卷A

2007--2008学年第一学期考试试卷A 卷一、填空题(每题3分，共18分) 1．设⎩⎨⎧≥<=0,0,0)(x x x x f ，10,0,1)(⎩⎨⎧≥<-=x e x x g x ，则=)]([x g f ________________。

2．设)(u f 可导，且)()(x x e e f x y -+=，则=')(x y ____________________。

3．设函数)(x y y =由方程xy e e y x =-确定，，则0=x dy= 。

4．函数)1ln(+=x y 在区间]1,0[上满足拉格朗日中值定理的ξ = 。

5．设)(x f 在),[+∞a 上连续，且⎰+=xx x dt t f 0 )cos 1()(，则_______)2(=πf 。

6．设21,r r 是常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y 的特征方程的根，则=p ____________；=q _____________。

二、选择题(每题3分，共18分) 1．设=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-0,10,121211x x xx ，则点0=x 是)(x f 的( )。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 连续点2．设⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 2t y t x ，则=22dx yd ( )。

(A) 2 (B) 212t+ (C) )1(22t + (D) 221t-3．设⎰=x dtt x f 02sin )(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( )。

(A)等价无穷小 (B)同阶非等价无穷小 (C)高阶无穷小 (D)低阶无穷小 4．若反常积分⎰∞--0dx e kx 收敛，则必有( )。

(A) 0>k (B) 0≥k (C) 0<k (D) 0≤k5．关于曲线)0(ln +∞<<=x x x y 的凹凸性，正确的判断是( )。

高数b2期末考试试题及答案

高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。

A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。

∑(1/n^2)，n从1到∞。

A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。

A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。

A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。

答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。

答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。

答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。

答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。

经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。

答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。

3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。

答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。

浙江理工大学07~08高数A2期末试卷(含答案)

浙江理工大学2007~2008学年第二学期高等数学A 期终试题（A ）卷班级学号姓名一、选择题（每小题4分，满分28分）1、函数2222),(y x y x y x f +-= 在点)1,1(处的全微分)1,1(df 为（）(A) 0 (B) dy dx + (C) dx 4 (D) dy dx -2 ２、设L 是从A (1,0)到B (-1,2)的直线段，则()Lx y ds +⎰＝（）(B)(C) 2 (D) 03、方程234sin 2y y x '''+=+的特解为（）(A)1(cos 2sin 2);2y x x =-+ (B) 31cos 222y x x =- (C)31sin 222y x x =- (D)311cos 2sin 2.222y x x x =--4、设)(x f 在),0(+∞上有连续的导数，点A )2,1(，B )8,2(在曲线22x y =上。

L为由A 到B 的任一曲线，则=++-⎰dy x xy f x dx x y f x y xy L])(1[)](22[22223（）。

(A) 20， (B) 30， (C) 35， (D) 40。

5、设b 为大于1的自然数，对幂级数∑∞=1n bnnx a，有a a a nn n =+∞→1l i m，（1,0≠>a a ），则其收敛半径=R （）。

(A) a ， (B) a1， (C)ba ， (D)ba1。

6、下列级数收敛的是（）(A) ∑∞=1sin n n π；（B ）∑∞=1100!n n n ；（C ）∑∞=+12)11ln(n n ；（D ）∑∞=+-12)11(21)1(n n n nn ． 7、已知曲线)(x f y =过原点，且在原点处的法线垂直于直线)(,13x y y x y ==-是微分方程02=-'-''y y y 的解，则=)(x y （）（A ）x xe e--2 （B ）x x e e 2-- （C ）x x e e 2-- （D ）x x e e --2二、填空题（每小题4分，满分20分）1、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值, 则常数a = 。

07-08学年几何与代数B(I)试卷A

北京交通大学2007-2008学年第一学期《几何与代数（B ）I 》期末考试试卷(A)学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________一．（本题满分30分，每小题3分）请把答案填在空中．1、已知(1,3,1)α=-，(1,2,2)β=-，αγ⊥， βγ⊥且1γ=，则=γ .2、若123123123000ax x x x ax x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则a= ..3．若点(1,2,3)P ，(2,,1)Q a ，(,1,4)R b 共线，则,a b 的值分别是 .4. 由曲线222210y z b c x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩围绕y 轴旋转一周所成曲面的方程是 .5．已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--的秩为2，则t = .6．设A 为n 阶方阵，A 的行列式*2,A A =为A 的伴随矩阵，则*A 的伴随矩阵**()A =7. 向量组()()()1231,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,14ααα=-==的一个极大线性无关组是 ,8. 通过点(1,2,3)且与直线x y z ==垂直的平面方程是 . 9. 设A 是3阶方阵，1，2，3是A 的3个特征值。

则E A += .10. 已知三阶方阵()121113A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭。

则nA = .二. (10分)计算n 阶行列式21...1113 (11).........11...111...1n+1n 。

三．（12分）当a,b 为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩ 无解，有惟一解，有无穷多解？并在有无穷多解的情况下，写出它的所有解（用导出组基础解系表示）。

07-08数学参考答案(B卷)(54)

一．填空题（每空2分，本大题满分20分）1．=→xx x 2sin lim 0___2____. 2. =++∞→122lim x x x ___21__. 3．函数233x x y -=的拐点坐标为___(1,-2)__; 当1x =时，=dy _dx 3-_.4．10lim(1)xx x →-=_1-e _. 5. 函数x x y ln -=的单调增加区间为_ ),1[∞+__. 6．函数x xy ln 1+=在=x ___1___处取极___小___值. 7．=')(tan x ___x 2sec _，⎰=xdx tan __C x +-cos ln ___.二．选择题 (每小题2分, 本大题满分10分)1.)(x f 有一阶导数，则)1ln()2())1ln(2(lim 2---+→t f t f t = ( C ). (A) 0; （B ）)2(f ; （C ）)2(f '; （D ）ln2.2. 当0→x 时, 与x 等价的无穷小量为( B ). (A) x x -sin ; (B) x x -tan 2; (C) 11-+x ; (D) x cos 1-.3. 函数)(x f 在点0x 连续是)(x f 在该点可导的( A ).(A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件.4.()||f x x =在0=x 处( A ).(A) 连续不可导; （B ）可导不连续; （C ）可导; （D ）不可导不连续.5. 设x sin 为)(x f 的一个原函数, 则=')(x f ( D ).(A) x cos ; (B) x sin ; (C) x cos -; (D) x sin -.三．计算下列极限（每小题4分，本大题满分12分）1．)5(lim 22x x x x x +-++∞→. 原式xx x x xx +++=+∞→2254lim 。

07-08数学分析答案

07-08数学分析答案暨南⼤学考试试卷⼀、单选题（每⼩题2分, 共8分）1. 设{}n a 为⼀数列, 且lim 0.n n a →∞=以下结论中不成⽴的是（ b ）.(a) 存在正数,M 使对⼀切正整数n 有||n a M ≤;(b) 若存在正整数0,N 使当0n N >时有0,n a < 则lim 0n n a →∞<;(c) 任取{}n a 的⼦列{},k n a 则lim 0k n k a →∞=;(d) lim ||0n n a →∞=.2. 设变量α是当0x x →时的⽆穷⼩量, 则下列结论（ c ）成⽴.(a) α是⼀个很⼩的数; (b) α可取任意⼩数;(c) 当0x x →时, sin αα为α的⾼阶⽆穷⼩量; (d) sin αα与α是当0x x →时的等价⽆穷⼩.3. 设11,1(),1x x x f x e x --≤?=?>?, 则1x =是f 的（ c ）.(a) 连续点; (b) 可去间断点; (c) 跳跃间断点; (d) 第⼆类间断点. 4. 设()||f x x =, 则对曲线()y f x =成⽴以下结论（ d ）.⼆、填空题（每空1.5分, 共15分）1. 设(1){1|1,2,}2nn S n -=+=, 则 inf S = 1/2 , sup S = 5/4 .2. sin limx xx→∞= 0 .3. 令1(),1f x x=+ 则f 在1x =处带有佩亚诺型余项的泰勒公式为 2231111 1(1)(1)(1)(1)(1)((1))2222n nnn f x x xo x+=--+-++--+- 4. 设2()1(3),(3)xf x x x =+>-+ 则函数f 的严格递增区间为（-3,3） ,极值点为x = 3 , 最⼤值为 13/12 , 其对应的曲线的渐近线为1 3.y x ==-⽔平渐近线和竖直渐近线5. 函数y 的严格凹区间为 (0,) +∞, 其对应的曲线的拐点为(0,0)三、判断题（若正确的命题请给予证明,错误的命题请举出反例并作必要的说明）（每⼩题6分, 共12分）设12,[,]x x a b ∈，则2212121212121212()()()2(),f x f x x x x x x x x x x x a b x x -=-=+?-≤+?-≤+- 所以，对任给的0,ε>取,2()a b εδ=+则当12,[,]x x a b ∈且12x x δ-<时，就有12()()f x f x ε-<,故()f x 在[,]a b 上⼀致连续.2. 设函数f 在0x 点可导, 则f ⼀定在0x 的某邻域内可导. 解：此命题是错误的.举⼀个反例如下: 2()(),f x x D x =其中()D x 为狄利克雷函数.因为()(0)()0, ( 0) 0f x f xD x x x -=→→-故f 在0x =可导.取01ε=,对0x =的任意δ邻域(不论正数δ多⼩),任取0(0,),x U δ∈00,x ≠存在有理数列{}n x 和⽆理数列{}n x '，满⾜0();n x x n →→∞0()n x x n '→→∞，但220(),()()0n n n f x x x n f x =→→∞'=200x ≠，故f 在0x =的任意δ邻域均不连续，所以f 不可导.四、计算题（每⼩题5分, 共45分）（1）设21ln(1),2y xarctgx x 2=-+ 求y '.解: y '=21()(ln(1)2xarctgx x 2''-+=22222111()(1)1()21arctgx x x x x x2''+??-?+++222111221()21arctgx x x x x x 2=+?-++2=+-++（2）设22()(1)u x y x =+（其中()u u x =为可微函数），求dy .解：222222()()ln(1)()ln(1)22((1))()(()ln(1))u x u x x u x x dy d x d e ed u x x ++=+==+22()2222(1)[()(l n (1))l n (1)(())]u x x u x d x x d u x =++++ 22()2222(1)[()l n (1)()()].1u x x x u x x u x u x dx x'=++++（3）设函数()y y x =是由参数⽅程33cos sin x ty t==所确定, 求dy dx 及24t d y π=. 解：32 32(sin )3sin cos sin tan (cos )3cos (sin )cos dy dy t t t tdt t dx dx t t t tdt'?====-=-'?-； 222324(tan )sec 1所以224t d y dx π==（4）设21,0(),xx x x f x e x ?++≥?=?解：当0x >时，()()21,()2,()0(3);k f x x f x f x k '''=+=≡≥当0x <时，()()(1).k x f x e k ≡≥ 当0x =时，由左右导数定义可求得(0)(0)(0)1,f f f +-'''===⽽当2k ≥时,()(0)k f 不存在,整理后得21, >0,()1, =0,, <0,x x x f x x e x ?+?'=2, >0, (), =0,, <0,x x f x x e x ??''=不存在当3n ≥时,()()()()0(0),()(0),(0)k k x k f x x f x e x f =>=<不存在.2. 求极限（1）222lim()21222n nnnn n n n→∞++++++;解:因为22222222222212222121n n n n nlim lim 222n n n n n n n n →∞→∞==++, 所以由迫敛性,得2221lim().212222n nnn n n n n →∞+++=+++（2）20ln(1)cos lim 1x x x xe tgx →+++;解:因为函数在0x =连续,故2200ln(1)cos ln(10)cos001lim 1.11010x x x x e tgx e tg →+++++===+++（3）011lim()1x x x e →--;解:这是⼀个∞-∞型不定式极限,通分后化为0型的极限,即000011111lim()lim lim lim .1122x x x x x x x x x x x x x e x e e x e xe x e xe e xe →→→→----====--+-+（4）12sin 0lim(1)xx x →+;解:这是⼀个1∞型不定式极限.作恒等变形211ln(1)2sin sin (1)x xx其指数部分的极限201limln(1)sin x x x →+是00型不定式极限,可先求得220012101lim ln(1)lim 0,sin cos 1x x x x x x x →→?++===从⽽得到120sin 0lim(1)1.xx x e →+==（5）2221lim()1n n n n →∞-+.解:先求函数极限22222221(1)1lim()lim ,11(1)x x x x x x x x x→∞→∞--=++ 由于2222111lim(1)lim 1(1)x x x xx e x→∞→∞--==-且221lim(1)x x e x →∞+=,故 2222222211lim(1)11lim()11lim(1)x x x x x x x x e x e e x→∞→∞→∞--===++,由归结原则,可得222211lim()1n n n n e →∞-=+.五、证明题（第1、2⼩题每题6分, 第3⼩题8分,共20分）1. ⽤N ε-定义证明222312222231515621n n n n n n n n n n n n ++++-=≤=----，所以，任给0,ε>取6[]1,N ε=+则当n N >时，有222312,n n n nε++-<-故22231lim 2.n n n n n →∞++=-2. 设2()1xf x x =+, ⽤εδ-定义证明函数f 连续. 解:易见函数定义域为,R 任取0,x R ∈不妨设01,x x -<0000222200()(1)()()11(1)(1)x x xx x xf x f x x x x x ---=-=++++001x x xx ≤-?-00000(1)(1(1))x x x x x x x x ≤-+?<-++?200(1),x x x ≤-+ 故对任给0,ε>取20min{1,},(1)x εδ=+则当0x x δ-<时,0()(),f x f x ε-<即()f x 在0x 点连续.由0x 的任意性知, f 在R 上连续.3. 设函数g 在闭区间[,](0)a b a b <<上连续, 在开区间(,)a b 内可导, ()0,g a <()0,g b <且存在(,)c a b ∈使()0.g c > 证明: ⾄少存在⼀点(,)a b ξ∈使()()0.g g ξξξ'+=证明:因为函数g 在闭区间[,][,](0)a c a b a b ?<<上连续,且()0,g a <()0,g c > 由零点定理知,存在1(,),a c η∈使得1()0.g η=同理, 因为函数g 在闭区间[,][,](0)c b a b a b ?<<上连续,且()0,g c >()0,g b <由零点定理知,存在2(,),c b η∈使得2()0.g η=构造12[,]ηη上的辅助函数()()G x xg x =,易见()G x 在闭区间12[,]ηη上连续,在开区间12(,)(,)a b ηη?上可导,且111222()()0,()()0,G g G g ηηηηηη====由罗尔定理,可得⾄少存在⼀点12(,)(,),a b ξηη∈?使得()0G ξ'=,即。

08-09-3高等数学B期末考试试卷(A)参考答案及评分标准.

08-09-3高数B期末试卷（A）参考答案及评分标准09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分1. 曲面在点处的法线方程是；2.设，则梯度；3.已知，则在方向的投影；4.设闭曲线，取逆时针方向，则曲线积分的值是；5.设函数具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.二重积分的值是；7. 设为球面：，则曲面积分的值是；8.设是折线，则曲线积分的值是；9.取（注：答案不唯一），可使得级数收敛，且级数发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分10．（本小题满分7分）设，其中具有连续的二阶偏导数，具有连续导数，计算.解，（3分）（4分）11．（本小题满分7分）计算，其中.解（1+1+3+2分）12．（本小题满分8分）计算二次积分.解，（3+2+3分）13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体的质心坐标.解（1分）（1+1+2+2+1分）三（14）．（本题满分7分）试求过点且与轴相交，又与直线垂直的直线方程.解设为所求直线的方程，（1分）由于直线与轴相交，所以三个向量，及共面，从而，即（1），（2分）又由于与互相垂直，得，即（2）（2分）联立（1），（2）解得，，所求直线的方程为（2分）四（15）。

（本题满分7分）计算，其中是柱面被锥面和平面所截下的部分.解（2分）（2+2+1分）五（16）.（本题满分7分）计算，其中为曲线，方向沿增大的方向.解记，由公式得（2+1+3+1分）六（17）（本题满分7分）计算，其中为被所截部分，取上侧.解补一个面，取下侧，由和所围成的区域记为，由公式得（3+2+1+1分）七（18）（本题满分6分）证明不等式，，.证设，在区域的边界上恒为，而在内部恒为正，故的最大值只能在区域内部达到，（2分）令，，在区域内求驻点，得（1）及（2），（2分）这表明在区域内的最大值点应满足方程（1）（2），然而在（1）（2）所确定的点上，所以，，.（2分）。

高数BII07-08期末试题

06/07（二）浙江工业大学高等数学B （下）考试试卷一、填空题（本题满分30分）1. 设向量a 与b 不平行，2, a b ⋅= b b a c 3)(2-⨯=，则)(c b a += 。

2．设2sin()z x y =+，则z x∂=∂ 。

3．设ln x z y y =，则dz = 。

4. 设(,)xz f y y =，其中(,)f x y 偏导数连续，则z x∂=∂ 。

5. 在曲面222x z y =+上有一点M,在改点曲面的切平面平行于平面220x y z +-=，则点M 的坐标是。

6. 设:||1,01D x y ≤≤≤，则3y Dx e dxdy =⎰⎰ 。

7.二次积分00()a y f dy x⎰化为极坐标下的二次积分是。

8. 若幂级数0n nn a x ∞=∑的收敛域为(-4,4], 则幂级数20n n n a x ∞=∑的收敛域是。

9. 微分方程2''2'xy y e +=的一个特解形式为。

10. 微分方程22dy y x dx=的通解是。

二、判断下列各命题（结论）是否正确（在括弧内填入√⨯或）（本题满分10分） 1. (,)f x y 在点00(,)x y 的领域内有定义，且0000(,)(,)0x y f x y f x y ==，则函数在此点全微分0dz =. ( )2. 若函数在(,)f x y 在点00(,)x y 可微分，则函数在此点连续且偏导数存在。

( )3. 级数1n n u∞=∑收敛的充分必要条件是lim 0n n u →∞=。

( ) 4. 正项级数1n n u∞=∑收敛的充分必要条件是数列1n n i i S u ==∑的极限存在。

( )5. 若正项级数1n n u ∞=∑满足11n nu u +<，则该级数收敛。

( )三、试解下列各题（本题满分8分）1. 判定级数21sin2n n n π∞=∑的收敛性。

07-08(2)高数一期末试题B

第 1 页共 1 页高数一(2)期末试卷B (2007－2008)一、（8分）求曲线sin ,1cos ,4sin 2t x t t y t z =-=-=在点(1,1,2π-处的切线与法平面方程。

二、1、求(,)arctan y f x y x = 的一阶偏导数（6分）2、设()y z xy x ϕ=+，求,z z x y∂∂∂∂ （6分） 3、设22ln(1)z x y =++，当2,1==y x 时的全微分（6分）三、求函数3322339z x y x y x =-++-的极值（8分）四、计算32211sin x I dx y dy -=⎰⎰的值（8分）五、计算z I Ω=⎰⎰⎰ 的值，其中Ω是由z = 与 1z = 所围成的区域（8分）六、计算⎰+-L x dy xy dx y x e 22)(2其中L 是221x y +=的圆周逆时针方向（8分）七、设Ω是由锥面z =与半球面z =∑是Ω整个边界的外侧，求xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰ （8分）八 1、求1(3)3nn n x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求113n n n ∞=⋅∑的和（8分）九、将函数1()2f x x =+展开成1x -的幂级数（8分）十、求下列方程的通解（每小题6分，共12分）1、25x y y y xe -'''++=2、42()0xydx xy x dy +-=十一、试确定λ的值，使222()()L x x y ydx xdy y λ+-⎰ 的值与路径无关，其中路径L 与x 轴不相交，计算 (0,2)22(1,1)()()x x y ydx xdy yλ+-⎰的值（6分）（89考研）。

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精选
.
东莞理工学院（本科）试卷（A卷）（答案及评分标准）
2007 --2008学年第二学期

《高等数学（B）Ⅱ》试卷
开课单位：软件学院，考试形式：闭、开卷，允许带入场
题序一二三总分
得分
评卷人

一、填空题（共24分每题3分）
1. 极限200dsinlimxttxx ( 21 )。
2. 广义积分10d1xx ( 发散 )（收敛、发散）。
3. 函数xyz1的定义域为（ Ryxyxyx,,),(2 ）。
4. 函数),(yxfz在点),(yx的偏导数
yzxz


,
连续，则该函数在该点是否可

微分（是）。
5．级数12)1(2sinnnn是（绝对收敛）（绝对收敛、条件收敛）。

6．级数1)1(nnnx的收敛域是（ )2,0[ ）。
7．微分方程yxxey22的通解是（Ceexy2（C为任意常数））。
8．微分方程xeyyy32的特解形式是xbey*，则b（
4

1

）。
精选
.
二、计算题（共60分每题5分）

１．求积分xxxd131 0 2。
解：
2ln
61)(1ln61)d(11161d1310221 0 21 0 2xxxxx

（2分）（2分）（1分）
2．求积分xxxdlne 1 。

解：
2
e 1 e
1
dln21dlnxxxxx
（1分）

)1(41)21(21)d1ln(212122e 1 212exexxxxx
e
e

（2分）（1分）（1分）
3．已知函数vuez2，而3,sinxvxu，求xzdd。

解：
xvvzxuuzxzdddddd



2223)2(cosxexevuvu

（2分）（2分）
)6(cos22sin3xxexx

（1分）

4．已知方程
xyze
z


，求yzxz,。

解：方程两边对x求导数，得
xzxyyzxzez



（2分）

整理，得xyeyzxzz；（1分）
方程两边再对y求导数，得
yzxyxzyzez



（1分）

整理，得xyexzxzz。（其中z由方程
xyze
z


决定）（1分）

5．计算二重积分

Dxxd)6(
，其中D是由xy，xy4，1x所围成的区
精选
.
域。
精选

.
解：

Dxxd)6(

xxyyxx410d)6(d

xxyxyx4
2
1

0
)3(d


（2分）（1分）

102)d6(xx-
1
0
3
2x
2

（1分）（1分）

6．计算二重积分yxyyDddsin，其中D是由xy,
2

x
y
及1y所围成的区域。

解：
yx
yyDddsinyyxyyy210dsindyyxyyy210dsin10d)2(sinyyyy

（2分）（1分）

10dsinyy
1
0
cosy
1cos1
.

（1分）（1分）

7．判断级数nnnn)12(1的敛散性。

解：根式判别：

nnn
ulim

n
n

nnn)12(lim
12112lim

nnn

（2分）（1分）（1分）
故原级数收敛。（1分）

8．判断级数1!5nnn的敛散性。

解：比值判别：
n
nnuu1lim


)!1(!55lim1n

n
n

n
1015lim

nn

（2分）（1分）（1分）
故原级数收敛。（1分）

9. 求幂级数


11n
n
nx

的收敛域及和函数.

解：设11)(nnnxxS，则)1()()()(1111xxxxnxxSnnnnnn，
（2分）（1分）
所以
)1(
)1(1)1()1()1()(22xxx

xS
（2分）
精选
.
10. 求微分方程xyy满足初始条件
1
0x
y

的特解.

解：为一阶线性微分方程，
)d)((
d)(d)(CxexQeyxxpxxp

（1分）

)d(
ddCxexexx

)d(Cxexexx
（1分）

Cexexx

，将

0x
y

代入，得1C，

（1分）（1分）
故满足条件的特解为
1
xx
exey

。（1分）

11. 求微分方程
xeyy




的通解.

解：可降解的微分方程。令)(xpy，则)(xpy，（1分）
原方程变形为：
xepp




，为一阶线性微分方程，

)d)((
d)(d)(CxexQepxxpxxp

)d(1ddCxeeexxx)d(1Cxeeexxx



)(1Cxex


，（2分）

所以xCxeyxd)(121CeCexexxx（1分）

23
CeCxexx

)1(13CC

（
C

2，C3
为任意常数）

（1分）
12. 求微分方程054yyy的通解.

解：相应的特征方程为
054
2
rr

，（2分）

得ir2，（1分）
所以其通解为)sincos(212xCxCeyx（C1，C2为任意常数）
（2分）
三、应用题（共 16分每题 8分）

1．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告。根据统计资
料，销售收入R（万元）与电视广告费用x1（万元）及报纸广告费用x2（万元）
之间的关系有如下的经验公式
精选
.
222
12121
1028321415xxxxxxR
精选

.
若广告费用为1.5万元时，求相应的最优广告策略。
解：
令
)5.1(1028321415),,(212221212121xxxxxxxxxxL

，

（2分）

,
,05.1020832,0481421112121xx
xx

xx
x




有惟一驻点





.5.1,021x
x

（3分）（2分）
依题意，惟一驻点就是最大值点。（1分）
所以（略）
2．求由抛物线
2xy与2
4xxy

所围图形的面积。

解：如图，求交点224xxyxy )4,2(),0,0(
（1分）（1分）（1分）
2022d])4[(xxxxA
202d)24(xxx
（3分）（1分）

38)3
2
2(2032xx
。（1分）

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