【高考数学】2018-2019学年数学高考(文)二轮专题复习习题：第1部分专题六解析几何1-6-2-含答案

2019届高考数学二轮复习第一篇专题六解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题限时训练理

第3讲圆锥曲线的综合问题(限时:45分钟)【选题明细表】1.(2018·广西柳州市一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2为椭圆的左右焦点,P为椭圆短轴的端点,△PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解:(1)由题意,解得a=2,b=c=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=±,故直线AB的方程为x=±.圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=(x-t).即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.d=,又+2=4,t=-,故d===.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.综上,AB与圆x2+y2=2相切.2.(2018·岳麓区校级二模)已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线,它们分别交抛物线C于点A,B和点C,D,线段AB,CD的中点分别为M,N.(1)求线段AB的中点M的轨迹方程;(2)过M,N的直线l是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.解:(1)由题设条件得焦点坐标为F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1),k≠0,联立得k2x2-2(2+k2)x+k2=0,Δ=[-2(2+k2)]2-4k2·k2=16(1+k2)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x M=(x1+x2)=1+,y M=k(x M-1)=,所以2(x M-1)=,所以线段AB的中点M的轨迹方程为y2=2(x-1)(x>1).(2)过定点,理由:由(1)知,同理,设N(x N,y N),则当k≠±1时,可知直线l的斜率为k′==,所以直线l的方程为y+2k=(x-2k2-1),即yk2+(x-3)k-y=0,①当x=3,y=0时方程①对任意的k(k≠±1)均成立,即直线l过定点(3,0).当k=±1时,直线l的方程为x=3.综上所述,过M,N的直线l必过定点(3,0).3.(2018·广东省海珠区一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且过点A(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)若不经过点A的直线l:y=kx+m与C交于P,Q两点,且直线AP与直线AQ的斜率之和为0,证明:直线PQ的斜率为定值.(1)解:因为椭圆C的焦距为2,且过点A(2,1),所以+=1,2c=2.因为a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1=kx1+m,y2=kx2+m,由消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0,(*)则x1+x2=-,x1x2=,因为k PA+k AQ=0,即=-,化简得x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0.即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4m+4=0.代入得--4m+4=0,整理得(2k-1)(m+2k-1)=0,所以k=或m=1-2k.若m=1-2k,可得方程(*)的一个根为2,不合题意,所以直线PQ的斜率为定值,该值为.4.(2018·临沂二模)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线y=kx+4(k>0)交抛物线于A,B 两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).(1)求抛物线方程;(2)若AF,BF的延长线与抛物线交于C,D两点,设直线CD的斜率为k′,证明为定值,并求出该定值.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由可得x2=2p(kx+4),即x2-2pkx-8p=0,显然Δ=4p2k2+32p>0且x1+x2=2pk,x1x2=-8p,所以y1y2=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=16,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,所以-8p+16=0,解得p=2,所以抛物线方程为x2=4y.(2)由(1)可知F(0,1),设C(x3,y3),D(x4,y4),所以k AF=,k CF=,所以=,因为=4y1,=4y3,所以x3-4x3=x1-4x1,即(x1x3+4)(x1-x3)=0,因为x1≠x3,所以x1x3=-4,同理可得x2x4=-4,所以k CD====(--)=-=-=,所以==.5.(2018·南昌市一模)已知椭圆+=1(a>b>0),连接椭圆的两个焦点和短轴的两个端点得到的四边形为正方形,正方形的边长为.(1)求椭圆的方程;(2)设C(m,0),过焦点F(c,0)(c>0)且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆交于A,B两点,使得(+)⊥,求实数m的取值范围.解:(1)由椭圆的定义及题意得a=,b=c=1,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由(1)得F(1,0),直线l的方程为y=k(x-1),代入+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),则x1+x2=,所以y1+y2=k(x1+x2-2)=,x0=,y0=.因为+=2,所以⊥,所以k CM×k=×k=-1,所以-m+×k=0,m==∈(0,),所以实数m的取值范围是(0,).。

2018-2019学年数学高考(文)二轮复习专题集训：专题六解析几何6.2-含解析

A 级1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，2 B ．(1，＋∞) C ．(1,2)D ．⎝⎛⎭⎫12，1解析：由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C. 答案： C2．一个焦点为(26，0)且与双曲线y 24－x 29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 218－x 28＝1 B ．x 218－y 28＝1C.x 216－y 210＝1 D ．y 216－x 210＝1解析：设所求双曲线方程为y 24－x 29＝t (t ≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t |＝26，又焦点在x 轴上，所以t ＝－2，即双曲线方程为x 218－y 28＝1.选B.答案： B3．(2017·长沙市统一模拟考试)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2解析：过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OF A ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.选A.答案： A4．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1解析：由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B. 答案： B5．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，离心率为255.点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，且满足|BM |＝2|MA |，则直线OM 的斜率为( )A.105 B ．1010 C.510D ．55解析：由题意知，点M ⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又e ＝c a ＝255，故c 2a 2＝2025＝45，即a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝45，故b 2a 2＝1－45＝15，即b a ＝55，故k OM ＝13b 23a ＝b 2a ＝510，故选C. 答案： C6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为____________．解析：由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由|AB |＝3，知点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，代入椭圆方程得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案： x 24＋y 23＝17．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ∈[2，2]，则一条渐近线与x 轴所成角的取值范围是________．解析： ∵e ∈[2，2]，∴2≤c 2a 2≤4，又c 2＝a 2＋b 2，∴2≤a 2＋b 2a 2≤4，∴1≤b 2a 2≤3，∴1≤b a≤3，设所求角为θ，则tan θ＝ba，∴1≤tan θ≤3，∴π4≤θ≤π3.答案： ⎣⎡⎦⎤π4，π38．已知A ，B 是双曲线C 的两个顶点，直线l 与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，且与实轴所在直线垂直．若PB →·AQ →＝0，则双曲线C 的离心率e ＝________.解析：如图所示，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，取其上一点P (m ，n )，则Q (m ，－n )，由PB →·AQ →＝0可得(a －m ，－n )·(m ＋a ，－n )＝0，化简得m 2a 2－n 2a2＝1，又m 2a 2－n 2b 2＝1可得b ＝a ，因此双曲线的离心率为e ＝ 2. 答案：29．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．解析： (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值．解析： (1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16. 所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋18a2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知AF 2⊥BF 2，因为F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫1＋18x 1x 2＋9＝0. 即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12，所以离心率e ＝32. B 级1．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝ba x ，即bx －ay＝0，∴点A 到l 的距离d ＝ab a 2＋b2.又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32MA ＝32b ，即ab a 2＋b 2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233. 答案：2332．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是____________．解析：设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋n 2b 2，又F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则PF 1→＝(－m －1，－n )，PF 2→＝(1－m ，－n )，PF 1→·PF 2→＝n 2＋m 2－1＝n 2＋a 2⎝⎛⎭⎫1＋n 2b 2－1＝n 2⎝⎛⎭⎫1＋a 2b 2＋a 2－1≥a 2－1(当且仅当n ＝0时取等号)，所以PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－1.由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－1516≤a 2－1≤－34，即PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1516，－34. 答案： ⎣⎡⎦⎤－1516，－34 3．(2017·成都市第一次诊断性检测)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求△ABM 的面积S 的值；(2)过点B 作直线BN ⊥l 于点N ，证明：A ，M ，N 三点共线．解析： (1)由题意，知F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵直线l 1的倾斜角为π4，∴k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1，即x ＝y ＋1. 代入椭圆方程，可得9y 2＋8y －16＝0. ∴y 1＋y 2＝－89，y 1y 2＝－169.∴S △ABM ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－892＋4×169＝8109. (2)设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)．代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0，则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.∵直线BN ⊥l 于点N ，∴N (5，y 2)． ∴k AM ＝－y 13－x 1，k MN ＝y 22.而y 2(3－x 1)－2(－y 1)＝k (x 2－1)(3－x 1)＋2k (x 1－1)＝－k [x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋5]＝－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 2－204＋5k 2－3×10k 24＋5k 2＋5＝0， ∴k AM ＝k MN .故A ，M ，N 三点共线．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，右顶点A 是抛物线y 2＝8x 的焦点，直线l ：y ＝k (x －1)与椭圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)如果AM →＝AP →＋AQ →，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．解析： (1)由抛物线y 2＝8x ，可得其焦点坐标为(2,0)，即A (2,0)，所以a ＝2. 又e ＝c a ＝32，所以c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)(点差法)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，又A (2,0)，可得AP →＝(x 1－2，y 1)，AQ →＝(x 2－2，y 2)，所以AM →＝AP →＋AQ →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)，所以M (x 1＋x 2－2，y 1＋y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0(判别式Δ>0)，则x 1＋x 2－2＝8k 24k 2＋1－2＝－24k 2＋1，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k4k 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 2＋1，－2k 4k 2＋1.设N (0，y 3)，则MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋1，－k 4k 2＋1＋y 32.因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上．所以－k 4k 2＋1＋y 32＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋1－1，解得y 3＝－2k ，即N (0，－2k )．由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以－2k4k 2＋1－(－2k )－24k 2＋1－0·k ＝－1，解得k ＝±22.。

高考数学大二轮复习专题六解析几何第1讲直线与圆练习理20190315140

第二篇专题六第1讲直线与圆[限时训练·素能提升] (限时40分钟，满分80分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2018·长春二模)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a，bx －sin B ·y ＋sin C＝0的斜率k 2＝bsin B，故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.答案 C2．(2018·贵阳监测)经过三点A (－1，0)，B (3，0)，C (1，2)的圆与y 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝A ．2 3B ．2 2C ．3D ．4解析根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心为P (1，m )，则半径r ＝|m －2|，所以(m －2)2＝22＋m 2，解得m ＝0，所以圆心为P (1，0)，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4，当x ＝0时，y ＝±3，所以|MN |＝2 3.答案 A3．(2018·桂林二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1外离，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定解析由圆O 与圆C 外离得|OC |＝a 2＋b 2＞2，故点O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＜12，所以选B. 答案 B4．(2018·北京东城二模)如果过原点的直线l 与圆x 2＋(y －4)2＝4切于第二象限，那么直线l 的方程是A ．y ＝3xB ．y ＝－3xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x解析由题意得，圆的圆心坐标为(0，4)，半径为2.由直线l 过原点，可得直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离d ＝|－4|1＋k2＝2，解得k 2＝3.又切点在第二象限，所以k ＝－3，所以直线l 的方程为y ＝－3x .故选B. 答案 B5．(2018·成都二诊)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴圆心(－3，2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或－34. 答案 D6．(2018·襄阳二模)在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R，则线段PQ 长度的最小值为A.55 B.5 C.355 D.655解析显然点Q (2a ，a ＋2)是直线x －2y ＋4＝0上的点，圆心C (2，0)，半径为5，圆心C 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|2－0＋4|12＋（－2）2＝655，所以PQ 长度的最小值为655－5＝55. 答案 A7．(2018·湘东五校联考)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3，3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B.答案 B8．(2018·南充二模)已知点A (－3，0)，B (0，3)，若点P 在圆x 2＋y 2－2x ＝0上运动，则△PAB 面积的最小值为A ．6B ．6 2C ．6＋322D ．6－322解析由圆的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得(x －1)2＋y 2＝1， ∴圆的圆心G (1，0)，且圆的半径r ＝1. 由A (－3，0)，B (0，3)，得k AB ＝33＝1.∴直线AB 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，∴点G (1，0)到直线AB 的距离d ＝|1－0＋3|2＝22＞1，∴直线AB 与给定的圆相离．圆上的点到直线AB 的距离的最小值t ＝d －r ＝22－1.又|AB |＝9＋9＝32，∴(S △ABP )min ＝12×32×(22－1)＝6－322.答案 D9．(2018·北京)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4 解析解法一由题意可得d ＝|cos θ－m sin θ－2|m 2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋1sin θ－1m 2＋1cos θ＋2m 2＋1＝|m 2＋1sin （θ－φ）＋2|m 2＋1⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝m m 2＋1，sin φ＝1m 2＋1，∵－1≤sin(θ－φ)≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1，m 2＋1＋2m 2＋1＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3，故选C.解法二 ∵cos 2θ＋sin 2θ＝1，∴P 点在单位圆上，而直线x －my －2＝0恒过定点(2，0)．由数形结合知d 的最大值为3，故选C. 答案 C10．(2018·嘉定二模)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32 D ．y ＝－14解析圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1，0)，半径为1，以|PC |＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.答案 B11．(2018·重庆调研)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx ，其中k 为[－3，3]上的任意一个实数，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为A.33 B.34 C.14 D.3－33解析当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k |k 2＋1>2，解得k >1或k <－1，又k ∈[－3，3]，所以－3≤k <－1或1<k ≤3，故事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率P ＝（3－1）＋（－1＋3）23＝3－33，故选D.答案 D12．(2018·丰台二模)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的标准方程为A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝2解析由题设知抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以圆C 2的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.因为四边形ABCD 是矩形，所以BD 为直径，AC 为直径，又F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12为圆C 2的圆心，所以点F 为该矩形的两条对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到直线AB 的距离相等．又直线CD 的方程为y ＝－12，点F 到直线CD 的距离为1，所以直线AB 的方程为y ＝32，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32，所以圆C 2的半径r ＝|AF |＝（－3－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＝2，所以圆C 2的标准方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4，故选A. 答案 A二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2018·昆明二模)已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为________．解析由题意可得，圆心(0，3)到直线的距离为62，所以d ＝|m －3|2＝62，m ＝3± 6. 答案 3＋6或3－ 614．(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析设P (x ，y )，则由PA →·PB →≤20可得，(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点．又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，（x ＋6）2＋（y －3）2＝65，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－5，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)，易知－52≤x ≤1. 答案 [－52，1]15．(2017·北京)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1，2，3.(1)记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________． (2)记P i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．解析作图可得A 1B 1中点纵坐标比A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标大，所以零件总数最大的是Q 1，p i 表示A i 与B i 的纵坐标之和比上横坐标之和，作图将A i 和B i 的横纵坐标分别相加得到C 1，C 2，C 3三点，分别连接OC i ，可知OC 2的斜率最大，故选p 2.答案 (1)Q 1 (2)p 216．(2018·南宁、柳州联考)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33.答案－33精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2018年高考数学(文)二轮复习+专题突破讲义：专题六解析几何专题六+第3讲

第3讲圆锥曲线的综合问题1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题．2．试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．热点一范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1 (2017届天津市红桥区二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，且过点⎝⎛⎭⎫1，63. (1)求椭圆C 的方程；(2)设与圆O ：x 2＋y 2＝34相切的直线l 交椭圆C 于A, B 两点，求△OAB 面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋23b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)①当k 不存在时， x ＝±32，∴y ＝±32， ∴S △OAB ＝12×3×32＝34. ②当k 存在时，设直线方程为y ＝kx ＋m ，A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 23＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得()1＋3k 2x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝－6km1＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k 2. d ＝r ⇒4m 2＝3()1＋k 2. ||AB ＝1＋k 2 · ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 1＋3k 22－4×3m 2－31＋3k 2 ＝1＋k 2·12＋36k 2－12m 2(1＋3k 2)2＝3·1＋10k 2＋9k 41＋6k 2＋9k4 ＝3·1＋4k 21＋6k 2＋9k4 ＝3·1＋41k 2＋9k 2＋6≤2，当且仅当1k 2＝9k 2，即k ＝±33时等号成立，此时m ＝±1. ∴S △OAB ＝12||AB ×r ≤12×2×32＝32， ∴△OAB 面积的最大值为32，此时直线方程为y ＝±33x ±1. 思维升华解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1 (2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．解 (1)由椭圆的离心率为22，得a 2＝2(a 2－b 2)，又当y ＝1时，x 2＝a 2－a 2b 2，得a 2－a 2b2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2.因此椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0.由Δ>0，得m 2<4k 2＋2，(*)且x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，因此y 1＋y 2＝2m 2k 2＋1，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1. 又N (0，－m )，所以|ND |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km 2k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2k 2＋1＋m 2，整理得|ND |2＝4m 2(1＋3k 2＋k 4)(2k 2＋1)2. 因为|NF |＝|m |，所以|ND |2|NF |2＝4(k 4＋3k 2＋1)(2k 2＋1)2＝1＋8k 2＋3(2k 2＋1)2.令t ＝8k 2＋3，t ≥3，故2k 2＋1＝t ＋14. 所以|ND |2|NF |2＝1＋16t (1＋t )2＝1＋16t ＋1t＋2. 令y ＝t ＋1t ，所以y ′＝1－1t 2. 当t ≥3时，y ′>0，从而y ＝t ＋1t在[3，＋∞)上单调递增，因此t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3时等号成立，此时k ＝0，所以|ND |2|NF |2≤1＋3＝4. 由(*)得－2<m <2且m ≠0，故|NF ||ND |≥12. 设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF ||ND |≥12，所以θ的最小值为π6，从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0.综上所述，当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取得最小值π3. 热点二定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2 (2017·长沙市长郡中学模拟)已知抛物线E ：y 2＝4x 的准线为l ，焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O ，F ，且与l 相切的圆的方程；(2)过F 的直线交抛物线E 于A ，B 两点，A 关于x 轴的对称点为A ′，求证：直线A ′B 过定点．(1)解抛物线E ：y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1，焦点坐标为F (1,0)，设所求圆的圆心C 为(a ，b )，半径为r,∵圆C 过O ，F ，∴a ＝12， ∵圆C 与直线l ：x ＝－1相切，∴r ＝12－()－1＝32. 由r ＝||CO ＝ ⎝⎛⎭⎫122＋b 2＝32，得b ＝±2. ∴过O ，F 且与直线l 相切的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋()y ±22＝94. (2)证明方法一依题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 方程为y ＝k ()x －1，A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2()x 1≠x 2，A ′()x 1，－y 1，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－()2k 2＋4x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1. ∵直线BA ′的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1()x －x 2， ∴令y ＝0，得x ＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2＝x 2k ()x 1－1＋x 1k ()x 2－1k ()x 1－1＋k ()x 2－1＝2x 1x 2－()x 1＋x 2－2＋()x 1＋x 2＝－1 . ∴直线BA ′过定点()－1，0.方法二设直线AB 的方程为x ＝my ＋1,A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则A ′()x 1，－y 1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0， ∴y 1＋y 2＝4m, y 1y 2＝－4.∵k BA ′＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1， ∴直线BA ′的方程为y －y 2＝4y 2－y 1()x －x 2. ∴y ＝4y 2－y 1(x －x 2)＋y 2＝4y 2－y 1x ＋y 2－4x 2y 2－y 1＝4y 2－y 1x ＋y 22－y 1y 2－4x 2y 2－y 1 ＝4y 2－y 1x ＋4y 2－y 1＝4y 2－y 1(x ＋1)． ∴直线BA ′过定点(－1,0)．思维升华 (1)动线过定点问题的两大类型及解法①动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．②动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．(2)求解定值问题的两大途径 ①由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．跟踪演练2 (2017届江西省重点中学协作体联考)已知⊙F 1：(x ＋3)2＋y 2＝27与⊙F 2：(x －3)2＋y 2＝3，以F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)经过两圆的交点．(1)求椭圆C 的方程；(2)M ，N 是椭圆C 上的两点，若直线OM 与ON 的斜率之积为－14，试问△OMN 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解 (1)设两圆的交点为Q ，依题意有|QF 1|＋|QF 2|＝33＋3＝43，由椭圆定义知，2a ＝43，解得a 2＝12.∵F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，∴a 2－b 2＝9，解得b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 212＋y 23＝1. (2)①当直线MN 的斜率不存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)．k OM ·k ON ＝－y 1y 1x 1x 1＝－14，∴⎪⎪⎪⎪y 1x 1＝12. 又x 2112＋y 213＝1，∴|x 1|＝6，|y 1|＝62. ∴S △OMN ＝12×6×6＝3. ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 212＋y 23＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－12)>0，得12k 2－m 2＋3>0，(*) 且x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋1. ∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－12k 24k 2＋1. ∵k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－14，∴m 2－12k 24m 2－12＝－14，整理得2m 2＝12k 2＋3,代入(*)得m ≠0.∵|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4m 2－124k 2＋1 ＝1＋k 2 48(4k 2＋1)－16m 2(4k 2＋1)2＝61＋k 2|m |，原点O 到直线MN 的距离d ＝|m |1＋k 2， ∴S △OMN ＝12|MN |d ＝12·61＋k 2|m |·|m |1＋k2＝3(定值)．综上所述，△OMN 的面积为定值3.热点三探索性问题1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．例3 已知抛物线E 的顶点为原点O ，焦点为圆F ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的圆心F .经过点F 的直线l 交抛物线E 于A ，D 两点，交圆F 于B ，C 两点，A ，B 在第一象限，C ，D 在第四象限．(1)求抛物线E 的方程；(2)是否存在直线l ，使2|BC |是|AB |与|CD |的等差中项？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)根据已知，设抛物线E 的方程为y 2＝2px (p >0)．∵圆F 的方程为(x －2)2＋y 2＝1，∴圆心F 的坐标为F (2,0)，半径r ＝1.∴p 2＝2，解得p ＝4. ∴抛物线E 的方程为y 2＝8x .(2)∵2|BC |是|AB |与|CD |的等差中项，∴|AB |＋|CD |＝4|BC |＝4×2r ＝8，∴|AD |＝|AB |＋|BC |＋|CD |＝10.若l 垂直于x 轴，则l 的方程为x ＝2，代入y 2＝8x ，得y ＝±4.此时|AD |＝|y 1－y 2|＝8≠10，即直线x ＝2不满足题意；若l 不垂直于x 轴，设l 的斜率为k ，由已知得k ≠0，l 的方程为y ＝k (x －2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，∴x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，且Δ＝(4k 2＋8)2－16k 4＝64k 2＋64>0， ∵抛物线E 的准线为x ＝－2，∴|AD |＝|AF |＋|DF |＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＝x 1＋x 2＋4，∴4k 2＋8k 2＋4＝10，解得k ＝±2. ∴存在满足要求的直线l ，它的方程为2x －y －4＝0或2x ＋y －4＝0.思维升华解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．跟踪演练3 (2017届河北省衡水中学押题卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝409的公共弦长为4103. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (0,2)作斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形．若存在，求出点D 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得2a ＝6，所以a ＝3.由椭圆C 与圆M: ()x －22＋y 2＝409的公共弦长为4103，恰为圆M 的直径，可得椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫2，±2103，所以49＋409b 2＝1，解得b 2＝8.所以椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1. (2)直线l 的解析式为y ＝kx ＋2，设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2， AB 的中点为E ()x 0，y 0.假设存在点D ()m ，0，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，则DE ⊥AB .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 29＋y 28＝1，得()8＋9k 2x 2＋36kx －36＝0，故x 1＋x 2＝－36k 9k 2＋8，所以x 0＝－18k 9k 2＋8， y 0＝kx 0＋2＝169k 2＋8. 因为DE ⊥AB ，所以k DE ＝－1k，即169k 2＋8－0－18k 9k 2＋8－m ＝－1k ，所以m ＝－2k 9k 2＋8＝－29k ＋8k. 当k >0时， 9k ＋8k≥29×8＝122，所以－212≤m <0；当k <0时， 9k ＋8k ≤－122，所以0<m ≤212. 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点E ，且点D 的横坐标的取值范围为⎣⎡⎭⎫－212，0∪⎝⎛⎦⎤0，212.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．答案 16解析因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意知，直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k ，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，且Δ＝16k 2＋16>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4 ＝4(1＋k 2)k 2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k2＋4(1＋k 2) ＝4⎝⎛⎭⎫1k 2＋1＋1＋k 2 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号． 2．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，焦距为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝k 1x －32交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为k 2，且k 1k 2＝24.M 是线段OC 延长线上一点，且|MC |∶|AB |＝2∶3，⊙M 的半径为|MC |，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T .求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．解 (1)由题意知，e ＝c a ＝22，2c ＝2，所以c ＝1，所以a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k 1x －32，得(4k 21＋2)x 2－43k 1x －1＝0.由题意知，Δ＞0，且x 1＋x 2＝23k 12k 21＋1，x 1x 2＝－12(2k 21＋1)，所以|AB |＝1＋k 21|x 1－x 2|＝2·1＋k 21·1＋8k 211＋2k 21.由题意可知，圆M 的半径r 为r ＝23|AB |＝223·1＋k 21 1＋8k 212k 21＋1. 由题设知k 1k 2＝24，所以k 2＝24k 1，因此直线OC 的方程为y ＝24k 1x . 联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24k 1x ，得x 2＝8k 211＋4k 21，y 2＝11＋4k 21，因此|OC |＝x 2＋y 2＝1＋8k 211＋4k 21.由题意可知，sin ∠SOT 2＝r r ＋|OC |＝11＋|OC |r.而|OC |r ＝1＋8k 211＋4k 21223·1＋k 21 1＋8k 211＋2k 21＝324·1＋2k 211＋4k 21 1＋k 21，令t ＝1＋2k 21，则t ＞1，1t ∈(0,1)，因此|OC |r ＝32·t 2t 2＋t －1＝32·12＋1t －1t 2＝ 32·1－⎝⎛⎭⎫1t －122＋94≥1，当且仅当1t ＝12，即t ＝2时等号成立，此时k 1＝±22，所以sin ∠SOT 2≤12，因此∠SOT 2≤π6，所以∠SOT 的最大值为π3. 综上所述，∠SOT 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为k 1＝±22. 押题预测已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)与抛物线C 2：y 2＝2ax 相交于A ，B 两点，且两曲线的焦点F 重合．(1)求C 1，C 2的方程；(2)若过焦点F 的直线l 与椭圆分别交于M ，Q 两点，与抛物线分别交于P ，N 两点，是否存在斜率为k (k ≠0)的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．押题依据本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查．关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色．解 (1)因为C 1，C 2的焦点重合，所以a 2－3＝a 2，所以a 2＝4. 又a >0，所以a ＝2.于是椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝4x .(2)假设存在直线l 使得|PN ||MQ |＝2，则可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 4＝2k 2＋4k 2，x 1x 4＝1，且Δ＝16k 2＋16>0，所以|PN |＝1＋k 2·(x 1＋x 4)2－4x 1x 4 ＝4(1＋k 2)k 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 2＋x 3＝8k 23＋4k 2，x 2x 3＝4k 2－123＋4k 2，且Δ＝144k 2＋144>0，所以|MQ |＝1＋k 2·(x 2＋x 3)2－4x 2x 3＝12(1＋k 2)3＋4k 2. 若|PN ||MQ |＝2，则4(1＋k 2)k 2＝2×12(1＋k 2)3＋4k 2，解得k ＝±62. 故存在斜率为k ＝±62的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2.A 组专题通关1．(2016·全国Ⅰ)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，且Δ＝144k 2＋144>0，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，点A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3.可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．2．(2017·山西省实验中学模拟)已知椭圆C: y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)的短轴长为2，且椭圆C 的顶点在圆M ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －222＝12上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的上焦点作互相垂直的两条弦AB ，CD ，求||AB ＋||CD 的最小值．解 (1)由题意可得2b ＝2，所以b ＝1.椭圆C 的顶点在圆M: x 2＋⎝⎛⎭⎫y －222＝12上，所以a ＝ 2.故椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1. (2)当直线AB 的斜率不存在或为零时，||AB ＋||CD ＝3 2.当直线AB 的斜率存在且不为零时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，y 22＋x 2＝1，得()k 2＋2x 2＋2kx －1＝0，设A ()x 1，y 1， B ()x 2，y 2，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k k 2＋2， x 1x 2＝－1k 2＋2，所以||AB ＝22()k 2＋1k 2＋2，同理可得||CD ＝22()k 2＋12k 2＋1，所以||AB ＋||CD ＝ 62()k 2＋12()2k 2＋1()k 2＋2.令t ＝k 2＋1，则t >1, ||AB ＋||CD ＝ 62t 2()2t －1()t ＋1＝62⎝⎛⎭⎫2－1t ⎝⎛⎭⎫1＋1t ，而2<⎝⎛⎭⎫2－1t ⎝⎛⎭⎫1＋1t ≤94，所以823≤||AB ＋ ||CD <3 2. 综上， 823≤||AB ＋ ||CD ≤32，故||AB ＋||CD 的最小值为823. 3．(2017届太原模拟)已知动点C 到点F (1,0)的距离比到直线x ＝－2的距离小1，动点C 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km <0)与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且OA →·OB →＝5，证明：直线l经过一个定点．(1)解由题意可得动点C 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴p 2＝1，∴p ＝2，∴动点C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .(2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，x 1x 2＝m 2k2. ∵OA →·OB →＝5，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2＋4km k 2＝5，∴m 2＋4km －5k 2＝0，∴m ＝k 或m ＝－5k .∵km <0，m ＝k 舍去，∴m ＝－5k ，满足Δ＝16(1－km )>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －5)，∴直线l 必经过定点(5,0)．4．(2017届福建省泉州市适应性模拟)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)若直线l 过焦点F ，且与圆x 2＋(y －1)2＝1交于D ，E (其中A ，D 在y 轴同侧)，求证：|AD |·|BE |是定值；(2)设抛物线C 在A 和B 点的切线交于点P ，试问：y 轴上是否存在点Q ，使得APBQ 为菱形？若存在，请说明理由，并求此时直线l 的斜率和点Q 的坐标．解抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F (0,1),设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立x 2＝4y 与y ＝kx ＋a ，得x 2－4kx －4a ＝0，则Δ＝16(k 2＋a )>0，且x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .(1)证明若直线l 过焦点F ，则a ＝1，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由条件可知圆x 2＋(y －1)2＝1的圆心为F (0,1)，半径为1，由抛物线的定义可知，|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，则|AD |＝|AF |－1＝y 1，|BE |＝|BF |－1＝y 2，|AD |·|BE |＝y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－4k 2＋4k 2＋1＝1，(或|AD |·|BE |＝y 1y 2＝x 214·x 224＝(x 1x 2)216＝(－4)216＝1) 即|AD |·|BE |为定值，定值为1.(2)解方法一当直线l 的斜率为0，且Q 的坐标为(0,3a )时，APBQ 为菱形．理由如下：由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则抛物线C 在A ⎝⎛⎭⎫x 1，14x 21处的切线为y －14x 21＝12x 1()x －x 1，即y ＝12x 1x －14x 21. ①同理抛物线C 在B ⎝⎛⎭⎫x 2，14x 22处的切线为y ＝12x 2x －14x 22. ②联立①②，解得x ＝x 1＋x 22＝2k ，代入①式解得y ＝x 1x 24＝－a ，即P ()2k ，－a .又x 1＋x 22＝2k ，所以y 1＋y 22＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋a ＝2k 2＋a ，即AB 的中点为R ()2k ，2k 2＋a .则有PR ⊥x 轴．若APBQ 为菱形，则PR ⊥AB ，所以k ＝0,此时P ()0，－a ， R ()0，a ，Q ()0，3a . 方法二设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2， Q ()0，y 0，由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，则y ′＝12x,若APBQ 为菱形，则AQ ∥BP ，BQ ∥AP ，则k AQ ＝y 1－y 0x 1＝12x 2，k BQ ＝y 2－y 0x 2＝12x 1，即y 1－y 0＝12x 1x 2，y 2－y 0＝12x 1x 2，则y 1＝y 2，∴k ＝0, ∴A ()－2a ，a ，B ()2a ，a ，则抛物线C 在A ()－2a ，a 处的切线为y －a ＝－a ()x ＋2a ，即y ＝－ax －a ， ①同理抛物线C 在B ()2a ，a 处的切线为y ＝ax －a ， ②联立①②得P ()0，－a .又AB 的中点为R ()0，a ，所以Q ()0，3a .方法三设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2， Q ()0，y 0，由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，则y ′＝12x, 若APBQ 为菱形，则AQ ∥BP ，BQ ∥AP ，则k AQ ＝y 1－y 0x 1＝12x 2，k BQ ＝y 2－y 0x 2＝12x 1，即y 1－y 0＝12x 1x 2，y 2－y 0＝12x 1x 2，则y 1＝y 2，∴k ＝0, 此时直线AB: y ＝kx ＋a ＝a ，则y 0＝－12x 1x 2＋y 1＝－12·()－4a ＋a ＝3a ，所以Q ()0，3a .B 组能力提高5.如图，抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线上一定点Q (1,2)．(1)求抛物线C 的方程及准线l 的方程；(2)过焦点F 的直线(不经过Q 点)与抛物线交于A ，B 两点，与准线l 交于点M ，记QA ，QB ，QM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)把Q (1,2)代入y 2＝2px ，得2p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线l 的方程为x ＝－1.(2)由条件可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0.由抛物线准线l ：x ＝－1可知，M (－1，－2k )．又Q (1,2)，所以k 3＝2＋2k 1＋1＝k ＋1，即k 3＝k ＋1.把直线AB 的方程y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，并整理，可得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系知，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，且Δ＝16(k 2＋1)>0，又Q (1,2)，则k 1＝2－y 11－x 1，k 2＝2－y 21－x 2. 因为A ，F ，B 共线，所以k AF ＝k BF ＝k ，即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝2－y 11－x 1＋2－y 21－x 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－2(x 1＋x 2－2)x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1 ＝2k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－21－2k 2＋4k 2＋1＝2k ＋2，即k 1＋k 2＝2k ＋2.又k 3＝k ＋1，可得k 1＋k 2＝2k 3.即存在常数λ＝2，使得k 1＋k 2＝λk 3成立．6.(2017届九江模拟)如图所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >c )的焦距为 2，直线y ＝x 被椭圆 C 截得的弦长为433. (1)求椭圆 C 的方程；(2)设点M ()x 0，y 0是椭圆 C 上的动点，过原点O 引两条射线l 1，l 2与圆M ：()x －x 02＋()y －y 02＝23分别相切，且l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在． ①试问 k 1k 2 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；②若射线l 1，l 2与椭圆 C 分别交于点A ，B ，求||OA ·||OB 的最大值．解 (1)依题意得c ＝1，设直线y ＝x 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，则||OP ＝233，不妨设P ⎝⎛⎭⎫63，63， ∴23a 2＋23b2＝1，又a 2－b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1， ∴椭圆 C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①设射线l 方程为y ＝kx ，A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则||kx 0－y 01＋k 2＝63，两边平方整理得()3x 20－2k 2－6x 0y 0k ＋3y 20－2＝0, ∵y 20＝1－x 202， ∴k 1k 2＝3y 20－23x 20－2＝3⎝⎛⎭⎫1－x 202－23x 20－2＝－12. ②联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝k 1x ，消去 y 得 x 2＝21＋2k 21，||OA 2＝2＋2k 211＋2k 21，同理||OB 2＝2＋2k 221＋2k 22， ∴||OA 2·||OB 2＝2＋2k 211＋2k 21·2＋2k 221＋2k 22＝4·()k 1k 22＋()k 21＋k 22＋14()k 1k 22＋2()k 21＋k 22＋1＝4()k 21＋k 22＋52()k 21＋k 22＋2 ＝2＋12k 21＋12k 21＋2≤94，当且仅当k 21＝12时，取等号， ∴(||OA ·||OB )max ＝32.。

2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分专题六解析几何 1-6-2

限时规范训练十六圆锥曲线的定义、性质，直线与圆锥曲线限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等解析：选A.由25＋(9－k )＝(25－k )＋9，知两曲线的焦距相等．2．(2017·宁夏银川质检)抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3解析：选D.由抛物线y 2＝8x ，有2p ＝8⇒p ＝4，焦点坐标为(2,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，有d ＝|3×2－0|3＋1＝3，故选D.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点．则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B.∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，则b a ＝52，①又∵椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9， ②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.4．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选D.因为抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点(4,0)重合，所以p ＝8.设A (m ，n )，又|AK |＝2|AF |，所以m ＋4＝|n |，又n 2＝16m ，解得m ＝4，|n |＝8，所以△AFK 的面积为S ＝12×8×8＝32.5．(2017·安徽合肥模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：选A.设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x2－1)，PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2，选A.6．(2017·浙江宁波模拟)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：选C.取双曲线的一条渐近线为y ＝bax ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝bax ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pa 2b2，y ＝2pab ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pa 2b2，2pa b .因为点A 到抛物线C 1的准线的距离为p .所以p 2＋2pa 2b 2＝p ，所以a 2b 2＝14.所以双曲线C 2的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5. 7．(2017·山东德州一模)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选A.抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，由n 2＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)，可得9a 2－24＝1(a ＞0)，解得a ＝35，故双曲线的渐近线方程为y ＝±53x ，即5x ±3y＝0.故选A.8．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.由题意可知直线AE 的斜率存在，设为k ，直线AE 的方程为y ＝k (x ＋a )，令x ＝0可得点E 坐标为(0，ka )，所以OE 的中点H 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，ka 2，又右顶点B (a,0)，所以可得直线BM 的斜率为－k 2，可设其方程为y ＝－k 2x ＋k2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋a ，y ＝－k 2x ＋k 2a ，可得点M 横坐标为－a3，又点M 的横坐标和左焦点相同，所以－a 3＝－c ，所以e ＝13.9．已知双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，F 为其右焦点，A 1，A 2分别是实轴的左、右端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x ＝a 分别交于M ，N 两点，若FM →·FN→＝0，则a 的值为( )A.169B.95C.259D.165解析：选B.∵双曲线x 29－y 216＝1，右焦点F (5,0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设P (x ，y )，M (a ，m )，N (a ，n )，∵P ，A 1，M 三点共线，∴m a ＋3＝y x ＋3，m ＝y a ＋x ＋3， ∵P ，A 2，N 三点共线，∴na －3＝yx －3，∴n ＝y a －x －3.∵x 29－y 216＝1，∴x 2－99＝y 216，∴y 2x 2－9＝169.又FM →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y a ＋x ＋3，FN →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y a －x －3，∴FM →·FN →＝(a －5)2＋y 2a 2－x 2－9＝(a －5)2＋a 2－9，∵FM →·FN →＝0，∴(a －5)2＋a 2－9＝0，∴25a 2－90a ＋81＝0，∴a ＝95.故选B.10．(2017·山东东营模拟)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率为( )A.2＋12 B.2＋1C.3＋12D.3＋1解析：选C.因为双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，因为|PF 1|＝3|PF 2|，所以|F 1F 2|＝2|PF 2|＝4c ，即|PF 2|＝2c ，所以|PF 1|－|PF 2|＝3|PF 2|－|PF 2| ＝(3－1)|PF 2|＝2a ，因为|PF 2|＝2c ，所以2c (3－1)＝2a ，e ＝c a ＝13－1＝3＋12. 11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.12．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：选A.设AB 倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ，又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2＋θ，|DE |＝2p sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝2p cos 2θ而y 2＝4x ，即p ＝2. ∴|AB |＋|DE |＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋1cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16，当θ＝π4时取等号，即|AB |＋|DE |最小值为16，故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为________．解析：因为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12×m ×2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋m2＝25，又c a ＝52，所以a ＝ 4.答案：414．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得(－2c ，－b 2)＝3(x 0＋c ，y 0)，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得－b29＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.答案：x 2＋3y22＝115．(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)， ∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.答案：6316．(2017·山东潍坊模拟)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为________．解析：设AF ＝a ，BF ＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2，因为a ＋b 2＝AF ＋BF2＝MN ，所以|AB |2≥34|2MN |2，所以|AB ||MN |≥3，所以最小值为 3.答案： 3。

2019高考数学二轮复习专题6 解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线练习文.doc

第二讲椭圆、双曲线、抛物线配套作业一、选择题 1．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则实数m 等于(A )A .32或83B .32C .83D .38或23解析：若m ＞2，则m －2m ＝14，解得m ＝83.若0＜m ＜2，则2－m 2＝14，解得m ＝32.2. (2015·新课标Ⅱ卷)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝(C )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴ M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)， ∴ |MN|＝46，故选C .3．(2015·福建卷)若双曲线E ：x 29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于(B )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线定义得|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，即||3－|PF 2|＝6，解得|PF 2|＝9，故选B .4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q(2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为(A )A .⎝⎛⎭⎪⎫14，－1 B .⎝⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1，2) D ．(1，－2)解析：如图，抛物线的焦点F(1，0)，准线方程l ：x ＝－1，点P 到准线的距离为|PD|.由抛物线的定义知|PF|＝|PD|，显然D ，P ，Q 共线时，|PD|＋|PQ|最小，即|PF|＋|PQ|最小．此时y P ＝－1，代入抛物线方程知x p ＝14，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.5. (2014·江西卷)过双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为(A )A .x 24－y 212＝1 B .x 27－y29＝1 C .x 28－y 28＝1 D .x 212－y24＝1 解析：因为C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ba x ，所以A(a ，b)或A(a ，－b)．因此OA ＝c＝4，从而三角形OAC 为正三角形，即tan 60°＝b a ，a ＝2，b ＝23，双曲线C 的方程为x24－y212＝1.6．(2014·大纲卷)双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于(C )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：由已知可知渐近线的斜率k ＝b a ＝3c 2－3且c a ＝2，即b 2a 2＝3c 2－3且1＋b 2a 2＝4解得c2－3＝1，所以c ＝2，2c ＝4.故选C .二、填空题7．(2015·北京卷)已知(2，0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________．解析：由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b>0，所以b ＝ 3.答案：38．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：由y 2＝4x ，可求得焦点坐标为F(1，0)，因为倾斜角为60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，利用点斜式，直线的方程为y ＝3x －3，将直线和曲线方程联立，⎩⎨⎧y ＝3x －3，y 2＝4x⇒A(3，23)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，因此S △OAF ＝12×OF ×y A ＝12×1×23＝ 3.答案：3三、解答题9．已知圆O′过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心O′在抛物线C ：x 2＝2py 上运动，MN 为圆O′在x 轴上所截得的弦．(1)当点O′运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论．(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且M ，N 在原点O 的右侧时，试判断抛物线C 的准线与圆O′是相交、相切还是相离，并说明理由．解析：(1)设O′(x 0，y 0)，则x 20＝2py 0(y 0＞0)，则⊙O′的半径|O ′A|＝x 20＋（y 0－p ）2，⊙O ′的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－p)2.令y ＝0，并把x 20＝2py 0代入得x 2－2x 0x ＋x 20－p 2＝0.解得x 1＝x 0－p ，x 2＝x 0＋p ，∴|MN|＝|x 1－x 2|＝2p ，∴|MN|不变化，为定值2p.(2)设MN 的中点为B ，则|OM|＋|ON|＝2|OB|且O ′B ⊥MN. 又∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项， ∴|OM|＋|ON|＝2|OA|，可得B(p ，0)，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2.∴|O ′A|＝p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－p 2＝52p. 即圆O′的半径为52p. 又∵点O′到抛物线C 的准线的距离为p 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝p ＜52p.∴圆O′与抛物线C 的准线相交．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P(0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解析：(1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，所以c ＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程x2a 2＋y 2b 2＝1，得1b2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l 的斜率显然存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0，整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得： k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝ 2.或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为： y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.11．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py(p ＞0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q.证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解析：(1)依题意，|OB|＝83，∠BOy ＝30°. 设B(x ，y)，则x ＝|OB|sin 30°＝43，y ＝|OB|cos 30°＝12.因为点B(43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y.(2)证法一由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x.设P(x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 设M(0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.①由于①式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0，1)．证法二由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x ，设P(x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y－y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P(2，1)，Q(0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0，1)，M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋382＝12564，交y 轴于点M 3(0，1)，M 4⎝⎛⎭⎪⎫0，－74.故若满足条件的点M 存在，只能是M(0，1)．以下证明点M(0，1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2，所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0，1)．。

【高考数学】2018-2019学年数学高考(理)二轮专题复习检测：第一部分专题六解析几何14Word版含答案

专题能力训练
(
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.若直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到l的距离为,则l的+4=0
C.3x-y-4=0
D.x-3y-4=0
2.若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()
易知线段AB的垂直平分线方程为y=-(x-4).
设所求圆的圆心为C(a,b),则有
解得a=2,且b=1.
因此圆心坐标为(2,1),半径r=|AC|=.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
11.2解析由题意知,P(1,),A(-1,),B(3,),由OA⊥OB得=-1,所以r2=4,所以r=2,P(1,),kOP=.
5.D解析由题意知圆心(2,3)到直线y=kx+3的距离为d==1,故当|MN|≥2时,d=≤1,解得k∈.故选D.
6.B解析圆C1的方程x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)可化为(x-a)2+y2=9,圆心坐标为(a,0),半径为3.
圆C2的方程x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)可化为x2+(y+b)2=1,圆心坐标为(0,-b),半径为1.
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.
参考答案
专题能力训练
1.C
2.D解析由圆x2+y2-2x-2y+1=0,知圆心(1,1),半径为1,所以=1,解得b=2或b=12.

2019年高考数学大二轮复习专题六解析几何第1讲直线与圆练习理

第二篇专题六第1讲直线与圆[限时训练·素能提升] (限时40分钟，满分80分) 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2018·长春二模)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin Aa，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.答案 C2．(2018·贵阳监测)经过三点A (－1，0)，B (3，0)，C (1，2)的圆与y 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝A ．23B ．22C ．3D ．4解析根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心为P (1，m )，则半径r ＝|m －2|，所以(m －2)2＝22＋m 2，解得m ＝0，所以圆心为P (1，0)，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4，当x ＝0时，y ＝±3，所以|MN |＝23.答案 A3．(2018·桂林二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1外离，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定解析由圆O 与圆C 外离得|OC |＝a2＋b2＞2，故点O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a2＋b2＜12，所以选B.答案 B4．(2018·北京东城二模)如果过原点的直线l 与圆x 2＋(y －4)2＝4切于第二象限，那么直线l 的方程是A ．y ＝3xB ．y ＝－3xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x解析由题意得，圆的圆心坐标为(0，4)，半径为2.由直线l 过原点，可得直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离d ＝|－4|1＋k2＝2，解得k 2＝3.又切点在第二象限，所以k ＝－3，所以直线l 的方程为y ＝－3x .故选B.答案 B5．(2018·成都二诊)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ．－53或－35 B ．－32或－23 C ．－54或－45D ．－43或－34解析点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴圆心(－3，2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或－34.答案 D6．(2018·襄阳二模)在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R，则线段PQ 长度的最小值为A.55 B.5 C.355 D.655解析显然点Q (2a ，a ＋2)是直线x －2y ＋4＝0上的点，圆心C (2，0)，半径为5，圆心C 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|2－0＋4|12＋（－2）2＝655，所以PQ 长度的最小值为655－5＝55. 答案 A7．(2018·湘东五校联考)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3，3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B.答案 B8．(2018·南充二模)已知点A (－3，0)，B (0，3)，若点P 在圆x 2＋y 2－2x ＝0上运动，则△PAB 面积的最小值为A ．6B ．62C ．6＋322 D ．6－322解析由圆的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得(x －1)2＋y 2＝1，∴圆的圆心G (1，0)，且圆的半径r ＝1. 由A (－3，0)，B (0，3)，得k AB ＝33＝1.∴直线AB 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，∴点G (1，0)到直线AB 的距离d ＝|1－0＋3|2＝22＞1， ∴直线AB 与给定的圆相离．圆上的点到直线AB 的距离的最小值t ＝d －r ＝22－1.又|AB |＝9＋9＝32，∴(S △ABP )min ＝12×32×(22－1)＝6－322. 答案 D9．(2018·北京)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4解析解法一由题意可得d ＝|cos θ－msin θ－2|m2＋1＝|msin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫m m2＋1sin θ－1m2＋1cos θ＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝m m2＋1，sin φ＝1m2＋1，∵－1≤sin(θ－φ)≤1，∴|2－m2＋1|m2＋1≤d ≤m2＋1＋2m2＋1，m2＋1＋2m2＋1＝1＋2m2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3，故选C.解法二 ∵cos 2θ＋sin 2θ＝1，∴P 点在单位圆上，而直线x －my －2＝0恒过定点(2，0)．由数形结合知d 的最大值为3，故选C.答案 C10．(2018·嘉定二模)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32 D ．y ＝－14解析圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1，0)，半径为1，以|PC |＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.答案 B11．(2018·重庆调研)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx ，其中k 为[－3，3]上的任意一个实数，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为A.33 B.34 C.14 D.3－33解析当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k|k2＋1>2，解得k >1或k <－1，又k ∈[－3，3]，所以－3≤k <－1或1<k ≤3，故事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率P ＝（3－1）＋（－1＋3）23＝3－33，故选D.答案 D12．(2018·丰台二模)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的标准方程为A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝2解析由题设知抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，所以圆C 2的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，12.因为四边形ABCD 是矩形，所以BD 为直径，AC 为直径，又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12为圆C 2的圆心，所以点F 为该矩形的两条对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到直线AB 的距离相等．又直线CD 的方程为y ＝－12，点F 到直线CD 的距离为1，所以直线AB 的方程为y ＝32，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32，所以圆C 2的半径r ＝|AF |＝（－3－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＝2，所以圆C 2的标准方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4，故选A.答案 A二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2018·昆明二模)已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为________．解析由题意可得，圆心(0，3)到直线的距离为62，所以d ＝|m －3|2＝62，m ＝3±6.答案 3＋6或3－614．(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析设P (x ，y )，则由PA →·PB →≤20可得，(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点．又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝50，（x ＋6）2＋（y －3）2＝65，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－5，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)，易知－52≤x ≤1. 答案 [－52，1]15．(2017·北京)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1，2，3.(1)记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________．(2)记P i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．解析作图可得A 1B 1中点纵坐标比A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标大，所以零件总数最大的是Q 1，p i 表示A i 与B i 的纵坐标之和比上横坐标之和，作图将A i 和B i 的横纵坐标分别相加得到C 1，C 2，C 3三点，分别连接OC i ，可知OC 2的斜率最大，故选p 2.答案 (1)Q 1 (2)p 216．(2018·南宁、柳州联考)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH||OP|＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33.答案－33。

2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分专题六解析几何 1-6-3

限时规范训练十七圆锥曲线的综合问题限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分解答题(本题共5小题，每小题12分，共60分)1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q ＝(－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .2．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，点P 在椭圆C 上，满足|PF 1|＝7|PF 2|，tan∠F 1PF 2＝4 3.(1)求椭圆C 的方程．(2)已知点A (1,0)，试探究是否存在直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于D ，E 两点，且使得|AD |＝|AE |？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由|PF 1|＝7|PF 2|，PF 1＋PF 2＝2a 得PF 1＝7a 4，PF 2＝a 4，由cos 2∠F 1PF 2＝11＋tan 2∠F 1PF 2＝11＋32＝149，又由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝17＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42－322×7a 4×a 4，所以a ＝2，故所求C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 满足题设，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝－16(m 2－4k 2－1)＞0，得4k 2＋1＞m 2①，又x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2设D ，E 中点为M (x 0，y 0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，k AM ·k ＝－1，得m ＝－1＋4k 23k ②，将②代入①得4k 2＋1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k 23k 2，化简得20k 4＋k 2－1＞0⇒(4k 2＋1)(5k 2－1)＞0，解得k ＞55或k ＜－55，所以存在直线l ，使得|AD |＝|AE |，此时k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－55∪⎝ ⎛⎭⎪⎫55，＋∞.3．(2017·广州五校联考)已知双曲线M ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的上焦点为F ，上顶点为A ，B 为虚轴的端点，离心率e ＝233，且S △ABF ＝1－32.抛物线N 的顶点在坐标原点，焦点为F . (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程．(2)设动直线l 与抛物线N 相切于点P ，与抛物线的准线相交于点Q ，则以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如要不经过，试说明理由．解：(1)在双曲线M 中，c ＝a 2＋b 2，由e ＝233，得a 2＋b 2a ＝233，解得a ＝3b ，故c ＝2b .所以S △ABF ＝12(c －a )×b ＝12(2b －3b )×b ＝1－32，解得b ＝1. 所以a ＝3，c ＝2.所以双曲线M 的方程为y 23－x 2＝1，其上焦点为F (0,2)，所以抛物线N 的方程为x 2＝8y .(2)由(1)知y ＝18x 2，故y ′＝14x ，抛物线的准线方程为y ＝－2.设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且直线l 的方程为y －y 0＝14x 0(x －x 0)，即y ＝14x 0x －18x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 0x －18x 20，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－162x 0，y ＝－2，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2.假设存在点R (0，y 1)，使得以PQ 为直径的圆恒过该点，也就是RP →·RQ →＝0对任意的x 0，y 0恒成立．又RP →＝(x 0，y 0－y 1)，RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2－y 1，由RP →·RQ →＝0，得x 0×x 20－162x 0＋(y 0－y 1)(－2－y 1)＝0，整理得x 20－162－2y 0－y 0y 1＋2y 1＋y 21＝0，即(y 21＋2y 1－8)＋(2－y 1)y 0＝0.(☆)由于(☆)式对满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的任意x 0，y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－y 1＝0，y 21＋2y 1－8＝0，解得y 1＝2.故存在y 轴上的定点R (0,2)，使得以PQ 为直径的圆恒过该点．4．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，F 2的坐标满足圆Q 方程(x －2)2＋(y －1)2＝1，且圆心Q 满足|QF 1|＋|QF 2|＝2a .(1)求椭圆C 1的方程．(2)过点P (0,1)的直线l 1交椭圆C 1于A ，B 两点，过P 与l 1垂直的直线l 2交圆Q 于C ，D 两点，M 为线段CD 中点，求△MAB 面积的取值范围．解：(1)方程(x －2)2＋(y －1)2＝1为圆，此圆与x 轴相切，切点为F 2(2，0)，所以c ＝2，即a 2－b 2＝2，且F 2(2，0)，F 1(－2，0)，|QF 1|＝|F 1F 2|2＋|QF 2|2＝22＋12＝3，又|QF 1|＋|QF 2|＝3＋1＝2a .所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当l 1平行x 轴时，l 2与圆Q 无公共点，从而△MAB 不存在；所以设l 1：x ＝t (y －1)，则l 2：tx ＋y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，x ＝t y －消去x 得(t 2＋2)y 2－2t 2y ＋t 2－4＝0，则|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝2＋t22t 2＋t 2＋2.又圆心Q (2，1)到l 2的距离d 1＝|2t |1＋t2＜1得t 2＜1.又MP ⊥AB ，QM ⊥CD ，所以M 到AB 的距离即Q 到AB 的距离，设为d 2，即d 2＝|2－t ＋t |1＋t 2＝21＋t 2. 所以△MAB 面积S ＝12|AB |·d 2＝2t 2＋4t 2＋2，令u ＝t 2＋4∈[2，5)，则S ＝f (u )＝2u u 2－2＝2u －2u∈⎝ ⎛⎦⎥⎤253，2. 所以△MAB 面积的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤253，2. 5．(2017·山东潍坊模拟)如图，点O 为坐标原点，点F 为抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：x 2＋y 2＝1相切于点Q .(1)当直线PQ 的方程为x －y －2＝0时，求抛物线C 1的方程；(2)当正数p 变化时，记S 1，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求S 1S 2的最小值．解：(1)设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 202p ，由x 2＝2py (p ＞0)得，y ＝x 22p ，求导得y ′＝x p .因为直线PQ 的斜率为1，所以x 0p ＝1且x 0－x 202p－2＝0，解得p ＝22，所以抛物线C 1的方程为x 2＝42y .(2)因为点P 处的切线方程为：y －x 202p ＝x 0p(x －x 0)，即2x 0x －2py －x 20＝0，根据切线又与圆相切，得|－x 20|4x 20＋4p2＝1，化简得x 40＝4x 20＋4p 2，由4p 2＝x 40－4x 20＞0，得|x 0|＞2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0x －2py －x 20＝0，x 2＋y 2＝1，解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0，4－x 202p ，所以|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |＝1＋x 20p 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－2x 0＝ p 2＋x 20p ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0＝14x 40－x 20＋x 20p ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0＝|x 0|2p(x 20－2)．点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到切线PQ 的距离是d ＝|－p 2－x 20|4x 20＋4p 2＝ 12x 20＋p 2＝12x 20＋14x 40－x 20＝x 204，所以S 1＝12|PQ |·d ＝|x 30|16p(x 20－2)，S 2＝12|OF ||x Q |＝p2|x 0|，所以S 1S 2＝x 40x 20－8p 2＝x 40x 20－x 40－4x 20＝x 20x 20－x 20－＝x 20－42＋4x 20－4＋3≥22＋3，当且仅当x 20－42＝4x 20－4时取“＝”号，即x 20＝4＋22，此时，p ＝2＋22，所以S 1S 2的最小值为3＋2 2.。

2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分专题六解析几何1-6-2(含答案)

限时规范训练十六圆锥曲线的定义、性质，直线与圆锥曲线限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等解析：选A.由25＋(9－k )＝(25－k )＋9，知两曲线的焦距相等．2．(2017·宁夏银川质检)抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3解析：选D.由抛物线y 2＝8x ，有2p ＝8⇒p ＝4，焦点坐标为(2,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，有d ＝|3×2－0|3＋1＝3，故选D.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点．则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B.∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，则b a ＝52，①又∵椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9， ②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.4．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选D.因为抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点(4,0)重合，所以p ＝8.设A (m ，n )，又|AK |＝2|AF |，所以m ＋4＝|n |，又n 2＝16m ，解得m ＝4，|n |＝8，所以△AFK 的面积为S ＝12×8×8＝32.5．(2017·安徽合肥模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：选A.设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x2－1)，PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2，选A.6．(2017·浙江宁波模拟)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：选C.取双曲线的一条渐近线为y ＝bax ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝bax ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pa 2b2，y ＝2pab ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pa 2b2，2pa b .因为点A 到抛物线C 1的准线的距离为p .所以p 2＋2pa 2b 2＝p ，所以a 2b 2＝14.所以双曲线C 2的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5. 7．(2017·山东德州一模)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选A.抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，由n 2＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)，可得9a 2－24＝1(a ＞0)，解得a ＝35，故双曲线的渐近线方程为y ＝±53x ，即5x ±3y＝0.故选A.8．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.由题意可知直线AE 的斜率存在，设为k ，直线AE 的方程为y ＝k (x ＋a )，令x ＝0可得点E 坐标为(0，ka )，所以OE 的中点H 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，ka 2，又右顶点B (a,0)，所以可得直线BM 的斜率为－k 2，可设其方程为y ＝－k 2x ＋k2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋a ，y ＝－k 2x ＋k 2a ，可得点M 横坐标为－a3，又点M 的横坐标和左焦点相同，所以－a 3＝－c ，所以e ＝13.9．已知双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，F 为其右焦点，A 1，A 2分别是实轴的左、右端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x ＝a 分别交于M ，N 两点，若FM →·FN→＝0，则a 的值为( )A.169B.95C.259D.165解析：选B.∵双曲线x 29－y 216＝1，右焦点F (5,0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设P (x ，y )，M (a ，m )，N (a ，n )，∵P ，A 1，M 三点共线，∴m a ＋3＝y x ＋3，m ＝y a ＋x ＋3， ∵P ，A 2，N 三点共线，∴na －3＝yx －3，∴n ＝y a －x －3.∵x 29－y 216＝1，∴x 2－99＝y 216，∴y 2x 2－9＝169.又FM →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y a ＋x ＋3，FN →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y a －x －3，∴FM →·FN →＝(a －5)2＋y 2a 2－x 2－9＝(a －5)2＋a 2－9，∵FM →·FN →＝0，∴(a －5)2＋a 2－9＝0，∴25a 2－90a ＋81＝0，∴a ＝95.故选B.10．(2017·山东东营模拟)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率为( )A.2＋12 B.2＋1C.3＋12D.3＋1解析：选C.因为双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，因为|PF 1|＝3|PF 2|，所以|F 1F 2|＝2|PF 2|＝4c ，即|PF 2|＝2c ，所以|PF 1|－|PF 2|＝3|PF 2|－|PF 2| ＝(3－1)|PF 2|＝2a ，因为|PF 2|＝2c ，所以2c (3－1)＝2a ，e ＝c a ＝13－1＝3＋12. 11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.12．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：选A.设AB 倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ，又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2＋θ，|DE |＝2p sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝2p cos 2θ而y 2＝4x ，即p ＝2. ∴|AB |＋|DE |＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋1cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16，当θ＝π4时取等号，即|AB |＋|DE |最小值为16，故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为________．解析：因为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12×m ×2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋m2＝25，又c a ＝52，所以a ＝ 4.答案：414．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得(－2c ，－b 2)＝3(x 0＋c ，y 0)，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得－b29＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.答案：x 2＋3y22＝115．(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)， ∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.答案：6316．(2017·山东潍坊模拟)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为________．解析：设AF ＝a ，BF ＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2，因为a ＋b 2＝AF ＋BF2＝MN ，所以|AB |2≥34|2MN |2，所以|AB ||MN |≥3，所以最小值为 3.答案： 3。

【高考数学】2018-2019学年数学高考(文)二轮专题复习习题：第1部分专题六 解析几何1-6-2-含答案

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