考研数学一公式手册大全

考研数学一公式手册大全
1. 高等数学
1.1 极限
四则运算：$\lim_{x \to x_0}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x \to x_0}f(x) \pm \lim_{x \to x_0}g(x)$，$\lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))=[\lim_{x \to
x_0}f(x)][\lim_{x \to x_0}g(x)]$，$\lim_{x \to
x_0}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{\lim_{x \to x_0}f(x)}{\lim_{x \to x_0}g(x)}$ 夹逼准则：若$\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)=A$，且$f(x) \leq h(x) \leq g(x)$，则$\lim_{x \to x_0}h(x)=A$
L'Hopital法则：$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to
a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，其中$\lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)=0$或$\lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)=\infty$
泰勒公式：$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$，其中$f^{(n)}(x_0)$表示$f(x)$在$x_0$处的$n$阶导数
1.2 导数
基本公式：$(u \pm v)'=u' \pm v'$，$(uv)'=u'v+uv'$，
$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$，$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$
高阶导数：$f^{(n)}(x)=\lim_{h \to
0}\frac{f^{(n-1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}$，其中$f^{(0)}(x)=f(x)$
隐函数求导：$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$，其中$F(x,y)=0$
1.3 积分
基本公式：$\int kdx=kx+C$，$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$，$\int \frac{1}{x}dx=\ln{|x|}+C$
换元积分法：$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$，其中$u=g(x)$
分部积分法：$\int u dv=uv-\int v du$
定积分：$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数
重积分：$D=\{(x,y)|a \leq x \leq b, \varphi(x) \leq y \leq \psi(x)\}$，$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^b dx \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dy$ 1.4 级数
收敛与发散：$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，当且仅当$\lim_{n \to \infty}a_n=0$，或$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$收敛
正项级数：$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，当且仅当$a_n$单调减少且趋于零
比值判别法：若$\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1$，则
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛；若$\lim_{n \to
\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|>1$，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散；若$\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=1$，则判别不出
绝对收敛：$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$绝对收敛，当且仅当
$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$收敛
幂级数：$\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n$的收敛半径为
$R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty}|\frac{c_n}{c_{n+1}}|}$
2. 概率论与数理统计
2.1 排列组合
排列：$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$，其中$n \geq m$
组合：$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，其中$n \geq m$
二项式定理：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$
2.2 概率基础
概率公理：$0 \leq P(A) \leq 1$，$P(\Omega)=1$，若
$A_1,A_2,\cdots$两两互斥，则
$P(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i) $
条件概率：$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$，其中$P(A)>0$
全概率公式：$\begin{aligned} P(B) &=P(AB)+P(\overline{A}B) \\
&=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A}) \end{aligned}$
贝叶斯公式：
$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum\limits_{j=1}^{n}P(B|A_j)P(A_j)}$，其中$A_1,A_2,\cdots,A_n$为样本空间$\Omega$的一个划分
2.3 随机变量
分布函数：$F(x)=P(X \leq x)$
概率密度函数：若$F(x)$可导，则$f(x)=F'(x)$为$X$的概率密度函数期望：$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$
方差：$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$
协方差：$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
2.4 常见分布
正态分布：$f(x)=\frac{1}{\sigma
\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中$\mu$为均值，$\sigma$为标准差
t分布：$f(x)=\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu \pi}
\Gamma(\frac{\nu}{2})}(1+\frac{x^2}{\nu})^{-\frac{\nu+1}{2}}$，其中$\nu$为自由度
F分布：
$f(x)=\frac{\Gamma(\frac{\nu_1+\nu_2}{2})(\frac{\nu_1}{\nu_2})^{\fr ac{\nu_1}{2}}x^{\frac{\nu_1}{2}-1}}{\Gamma(\frac{\nu_1}{2})\Gamma (\frac{\nu_2}{2})(1+\frac{\nu_1}{\nu_2}x)^{\frac{\nu_1+\nu_2}{2}}}$，其中$\nu_1,\nu_2$为自由度
3. 线性代数
3.1 向量
向量的模：$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}$
向量的点积：$\vec{a} \cdot
\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\thet a}$
向量的叉积：$\vec{a} \times
\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\sin{\theta}\vec{n}$，其中$\vec{n}$为
$\vec{a}$与$\vec{b}$所在平面的法向量
3.2 矩阵
矩阵的乘法：$C_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$，其中$A$为$m
\times n$矩阵，$B$为$n \times p$矩阵，$C$为$m \times p$矩阵矩阵的转置：$(A^T){ij}=A{ji}$，其中$A$为$m \times n$矩阵
矩阵的逆：若$AB=BA=I$，则称$B$为$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$，其中$I$为单位矩阵
行列式：$\det(A)=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}A_{ij}$，其中$A_{ij}$为$a_{ij}$的代数余子式
3.3 特征值与特征向量
特征值：若$A\vec{x}=\lambda \vec{x}$，则称$\lambda$为$A$的特征值，$\vec{x}$为$A$的对应特征向量
特征多项式：$\det(A-\lambda I)=0$，其中$I$为单位矩阵
特征向量的性质：$A\vec{x}=0$的解集是一个子空间，$A$可对角化当且仅当$A$有$n$个线性无关的特征向量
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