常用的概率分布类型及其特征
概率及概率分布
即古典概率分布类型，是针对有以下两个特征的试验而言：①只有有限个不同的基本事件；②各基本事件发生的概率均等。
例1.1、从随机数字表中任一位点抽得一位数字是0、 1、2、……或9的概率是均等的，都为0.1。即 n =10个基本事件发生的可能性相等，若事件A由其中的 m 个基本事件组成，则 P（A）= m/n，这就是概率的古典定义。如定义A为2≤y≤8，则P（A）= 7/10 = 努利概型 贝努利试验（序 列）是独立试验序列 中最简单的类型。观 察一次贝努利试验时 （仅有两种可能的结 果），事件A发生的 概率与其对立事件发 生的概率所表现出来 的两点分布类型，叫 做贝努利分布。其概 率值的分割比例实际 由概率的（统计）定 义给出。 多次贝努利试验 中事件A在其中若干 次发生的概率所表现 出来的多点分布类型，叫做二项分布。其概率函数f（y）由牛顿二项式定理给出。
第四节 数据整理
例1.5 研究广西“霞烟鸡”品种的母
鸡所生鸡蛋的个头大小，将所得N=623
个鸡蛋一个个地称重，再将得到的数据
进行分组归类并统计各组次数如右。
利用次数分布表计算出反映果实
平均大小和彼此悬殊程度（变异度）
的指标，即总体平均数μ= 43.5g和总
体标准差σ= 4.65g，它们也是“单个鸡
误差的本义是指随机变量的任意 一个观察值与其真值的差异，即Yi -μ。 但统计学不是把误差当作常量来 研究（因为实际工作中真值往往是未 知数或无法计算其具体数值），而是 把它放在一定条件下作为随机变量来 对待，即利用概率分布理论来描述误 差在任一范围取值的可能性大小，所 以误差实际被表述为 “ y –μ”。 由于误差的取值已不再局限于间 断性数据，其概率分布研究必须从连 续性变量的实例作为出发点。
概率论中几种具有可加性的分布及其关系
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1 几种常见的具有可加性的分布 (1)1.1 二项分布 (2)1.2 泊松分布（Possion分布） (3)1.3 正态分布 (4)1.4 伽玛分布 (6)1.5 柯西分布 (7)1.6 卡方分布 (7)2 具有可加性的概率分布间的关系 (8)2.1 二项分布的泊松近似 (8)2.2 二项分布的正态近似 (9)2.3 正态分布与泊松分布间的关系 (10)2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11)3 小结 (12)参考文献 (12)致谢 (13)概率论中几种具有可加性的分布及其关系概率论中几种具有可加性的分布及其关系摘要 概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词 概率分布 可加性 相互独立 特征函数Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationshipwith AdditiveAbstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important content.The distribution of the so-called additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong to this kind of bined with its characteristics, here given several has additivity distribution in probability theory: the binomial distribution, poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution, chi-square distribution and gamma distribution.Article discusses the nature of all kinds of distribution and its proof of additivity, additive of proof distribution are also given two methods, namely using convolution formula and characteristic function of a random variable. In addition, this paper the relationships between the additive property distribution, such as the binomial distribution of poisson approximation, Di mo - Laplace's central limit theorem, and so on,has carried on the different levels of discussion. Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function引言 概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等.1 几种常见的具有可加性的分布在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]：①离散场合的卷积公式 设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是n k a k P k ,1,0,)(⋅⋅⋅===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ⋅⋅⋅===ξ则ξζϑ+=的概率分布列可表示为.2,1,0,)()()(0⋅⋅⋅==-====-==∑∑k b a i k P i P k P i k ki i ki ξζϑ②连续场合的卷积公式 设连续型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的密度函数分别是)(),(y f x f ξζ，则它们的和ξζϑ+=的密度函数如下.)()()(dx x z f x f f f z f -⋅=⋅=⎰+∞∞-ξζξζϑ )2(其证明如下：ξζϑ+=的分布函数是dxdy y f x f z f z F zy x )()()()(ξζϑξζ⎰⎰≤+=≤+={}dx x f dy y f xz )()(ζξ⎰⎰+∞∞--∞-=.)()(dx x f x z F ζξ-=⎰+∞∞-其中)(x F ζ为ζ的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到ξζϑ+=的密度函数： .)()()(dx x z f x f f f z f -⋅=⋅=⎰+∞∞-ξζξζϑ 即证.在概率分布可加性的证明中，除了卷积公式，我们常用的证明方法还有利用随机变量的特征函数.下面我们来讨论一下这几种具有可加性的分布及其可加性证明的过程中卷积公式和特征函数的应用. 1.1 二项分布1.1.1 二项分布),(p n B 的概念如果记ζ为n 次伯努利试验中成功（记为事件A ）的次数，则ζ的可能取值为0，1，2，……，n.记p 为事件A 发生的概率，则,)(p A p =(p A ),1p -=记为.q 即.1p q -=因n 次伯努利试验的基本结果可以记作 ѡ=（w 1,w 2，…ѡn ），w i 或为A 或为A ,这样的w 共有2n 个，这2n 个样本点w 组成了样本空间Ω.下求ζ的分布列，即求事件{ζk =}的概率.若某个样本点 ѡ=（w 1,w 2，…ѡn ）∈{k =ζ}，意味着w 1,w 2，…ѡn 中有k 个A ，k n -个A ，由独立性即可得:P (ζ).)1(k n k p p --=而事件{ζ=k }中这样的w 共有⎪⎭⎫⎝⎛n k 个，所以ζ的分布列为)(k P =ζ=⎪⎭⎫ ⎝⎛n k p k （1-p ）kn -，.,1,0n k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=此分布即称为二项分布，记作),(~p n B ζ.且我们易验证其和恒为.1.也就是概率论中几种具有可加性的分布及其关系kn k nk n k p p -=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑)1(0=[]n p p )1(-+1=. n=1时，二项分布),(p n B 称为两点分布，有时也称之为10-分布. 二项分布的图像具有以下特点：①二项分布的图像形状取决于n 和p 的大小，随着p 的增加，分布图高峰逐渐右移. ②当5.0=p 时，图像是对称的. 1.1.2 二项分布的可加性定理 1.1.1设),,(~),,(~p m B p n B ξζ而且ξζ,相互独立，记,ξζϑ+=则有).,(~p m n B +ϑ证明 因,ξζϑ+=所以易知ϑ可以取m n +⋅⋅⋅2,1,0等1++m n 个值.根据卷积公式)1(，事件{}k =ϑ的概率可以表示为 )()()(0i k P i P k P ki -====∑=ξζϑi k m i k mi k i n i ki n i p p p p +----=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑)1()1(0.)1(0⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+∑m i k ki n i km n k p p 又因.0⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∑m n k m i k ki n i 所以.,1,0,)1()(m n k p p k P k m n km n k +⋅⋅⋅=-⎪⎭⎫ ⎝⎛==-++ϑ也就是说，).,(~p m n B +ϑ即证！ 1.2 泊松分布(Possion 分布)与二项分布一样，泊松分布也是一种离散分布，许多随机现象，特别是社会现象与物理学中的一些随机现象都服从于泊松分布.泊松分布可作为描述大量试验中稀有事件出现次数的概率分布的数学模型. 1.2.1 泊松分布的概率分布列泊松分布的概率分布如下所示： 2,1,0,!)(===-k e k k P kλλζ…，其中λ大于0，记作)(~λζP .对于泊松分布而言，它的参数λ即是期望又是它的方差：λλλλλλλλλλ==-==-+∞=---+∞=∑∑e e k eek kE k k k k11)!1(!)(.又因， λλλλλ-+∞=-+∞=∑∑-==e k kek kE k kkk 1022)!1(!)( =[]λλ-+∞=-+-∑e k k kk )!1(1)1(1=∑∑+∞=--+∞=---+-11222)!1()!2(k k k k k e k eλλλλλλ=λλ+2故ζ的方差为22))(()()(ζζζE E Var -==λλλλ=-+22 1.2.2泊松分布的可加性定理 1.2.1 设随机变量)(~),(~2211λζλζP P ，且21,ζζ相互独立，则).(~2121λλζζ++P 证明 此处⋅⋅⋅=====--,2,1,0,!)(,!)(212211k e k k P ek k P k k λλλζλζ根据卷积公式)1(，有 21)!(!)(2121λλλλζζ---=-⋅==+∑e i k ei k P i k ki iik i ki i k i k k e -=+-∑-=210)()!(!!!21λλλλ .,1,0,!)()(2121⋅⋅⋅=+=+-k e k k λλλλ 所以).(~)(2121λλζζ++P 即证！同样我们可以利用特征函数对其进行证明，此处不再赘述. 1.3 正态分布1.3.1 正态分布的定义[6]定义1.3 对于已经给定的两个常数μ和σ>0，定义函数222/)(,21)(σμσμπσ--=x e x p ),(+∞-∞∈x )1( 它含有两个参数μ和σ.显然的，)(,x p σμ取正值.我们称密度函数为)(,x p σμ的分布为正态分布，记作),(2σμN ，它的分布函数记为dt ex F xt ⎰∞---=222)(,21)(σμσμπσ ),(+∞-∞∈x正态分布的密度函数的图像是一条钟形曲线，中间高两边低，而且关于μ=x 对称，在此处)(,x p σμ取最大值.21πσ我们称μ为该正态分布的中心，在μ=x 附近取值的可能性比较大，在σμ±=x 处有拐点.若将μ固定，改变σ的取值，则σ越大，曲线峰顶越低，图像较为平坦；σ越小，曲线封顶越高，图像较为陡峭.因此正态密度函数的尺度由σ确定，故称σ为尺度参数.同样的，将σ固定，而去改变μ的值，会发现图像沿x 轴平移而并不改变形状，也就说明该函数的位置由μ决定，故称其为位置参数.当1,0==σμ时的正态分布称为标准正态分布，记作)1,0(N .它的密度函数记为)(u ϕ，分布函数记为)(u Φ.则有),(,21)(2/2+∞-∞∈=-u e u u πϕ概率论中几种具有可加性的分布及其关系),(,21)(2/2+∞-∞∈=Φ⎰∞--u dt e u ut π1.3.2 一般正态分布的标准化对于正态分布族{},0),,(;),(2>+∞-∞∈=℘σμσμN标准正态分布)1,0(N 只是其中一个成员.其实在应用中很少有随机变量恰好服从标准正态分布，可是一般正态分布均可以利用线性变换转变成标准正态分布.所以一切与正态变量有关的事件的概率均可通过标准正态分布分布求取.定理1.3.1 如果随机变量),(~σμN Y ，则)1,0(~/)(N Y X σμ-=，其中X 为标准正态变量.证明 记Y 与X 的分布函数分别为)(y F Y 和)(x F X ，易知).()()()(x F x Y P x Y P x X P x F Y X σμσμσμ+=+≤=⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤-=≤=因为正态分布函数严格递增而且处处可导，所以如果记Y 和X 的密度函数分别是)(y p Y 和)(x p X ，会有,21)()()(2/2μπσσμσμ-=⋅+=+=e x p x F dx d x p Y Y X 由此即得，).1,0(~N Y X σμ-= 即证.对于标准正态随机变量),1,0(~N X X 的数学期望为,21)(2/2dx xe X E x ⎰+∞∞--=π因被积函数2/2)(x xe x h -=为奇函数，故上述积分值为0，也就是说.0)(=X E而对于一般正态变量),(~2σμN Y ，如果满足X Y σμ+=，由数学期望的线性性质则可得到.0)(μσμ=⨯+=Y E所以我们可以知道正态分布),(2σμN 的数学期望即为其参数μ. 因为dx e x X E X E X Var x ⎰+∞∞--=-=2/222221))(()()(π⎰+∞∞---=)(212/2x e xd π}{⎰+∞∞--∞+∞--+-=dx e xe x x 2/2/22|21π.1221212/2===⎰+∞∞--πππdx e x 且X Y σμ+=,由方差的性质.)()(2σσμ=+=x Var Y Var也就是说，正态分布的方差即是其另一个参数.2σ 1.3.3 正态分布的可加性定理1.3.2 设随机变量而且X 和Y 彼此独立，且),,(~),,(~222211σμσμN Y N X 则有).,(~222121σσμμ+++N Y X证明 知Y X ,服从于正态分布，且它们的密度函数分别是).2exp(),2exp(22222211tt i t t i Y X σμϕσμϕ-=-=又因Y X ,彼此独立，所以)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ=+.)()(exp 2222121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=t t i σσμμ这正是数学期望为,21μμ+方差为2221σσ+的正态分布的特征函数，即证！我们同样可以使用连续场合的卷积公式进行证明，详见文献[5]，此处不再赘述. 1.4 伽玛分布在讨论伽玛分布之前，我们先来看一下伽玛函数：我们称dx e x x -+∞-⎰=Γ01)(αα )0(>α为伽玛函数，α为其参数.它的性质如下：①;)21(,1)1(π=Γ=Γ②).()1(αααΓ=+Γα取自然数n 的时候，有 !.)()1(n n n n =Γ=+Γ 1.4.1 伽玛分布的定义定义1.4 如果随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥Γ=--,0,0;0,)()(1x x e x x p xλαααλ 就称作X 服从伽玛分布，记为),,(~λαGa X 且λα,的值均大于0.α为伽玛分布的形状参数，λ为其尺度参数.当10<<α时，)(x p 为严格单调递减的函数，在0=x 处取得奇异点；当1=α时，)(x p 亦严格单调减，且0=x 时有;)0(λ=p 当21≤<α时，)(x p 为单峰函数，先上凸然后下凸；当2>α时，先下凸再上凸，最后下凸.而且随着α的增大，)(x p 逐渐接近于正态分布的密度函数.1.4.2 伽玛分布的可加性定理 1.4.1 设随机变量),,(~),,(~21λαλαGa Y Ga X 且X 和Y 彼此独立，则).,(~21λαα++Ga Y X证明 知 ,)1()(,)1()(21ααλϕλϕ---=-=itt it t Y X且X 与Y 彼此独立，所以,)1()()()()(21ααλϕϕϕ+-+-==itt t t Y X Y X此即为)(21αα+Ga 的特征函数，根据惟一性定理则可知).,(~21λαα++Ga Y X 结论得证！概率论中几种具有可加性的分布及其关系如正态分布，对于伽玛分布，我们同样可以利用连续场合的卷积公式对其可加性进行证明，详见文献[5]; 1.5 柯西分布[4]1.5.1 柯西分布的密度函数柯西分布是几个常见的连续分布之一.它的密度函数为).,(,)(1),,(22+∞-∞∈-+=x x x p μλλπμλ0,1==μλ时的柯西分布密度函数称为标准柯西分布密度函数，即).,(,111)(2+∞-∞∈+=x xx p π 为方便起见，往后我们分别记这两类密度函数为),(μλp 和).1,0(p 对于柯西分布的数学期望和方差，因.)(1),,(22+∞=-+⋅=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x x dx x p x μλλπμλ 所以dx x p x ),,(μλ⎰+∞∞-不收敛，故柯西分布的数学期望与方差均不存在.1.5.2 柯西分布的可加性定理 1.5.1 设随机变量),,(~),,(~2211μλμλp Y p X 且Y X ,彼此独立，则有).,(~2121μμλλ+++p Y X证明 因Y X ,均服从于柯西分布，且Y X ,的特征函数分别是 ,)(11tt i X e t λμϕ-=.)(22tt i Y et λμϕ-=又因Y X ,彼此独立，所以)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ⋅=+.)()(2121tt i e λλμμ+-+=这恰好就是参数为2121,μμλλ++的柯西分布的特征函数，所以).,(~2121μμλλ+++p Y X 即证！ 1.6 卡方分布（2χ分布）1.6.1卡方分布（2χ分布）的定义及密度函数定义 1.6[7] 设n X X X ⋅⋅⋅,,21独立同分布与标准正态分布分布),1,0(N 则称222212nX X X +⋅⋅⋅++=χ所服从的分布为自由度为n 的卡方分布，记为).(~22n χχ 卡方分布的密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>Γ=--.0,0;0,)2(21)(1222x x x e nx p n x n1.6.2 卡方分布可加性卡方分布密度函数的图像是一个只取非负值的偏态图像.它的图像随着自由度的增加而逐渐趋于对称，当自由度∞→n 时，其图像趋于正态分布的图像.这也从另一个侧面告诉我们，卡方分布是由其自由度决定的，不同的自由度对应了不同的卡方分布.由1.6.1，我们可以知道卡方分布即伽玛分布的一个特例，所以由伽玛分布的可加性我们易知卡方分布亦满足可加性定理，即定理1.6.1[5]设),(~),(~22221n m χχχχ且2221,χχ彼此独立，则有).(~22221n m ++χχχ 证明 由卡方分布的定义，设,,22221222222121n m m m m X X X X X X ++++⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=χχ 且,,,2,1),1,0(~n m i N X i +⋅⋅⋅=j i X X ,彼此独立.则有，,22221222212221n m m m m X X X X X X ++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=+χχ从从卡方分布的定义，因此).(~22221n m ++χχχ即证！2 具有可加性的概率分布间的关系2.1 二项分布的泊松近似[4]当n 的取值很大时，二项分布),(p n B 的计算是令人头疼的.这里介绍了泊松分布的一个十分有用的特性，我们可利用泊松分布作为二项分布的一种特殊近似，即二项分布的泊松近似.下面我们来看泊松定理，当n 取值较大，而p 取值偏小的情况下使用泊松定理，可大大减小二项分布的计算量.定理 2.1[8]（Possion 定理) 在n 重伯努利试验中，记事件A 在每次试验中发生的概率为,n p 它与试验发生的次数n 有关，若当0>n 时，有,λ→n np 即,lim λ=+∞→n n np 则对任意给定的k （k 为非负整数），有.!)1(lim λλ--+∞→=-⎪⎭⎫ ⎝⎛e k p p kk n n kn n k n证明 设,n n np =λ则有,np nn λ=所以k n n k n k n kn n k n n k k n n n n p p ---+-⋅⋅⋅--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛)1()(!)1()2)(1()1(λλ.)1(!)11()21)(11(k n n kn nk n k n n --⋅⋅--⋅⋅⋅--=λλ .)1()1(!)11()21)(11(k n n n kn nn k n k n n ---⋅⋅--⋅⋅⋅--=λλλ 由已知有，,lim λλ=+∞→n n 则对于给定的k 值，有;lim k kn n λλ=+∞→且+∞→n lim 1)11()21)(11(=--⋅⋅⋅--nk n n ； ;)1(lim )1(lim )(λλλλλ--⋅-+∞→+∞→=-=-e nnn nnnn nnn.1)1(lim =--+∞→k nn nλ所以有.!)1(lim λλ--+∞→=-⎪⎭⎫ ⎝⎛e k p p kk n n kn n k n 即证！因Possion 定理的条件之一为,lim λ=+∞→n n np 所以在二项分布的计算中，若n 值很大，p的值却很小，且λ=np 的大小适中时（一般认为当,1.0,100≤≥p n 且10≤=np λ时），二概率论中几种具有可加性的分布及其关系项分布),(p n B 可以使用参数为λ的泊松分布来做近似，即有,2,1,0,!)1(⋅⋅⋅=≈-⎪⎭⎫ ⎝⎛--k e k p p np kk n n kn n k λ此即为二项分布),(p n B 的泊松近似，而且n 的值应尽可能的大，这样计算结果才能更精确.二项分布),(p n B 的泊松近似经常被用于稀有事件（即每次试验中事件发生的概率很小）的研究中，大量实例表明，一般情况下概率1.0<p 时，泊松近似非常好用，甚至n 的取值不必很大. 2.2 二项分布的正态近似定理 2.2[7]（棣莫佛-拉普拉斯（De Laplace Moivre -）极限定理） 设随机变量),(~p n B X （⋅⋅⋅=<<,2,1,0,10n p ），则对任意的实数x ，有()).(211lim 2/2x dt e x p np np X P x t n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--⎰∞--+∞→π 证明 因随机变量X 服从二项分布),(p n B ，所以X 可看做是n 个相互独立的且服从于同一参数p 的两点分布的随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅的和，即,1∑==ni i X X 而且⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-==,2,1),1()(,)(i p p X Var p X E i i 根据Levy Lindeberg -中心极限定理，有).(21)1(lim 2/12x dt e x p np np X P x t n i i n Φ==⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--⎰∑∞--=+∞→π 定理得证！ De Laplace Moivre -中心极限定理说明，n 相当大时，服从二项分布),(p n B 的随机变量X 的概率的计算服从正态分布))1(,(p np np N -的随机变量的计算.也就是说，二项分布可以用正态分布来近似计算.比如k n kn k p p k X P --⎪⎭⎫ ⎝⎛==)1()(，在n 比较大的时候的计算量时十分大的.根据De Laplace Moivre -中心极限定理，因 )1(np np npX --近似服从于标准正态分布，或者说是X 近似服从于))1(,(p np np N -分布，也就是说k n k nk p p k X P --⎪⎭⎫⎝⎛==)1()(≈.)1()1(1)1(21)1(2)(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=----p np np k p np ep np p np np x ϕπ 对于,)1()(k n kb k a n k p p b X a P -≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤≤∑有))1()1()1(()(2121p np npa p np np X p np np a P a X a P --≤--≤--=≤≤ ))1(())1((12p np npa p np np a --Φ---Φ≈ )(* 我们只需查一下标准正态分布表，就可以求出我们需要的相当精确的值.但是，当p 较大或者较小时近似效果可能差一些，利用公式时p 的值最好满足9.01.0≤≤p .另外，因二项分布是离散分布，正态分布是连续分布，所以在我们实际的应用中，为减小误差， 常常使用≈≤≤)(21a X a P ))1(5.0())1(5.0(12p np npa p np np a --+Φ---+Φ来替换)(*式.2.3 正态分布与泊松分布之间的关系[9]由上面的定理2.1和定理2.2我们可以知道，二项分布),(p n B 可以用泊松分布来做近似，同样也可以用正态分布来近似.所以，从某个方面来说，泊松分布与正态分布也具有某种近似的关系，首先我们来看特征函数的连续性定理.定理 2.3.1[11] 分布函数列{})(x F n 弱收敛于分布函数)(x F 的充分必要条件是它的相应的特征函数列{})(t n ϕ收敛于)(x F 的特征函数).(t ϕ定理2.3.2[11] 设随机变量),(~λλP X 则有.21lim 22dt ex X P xt ⎰∞--∞→=⎪⎭⎫⎝⎛<-πλλλλ证明 知λX 服从泊松分布，则λX 的特征函数为.)()1(-=it e e t λλϕ所以λλμλλ-=X 的特征函数是.)(1t i e ti et λλλλψ-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=对于任何一个,t 我们有.,1!212∞→⎪⎭⎫⎝⎛+-+=λλολλλt ite ti所以有.,212122∞→-→⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλολλλλt t t i eti因此对于任意的点列,∞→n λ有.)(lim 22t et n n -∞→=λλψ又知22t e-是标准正态分布)1,0(N 的特征函数，因此由连续性定理可以得到，.21lim 22dt ex X P xt n n nn ⎰∞--∞→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-πλλλλ由n λ的任意性，所以有dt ex X P xt ⎰∞--∞→=⎪⎭⎫⎝⎛<-2221lim πλλλλ成立.我们来看泊松分布的正态逼近. 定理2.3.3[8] 对于任意的,21a a <有,21!lim2122/⎰∑-<<-+∞→=a a x k k dx ek e βαλλπλ其中.,21λλβλλα-=-=a a 其证明见文献[8].由前可知，),(p n B 的正态近似与泊松近似的条件是不同的，当p 的取值特别小时，哪怕n 的值不是太大，用泊松分布来近似二项分布也是可以的.但在这种情况下，用正态近似却是不合理的.我们可以想象，若p 值很小，但n 的值也不是太大，则np =λ的值概率论中几种具有可加性的分布及其关系肯定不会很大，而由定理2.3.1，我们可知，此时正态分布就不可能很好的进行泊松近似.2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布之间的关系 首先来看正态分布与柯西分布的关系.定理 2.4.1 设).1,0(~),1,0(~N Y N X 且X 与Y 独立同分布，记Y X Z /=,则)1,0(~N Z .证明 易知Z 的取值范围是),(+∞-∞，所以对于),(+∞-∞∈z ，我们利用商的公式，可以得到⎰⎰∞+∞+∞-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-==0222)1(exp 1)()()(dt z t t dt t t p zt p z p Y X Z π .)1(12z +=π 这正是1,0==μλ时的柯西分布的密度函数，所以结论得证！正态分布与卡方分布的关系如下：定理2.4.2 若随机变量),1,0(~N X 则).1(~22χX定理证明见文献[10].这说明了标准正态分布与自由度为1的卡方分布之间的关系.若().,2,1,1,0~n i N X i ⋅⋅⋅=且i X 彼此独立，记222212nX X X +⋅⋅⋅++=χ，根据卡方分布的定义，我们知2χ服从自由度为n 的卡方分布.对于伽玛分布，当其参数21,2==λαn 时即为自由度为n 的卡方分布，记为).()21,2(2n n Ga χ=3 小结文章第一部分我们讨论了六种具有可加性的分布以及它们的简单性质，上述分布的可加性均可利用卷积公式或者特征函数进行证明.正态分布是概率论中最重要的分布，一般地，如果某个数量指标受到大量随机因素影响，而每一因素起的作用很小，则这个数量指标就近似服从正态分布.在第二部分里研究了二项分布、正态分布与泊松分布的关系，从此处我们可以知道二项分布不仅可以用泊松分布近似，同样也可由正态分布来近似. 参考文献[1] 罗建华.卷积公式的应用注记[J].中南林业科技大学学报，2007年，第27卷，第1期：152页. [2] 李贤平，沈崇生，陈子毅.概率论与数理统计[M].上海：复旦大学出版社，2003.5：221-231. [3]唐玲，徐怀.复合泊松分布和泊松过程的可加性[J].安徽建筑工业学院学报，2007.05：83页. [4] 郭彦.对柯西分布性质的进一步讨论[J].淮阴工学院学报，2005.05：12页.[5] 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.7:155-160; [6] 王梓坤.概率论基础及应用[M].北京：北京师范大学出版社，1996.3:61-64. [7] 宋立新.概率论与数理统计[M].北京：人民大学出版社，2003.9:176-177.[8]于洋.浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系[J].《企业科技与发展》，2008 年第20期：120页.[9]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983.10:208-211.[10]孟凡华.浅谈几种概率分布之间的相互关系[J].信阳农专学报，1992年第3卷第2期:63-65.[11]王淑云.特征函数及其应用[J].邯郸学院学报，2008年第18卷第3期:52-56.。
常见分布的特征函数
常见分布的特征函数特征函数概述特征函数是概率论和数理统计中的常用概念，它是一个复数函数，描述了随机变量的特征信息。
对于一个随机变量X，它的特征函数f(t)定义为：f(t) = E[e^(itX)]，其中i为虚数单位，E为期望运算符。
特征函数不仅对概率密度函数具有很好的描述和表达作用，还可以描述随机变量的各种性质，比如分布、矩和相关系数等。
下面将具体介绍几种常见的分布的特征函数。
1.正态分布正态分布是自然界中多种现象的分布模式，其概率密度函数在数学上也能很好地描述为高斯函数。
其特征函数如下：f(t) = e^(-t^2/2)该特征函数具有良好的解析性质和奇偶性质，能很好地反映正态分布的对称性和峰态。
2.泊松分布泊松分布是描述单位时间内某个随机事件发生次数的概率分布，例如单位时间内打进一个电话亭电话而来的电话数量、在网球场内接到的球的数量等。
其特征函数如下：f(t) = e^(λ(e^(it)-1))其中λ为单位时间内事件发生的平均次数。
3.指数分布指数分布是描述随机事件发生的时间间隔的概率分布，例如寿命、等待时间、顾客到达时间等。
其特征函数如下：f(t) = 1 / (1-it/λ)，其中λ为事件发生的平均速率。
4.卡方分布卡方分布是应用最广泛的概率分布之一，常用于分析样本差异性和偏离程度，例如方差分析、偏度分析、正态性检验等。
其特征函数如下：f(t) = (1-2it)^(-k/2)其中k为自由度。
5. beta分布beta分布是应用广泛的概率分布之一，常用于贝叶斯统计、假设检验、数据挖掘等领域。
其特征函数如下：f(t) = B(a+it,b-it) / B(a,b)其中B(a,b)表示beta函数，a,b为形状参数。
上述几种分布是常见的概率分布，它们的特征函数形式各不相同，但都能很好地反映分布的各种性质和特点，为进一步分析和研究提供了便利。
均匀分布的概率分布函数
均匀分布的概率分布函数1. 引言概率分布函数是描述随机变量的分布规律的数学函数。
均匀分布是概率论和统计学中常见的一种概率分布类型。
在均匀分布中，随机变量在给定范围内的取值是等可能的，没有偏向性，呈现出均匀分布的特征。
本文将就均匀分布的概率分布函数进行全面、详细、完整且深入的探讨。
2. 均匀分布的定义在概率论中，均匀分布是指随机变量在某个区间内以等可能性取得任一取值的概率分布。
均匀分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）为常数，表示在区间内各个取值的概率是相等的。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = 1 / (b - a) (a <= x <= b)其中，a和b分别为分布的左右边界。
3. 均匀分布的性质均匀分布具有以下几个重要的性质：3.1 对称性均匀分布是以区间的中心点为对称点的对称分布。
对于区间[a, b]，随机变量落在区间的左侧和右侧的概率相等。
3.2 期望值对于均匀分布，其期望值等于区间的中心点，可表示为：E(X) = (a + b) / 23.3 方差均匀分布的方差可以通过区间长度的平方除以12来计算，表示为：Var(X) = (b - a)^2 / 123.4 累积分布函数均匀分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）可以表示为：F(x) = (x - a) / (b - a) (a <= x <= b)3.5 生成随机数由于均匀分布的随机变量在给定范围内的取值是等可能的，可以利用均匀分布生成随机数。
通过在区间[a, b]之间选择一个随机数，即可获得服从均匀分布的随机数。
4. 使用均匀分布的场景均匀分布在很多领域中都有广泛的应用，以下是一些常见的使用均匀分布的场景：4.1 随机抽样在概率抽样中，如果样本空间中的每个个体被选中的概率是相等的，那么可以使用均匀分布来生成随机样本。
概率分布中的均匀分布与正态分布
概率分布中的均匀分布与正态分布在我们探索和理解这个充满不确定性的世界时，概率分布就像是一把神奇的钥匙，帮助我们解开许多复杂现象背后的谜题。
在众多概率分布中，均匀分布和正态分布是两个非常重要且具有代表性的类型。
均匀分布，顾名思义，就是在某个范围内，每个值出现的概率是相同的。
想象一下，你有一个长度固定的线段，从 0 到 10 。
在这个线段上，每个点被选中的可能性都一样。
这就好比是随机地在这个线段上扔一个飞镖，无论飞镖落在哪个位置，其概率都是相等的。
均匀分布在实际生活中有不少应用。
比如说，在一个特定时间段内，公交车的到达时间可能是均匀分布的。
假设每 10 分钟会有一辆公交车到达，那么在这 10 分钟内的任何一个时刻，公交车到达的概率都是相同的。
再比如，抽奖活动中的号码选择，如果是完全随机且没有任何偏向性，那么每个号码被抽中的概率也可以看作是均匀分布。
均匀分布的概率密度函数是一个常数。
对于区间a, b 上的均匀分布，概率密度函数 f(x) 就等于 1 ／（b a) ，只要 x 在 a, b 这个区间内，否则 f(x) 就等于 0 。
接下来，我们聊聊正态分布。
正态分布又被称为高斯分布，它的形状就像一个钟形曲线，中间高，两边逐渐降低并且对称。
正态分布在自然界和社会现象中极其常见。
比如说，人们的身高、体重、考试成绩等等，往往都近似地服从正态分布。
为什么会这样呢？这是因为很多因素共同影响着这些变量，当这些因素相互独立并且作用大致相同的时候，最终的结果就会呈现出正态分布的特征。
正态分布有两个重要的参数，均值μ 和标准差σ 。
均值决定了曲线的中心位置，也就是分布的中心；标准差则决定了曲线的宽度和扁平程度。
标准差越小，曲线就越“瘦高”，表示数据更加集中在均值附近；标准差越大，曲线就越“矮胖”，数据的分散程度就越大。
在实际应用中，正态分布的用处非常广泛。
例如，在质量控制中，产品的某个质量指标如果服从正态分布，那么我们可以根据均值和标准差来判断产品是否合格。
概率与统计中的随机变量的分布与参数
概率与统计中的随机变量的分布与参数随机变量在概率与统计中扮演着重要的角色。
为了更好地理解随机变量的特征，我们需要研究它的分布与参数。
本文将介绍概率与统计中的随机变量的分布与参数的概念、常见的分布类型以及参数的估计方法。
一、随机变量的分布与参数随机变量是一个随机试验结果的数值化描述。
根据随机变量的取值类型的不同，可以将随机变量分为离散型和连续型。
对于离散型随机变量，我们可以通过概率分布函数（Probability Mass Function, PMF）来描述其取值的概率分布。
而对于连续型随机变量，则需要使用概率密度函数（Probability Density Function, PDF）来描述取值的概率分布。
每个分布都有其特定的参数。
这些参数可以用来刻画分布的位置、形状和尺度等特征。
对于一些常见的分布，比如正态分布、泊松分布等，它们的参数具有特定的含义，如均值、方差等。
二、常见的分布类型1. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的分布之一，也是许多自然现象和统计推断的基础。
它的形状呈钟形曲线，具有均值μ和方差σ²两个参数。
2. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述固定时间或空间间隔内事件发生的次数。
其概率质量函数由唯一参数λ决定，λ表示单位时间（或单位空间间隔）内事件出现的平均次数。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布用于描述具有固定次数的独立重复实验的概率分布，每次实验的结果只有两种可能。
它由两个参数n和p决定，其中n表示重复实验的次数，p表示每次实验成功的概率。
4. 负二项分布（Negative Binomial Distribution）：负二项分布用于描述具有固定次数的独立重复实验的概率分布，每次实验的结果只有两种可能。
与二项分布不同的是，负二项分布关注的是实验的成功次数，直到达到了指定的失败次数。
概率论-5分布函数、连续型
dF ( x ) (2) 若x是f(x)的连续点 则 的连续点, 是 的连续点 = f ( x) dx
因为: 因为
(4) P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( a < X ≤ b ) = P (a ≤ X < b)
= P ( a < X < b ) = F (b) F (a ) = ∫ f ( x )dx
并不反映X取 值的概率.但这个值 ★密度函数值f(a)并不反映 取a值的概率 但这个值 越大,X取 附近值的概率就越大.也可以说 也可以说,在某点密 越大 取a附近值的概率就越大 也可以说 在某点密 度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度. 度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度. 1 证明 f ( x ) = 1 / 2e 证
a
b p{a < X ≤ b} = ?
请看下节! 请看下节!
总结
一,定义 二,举例
若离散型随机变量X的分布律为
P ( X = x k ) = p k , k = 1, 2 ,
则其分布函数为
F ( x ) = P{ X ≤ x } =
xi ≤ x
∑p
i
作业: 作业:P33
10,11,12. , ,
P( X = C ) = 1
则称这个分布为单点分布或退化分布, 则称这个分布为单点分布或退化分布,它的 分布函数为 0 x < c F ( x) = 1 x ≥ c
向平面上半径为1的圆 内任意投掷一个质点, 的圆D内任意投掷一个质点 例2 向平面上半径为 的圆 内任意投掷一个质点 表示该质点到圆心的距离. 以X表示该质点到圆心的距离 设这个质点落在 中 表示该质点到圆心的距离 设这个质点落在D中 任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比, 任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比 试求X的分布函数 的分布函数. 试求 的分布函数 解 当 x<0时, {X ≤ x} = φ 时 当0≤x≤1, 可得
五个数据分布类型及实例
五个数据分布类型及实例数据分布是指一组数据在取值上或出现频率上的特征分布情况。
常见的数据分布类型有均匀分布、正态分布、偏态分布、离散分布和混合分布。
下面将分别介绍这五种数据分布类型及其实例。
一、均匀分布均匀分布是指在某一区间内，各个数值出现的概率是相同的。
简单来说，就是数据在区间内分布均匀。
实例：投掷一枚均匀的六面骰子，每个面的概率都是1/6，这就是一个典型的均匀分布。
又如在一定时间内，每小时降雨量在0到10毫米之间的概率相同，也可以看做是均匀分布。
二、正态分布正态分布又称高斯分布，是一种连续概率分布，其特点是数据以均值为中心对称分布，呈现出“钟形”曲线。
实例：人类的身高、体重、智力分数等很多生物学特征都大致呈正态分布。
例如，当我们测量一群成年人的身高，结果通常会呈现出正态分布的特征。
三、偏态分布偏态分布是指数据分布的偏度非零，即数据分布呈现不对称的情况。
偏度可以分为正偏或负偏。
实例：股票市场的收益率通常呈现正偏态分布，即大幅上涨的收益率比大幅下跌的概率要大。
又如成年人的收入分布通常是右偏的，表现为一小部分人收入非常高，大部分人的收入比较低。
四、离散分布离散分布是指数值间有间隔或跳跃的特点。
离散分布通常用于描述事件发生的次数或概率。
实例：投掷一枚硬币，正面朝上的次数就是一个二项分布。
再如掷骰子的点数也是一个离散分布。
又如周内购买食品的次数等离散数据分布。
五、混合分布混合分布是指由两种或多种分布组合而成的复合分布。
混合分布可以同时具有两种或多种不同的特征。
实例：在生活中，人的年龄可以看做是混合分布。
正常情况下，人的年龄呈现正态分布，但是在一些特定情况下，例如幼儿园班级的年龄分布肯定是不同于正态分布的。
总结来说，不同的数据分布类型反映了现实世界中不同的概率分布情况。
通过对数据的分布类型进行分析，可以更好地理解和描述数据的特征，为后续的分析和决策提供帮助。
因此，对于数据分布类型的学习和掌握是数据分析的基础，也是数据科学领域中不可或缺的一部分。
概率分布的特征值
2 二项分布的数学期望值和方差
若X～B(n,p)
P( X k ) Cnk pk qnk
E( X ) Cnk pk qnk np( p q)n1 np
D( X ) E( X 2 ) E( X )2
k 2Cnk pk qnk n2 p2
npq
3
设X服从正态分布，其概率密度为
统计学
概率分布的特征值
一、数学期望值及其性质
教学资源
1 离散型随机变量的数学期望
设X是离散型随机变量，X取x1，x2…xk…，相应的概率 为p1，p2…pk，…，若级数∑xipi绝对收敛，则称级数 ∑xkpk为随机变量X的数学期望，记为 E (X)=∑xkpk
数学期望简称期望或均值。 由定义可知，数学期望被看作是随机变量的可能取值与
E(X1±X2±…±Xn)=E(X1)±E(X2)±…± X(Xn)
对于n个相互独立的随机变量X1，X2，…， Xn，有 E(X1，X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)
概率分布的特征值
二、方差及其性质
教学资源
1 方差的定义
设X是一个随机变量，E 若X E(X )2
存
在，则称其为X的方差，记作D(X)或
其相应的概率作为权数的一个加权平均数。
2 连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量X的概率密度为 f（X），
若积分
xf (x)dx
绝对收敛，则随机变量X的
数学期望E(XE)(为X )
xf (x)dx
这就是说，连续型随机变量X的期望是它的概率密度f（x） 与实数x的乘积在无穷区间（-∞，+∞）上的广义积分。
f (x)
1
1( x )2
e 2 , 0,
各种概率分布介绍
一、引言Bayes统计起源于英国学者托马斯.贝叶斯（Thomas Bayes,1702～1761）死后发表的一篇论文“论有关机遇问题的求解”。
在此论文中他提出了著名的贝叶斯公式和一些归纳推理方法，随后拉普拉斯（Laplace,P。
C.1749～1827）不仅重新发现了贝叶斯定理，阐述的远比贝叶斯更为清晰，而且还用它来解决天体力学、医学统计以及法学问题。
之后虽有一些研究和应用但由于其理论尚不完整,应用中出现一些问题,致使贝叶斯方法长期未被接受。
直到二战后，瓦尔德(Wald,A.1902～1950）提出统计决策函数论后又引起很多人对贝叶斯研究方法的兴趣.因为在这个理论中,贝叶斯解被认为是一种最优决策函数。
在Savage,L.J.（1954）、Jeffreys,H.（1961)、Good，I。
J(1950）、Lindley，D.V(1961）、Box,G。
E.P.&Tiao,G.C。
(1973)、Berger,J。
O。
(1985)等贝叶斯学者的努力下，对贝叶斯方法在观点、方法和理论上不断的完善.另外在这段时期贝叶斯方法在工业、经济、管理等领域内获得一批无可非议的成功应用。
贝叶斯统计的研究论文与著作愈来愈多，贝叶斯统计的国际会议经常举行.如今贝叶斯统计已趋成熟，贝叶斯学派已发展成为一个有影响的学派，开始打破了经典统计学一统天下的局面。
贝叶斯统计是在与经典统计的争论中发展起来的，现已成为统计学中不可缺少的一部分.贝叶斯统计与经典统计的主要区别就是是否利用先验信息。
贝叶斯统计重视已出现的样本观测值,对尚未发生的样本观测值不予考虑。
近几年来对贝叶斯统计的广泛应用，使得贝叶斯统计在可靠性问题中起到越来越重要的作用。
尤其是对产品的失效率以及产品寿命的检验中，更是离不开贝叶斯统计。
本文主要是探索串联系统和并联系统的可靠性，以及可靠性增长模型的Bayes 估计,这些都表现出了Bayes统计在可靠性中的广泛应用。
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常用的概率分布类型及其特征
3．1 二点分布和均匀分布
1、两点分布
许多随机事件只有两个结果。
如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。
描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。
它服从的分布称两点分布。
其概率分布为：
其中 Pk=P〔*=*k〕，表示*取*k值的概率：
0≤P≤1。
*的期望 E〔*〕=P
*的方差 D〔*〕=P〔1—P〕
2、均匀分布
如果连续随机变量*的概率密度函数f〔*〕在有限的区间[a，b]上等于一个常数，则*服从的分布为均匀分布。
其概率分布为：
*的期望 E〔*〕=〔a+b〕/2
*的方差 D〔*〕=〔b-a〕2/12
3．2 抽样检验中应用的分布
3．2．1 超几何分布
假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n 件作为被检样品，样品中的不合格数*服从的分布称超几何分布。
*的分布概率为：
*=0，1，……
*的期望 E〔*〕=nd/N
*的方差 D〔*〕=〔〔nd/N〕〔〔N-d〕/N〕〔〔N-n〕/N〕〕〔1/2〕3．2．2 二项分布
超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。
二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。
假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数*服从的分布为二项分布。
*的概率分布为：
0<p<1
*=0，1，……，n
*的期望 E〔*〕=np
*的方差 D〔*〕=np〔1-p〕
3．2．3 泊松分布
泊松分布比二项分布更重要。
我们从产品受冲击〔指瞬时高电压、高环境应力、高负载应力等〕而失效的事实引入泊松分布。
假设产品只有经过一定的冲击次数后，产品才失效，又设这些冲击满足三个条件：
〔1〕、两个不相重叠的时间间隔产品所受冲击次数相互独立；
〔2〕、在充分小的时间间隔发生两次或更屡次冲击的时机可忽略不计；
〔3〕、在单位时间发生冲击的平均次数λ〔λ＞0〕不随时间变化，即在时间间隔Δt平均发生λΔt次冲击，它和Δt 的起点无关。
则在[0，t]时间发生冲击的次数*服从泊松分布，其分布概率为：
*的期望 E〔*〕=λt
*的方差 D〔*〕=λt
假设仪表受到n次冲击即发生故障，则仪表在[0，t]时间的可靠度为：其中：* =0，1，2，……，λ＞0，t＞0。
3．2．4 *2分布
本分布是可靠性工程中最常用的分布之一，虽然其概率密度形式较复杂，但可由标准正态分布推出。
设有v个相互独立的随机变量*1，*2，…… *v，它们服从于标准正态分布N 〔0，1〕。
记*2 =*12 + *22 +…*v2 ，*2读作"卡方〞则*2服从的分布称为*2分布。
它的概率密度函数为：
该式称为随机变量*2服从自由度为V的*分布。
式中：V—为自由度，是个自然数
*2分布最重要的性质是：
当m为整数时：
3．3 产品的寿命分布
3．3．1 指数分布
指数分布是电子产品在可靠性工程学中最重要的分布。
通常情况下，电子产品在剔除了早期故障后，到发生元器件或材料的老化变质之前的随机失效阶段其寿命服从指数分布规律。
指数分布是唯一的失效率不随时间变化而变化的连续随机变量的概率分布。
容易推
出：
指数分布有如下三个特点：
1．平均寿命和失效率互为倒数；
MTBF=1/λ
2．特征寿命就是平均寿命；
3．指数分布具有无记忆性。
〔即产品以前的工作时间对以后的可能工作时间没有影响〕
3．3．2 威布尔分布
从上面的描述可知，指数分布只适用于浴盆曲线的底部，但任何产品都有早期故障，也总有耗损失效期。
在可靠性工程学中用威布尔分布来描述产品在整个寿命期的分布情况。
将指数分布中的〔-λt〕替换为〔-〔t/η〕m〕，就得到威布尔分布。
容易得到：
3．3．3 正态分布与对数正态分布
正态分布又称为常态分布或高斯分布。
它的概率密度函数为：
式中：-∞＜*＜∞
分布函数记为：
对数正态分布是指：假设寿命T的对数lnT服从正态分布N〔u，σ〕，则T 服从对数正态分布。
它的概率密度函数为：
式中：t，σ为正数，μ和σ分别称为对数正态分布的"对数均值〞和"对数标准差〞。
3．4 为进展统计推断所构造的分布
3．4．1 t分布〔学生氏分布〕
t—分布常用于区间估计、正态总体的假设检验以及机械概率设计之中。
服从
t—分布的随机变量记住t。
它是服从标准正态分布N〔0，1〕的随机变量U和服从自由度为v的*2分布的随机变量*2〔v〕的函数。
它的概率密度函数f〔t〕为：
3．4．2 F—分布 F分布主要用于两个总体的假设检验与方差分析。
服从F分布的随机变量F 是两个相互独立的*2分布随机变量*2〔v1〕和*2〔v2〕的函数：
式中：F只能取正值。
F分布的概率密度函数为：
另外还有β—分布等。
中位秩是β—分布的中位数，一般用下式求出：
中位秩值≈〔i-0.3〕/(n+0.4)
式中：n为样本总数。