2018高考文科数学分类汇编-概率与统计
【最新】高中数学-2018高考数学(文科)习题 第十一章 概率与统计 11-1-2 word版含答案
1．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现在从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A．0.4 B．0.6C．0.8 D．1答案 B解析设5件产品中合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，则从5件产品中任取2件的所有基本事件为：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个，其中恰有一件次品的所有基本事件为：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6个．故所求的概率为P＝610＝0.6.2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45答案 B解析设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．故满足条件的概率P＝410＝25.故选B.3．有一个奇数列，1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )A.110B.310C.15D.35答案 B解析将数列1,3,5,7,9…记为{a n}，则前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，故第十组中第一个数字为a46＝2×46－1＝91，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P ＝310. 4．甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A. 136B. 19C. 536D. 16 答案 D解析 最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P ＝636＝16，所以选D. 5．从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.45B.1625C.1325D.25答案 D解析 从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，总的情况为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共20种情况．两张卡片上的数字之和为偶数的有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(5,3)共8种情况．∴从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字之和为偶数的概率P ＝820＝25.故选D. 6．从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．答案 25解析 基本事件总数有10个，即(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，其中含a 的基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，共4个，故由古典概型知所求事件的概率P ＝410＝25.7.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．答案 13解析 从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数，不同的取法为{1,2}，{1,3}，{1,6}，{2,3}，{2,6}，{3,6}共6个基本事件，其中乘积为6的有{1,6}，{2,3}两个基本事件，因此所求事件的概率为P ＝26＝13. 8．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．答案 13解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13.。
高考数学总复习——真题试题及解答分类汇编之概率、统计、统计案例、推理与证明
第 1 页共 1 页高考数学总复习——真题试题及解答分类汇编之概率、统计、统计案例、推理与证明一、选择题1．（2018全国新课标Ⅰ文、理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半1。
答案：A解答：由图可得，A 选项，设建设前经济收入为，种植收入为.建设后经济收入则为2，种植收入则为，种植收入较之前增加．另解：假设建设前收入为，则建设后收入为，所以种植收入在新农村建设前为%，新农村建设后为；其他收入在新农村建设前为，新农村建设后为，养殖收入在新农村建设前为，新农村建设后为故不正确的是 A.2．（2018全国新课标Ⅱ文）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A ．B ．C ．D ．2．【答案】D【解析】设2名男同学为，，3名女同学为，，，从以上5名同学中任选2人总共有，，，，，，，，，共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共，，三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D ．3．（2018全国新课标Ⅲ文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7x 0.6x x 0.3720.74x x a 2a 60a 37%2a 4%a 5%2a 30%a 30%2a0.60.50.40.31A 2A 1B 2B 3B 12A A 11A B 12A B 13A B 21A B 22A B 23A B 12B B 13B B 23B B 12B B 13B B 23B B 30.310P。
(完整版)2018年高考统计与概率专题
2018年高考统计与概率专题（全国卷1文）2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位:kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2,…,x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…,x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差,故选B（全国卷1理）2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π4【考点】:几何概型【思路】：几何概型的面积问题，=P 基本事件所包含的面积总面积.【解析】：()21212=82r S P S r ππ==，故而选B 。
(全国卷2理）6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种（全国卷2文）6。
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90πB 。
63πC 。
42π D.36π【答案】B【解析】由题意,该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱,故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B 。
（天津卷)文（3）有5支彩笔（除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(A）45(B)35(C）25（D）15（全国卷2文）11.从分别写有1，2，3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C。
高三数学-2018年高考数学全国统一考试概率统计分类解析 精品
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学分类解析—概率统计一．选择题：1. (安徽理)（10）．设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示。
则有（ A ） A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>2.（福建理）(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 （B ）A.16625 B.96625 C.192625D.2566253. （福建文）(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 （C ）A.12125 B.16125 C.48125 D.961254. （广东理）（3）．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ） A ．24 B ．18 C ．16 D ．125.（湖南理） 4.设随机变量ζ服从正态分布N (2,9) ,若P (ζ＞c+1)=P (ζ＜c －)1,则c =(B)A.1B.2C.3D.46. （江西文）（11）．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 （C ）A ．1180 B ．1288 C ．1360D ．14807. （辽宁理文）（7）.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( C ) A.13 B.12 C.23 D.348.（山东理）（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（B ） （A ）511（B ）681 （C ）3061（D ）40819.（山东理） (8)右图是根据《山东统计年整2018》中的资料作成的1997年至2018年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2018年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（B ）（A ）318.6 （B ）318.6 (C)318.6 (D)301.6 10.（山东文）9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ B ）AB C ．3D ．8510.（陕西文）（3）．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ） A ．30 B ．25 C ．20 D ．15 11.（重庆理）(5)已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（D ）(A)15(B)14(C)13(D)1212. （重庆文）(5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（D ）(A)简单随机抽样法(B)抽签法7420136203851192(C)随机数表法 (D)分层抽样法13．（重庆文）(9)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 （B ）(A)184(B)121(C)25(D)35二．填空题：1.（广东文） （11）.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85， [)85,95由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是 13 .2.（海南宁夏理文）（16）．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 318 318 318 318 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 318 318 318 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ① ；3 127 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 79 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 734 3 2 35 6甲乙② ．以下任填两个：（1）．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）． （2）．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）． （3）．甲品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ． （4）．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．3. （湖北文）11.一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 10 . 4．（湖北文）14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 0.98 .5. （湖南理）15.对有n (n ≥4)个元素的总体｛1,2,3,…,n ｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1,2,…，m ｝和｛m +1、m +2,…，n ｝(m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用P i j 表示元素i 和f 同时出现在样本中的概率，则P 1m =4()m n m -;所有P if (1≤i ＜j ≤)n 的和等于 6 .6. （湖南文）（12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多____60____人。
2018届高三文科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版
2018届高三文科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版【简介】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类古典概型概率的计算方法，另外近几年对于变量间的相关关系与统计案例的考察也时常出现，这部分也要做复习的重点.【3年高考试题比较】从近几年的高考命题来看，高考对概率的考查，一般以实际生活题材为背景，以应用题的形式出现.主要考查图表信息的整理及分析，古典概型和统计的相关知识，以回归直线方程和独立性检验为主.概率应用题侧重于古典概型，主要考查随机事件、等可能事件、互斥事件、对立事件的概率.解决简单的古典概型试题可用直接法(定义法)，对于较为复杂的事件的概率，可以利用所求事件的性质将其转化为互斥事件或其对立事件的概率求解.解决古典概型问题的关键在于确定基本事件.回归直线方程以线性为主，对于非线性的往往通过换元得到线性关系，并会利用应用回归方程作出估计，独立性检验以利用2列联表计算K 2为主. 概率统计的试题在高考中文字较大，信息量较大，需要认真阅读，理解题意.【必备基础知识融合】1．概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A 的对立事件A 的概率，然后利用P (A )＝1－P (A )可得解；(2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A 中的基本事件，利用公式P (A )＝m n求出事件A 的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A 所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件． 2．统计问题(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，考点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；(4)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.①在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. ②在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. ③如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. （5）线性回归方程①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x＋a ^，则b ^＝1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yx x xnx ====---=--∑∑∑∑，a ^=y ^-b ^x .其中，b ^是回归方程的斜率,a ^是在y 轴上的截距. 回归直线一定过样本点的中心（x ，y ）.③.残差分析：残差：对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1，2，…，n ，其估计值为e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，i ＝1，2，…，n .e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差.⑤相关指数：R 2＝1－2121()()niii nii y y y y ==--∑∑.其中21()niii y y =-∑是残差平方和，其值越小，则R 2越大(接近1)，模型的拟合效果越好. （6）.独立性检验①利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.②列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为计则随机变量K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量.【解题方法规律技巧】典例1：我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，……，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数.(3)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.又前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【规律方法】(1)准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率和条形图混淆.(2)“命题角度二”的例题中抓住频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，并利用频率分布直方图可以估计总体分布.（3）利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：(1)最高的矩形的中点横坐标即众数；(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.典例2：某企业有甲、乙两个研发小组.为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b －)，(a ，b )，(a －，b )，(a －，b －)，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a －，b －)，(a ，b －)(a ，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b ).其中a ，a －分别表示甲组研发成功和失败；b ，b －分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.(2)记E ＝{恰有一组研发成功}.在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b )，共7个.因此事件E 发生的频率为715.用频率估计概率，即得所求概率为P (E )＝715.【规律方法】(1)平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均数的波动大小.进行平均数与方差的计算，关键是正确运用公式.(2)平均数与方差所反映的情况有着重要的实际意义，一般可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种可以做出评价或选择.典例3：随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑ni ＝1t i y i －nt －y －∑n i ＝1t 2i －nt －2，a ^＝y －－b ^t －.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)． 【规律方法】(1)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数r 进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． (2)正确运用计算b ^，a ^的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键，并充分利用回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －，y －)进行求值．典例4：微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23是青年人．(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表；(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）【规律方法】(1)在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．(2)解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．独立性检验的一般步骤：①根据样本数据制成2×2列联表：②根据公式K2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）计算K2的观测值k0；③比较k0与临界值的大小关系，作统计推断．典例5： 某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.【规律方法】1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率.(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.典例6：某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.【规律方法】(1)①求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.②结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误.(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A －)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.典例7：某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由. 解 (1)依题意，所有可能的摸出的结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}.(2)不正确.理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为P 1＝412＝13，不中奖的概率为P 2＝1－P 1＝23.由于P 1＝13＜P 2＝23.故这种说法不正确.【规律方法】(1)求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.(2)本题常见的错误：①理解不清题意，不能把基本事件列举出来；②不能恰当分类，列举基本事件有遗漏，再者本题中基本事件(x ，y)看成有序的，(1，2)与(2，1)等表示不同的基本事件.典例8：空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染.一环保人士记录了某地2016年某月10天的AQI 的茎叶图如图所示. (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数(按这个月总共30天计算)；(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI ＞100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.【规律方法】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.典例9：菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x （单位：千克）清洗蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y （单位：微克）的统计表：（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x 与y 是正相关还是负相关；（2）若用解析式2y cx d ∧=+作为蔬菜农药残量y ∧与用水量x 的回归方程，令2w x =，计算平均值w 与y ，完成以下表格（填在答题卡中），求出y ∧与x 的回归方程.（,c d 保留两位有效数字）；（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据2.236≈）（附：对于一组数据()()()1122,,,,......,,n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()()121,niii nii u u v v v u u u βαβ∧∧∧==--==--∑∑）【答案】（1）负相关（2）22.060y x ∧=-+（3）需要4.5千克的清水解析：（1）负相关.（含散点图） （2）11,38w y ==()()()()()()()222221020716215914287512.03741072514c -⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-==-≈-+-+-++ 2751381160, 2.060 2.060374d y cw y w x ∧⎛⎫=-=--⨯≈=-+=-+ ⎪⎝⎭. （3）当20y ∧<时， 22.06020, 4.5x x -+≈∴为了放心食用该蔬菜，估计需要4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.【规律总结】(1)回归直线y ＝bx ＋a 必过样本点的中心(x ，y )．(2)正确运用计算b ，a 的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．(3)分析两变量的相关关系，可由散点图作出判断，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．（4）分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱. 典例10：已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(x ，y ).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，求满足a ·b <0的概率.解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a ·b ＝－1， 得－2x ＋y ＝－1，∴a ·b ＝－1包含的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3种情形.故P (a ·b ＝ －1)＝336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6，1≤y ≤6}；满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6，1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，正方形的面积为S 正方形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.【规律总结】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.几何概型：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．【归纳常用万能模板】1.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．审题路线图利用分层抽样的特征确定各层的抽样比→求出样品中各层的数量→列举基本事件空间→利用古典概型公式求解评分细则(1)各层抽样数量每个算对给1分；(2)没有列举基本事件只求对基本事件个数给1分；(3)求对样本事件个数而没有列出的给1分；(4)最后没下结论的扣1分．2.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率.满分解答(1)解因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.3分(2)解由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4. 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.5分(3)解受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，8分从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}.11分又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝110.12分❶抓住关键，准确计算(1)得关键分：如第(1)问中，正确求得a＝0.006；第(3)问中列出10个基本事件，错写或多写，少写均不得分.(2)得转化计算分：如第(1)问，第(2)问中的计算要正确，否则不得分；第(3)问中利用“频数、样本容量、频率之间的关系”求得各区间的人数，转化为古典概型的概率.❷步骤规范，防止失误抓住得分点的步骤，“步步为赢”求得满分，本题的易失分点：(1)不能利用频率分布直方图的频率求出a值；(2)求错评分落在[50，60)，[40，50)间的人数；(3)没有指出“基本事件总数”与“事件M”包含的基本事件个数，或者只指出事件个数，没有一一列举10个基本事件及事件M包含的基本事件，导致扣3分或2分.第一步：由各矩形的面积之和等于1，求a的值.第二步：由样本频率分布估计概率.第三步：设出字母，列出基本事件总数及所求事件M所包含的基本事件.第四步：利用古典概型概率公式计算.第五步：反思回顾，查看关键点，易错点和答题规范.【易错易混温馨提醒】一、样本的数字特征的计算1．随着雾霾的日益严重，中国部分省份已经实施了“煤改气”的计划来改善空气质量指数.2017年支撑我国天然气市场消费增长的主要资源是国产常规气和进口天然气，资源每年的增量不足以支撑天然气市场连续300亿立方米的年增量.进口LNG和进口管道气受到接收站、管道能力和进口气价资源的制约.未来，国产常规气产能释放的红利将会逐步减弱，产量增量将维持在80亿方以内.为了测定某市是否符合实施煤改气计划的标准，某监测站点于2016年8月某日起连续200天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：（1）根据上图完成下列表格（2）计算这200天中，该市空气质量指数的平均数；（3）若按照分层抽样的方法，从空气质量指数在101~150以及151~200的等级中抽取7天进行调研，再从这7天中任取2天进行空气颗粒物分析，求恰有1天空气质量指数在101~150上的概率.【答案】（1）见解析（2）95（3）1021 P=【解析】试题分析：（1）根据题意给出的数列，即可求得所求表格数据，进而完成图表；（2）依题意，利用平均数的计算公式，即可求解数列的平均数.（3）依题意，从空气质量指数在101~150以及151~200的天数为5，记为,,,,a b c d e，空气质量指数在151~200的天数为2，记为1，2，列出基本事件的个数，根据古典概型，即可求解相应的概率值.试题解析：解：（1）所求表格数据如下：（2）依题意，故所求平均数为250.2750.41250.251750.12250.0595⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2.为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在[]194,196内，则称这个轮胎是标准轮胎.（i）若从甲乙提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率P；（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？【答案】（1）x=甲()195mm.x乙()194mm=.（2）（i）35P=.（ii）见解析.【解析】试题分析：（1）利用折线图能求出甲厂这批轮胎宽度的平均值和乙厂这批轮胎宽度的平均值．（2））①从甲厂提供的10个轮胎中有6个轮胎是标准轮胎，从中随机选取1个，能求出所选的轮胎是标准轮胎的概率．②甲厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，乙厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，求出两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，从而乙厂的轮胎相对更好．3.为了调查观众对某热播电视剧的喜爱程度，某电视台在甲、乙两地各随机抽取了8名观众作问卷调查，得分统计结果如图所示：（1）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷的平均得分；（2）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷得分的方差；（3）若从甲地被抽取的8名观众中再邀请2名进行深入调研，求这2名观众中恰有1人的问卷调查成绩在90分以上的概率.【答案】（1）85,85 (2)35.5，41（3）123287 P==（3）依题意，所有的事件的可能性为()()()78,79,78,81,78,82, ()()()78,84,78,88,78,93,()()()78,95,79,81,79,82,()()()79,84,79,88,79,93,()()()79,95,81,82,81,84,()()()81,88,81,93,81,95,()()()82,84,82,88,82,93,()()()82,95,84,88,84,93,()84,95,()()()88,93,88,95,93,95，共28种，其中满足条件的为()()()78,93,78,95,79,93, ()()()79,95,81,93,81,95, ()()()82,93,82,95,84,93, ()()()84,95,88,93,88,95，共12种，故所求概率123287P ==. 二、图表数据的处理4.“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%）.（Ⅰ）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；（Ⅱ）从2012-2016五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率； （Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明） 【答案】(Ⅰ)35；(Ⅱ) 910；(Ⅲ)2014年.试题解析：（Ⅰ）设城镇居民收入实际增速大于7%为事件A ，由图可知，这五年中有2012,2013,2014这三年城镇居民收入实际增速大于7%，所以P (A )=35. （Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B ，这五年中任选两年，有(2012,2013)，(2012,2014)，(2012,2015)，(2012,2016)，(2013,2014)，(2013,2015)，(2013,2016)，(2014,2015)，(2014,2016)，(2015,2016)共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以P (B )=910. （Ⅲ）从2014开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大. 三、非线性回归方程转化为线性回归方程5.已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度x （单位：℃），对某种鸡的时段产蛋量y （单位： t ）和时段投入成本z （单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度i x 和产蛋量()1,2,,7i y i =⋅⋅⋅的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．。
2018届高考数学文新课标二轮专题复习课件：2-4 概率与统计、推理与证明 精品
【答案】
1 4
【回顾】 首先判断问题的基本事件是古典概率还是几何 概率．对几何概率选择变量个数，找到变量的关系建立相应的 等式与解析式，画出对应的区域，然后求出相关事件的概率； 其中设计变量个数与寻找关系是难点．
[体积型]
(2016·商丘模拟)在棱长为2的正方体内部随机取一点，则该
点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为( )
种，A方格数字比B方格数字大的基本事件有1＋2＋3＝6种，所
以填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为P＝
6 16
＝
3 8
，故选
D.
【答案】 D
【回顾】 古典概型问题的求解技巧： (1)直接列举：涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事 件发生的所有结果逐一列举出来，然后进行求解； (2)画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容 易出错，通过画树状图，列举过程更具有直观性、条理性，使 列举结果不重、不漏；
【审题】 将实际问题，设其中两段的长度分别为x与y， 则第三段的长度为10－x－y转化为线性规划的概率问题．
【解析】 设其中两段的长度分别为x与y，则第三段的长度为
10－x－y，显然有 00<<xy<<1100，，
也就是 00<<xy<<1100，，
把
0<10－x－y<10，
0<x＋y<10，
(x，y)看作平面上的直角坐标系中的点，则区
域Ω可以用图中的大三角形表示出来．为了使
分成的三段能构成三角形，必须满足三角形任
意两边之和大于第三边，所以有：
xx＋＋y（>1100－－xx－－yy），>y， y＋（10－x－y）>x，
2018高考数学(文)分类汇编概率及其计算 Word版含解析【 高考】
第十二章 概率与统计 第一节 概率及其计算题型136 古典概型2013年1. （2013江西文4）集合{}2,3A =，{}1,2,3B =，,从,A B 中各取任意一个数，则这两数之和等于的概率是（ ）.A ．23 B. 12C. 13 D.162. (2013安徽文5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）.A.23B.25C. 35D. 9103.（2013江苏7）现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，（7m …，9n …）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为.4.（2013浙江文12） 从三男三女名学生中任选名（每名同学被选中的概率均相等），则 名都是女同学的概率等于_________.5. (2013重庆文13）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为. 6．（2013江西文18）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O 为起点，再从123456,,,,,A A A A A A （如图）这个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X ，若0X >就去打球，若0X =就去唱歌，若0X <就去下棋.（1）写出数量积X 的所有可能取值 （2）分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率7.（2013山东文17）某小组共有A B C D E ，，，，五位同学，它们的身高（单位：米）及体重指标（单位：2千克/米）如下表所示：（1 （2）从该小组同学中任选人，求选到的人的身高都在1.70以上且体重指标都在[)18.523.9，中的概率．8. (2013天津文15）某产品的三个质量指标分别为x y z ，，， 用综合指标S x y z =++评价该产品的等级. 若4S …， 则该产品为一等品. 现从一批该产品中， 随机抽取10件产品作为样本，（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）在该样品的一等品中， 随机抽取件产品， (i) 用产品编号列出所有可能的结果；(ii) 设事件B 为“在取出的件产品中， 每件产品的综合指标S 都等于”， 求事件B 发生的概率.9.(2013陕西文19）有位歌手（至号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌（1）为了调查评委对位歌手的支持状况，，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组中抽取了人（2）在（1）中，若A B ，两组被抽到的评委中各有人支持号歌手， 现从这两组被抽到的评委中分别任选人，求这人都支持号歌手的概率.10.（2013辽宁文19）现有道题，其中道甲类题，道乙类题，张同学从中任取道题解答.试求： （1）所取的道题都是甲类题的概率； （2）所取的道题不是同一类题的概率.2014年1.（2014江西文3）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为的概率等于（ ）A.118 B.19 C.16 D.1122.（2014陕西文6）从正方形四个顶点及其中心这个点中，任取个点，则这个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）. A.15 B.25 C. 35 D. 453.（2014大纲文7）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）.A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种4.（2014湖北文5）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过的概率记为1p ，点数之和大于的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则（ ）. A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p <<D ．312p p p <<5.（2014新课标Ⅱ文13）甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝种颜色的运动服中选择种，则他们选择相同颜色运动服的概率为.6.（2014浙江文14）在张奖券中有一、二等奖各张，另张无奖，甲、乙两人各抽取张，两人都中奖的概率是______________.7.（2014新课标Ⅰ文13）将2本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为.8. （2014广东文12）从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取到字母的概率为________. 9.（2014江苏4）从1236，，，这个数中一次随机地取个数，则所取个数的乘积为的概率 是．10.（2014陕西文19）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示：（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.11. （2014山东文16）海关对同时从,,A B C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.（1）求这件样品中来自,,A B C 各地区商品的数量；（2）若在这件样品中随机抽取件送往甲机构进行进一步检测，求这件商品来自相同地区的概率. 12.（2014福建文20）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035-4085元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如表所示：（1）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.13.（2014湖南文17）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：()()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b ，，，，，，，，，，，，，，，， ()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b ，，，，，，，，，，，，，. 其中a a ，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败. （1）若某组成功研发一种新产品，则给该组记分，否则记分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率. 14.（2014天津文15）某校夏令营有名男同学,,A B C 和名女同学,,X Y Z ，其年级情况如表所现从这名同学中随机选出人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） （1）用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M 为事件“选出的人来自不同年级且恰有名男同学和名女同学”，求事件M 发生的概率.15.（2014四川文16）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，. （1）求“抽取的卡片上的数字满足a b c+=”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率.2015年1.（2015广东文7）已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（）.A．0.4B．0.6C．0.8D．1. 解析件产品中有件次品，分别记为，，有件合格品，分别记为，d，，则从这件产品中任取件，其基本事件有：(),a b，(),a c，(),a d，(),a e，(),b c，(),b d，(),b e，(),c d，(),c e，(),d e，共10种.其中恰有一件次品的基本事件，有种，设事件A为“恰有一件次品”，则()60.6 10P A==. 故选B．评注本题考查古典概型．2.（2015全国Ⅰ文4）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）.A.310B. C.110D.1202.解析由211=，222224,39,416,525====，可知只有()3,4,5是一组勾股数. 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，其基本事件有：()()()1,2,3,1,2,4,1,2,5，()()()1,3,4,1,3,5,1,4,5，()()()()2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，共10种.则从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率110P=.故选C.3. （2015北京文17）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？3. 解析 （1）依题意，顾客同时购买乙和丙的概率为200110005=； （2）顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为1002003100010+=；（3）顾客在购买了甲，同时购买乙商品的概率为2001000；顾客在购买了甲，同时购买丙商品的概率为10020030060010001000++=；顾客在购买了甲，同时购买丁商品的概率为1001000.由此，如果顾客购买了甲，该顾客同时购买丙商品的可能性最大.4.（2015湖南文16）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球1A ，2A 和1个白球B 的甲箱与装有2个红球1a ，2a 和2个白 球，2b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖. （1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.4. 解析 （1）所有可能的摸出结果是：{}{}{}{}{}1112111221,,,,,,,,,,A a A a A b A b A a{}{}{}{}{}{}{}2221221212,,,,,,,,,,,,,A a A b A b B a B a B b B b .（2）不正确，理由如下：由（1）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：{}{}{}{}11122122,,,,,,,,A a A a A a A a 共4种，所以中奖的概率为41123=， 不中奖的概率为1211333-=>，故这种说法不正确. 5.（2015山东文16）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表所示：（单位：人）.（1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有名男同学12345A A A A A ，，，，，名女同学123B B B ，，. 现从这名男同学和名女同学中各随机选人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率. 5. 解析 （1）作出满足题中图表的韦恩图，如图所示. 由图可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有453015-=（人），所以从该班随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为151453P ==. （2）从这名男同学和名女同学中各随机选人， 其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B ， {}{}{}{}{}{}414243515253,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共15个.且这些基本事件出现的可能性是均等的.事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共个.因此1A 被选中且1B 未被选中的概率为215P =.6.（2015陕西文19）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：（1）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（2）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.6.解析 (1)在容量为30的样本中，从表格中得，不下雨的天数是26，以频率估计概率，月份任选一天，西安市不下雨的概率是26133015=. (2)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如日与日，日与日等），这样在月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个， 所以晴天的次日不下雨的频率为147168=， 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.7.（2015四川文17）一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客1P ，2P ，3P ，4P ，5P 的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客1P 因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位. （1）若乘客1P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）.（2）若乘客1P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客1P 坐到5号座位的概率. 7. 分析本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识. 解析 （1）余下两种坐法如表所示.（2）若乘客1P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐. 则所有可能坐法如表所示.由表可知，所有可能得坐法共8种.设“乘客5P 坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4. 所以()4182P A ==.故乘客5P 坐到5号座位的概率为12.8.（2015天津文15）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27 ， ，18 ，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为123456,,,,,A A A A A A ，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为5A ，6A 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率. 8.解析（1）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3，1，2； （2）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}16,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}26,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A ，共15种.（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ，{}16,A A ， {}25,A A ，{}26,A A ， {}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A ，共9种，所以事件A 发生的概率()93.155P A ==9.（2015福建文18）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．（1）现从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8内的概率；（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．9. 分析（1）融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”共5家，从中随机抽取2家，写出所有的基本事件，共10种，其中至少有1家的融合指数在[]7,8包含的基本事件数为9个，代入古典概型的概率计算公式即可；（2）每组区间的中点乘该组的频率值再累加，得到这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.解析（1）解法一：融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”分别记为，2A ，3A ； 融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”分别记为，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件有： {}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，21{,}A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，至少有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，21{,}A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，共个．所以所求的概率910P =． 解法二：融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”分别记为，2A ，3A ； 融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”分别记为，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，21{,}A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，没有1家融合指数在[]7,8内的基本事件有：{}12,B B ，共个． 所以所求的概率1911010P =-=． （2）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数为：28734.5 5.5 6.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=． 评注1. 考查古典概型；2. 考查平均值．2016年1.（2016全国丙文5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5,中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）. A.815 B.18 C.115 D.1301. C 解析 前2位共有3515⨯=种可能，其中只有1种是正确的密码，因此所求概率为115P =.故选C.2.（2016北京文6）从甲、乙等名学生中随机选出人，则甲被选中的概率为（ ）. A.15B. 25C. 825D.9252. B. 解析可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2人的方法有： （甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有10种选法，其中只有前4种是甲被选中，所以所求概率为42105=.故选B.3.（2016全国乙文3）为美化环境，从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中，余下的种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）. A. B.12 C. 23D. 3. C 解析 只需考虑分组即可，分组（只考虑第一个花坛中的两种花）情况为（红，黄），（红，白），（红，紫），（黄，白），（黄，紫），（白，紫），共种情况，其中符合题意的情况有4种，因此红色和紫色的花不在同一花坛的概率是23.故选C. 4.（2016江苏7）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.4.56解析将先后两次点数记为(),x y ，则基本事件共有6636⨯=（个）， 其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6，共种，则点数之和小于10共有30种，所以概率为305366=. 5.（2016四川文13）从，，，任取两个不同的数值，分别记为a ，，则log a b 为整数的概率为 .5.16解析 从2，，，中任取两个数记为a ，b 作为对数的底数与真数，共有24A 12=个不同的基本事件，其中为整数的只有2log 8，3log 9两个基本事件，所以其概率21126P ==. 6.（2016上海文11）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为. 6.16解析 假设水果编号分别为1234，，，，则甲的选择可以是 ()()()()()()12131423243,4,,,,,,,,,,，共种，乙的选择也有种，故共有基本事件6636⨯=（个）； 而“甲、乙两同学各自所选的两种水果相同”共有事件个，故所求概率为61366=. 评注此题类似考查甲乙两人抛掷六面的骰子，则正面朝上的数字一样的概率为多少？2017年1.（2017全国2卷文11）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）. A.110 B.15 C.310 D.251.解析 如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数.总计有25种情况，满足条件的有10种，所以所求概率为2255=.故选D. 2.（2017山东卷文16）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家1A ，2A ，3A 和3个欧洲国家1B ，2B ，3B 中选择2个国家去旅游.（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括1A 但不包括1B 的概率. 2.解析 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：()()1213,,,,A A A A ()23,,A A ()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,,A B A B A B ()()()121323,,,,,,B B B B B B 共15个，所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：()()()121323,,,,,A A A A A A ，共3个， 则所求事件的概率为31155P ==. (2) 从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,A B A B A B ，共9个，包括1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：()()1213,,,,A B A B 共2个. 则所求事件的概率为29P =. 3.（2017天津卷文3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）. A.45 B.35 C.25 D.153.解析从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，列举如下：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫），共10个基本事件，其中，取出的2支彩笔中含有红色彩笔的事件有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4个基本事件，所以42105P ==.故选C ． 题型137 几何概型2013年1.(2013湖南文9）已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使APB △的最大边是AB ” 发生的概率为12，则ADAB=（ ）.A.12 B.14 2.（2013湖北文15）在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m …的概率为56，则m =． 3.(2013福建文14）利用计算机产生~之间的均匀随机数，则事件“10a -<3”发生的 概率为.2014年1.（2014湖南文5）在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）. A.45 B. 35 C.25 D.152.（2014辽宁文6）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π3.（2014重庆文15）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_________（用数字作答）.4.（2014福建文13）如图所示，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为.2015年1.（2015福建文8）如图所示，在矩形ABCD 中，点A 在轴上，点B 的坐标为()1,0．且点C 与点D 在函数()1,011,02x x f x x x +⎧⎪=⎨-+<⎪⎩…的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）.A ．16B ．14C ．38D ．121. 解析 设()f x 与轴的交点为.由已知可得()1,0B ，()1,2C ，()2,2D -，()0,1F ， 则矩形ABCD 的面积为236⨯=，阴影部分的面积FCD S =△133122⨯⨯=.所以此点取自阴影部分的概率等于31264=.故选B.2.（2015陕西文12）设复数()()1,z x yi a y =-+∈R ，若1z …，则y x …的概率为（ ） A.3142π+ B. 112π+ C. 1142π- D. 112π- 2.解析()()221i 111z x y z x y =-+⇒=⇒-+.如图所示，可求得()1,1A ，()10B ，， 阴影面积等于211π1π1114242⨯-⨯⨯=-. 若1z …，则y x …的概率为2π11142π142π-=-⨯.故选C.3.（2015湖北文8）在区间[01]，上随机取两个数，，记1p 为事件“12x y …+”的概率，2p 为事件“12xy …”的概率，则（ ）. A ．1212p p << B ．2112p p << C ．2112p p << D ．1212p p <<3.解析123P P P 、、依次为三个图形的面积，观察知，选B.也可作如下的计算： 因为正方形的面积为，所以由图（1）得11111=2228P ⨯⨯=， 由图（2）得111212211111ln 2=1ln 222222P dx xx ⨯+=+=+⎰， 1p ，2p ，三个值比较得1212p p <<.故选D.2016年1.（2016全国甲文8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯维持时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）. A.710 B.58C.38D.3101. B 解析 概率40155408P -==.故选B.2017年1.（2017全国1文4）如图所示，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）. A. 14 B. π8 C. 12 D. π4（修图：黑色鱼中的圆圈是白色）1.解析 不妨设正方形边长为，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为221228a a ⎛⎫⨯π⨯ ⎪π⎝⎭=.故选B.D。
2018年高考备考复习(数学文)专题学案16：概率与统计
专题16 概率与统计【考情解读】1．以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．2．本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．3．以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算． 4．与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型． 【重点知识梳理】 一、统计与统计案例 1.抽样方法三种抽样方法的比较2.统计图表(1)在频率分布直方图中：①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝频率组距；②各小矩形面积之和等于1；③中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值．(2)茎叶图当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．3．样本的数字特征 (1)众数在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)． (2)中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．(3)平均数与方差样本数据的平均数x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )． 方差s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]．注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．4．变量间的相关关系(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x 和y 具有线性相关关系．(2)用最小二乘法求回归直线的方程 设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n x i －x －y i －y－∑i ＝1n x i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2a ^＝y －－b ^x－.注意：回归直线一定经过样本的中心点(x －，y －)，据此性质可以解决有关的计算问题． 5．回归分析r ＝∑i ＝1nx i －x －y i －y－∑i ＝1nx i －x－2∑i ＝1ny i －y－2，叫做相关系数．相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度；|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越高，|r |越接近于0，相关程度越低．6．独立性检验假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为则K 2＝a ＋b ＋c ＋dad －bc a ＋b c ＋da ＋cb ＋d，若K 2>3.841，则有95%的把握说两个事件有关； 若K 2>6.635，则有99%的把握说两个事件有关； 若K 2<2.706，则没有充分理由认为两个事件有关. 7.随机事件的概率随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 8．古典概型①计算一次试验中基本事件的总数n ；②求事件A 包含的基本事件的个数m ；③利用公式P (A )＝mn 计算．9．一般地，如果事件A 、B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．10．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A 和A －不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (A －)＝1－P (A )．11．互斥事件与对立事件的关系 对立必互斥，互斥未必对立． 12．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.【高频考点突破】 考点一 几何概型例1．【2017课标1，】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B【变式探究】(2017·江苏卷)记函数f(x)＝6＋x －x 2的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．【答案】59【解析】由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率为3－－5－－＝59. 【变式探究】从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n 【答案】C【解析】由题意知，m n ＝π4，故π＝4m n ，即圆周率π的近似值为4mn .考点二 古典概型例2．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A .110B .15C .310D .25 【答案】D【2017山东】从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【解析】标有1， 2， ⋅⋅⋅， 9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是115425989C C =⨯ ,选C. 【变式探究】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121 D ．1【变式探究】(2017·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A .45B .35C .25D .15 【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P ＝410＝25.故选C .考点三 概率与其他知识的交汇例3 、(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．【变式探究】某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．【解析】(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为40100＝0.4.(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150＝50(元)．第2次消费时，公司获得的利润为200×0.95－150＝40(元)，所以，公司获得的平均利润为50＋402＝45(元)。
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概率与统计
1.（2018全国卷1文）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地
了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到
如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
2.（2018全国卷1文）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙
头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 00.1， 0.10.2， 0.20.3， 0.30.4， 0.40.5， 0.50.6， 0.60.7，
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
00.1， 0.10.2， 0.20.3， 0.30.4， 0.40.5，
0.50.6，
频数 1 5 13 10 16 5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这
组数据所在区间中点的值作代表．）
3.（2018全国卷2文）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的
概率为
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
4．（2018全国卷2文）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据
2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt；根据2010
年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
5．（2018全国卷3文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的
概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
6．（2018全国卷3文）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的
评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最
合适的抽样方法是________．
7．（2018全国卷3文）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的
生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组
工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：
min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过
m
的工人数填入下面的列联表：
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828PKkk．
10．（2018北京卷文）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；学科%网
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设
表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减
少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
11．（2018天津卷文）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分
层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院
的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
12．（2018江苏卷）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数
的平均数为 ．
13.（2018江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2
名女生的概率为 ．
14．（2018浙江卷）设0
0 1 2
P
12p 12 2p
则当p在（0，1）内增大时，
A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小
15．（2018上海卷）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中
随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）