1996年全国高考理科数学试题

2011年全国普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学(理科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=

A.2i -

B.i -

C.i

D.2i 2.函数()20y x x =≥的反函数为

A.()24x y x R =∈

B.()2

04

x y x =≥

C.()2

4y x

x R =∈ D.()240y x x =≥

3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是

A.1a b >+

B.1a b >-

C.2

2

a b > D.3

3

a b > 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k =

A.8

B.7

C.6

D.5

5.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将(

)y f x =的图像向右平移

3

π

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于

A.

1

3

B.3

C. 6

D.9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若

2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于

A.

22 B.33 C.63

D.1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友

1本，则不同的赠送方法共有

A. 4种

B.10种

C.18种

D.20种 8.曲线21x

y e

=+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为

A.

13 B.12 C.2

3

D.1 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ??

-= ???

A.12-

B.14

- C.14 D.12

10.已知抛物线2

:4C y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A B 、两点，则

cos AFB ∠=

A.45

B.35

C.35-

D.45

- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60

二面角的平面β截该球面得圆

N ，若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

A.7π

B.9π

C.11π

D.13π

12.设向量,,a b c 满足11,,,602

a b a b a c b c ===---=

，则c 的最大值等于

A.2

B.3

C.2

D.1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13.()

20

1x

-的二项展开式中，x 的系数与9

x 的系数之差为 .

14.已知,2παπ??

∈

???

，5sin 5α=，则tan 2α= . 15.已知12F F 、分别为双曲线22

:1927

x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为

()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则2

AF = .

16.已知点E F 、分别在正方体1111ABCD A B C D -的棱11BB CC 、上，且12B E EB =,

12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）

ABC ?的内角A B C 、、的对边分别为,,a b c .已知90,2A C a c b -=+= ，求C .

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望.

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S ABCD -中， //AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形， 2,1AB BC CD SD ====．

（I ）证明：SD ⊥平面SAB ；

（II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小. 20.（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足1111

0,

111n n

a a a +=-=--

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1

1n n a b n

+-=

，记1

n

n k

k S b

==

∑，证明：1n S <.

21.（本小题满分12分）

已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，

过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A B 、两点，点P 满足0.OA OB OP ++=

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（II ）设点P 关于O 的对称点为Q ，证明：A P B Q 、、、四点在同一圆上. 22.（本小题满分12分） （Ⅰ）设函数()()2ln 12

x

f x x x =+-

+，证明：当0x >时，()0f x > （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取

20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p ，证明：19

29110p e ??

<< ???

参考答案

一、 选择题

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B

B

A

D

C

C

B

A

A

D

D

A

二、填空题

13、0． 14、 4

3

-

15、6 16、2 3

H

G

F

A

D

C

B

S

三、解答题

（17）（10分） 由2a c b +=

及正弦定理可得（3分）

sin sin 2sin A C B +=

又由于90A C -=?,()180B A C =?-+所以

cos sin 2sin()

2sin(902)2sin 2C C A C C C

+=+=+= ……7分

22

cos sin cos 222

cos(45)cos 2.

C C C

C C +=-= 090,C ?<

……10分

（18）（12分）

解：记A “有一位车主购买甲种保险”，B “车主买乙种保险但不购买甲种保险”，C “至少购买一种保险”，D “两种保险都不购买”

(Ⅰ)

()()()()()0.5,0.3,0.8

P A P B P C P A P B ===+=

……6分

（II) 而D C = 所以()0.2

P D =

……10分

因为 ~(100,0.2)X B 所以1000.220EX =?= ……12分 （19）（12分） 解法一：

（I ） AB 中点E ，连结SE ，则,3SE AB SE ⊥=.

又1DE =，故222 DE SE SD =+, 所以DSE ∠是直角 ……3分 由AB SDE ⊥平面,所以AB SD ⊥ SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直 所以SD SAB ⊥平面 ……6分

（II ）

由AB SDE ⊥平面知，平面

ABCD SDE ⊥平面

作SF DE ⊥,垂足为F ，则SF ABCD ⊥平面，3

2

SD SE SF DE ?==

. 作FH SG ⊥，G 为垂足，则1FG DC ==. 连结SG 则SG BC ⊥.

又,BC FG SG FG G ⊥?=，故,BC ABCD SBC SFG ⊥⊥平面 ……9分

作FH SG ⊥,H 为垂足，则FH SBC ⊥ 又37

SF FG FH SG ?=

=，F 到平面SBC 的距离为21

7. 由于ED BC 所以ED SBC ，E 到平面SBC 的距离d 为21

7

。 设AB 与平面SBC 所成的角为α，则

2121sin ,arcsin 77

d EB αα=

== ……12分 解法二：

（I ） 以C 为坐标原点，射线CD 为x 正半轴，建立如图所示的空间直角坐标

系C-xyz 。

设D (1,0,0)，则A (2,2,0)、B (0,2,0).

又设(,,)S x y z ，则0,0,0x y z >>>.

易得()()2,2,,,2,,(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-

由||AS BS = 得

()()

()22

2

222222x y z x y z -+-+=+-+,

故1x =.

由1DS = 得22

1y z +=. 又2BS = 得()22224x y z +-+=

即22410y z y +-+=，所以13

,22

y z ==. ……3分

所以

133333131,,-1,,1,,,0,, 22222222S AS BS DS θ????????=-=-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????

，，.

则 0,0DS AS DS BS ?=?=

.

所以,DS AS DS BS ⊥⊥，又AS BS S ?=， 所以SD SAB ⊥平面。 ……6分

（II ）

设平面SBC 的法向量为(),,n m n p =

， 则0,0n BS n CB ?=?=

故 33

022

20m n p n -+

==?????

……9分 取2p =得()

3,0,2n =-

，又 ()2,0,0AB =- ，

得21

cos ,7

AB n AB n AB n ?==?

AB 与平面SBC 所成的角大小为21

arcsin

7

……12分 （20）（12分）

解：(Ⅰ)

由题设

111

111n n a a +-=--， 即11n a ????-??

是公差为1的等差数列。

又

1111a =-故11n n a =- 得11n a n

=-. ……5分 (Ⅱ)由（I ）中结论

1

1111111,

1

1111·111n n n

n

n k k k n a b n

n n

n n n S b k k n +==-=+-=+=-+??==-=-< ?

++?

?∑∑……8分

（21）（12分）解：

（I ） (0,1)F ，l 的方程为21y x =-+，代入2

2

12

y x +=并化简得 ……2分

242210x --=

z

y

x C

A

S

B

D

设()()112233,,,,(,)A x y B x y P x y ， 则122626

,44

x x -+=

=， 得()1212122

,2212

x x y y x x +=

+=-++= 得()()3123122

,12

x x x y y y =-+=-

=-+=- 所以点P 的坐标为2,12??-- ? ???

，验证得P 在椭圆上。……6分 （II ）

由2

,12P ??-- ? ???

，知2,12Q ??

? ???，PQ 的垂直平分线1l 的方程为 2

.2

y x =-

设AB 的中点为M ，则21, 42M ??

? ???

，AB 的垂直平分线2l 的方程为

21

924

y x =

+??分 联立 1

2l l ???，得21,88N ?? ? ???

， ……9分 22

2

212

2

2232

·||,2

32

||,4

2233

||4221311

||1,2888||1(2)11288311

||||,8

||||,

||||,||||,||||||||,

8||x AM MN NA AM NP NA NP NQ NA NB NA N NP AB P NB NQ Q MN A B x P ????=-++--= ? ? ??

???=+--??+- ==

??=+= ? ???=====?=?

==?+故又所以由此可知、、、四点在以N NA 为圆心，为半径的圆上……12分

（22）解：

（I ）

()()()

2

2

12x f x x x '=

++. ……2分

当0x >时，()0f x '>，所以当x +∈R ，()()00f x f >= ……5分

（II ） 20

100999881

100p ????=

.

又222998190,988290,,918990?

所以19

910p ??

< ???

……9分

由（I ）知：当0x >，()2ln 12

x

x x +>

+， 所以 ()21ln 12x x ??

++> ???

.

令19x =

则10

19ln 29

>, 所以19

210e 9??

> ???

综上：19

29110e p ??

<< ???

……12分