七年级上册数学全册单元试卷测试卷(含答案解析)

七年级上册数学全册单元试卷测试卷（含答案解析）

一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）

1．

（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为________；

（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；答：∠GEF=▲ .

证明：过点 E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（▲），

∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）

∴EH∥CD（▲），

∴∠HEG=180°-∠CGE（▲），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .

（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论.

【答案】（1）90°

（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180°?∠CGE，

证明：过点 E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），

∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）

∴EH∥CD（平行线的迁移性），

∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°?∠CGE ，

故答案为：∠BFE＋180°?∠CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平

行，同旁内角互补；∠BFE＋180°?∠CGE；

（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，

理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，

∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，

在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF?∠PFM＝∠CGP?∠BFQ，

∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE? ∠BFE＋∠GEF＝ ×180°＝90°.

即∠GPQ＋∠GEF＝90°.

【解析】【解答】（1）解：如图1，过E作EH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EH，

∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，

∵∠CGE＝130°，

∴∠HEG＝50°，

∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；

故答案为：90°；

【分析】（1）如图1，过E作EH∥AB，根据平行线的性质可得∠HEF＝∠BFE＝40 ，∠HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，则∠HEG＝180°?∠CGE，两式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°?∠CGE；（3）如图2，根据角平

分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝

∠GMF?∠PFM＝∠CGP?∠BFQ，计算∠GPQ＋∠GEF并结合②的结论可得结果.

2．如图在数轴上A点表示数a,B点表示数b,AB表示A点和B点之间的距离,且a、b满足|2a+4|+|b-6|=0

（1）求A,B两点之间的距离;

（2）若在数轴上存在一点C,且AC=2BC,求C点表示的数;

（3）若在原点O处放一个挡板,一个小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动;同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动：设运动的时间为(秒).

①分别表示甲、乙两小球到原点的距离(用t表示);

②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间

【答案】（1）解：因为，

所以2a+4=0，b-6=0，

所以a=?2，b=6；

所以AB的距离=|b?a|=8；

（2）解：设数轴上点C表示的数为c.

因为AC=2BC，

所以|c?a|=2|c?b|，即|c+2|=2|c?6|.

因为AC=2BC>BC，

所以点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上.

①当C点在线段AB上时，则有?2

得c+2=2(6?c),解得c= ；

②当C点在线段AB的延长线上时，则有c>6，

得c+2=2(c?6)，解得c=14.

故当AC=2BC时,c= 或c=14；

（3）解：①因为甲球运动的路程为：1×t=t，OA=2，

所以甲球与原点的距离为：t+2；

乙球到原点的距离分两种情况：

(Ⅰ)当0?t?3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，

因为OB=6，乙球运动的路程为：2×t=2t，

所以乙球到原点的距离为：6?2t；

(Ⅱ)当t>3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，

此时乙球到原点的距离为：2t?6；

②当0

解得t= ；

当t>3时，得t+2=2t?6，

解得t=8.

故当t= 秒或t=8秒时，甲乙两小球到原点的距离相等.

【解析】【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式即可求得A、B两点之间的距离；（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞3时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离；②分两种情况：（Ⅰ）0≤t≤3，（Ⅱ）t＞3，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可.

3．如图1，平面内一定点A在直线MN的上方，点O为直线MN上一动点，作射线OA、OP、OA′，当点O在直线MN上运动时，始终保持∠MOP=90°、∠AOP=∠A′OP，将射线OA 绕点O顺时针旋转60°得到射线OB

（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OP的左侧，若OB平分∠A′OP，求∠AOP的度数．

（2）当点O运动到使点A在射线OP的左侧，∠AOM=3∠A′OB时，求的值．

（3）当点O运动到某一时刻时，∠A′OB=150°，直接写出∠BOP=________度．

【答案】（1）解：由题意可得：∠AOB=60°，∠AOP=∠A′OP，

∵OB平分∠A′OP，

∴∠A′OP=2∠POB，

∴∠AOP=∠A′OP=2∠POB，

∴∠AOB=∠AOP+∠POB=3∠POB=60°，

∴∠POB=20°，

∴∠AOP=2∠POB=40°

（2）解：①当点O运动到使点A在射线OP的左侧，且射线OB在在∠A′OP的内部时，如图1，

设∠A′OB=x，则∠AOM=3∠A′OB=3x，∠AOA′= ，

∵OP⊥MN，

∴∠AON=180°-3，∠AOP=90°-3x，

∴，

∵∠AOP=∠A′OP，

∴∠AOP=∠A′OP=

∴，解得：，

∴；

②当点O运动到使A在射线OP的左侧，但是射线OB在∠A′ON内部时，如图2，

设∠A′OB=x，则∠AOM=3x，∠AON= ，∠AOA′= ，

∵∠AOP=∠A′OP，

∴∠AOP=∠A′OP= ，

∵OP⊥MN，

∴∠AOP=90-∠AOM=90-3x，

∴，解得：，

∴；

（3）解：①如图3，当∠A′OB=150°时，由图可得：∠A′OA=∠A′OB-∠AOB=150°-60°=90°，又∵∠AOP=∠A′OP，∴∠AOP=45°，

∴∠BOP=60°+45°=105°；②如图4，当∠A′OB=150°时，由图可得∠A′OA=360°-150°-60°=150°，又∵∠AOP=∠A′OP，∴∠AOP=75°，∴∠BOP=60°+75°=135°；综上所述：∠BOP的度数为105°或135°.

【解析】【分析】（1）由角平分线的性质和∠ AOP=∠A′OP可得∠POB= ∠AOB，∠AOP=

∠AOB，则∠POA的度数可求解；

（2）由题意可分两种情况：

①

当点O运动到使点A在射线OP的左侧，且射线OB在在∠A′OP的内部时，由角的构成易得∠AOP= -∠AOM= -3∠A′OB，∠AOA′=+∠A′OB，由角平分线的性质可得

∠AOP=∠A′OP，于是可得关于∠A′OB的方程，解方程可求得∠A′OB的度数，则

可求解；

②

当点O运动到使A在射线OP的左侧，但是射线OB在∠A′ON内部时，同理可求解；（3）由题意可分两种情况讨论求解：①当∠A′OB沿顺时针成

150°时，结合已知条件易求解；

②

当∠A′OB沿时针方向成 150°时，结合题意易求解。

4．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE=90°，FO平分∠BOD，∠BOC：∠AOC=1：3．

（1）求∠DOE、∠COF的度数．

（2）若射线OF、OE同时绕O点分别以2°/s、4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE、OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值．

【答案】（1）解：∵∠BOC：∠AOC=1：3，

∴∠BOC=180°× =45°，

∴∠AOD=45°，

∵∠BOE=90°，

∴∠AOE=90°，

∴∠DOE=45°+90°=135°，

∠BOD=180°-45°=135°，

∵FO平分∠BOD，

∴∠DOF=∠BOF=67.5°，

∴∠COF=180°-67.5°=112.5°

（2）解：∠EOF=90°+67.5°=157.5°，

依题意有

4t-2t=157.5-90，

解得t=33.75．

故t值为33.75．

【解析】【分析】（1）根据∠BOC：∠AOC=1：3，∠BOC+∠AOC=180°，即可算出∠BOC 的度数，然后根据对顶角相等由∠AOD = ∠BOC得出∠AOD 的度数，根据平角的定义，由∠AOE=∠AOB-∠BOE算出∠AOE的度数，进而根据∠DOE=∠AOE+∠AOD算出∠DOE的度数，∠BOD=∠AOB-∠AOD算出∠BOD的度数，再根据角平分线的定义得出∠BO 的度数，最后根据∠COF=∠COB+∠BOF即可算出答案；

（2）根据角的和差，由∠EOF=∠EOB+∠BOF算出∠EOF的度数，根据题意OE转过的角度为4t°，OF转过的角度为2t°，根据题意列出方程 4t-2t=157.5-90，求解即可。

5．已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°，∠DOE=50°，设∠BOE=

（1）若射线OE在∠BOC的内部(如图所示):

①若 =43°，求∠COD的度数；

②当∠AOD=3∠COE时，求∠COD的度数；

（2）若射线OE恰为图中某一个角(小于180°)的角平分线,试求的值.

【答案】（1）①∵∠BOC=180°?∠AOC，∠AOC=120°

∴∠BOC=180°?120°=60°

∵∠COE=∠BOC?∠BOE，∠BOE=n=43°

∠COD=∠DOE?∠COE，∠DOE=50°

∴∠COD=50°?（60°?43°）=33°

②当∠DOE在∠BOC之间时，设∠COD=x，则由题意可得：120+x=3（50+x）无解；当OD在∠AOC之间时，设∠COD=x，则由题意可得120-x=3（50-x）解得x=15°

所以当∠AOD=3∠COE时，∠COD=15°

（2）解：如图，

当OE1平分∠BOC时，

∵∠AOC=120°

∴∠BOC=180°?120°=60°

∴n=∠BOE1= ∠BOC=30°；

如图，

当OE2平分∠BOD2时，

n=∠BOE2=∠D2OE=50°；

如图，

当OE3平分∠COD3时，

∵∠E3OC=∠D3OE3=50°，∠BOC=180°?∠AOC=180°?120°=60°

∴n=∠BOE3=∠BOC+∠E3OC=60°+50°=110°；

如图，

当OE4平分∠AOC时，

∵∠COE4= ∠AOC= ×120°=60°

∠BOC=180°?∠AOC=180°?120°=60°

∴n=∠BOE4=∠BOC+∠COE4=60°+60°=120°

【解析】【分析】(1) ① 根据平角的定义，由∠BOC=180°?∠AOC 算出∠BOC的度数，根据角的和差，由∠COE=∠BOC?∠BOE ，∠COD=∠DOE?∠COE ，算出∠COD的度数；②扶摇分类讨论：当∠DOE在∠BOC之间时，设∠COD=x，则∠AOD=120+x，∠COE=50+x，根据∠AOD=3∠COE 列出方程，求解即可；当OD在∠AOC之间时，设∠COD=x，则则∠AOD=120-x，∠COE=50-x，根据∠AOD=3∠COE 列出方程，求解即可，综上所述即可得出答案；

（2）需要分类讨论：①当OE1平分∠BOC时，根据平角的定义算出∠BOC 的度数，根据角平分线的定义得出n=∠BOE1= ∠BOC=30°；② 当OE2平分∠BOD2时，n=∠BOE2=∠D2OE=50°；③ 当OE3平分∠COD3时， n=∠BOE3=∠BOC+∠E3OC ，④ 当OE4平分∠AOC时， n=∠BOE4=∠BOC+∠COE4，综上所述即可得出答案。

6．如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”

（1）一个角的平分线________这个角的“定分线”；填“是”或“不是”

（2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则 ________ 用含a的代数式表示出所有可能的结果

（3）如图2，若，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当PQ与PN成时停止旋转，旋转的时间为t秒同时射线PM绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止当PQ是的“定分线”时，求t的值. 【答案】（1）是

（2）或或

（3）解：依题意有三种情况：

①10t= （5t+45），

解得t=1.8(秒)；

②10t= （5t+45），

解得t=3(秒)；

③10t= （5t+45），

解得：t=4.5(秒)，

故t为1.8秒或3秒或4.5秒时，PQ是∠MPN的“定分线”

【解析】【解答】解：（1）当OC是角∠AOB的平分线时，

∵∠AOB=2∠AOC，

∴一个角的平分线是这个角的“定分线”；

故答案为：是

（ 2 ）∵∠MPN=

∴∠MPQ= 或或；

故答案为：或或.

【分析】（1）根据新定义运算及角平分线的定义即可解决问题；

（2）根据新定义及三个角之间的两两的倍数关系即可解决问题；

（3）根据新定义及旋转中角的倍数关系，分三种情况分别列出方程，求解即可.

7．课题学习：平行线的“等角转化功能.

（1）问题情景：如图1，已知点是外一点，连接、，求的度数.

天天同学看过图形后立即想出：，请你补全他的推理过程.解：（1）如图1，过点作，∴ ________， ________.

又∵，∴ .

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将，

，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

（2）问题迁移：如图2，，求的度数.

（3）方法运用：如图3，，点在的右侧，，点在的左侧，，平分，平分，、所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数.

【答案】（1）∠EAB；∠DAC

（2）解：过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB，

∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，

∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，

∴∠B+∠BCD+∠D=360°，

（3）解：如图3，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，

∴∠ABE= ∠ABC=30°，∠CDE= ∠ADC=35°

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．

【解析】【解答】解：（1）根据平行线性质可得：因为，所以∠EAB，∠DAC；

【分析】（1）根据平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）过C作CF∥AB，根据平行线性质可得；（3）

如图3，过点E作EF∥AB，根据平行线性质和角平分线定义可得∠ABE= ∠ABC=30°，

∠CDE= ∠ADC=35°，故∠BED=∠BEF+∠DEF.

8．已知直线．

（1）如图1，直接写出，和之间的数量关系．

（2）如图2，，分别平分，，那么和有怎样的数量关系？请说明理由．

（3）若点E的位置如图3所示，，仍分别平分，，请直接写出

和的数量关系．

【答案】（1）

（2）解：．理由如下：

∵，分别平分，，

∴，，

∴，

由（1）得，，

又∵，

∴

（3）解：，理由如下：

如图3，过点作，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

由（1）知，，

又∵，分别平分，，

∴，，

∴，

∴．

【解析】【解答】（1），理由如下：

如图1，过点E作，

∵，

∴，

∴，，

∴，

即；

【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质得，，

进而即可得到结论；（2）由角平分线的定义得，，结合第（1）题的结论，即可求证；（3）过点作，由平行线的性质得

，结合第（1）题的结论与角平分线的定义得

，进而即可得到结论．

9．已知点O在直线MN上，过点O作射线OP，使∠MOP=130°，将一块直角三角板的直角顶点始终放在点O处．

（1）如图①，当三角板的一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的上方时，求∠POB的度数；

（2）若将三角板绕点O旋转至图②所示的位置，此时OB恰好平分∠PON，求∠BOP和∠AOM 的度数；

（3）若将三角板绕点O旋转至图③所示位置，此时OA在∠PON 的内部，若OP所在的直线平分∠MOB，求∠POA 的度数；

【答案】（1）解：∠POB=∠MOP-∠AOB=130°-90°=40°．

（2）解：∵∠MON是平角，∠MOP=130°，

∴∠PON=∠MON-∠MOP=180°-130°=50°

∵OB 平分∠PON，

∴∠BOP= ∠PON=25°

∵∠AOB=90゜，

∴∠AOP=∠AOB-∠BOP=90°-25°=65°

∴∠MOA=∠MOP-∠AOP=130°-65°=65°；

（3）解：如图，OE是PO的延长线，

∵∠MOP=130°

∴∠MOE=50°

∵OE是∠MOB的平分线，

∴∠MOB=100°，

∴∠BON=80°

∵∠AOB=90°

∴∠AON=∠AOB-∠BON=90°-80°=10°

∴∠POA=∠PON-∠AON=50°-10°=40°

【解析】【分析】（1）根据题意，∠POB=∠POA-∠AOB代入数据即可求出结论；（2）根

据题意，∠PON=180°-∠POM,又根据角平分线的定义可得∠POB=∠NOB= ,代入已知即可求解；再根据余角定义求出∠POA的度数；（3）从已知条件可得，∠MOE=180°-∠MOP,再根据角平分线的定义得∠MOB=2∠MOE, ∠NOA=180°-∠MOB, ∠AON=90°-∠BON, ∠POB=∠PON-∠AON,代入求值即可．

10．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB 上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD。

（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量

关系?请写出你的猜想并证明；

（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。

【答案】（1）解：猜想：AB=AC+CD．

证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，

∵AD为∠BAC的角平分线时，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AD=AD，

∴△ADE≌△ADC（SAS），

∴∠AED=∠C，ED=CD，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵∠AED=∠B+∠EDB，

∴∠B=∠EDB，

∴EB=ED，

∴EB=CD，

∴AB=AE+DE=AC+CD.

（2）解：猜想：AB+AC=CD．

证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．

∵AD平分∠FAC，

∴∠EAD=∠CAD．

在△EAD与△CAD中，

AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，

∴△EAD≌△CAD（SAS）．

∴ED=CD，∠AED=∠ACD．

∴∠FED=∠ACB，

又∵∠ACB=2∠B，

∴∠FED=2∠B，

∵∠FED=∠B+∠EDB，

∴∠EDB=∠B，

∴EB=ED．

∴EA+AB=EB=ED=CD．

∴AC+AB=CD.

【解析】【分析】（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；

（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．

11．如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点在AC边上，且∠1=∠2= ．

（1）求证：EF∥CD；

（2）若∠AGD=65°，试求∠DCG的度数.

【答案】（1）证明：∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，

∴∠BFE=∠BDC=90°，

∴EF∥CD.

（2）解：∵EF∥CD，

∴∠2=∠DCE=50°，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠DCE,

∴DG∥BC，

∴∠AGD=∠ACB=65°，

∴∠DCG=

【解析】【分析】（1）由垂直的定义，可求得∠BFE=∠CDF=90°，可证明EF∥CD；

（2）利用（1）的结论，结合条件可证明DG∥BC，利用平行线的性质可得∠AGD=∠ACB= ，则∠DCG=∠ACB-∠2即可求得．

12．已知BM、CN分别是△的两个外角的角平分线，、分别是和的角平分线，如图①；、分别是和的三等分线（即，），如图②；依此画图，、分别是和的n等分线（即，），，且为整数．

图①图②

（1）若，求的度数；

（2）设，请用和n的代数式表示的大小，并写出表示的过程；

（3）当时，请直接写出 + 与的数量关系．

【答案】（1）解：，

∵、分别是和的角平分线，

∴

∴

（2）解：在△中， + ，

，

（3）解：

【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）先根据三角形内角和定理求出 + ，根据n等分线求出，再根据三角形内角和定理得出，代入求出即可.

（3）本题以三角形为载体，主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是的性质，熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键.

13．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周．在旋转的过程中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？

（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM 与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）解：∵三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转，

∴第t秒时，三角板转过的角度为10°t，

当三角板转到如图①所示时，∠AON=∠CON

∵∠AON=90°+10°t，∠CON=∠BOC+∠BON=120°+90°﹣10°t=210°﹣10°t

∴90°+10°t=210°﹣10°t

即t=6；

当三角板转到如图②所示时，∠AOC=∠CON=180°﹣120°=60°

∵∠CON=∠BOC﹣∠BON=120°﹣（10°t﹣90°）=210°﹣10°t

∴210°﹣10°t=60°

即t=15；

当三角板转到如图③所示时，∠AON=∠CON= ，

∵∠CON=∠BON﹣∠BOC=（10°t﹣90°）﹣120°=10°t﹣210°

∴10°t﹣210°=30°

即t=24；

当三角板转到如图④所示时，∠AON=∠AOC=60°

∵∠AON=10°t﹣180°﹣90°=10°t﹣270°

∴10°t﹣270°=60°

即t=33．

故t的值为6、15、24、33．

（2）解：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°﹣∠AON，∠NOC=60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°

【解析】【分析】（1）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的角度为10°t，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论，即可求出t的值；

（2）根据三角板∠MON=90°可求出∠AOM、∠NOC和∠AON的关系，然后两角相加即可求出二者之间的数量关系．

14．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．

小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为________度。

（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠P CD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在(2)的条件下，①如果点P运动到D点右侧（不包括D点），则∠APC与α、β之间的数量关系为________．②如果点P运动到B点左侧（不包括B点），则∠APC与α、β之间的数量关系________.（直接写出结果）

【答案】（1）100°

（2）解：∠APC=α+β，

理由是：如下图，过P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.