金桥高中补习班数学归纳法与数列的极限(复习课)(教案)

§2 数学归纳法与数列的极限

一、基础知识点

1. 推理与证明

推理方法有：合情推理与演绎推理.

合情推理有：类比，不完全归纳，猜想等. 演绎推理：严格的逻辑证明.

2. 数学归纳法：是证明有关自然数的命题的一种方法，属于完全归纳法，其证明步骤如下： 第一步：验证当n 取第一个允许值0n 时命题成立；

第二步：假设当0()n k k n =≥时命题成立（归纳假设），证明当1n k =+时命题也成立.

完成以上两步，就能断言：对一切*

0,n N n n ∈≥，命题都成立.

3. 归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解 （1）学会探索与发现的规律方法：

演绎——从一般到一般（结论一定正确）； 类比——从特殊到特殊（结论不一定正确）； 归纳——从特殊到一般（结论不一定正确）.

（2）归纳猜想得到的结论不一定正确，必须经过严格的逻辑证明，而与自然数有关的结论的证明，常用数学归纳法.

4. 数学归纳法证明过程中的两个步骤缺一不可. 第一步是归纳的基础，这是一个成立的实事；第二步是证明的关键，在归纳假设的前提下完成证明. 如果不用归纳假设而完成了证明过程，那不叫数学归纳法证明.

多米诺骨牌.

5. 数学归纳法的原理： （1）1234→→→→； （2）1357→→→→

；

（3）

324132⎫⎪⎫⎪→⎪⎬→⎫⎬⎪

→⎬⎪⎪⎭⎭

⎭

6. 归纳猜想证明的一般步骤：

①计算命题取特殊值时的结论；

②对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论； ③证明所猜想的结论. 7. 数列极限

（1）定义：一般地，在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列{}n a 中的项n a 无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，或称作数列{}n a 收敛于A ，记作lim n n a A →∞

=.

数列极限存在的条件：①无限数列；②当n 趋向于无穷时，n a 无限趋近于某一常数. （2）数列极限的运算法则： 若lim ,lim n n n n a A b B →∞

→∞

==，则

①lim()n n n a b A B →∞

+=+； ②lim()n n n a b A B →∞

-=-；

③lim()n n n a b A B →∞

⋅=⋅； ④lim

(0)n n n

a A

B b B →∞=≠.

特别，若C 为常数，则lim()n n C a C A →∞

⋅=⋅.

（3）三个常用的极限：

①lim n C C →∞

=（C 为常数）； ②1

lim

0n n

→∞=； ③0,

||1lim 1,1||1 1.n

n q q q q q →∞

<⎧⎪==⎨⎪>=-⎩

时时不存在，或

（4） 无穷等比数列各项的和：

若无穷等比数列{}n a 的公比||1q <，则其各项的和为1

lim 1n n a S S q

→∞

==

-. 8. 关于数列极限概念的理解：

①极限是一种变化趋势，并不一定有n a =A ； ②“无穷大∞”的意思是要有多大就有多大； ③若lim n n a A →∞

=，则1lim lim n n n n a a A -→∞

→∞

==.

9. 常见数列极限类型：

①∞⋅∞、

∞

型：极限不存在； ②00⋅、00-、0

∞型：极限均为0；

③∞-∞、∞∞、0

、0⋅∞型：极限不确定，有的存在，有的不存在.

④有理分式型：111011100,lim ,.k k k k m

m m n m m m m k a n a n a n a a m k b n b n

b n b b m k ---→∞-⎧>⎪

⋅+⋅++⋅+⎪==⎨⋅+⋅++⋅+⎪⎪<⎩

，，不存在，

二、基础自测

1. 一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( B )

A ．一切正整数命题成立

B ．一切正奇数命题成立

C ．一切正偶数命题成立

D ．以上都不对

2. 设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( C )

A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1

B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1

C ．f (k ＋1)＝f (k )＋k

D ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2

解析：当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f (k )＋k ＝f (k ＋1)．

3. 已知某个关于自然数n 的命题()P n ，如果当*

()n k k N =∈时该命题成立，那么可得当1n k =+时命题也成立.

①写出当n =4时命题成立的所有充分条件： ； ②写出当n =4时命题成立的一个必要条件： ；

③现在已知当n =4时，该命题不成立，则下列说法正确的是 ： A ．当n =3时该命题不成立； B ．当n =5时该命题不成立； C ．当n =1时该命题可能成立；

D ．当n =5时，该命题可能成立，如果n =5时命题成立，那么对于任意自然数5n ≥，该命题都成立. 解：①是找到推出“n =4”成立的条件；②是找到由“n =4”能推出什么；③可用等价于逆否命题来判断：“34n n =⇒=成立成立” ⇔“43n n =⇒=不成立不成立”. ①n =1成立、n =2成立、n =3成立； ②n =5或n =6或n =7… ③A 、D 均正确

4. 已知数列{a n }满足：a 1＝1

3，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m a n ，若数列{a n }的前n 项和为

S n ，则lim n n S →∞

=＝( )

A.12

B.23

C.3

2

D ．2 【解析】 a 1＝13，a 2＝13×13＝19，a 3＝13×19＝127，a 4＝1

81

∴{a n }是首项为13公比为1

3的等比数列

∴li m n →∞S n ＝131－13＝1

2. 【答案】 A

5. 若lim n →∞

(a ＋2b )n 2＋2n ＋1bn ＋3＝1

2，则实数a ＋b 为( )

A ．－2

B ．2

C ．－4

D ．4