第八章8。1乘幂法与反幂法

, j0表示满足 1
2
L
j0 1
j0
L
n 的那
个下标。当r<1但接近于1时，收敛可能很慢，下面接受两种加速
收敛的方法。
一、原点平移法
设B A pI,这里p为可选择的参数。当A的特征值为i时，B的 特征值为i i p,且A与B有相同的特征向量xi,i 1, 2,L , n.
若A的主特征值为1, j0 2,则要选择适当的参数p，使其满足
V0 0,当k充分大时，有
R
Uk
1
o
2 1
2k
华长生制作
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反幂法
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量。设A Rnn为非
奇异矩阵，它的特征值满足
1 2 ... n1 n 0,
(2)
则A1的特征值 11，21，....., n1满足
1 n
1 n1
.....
1 1
。
j
由于 x j / xi 1( j i),有
aii
j i
aij
x j / xi
j i
aij
.
(1)得证，（2）的证明略。
从定理的证明可见,如果一个特征向量的第i个分量按模最大,则对应的 特征值一定属于第i个圆盘中.利用定理,我们可以由A的元素估计特征值的 范围.A的n个特征值均落在n个圆盘上,但不一定每个圆盘都有一个特征值.
对应的特征向量仍然是
xi (i
1,2,...,
n)。如果
p是A的特征值
的一个
j
近似值，且
i p j p , i j,
即(i p)1是( A PI )1的主特征值，可用反幂法计算相应的特征值和
特征 华长向 生制量 作 ，计算公式为
15
定理
u0 v0 0, vk ( A PI)1uk1`,
由LUv 2 Pu1得
v2 (20404,14937,5467.4)T ,
华长生制作
u2 (1,0.73206,0.26796)T 。
18
由此可得特征值 3 ( 1.2679492 )的近似值
1.2679 1 1.267949。 20404
3对应的特征向量是 x3 (1,1 3,2 3)T (1,0.73205,0.26795)T。
ukT
max( vk )
K
(1.0000,1.0000,1) 0
1
(0.9091,0.8182,1)
2.7500000
(0.7651,0.6674,1)
2.5887918
5
10
(0.7494,0.6508,1)
2.5380029
15
(0.7483,0.6497,1)
2.5366256
20
(0.7482,0.6497,1)
用回代求解可得 v1。
例 用反幂法求下列矩阵的接近于P=1.2679的特征值(精确特征值
3 3 3)及其特征向量(用5位浮点数进行计算),
2 A 1
1 3
0 1
。
华长生制作
0 1 4
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解 : 用列选主远元的三角分 解将A pI分解为
P(A pI) LU,
其中
0 1 0 1
0
0
1 1 p是B的主特征值，即 1 p j p , j 2,3,L , n;
2 max j p 2 .
2 jn 1 p 1
华长生制作
10
对B应用乘幂法，使得计算B的主特征值1 1 p的过程
得到加速.这种方法通常称为原点平移法.参数p的选取有赖
于对A的特征值分布的大致了解。可以通过盖尔园定理得
max(vk
)
1
max(1 x1 k ) max(1 x1 k 1 )
1 (k
)。
华长定生理制作得证。
7
由定理的证明可见,幂法的收敛速度由 2 / 1 的大小确定。若A的特征值
不满足前面条件，将有不同的情况。如1 2 ... r，且 r r1 ，j=r+1,L
可以作类似的分析, 对特征向量和特征值有
个特征值（盖尔圆相重时重复计算，特征值相同时也重复计算）。
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证 : 设为A的任意一个特征值 , x 0为对应的特征向量 ,即
(I A)x 0。
记x (x1, x2 ,.....,xn )T , xi max xk ,则xi 0,
n
( aii )xi
j 1, j i
aij
x
0.25,以二阶均差代替二阶导 数，按自然次序离散化 可得下列矩阵特征值问 题
1 Bu u,
h2
在电磁学、机械和结构振动等问题也会遇到类似的固有值、临界值等问题， 所以特征值的计算有重要意义。
因为一般不能通过有限 次运算准确求解方程 （） 0的根，而且有的问题
只需要求部分特征值和 特征向量,因此特征值问题的数值 方法通常采用迭代法 .
2.5365323
矩阵A的主特征值和特征向量的准确值(8位数字)分别为1 2.5365258,
x1* (0.74822116,0.64966116,1)T。可见迭代20次后，所得的主特征值有5位
有效华长数生字制作。
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乘幂法的加速技术
由前面的讨论知，应用乘幂法计算A的主特征值的收敛速度取决
于比值r= j0 1
到矩阵的特征值分布。
定理Gerschgorin圆盘定理设A为n n实矩阵，则
1 A的每一个特征值必属于下述n个圆盘(称为盖尔圆）
n
aii ri aij , j 1 ji
的并集之中；
i 1, 2,L , n
2 由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，如果
它是由k个盖尔圆构成，则在这个连通部分中有且仅有A的k
1k (1x1 k ) max[1k (1x1 k )]
1x1 k x1 (k )。 max( 1x1 k ) max( x1 )
同理,可得到
vk
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1k (1 x1 k )
max[1k 1 (1 x1 k 1 )]
1 (1 x1 k ) , max(1 x1 k 1 )
v0 ,由矩阵A构造一向量序列 vk Avk1 Ak v0 , k 1,2.....
由假设v0可表示为
v0 1x1 2 x2 .... n xn .
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4
若记(vk )l 为vk的第l个分n 量, 则有
vk
Ak v0
i 1
i
ki
xi
1k [1 x1
n
i2
i
( i 1
)k
xi
(4)
uk vk / max(vk ),k 1,2,...。.
设A Rnn的特征值i (i 1, 2,..., n)对应的特征向量xi
(i 1, 2,..., n)线性无关，p为i的近似值，满足(2), ( A PI )1存在。
n
给定初始向量v0 k1k xk ,i 0,则由(4)生成的向量序列有
在很多科学与工程问题中会遇到特征值和特征向量的计算。例如，
弹性薄膜的固有振动问 题可描述为：求 和非零函数 u（x, y)，满足
(u xx u yy ) u, (x, y) ,
u 0, (x, y) 。
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2
为了简单，取 （x, y) : 1 x, y 1, 为的边界。若取x y h
r
lim
k
u
k
i 1
i
xi
r
max( i 1
i
xi
)
,
lim
k
max(vk
)
1。
可见, uk 仍收敛于一个主特征向量。对特征值的其他情况，参看书上说明。
例 用幂法求矩阵
1 1 0.5 A 1 1 0.25
0.5 0.25 2
的主特征值和主特征向量.
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解 : 取初始向量u0 (1,1,1)T , 按(1）的计算结果如下表。
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二、瑞利（Rayleigh)商加速法
定义7.1: 设A为n阶实对称矩阵 , 对于任一非零向量 x, 称
R(x) ( Ax, x) (x, x)
为对应于向量x的Rayleigh商.
定理8.3 设A为n阶实对称矩阵,其特征值都为实数,排列为
1 2 L n
Uk ,Vk 是由规范化乘幂法得到的向量序列，则对任意的
P 0 0 1, L 0
1
0 ,
1 0 0 0.7321 0.26807 1
1 U 0
0
由Uv1 (1,1,1)T 得
1.7321 1 0
1 2.7321
。
0.29405103
v1 (12692， 9290.3，3400.8）T，
u1 (1,0.73198,0.26795)T 。
并且有对应的 n个线性无关的特征向量 xi (i 1,2,..., n)。给定初始向量
n
v0 i1i xi ,n 0,则由(3)生成的向量序列有
lim
k
u
k
xn max(
xn
)
,
lim
k
max(
vk
)
1。
n
反幂法的一个重要应用是利用“原点平移”，求指定点附近的某个特征值
和对应的特征向量。
如果矩阵 ( A PI )1 存在，显然其特征值为 (i p)1, i 1,2,..., n,
,
即n1是A1的主特征值。因此，对A1应用乘幂法可得矩阵A的按模最
小的特征值及其特征向量，称为反幂法，计算公式为
v0 u0 0, vk A1uk1 ,
(3)
uk vk / max(vk ),k 1,2...。.
华在长上生制式作 中，向量vk可以通过解方程组Avk
uk
得到。
1
14
定理：设非奇异矩阵A Rn*n的特征值i (i 1, 2,....., n)满足(2),
1 0，则由（1）生成的向量序列有
lim
k
u
k
x1 max(
x1
)
,
lim
k
max(
vk
)
1。
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6
证 :由(1）
vk
Ak v0 max(Ak 1v0
)
,
uk
Ak v0
。
max(Ak v0 )
而
Ak v0
1k [1x1
n
i2
i
(
i 1
)
k
xi ] 1k (1x1
k ),
uk
Ak v0 max(Ak v0 )
i 2,3, , n Ax b
第八章 矩阵特征值与特征值计算
设A为n n矩阵若有数和非零向量x,使
Ax x
称为矩阵A的特征值, x为对应于的特征向量.上述方程是一个非线性 方
程组，它有非零解x的充要条件是
（） det(I A) n c1n1 ..... cn1 cn 0
称（）为特征多项式。方程 （） 0有n个根，包括重根和复根 。
如下幂法的实用的计算公式:
v0 u0 0, vk Auk1,
(1）
uk vk / max(vk ),k 1,2,..。.
定理8.1设A Rnn的特征值i (i 1, 2,..., n)满足 1 > 2 L n ,对
n
应的n个线性无关的特征向量为xi (i 1, 2,...n)，给定初值向量v0 i1i xi，
由此可见, u2是x3的相当好的近似。
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对应非零分量的比值近似于主特征值。
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5
在实际计算中,需要对计算结果进行规范化。因为当〈1 1时，vk趋于零，
当1 1时,vk的非零分量趋于无穷。从而计算时会出现下溢或上溢。
为此,对 (z1, z2 ,......,zn )T Rn ,记max() zi ,其中zi
.这样,我们有
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3
8.1 乘幂法和反幂法
乘 幂法
设矩阵A Rn*n的n个特征值满足
1 2 ....... n ,
对应的n个特征向量 x1, x2 ,......, xn线性无关.称模最大的特征值 1为主特征值 , 称对应的特征向量 x1为主特征向量 . 乘幂法用于主特征值和特征向量.它的基本思想是任取一个非零的初始向量
lim
k
uk
xi max(
xi
)
,
lim
k
max(vk
)
i
1
。 p
由该定理可知，p [max(vk )]1是特征值i的近似值，对应的近似特征
向量为uk。迭代收敛速度由比值
max i j
(i
p) /( j
p)
来确定。
反幂法迭代公式(4)中的vk是通过解方程组
华长生制作
（A pI )vk uk 1
]
1k
(1 x1
K
),
(vk 1)l 1(1x1 k 1)l ,
(vk )l
(1x1 k )l
n
其中 k
i i
1 k
xi .若1
0,
x1
l
0，
i2
则由lim k 0知
k
lim vk
k
k
1
1x1,
lim k
vk 1 l
vk il
。
1
可见，当k充分大时，vk 近似于主特征值，vk 1与vk的
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求得的，为了节省计算 工作量，可以先将 (A PI )进行三角分解
P( A pI ) LU,
其中P为排列阵。
只要选择的 P是i的一个较好的近似且特 征值分离情况较好，一 般很
小，收敛将是较快的。
实验表明，按下述方法
选择v0
u
是较好的：选
0
u0使
Uv1 L1Pu0 (1,1,...,1)T ,