2018年高考数学二轮复习专题(通用版)课时跟踪检测八理科数学(含答案)

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通用版2018学高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测十八数列理201802062107

课时跟踪检测（十八）数列1．(2017· 长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n －1(n ∈N *)． (1)若数列{b n }满足b n ＝a n －12，求证：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知得a n ＋1－12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12(n ∈N *)，从而有b n ＋1＝3b n .又b 1＝a 1－12＝1，所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得b n ＝3n －1，从而a n ＝3n －1＋12，所以S n ＝1＋12＋3＋12＋…＋3n －1＋12＝1＋3＋…＋3n －1＋n 2＝1－3n 1－3＋n 2＝3n ＋n －12.2．(2017·云南模拟)已知数列{a n }中，a 2n ＋2a n －n 2＋2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由a 2n ＋2a n －n 2＋2n ＝0，得(a n －n ＋2)(a n ＋n )＝0.∴a n ＝n －2或a n ＝－n .∴{a n }的通项公式为a n ＝n －2或a n ＝－n .(2)①当a n ＝n －2时，易知{a n }为等差数列，且a 1＝－1， ∴S n ＝n a 1＋a n 2＝n －1＋n －2＝n n －2.②当a n ＝－n 时，易知{a n }也为等差数列，且a 1＝－1， ∴S n ＝n a 1＋a n 2＝n－1－n 2＝－nn ＋2.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n n －2a n ＝n －，－n n ＋2a n ＝－n3．(2017·南京模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5，可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5，所以3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由(1)，可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1)． ∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1) ＝(1－3)＋(5－7)＋…＋(4n －3－4n ＋1) ＝(－2)×n ＝－2n .4．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n .数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，等比数列{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ q ＋d ＝6，q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－43，q ＝9(舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1. (2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)，即1S n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 5．(2018届高三·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2. 等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12. T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.6．(2017·石家庄模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)．(1)求m 的值；(2)若数列{b n }满足a n 2＝log 2b n (n ∈N *)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和．解：(1)由已知得，a m ＝S m －S m －1＝4，且a m ＋1＋a m ＋2＝S m ＋2－S m ＝14，设数列{a n }的公差为d ，则有2a m ＋3d ＝14， ∴d ＝2.由S m ＝0，得ma 1＋m m －2×2＝0，即a 1＝1－m ，∴a m ＝a 1＋(m －1)×2＝m －1＝4， ∴m ＝5.(2)由(1)知a 1＝－4，d ＝2，∴a n ＝2n －6， ∴n －3＝log 2b n ，得b n ＝2n －3， ∴(a n ＋6)·b n ＝2n ×2n －3＝n ×2n －2. 设数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1×2－1＋2×20＋…＋(n －1)×2n －3＋n ×2n －2，① 2T n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1，② ①－②，得－T n ＝2－1＋20＋…＋2n －2－n ×2n －1 ＝2－1－2n 1－2－n ×2n －1＝2n －1－12－n ×2n －1， ∴T n ＝(n －1)×2n －1＋12(n ∈N *)．。

2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测专题(通用版)(十六)三角函数与解三角形文 Word版含答案

课时跟踪检测（十六）三角函数与解三角形1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值； (2)若sin A ＋sin B ＝3sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72. 由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×2×52＝－15. 即cos C ＝－15. (2)因为sin A ＋sin B ＝3sin C .由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6. ①由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9， ②由①②解得a ＝3，b ＝3.2．(2017·西安八校联考)已知△ABC 内接于单位圆，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若b 2＋c 2＝4，求△ABC 的面积．解：(1)∵2a cos A ＝c cos B ＋b cos C ，∴2sin A cos A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，即2sin A cos A ＝sin(B ＋C )＝sin A .又0＜A ＜π，∴sin A ≠0.∴2cos A ＝1，cos A ＝12. (2)由(1)知cos A ＝12，∴sin A ＝32. ∵a sin A＝2，∴a ＝2sin A ＝ 3. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得bc ＝b 2＋c 2－a 2＝4－3＝1，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×32＝34. 3．(2017·天津模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin A ＋cos A ＝1－sin A 2. (1)求sin A 的值；(2)若c 2－a 2＝2b ，且sin B ＝3cos C ，求b .解：(1)由已知，2sin A 2cos A 2＋1－2sin 2A 2＝1－sin A2，在△ABC 中，sin A 2≠0，因而sin A 2－cos A 2＝12，则sin 2A 2－2sin A 2cos A 2＋cos 2A 2＝14，因而sin A ＝34. (2)由已知sin B ＝3cos C ，结合(1)，得sin B ＝4cos C sin A .法一：利用正弦定理和余弦定理得b ＝4 a 2＋b 2－c 2 2ab×a ，整理得b 2＝2(c 2－a 2)．又c 2－a 2＝2b ，∴b 2＝4b ，在△ABC 中，b ≠0，∴b ＝4.法二：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴2b ＝b 2－2ab cos C ，在△ABC 中，b ≠0，∴b ＝2＋2a cos C ， ①又sin B ＝4cos C sin A ，由正弦定理，得b ＝4a cos C ， ②由①②解得b ＝4.4．(2017·天津五区县模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8 sin 2A ＋B 2－2cos 2C ＝7.(1)求tan C 的值；(2)若c ＝3，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．解：(1)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B 2＝π2－C 2，则sin A ＋B 2＝cos C 2. 由8sin 2A ＋B 2－2cos 2C ＝7，得8cos 2C 2－2cos 2C ＝7，所以4(1＋cos C )－2(2cos 2C －1)＝7，即(2cos C －1)2＝0，所以cos C ＝12. 因为0＜C ＜π，所以C ＝π3，于是tan C ＝tan π3＝ 3. (2)由sin B ＝2sin A ，得b ＝2a . ①又c ＝3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3. ②联立①②，解得a ＝1，b ＝2.5．(2018届高三·湘中名校联考)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解：(1)∵a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝12. 又△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π6. (2)∵B ＝π6， ∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－A ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3.由△ABC 为锐角三角形知，A ＋B ＞π2， ∴π3＜A ＜π2，∴2π3＜A ＋π3＜5π6， ∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＜32， ∴32＜3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＜32，∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.6.(2017·洛阳模拟)如图，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°.(1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长；(2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围．解：(1)由已知，易得∠ACB ＝45°，在△ABC 中，10sin 45°＝CBsin 60°，解得CB ＝5 6.因为AC ∥BD ，所以∠ADB ＝∠CAD ＝30°，∠CBD ＝∠ACB ＝45°，在△ABD 中，∠ADB ＝30°＝∠BAD ，所以DB ＝AB ＝10.在△BCD 中，CD ＝CB 2＋DB 2－2CB ·DB cos 45°＝510－4 3.(2)AC ＋AB ＞BC ＝10，由余弦定理得cos 60°＝AB 2＋AC 2－1002AB ·AC ，即(AB ＋AC )2－100＝3AB ·AC .又AB ·AC ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ＋AC22，所以 AB ＋AC 2－1003≤⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ＋AC22，解得AB ＋AC ≤20，故AB ＋AC 的取值范围为(10,20]．。

通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十八理20180206217

课时跟踪检测（二十八）1．(2017·云南调研)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|m －x |(其中m ∈R)． (1)当m ＝2时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若不等式f (x )≥6对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．解：(1)当m ＝2时，f (x )＝|x ＋1|＋|2－x |，①当x <－1时，f (x )≥6可化为－x －1＋2－x ≥6，解得x ≤－52；②当－1≤x ≤2时，f (x )≥6可化为x ＋1＋2－x ≥6，无实数解； ③当x >2时，f (x )≥6可化为x ＋1＋x －2≥6，解得x ≥72.综上，不等式f (x )≥6的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤－52或x ≥72.(2)法一：因为|x ＋1|＋|m －x |≥|x ＋1＋m －x |＝|m ＋1|，由题意得|m ＋1|≥6，即m ＋1≥6或m ＋1≤－6，解得m ≥5或m ≤－7，即m 的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．法二：①当m <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋m －1，x <m ，－m －1，m ≤x ≤－1，2x ＋1－m ，x >－1，此时，f (x )min ＝－m －1，由题意知，－m －1≥6，解得m ≤－7，所以m 的取值范围是m ≤－7.②当m ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|＋|－1－x |＝2|x ＋1|，此时f (x )min ＝0，不满足题意．③当m >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋m －1，x <－1，m ＋1，－1≤x ≤m ，2x ＋1－m ，x >m ，此时，f (x )min ＝m ＋1，由题意知，m ＋1≥6，解得m ≥5，所以m 的取值范围是m ≥5.综上所述，m 的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．2．(2017·郑州模拟)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |的最小值为4. (1)求a ＋b 的值； (2)求14a 2＋19b 2的最小值．解：(1)因为|x ＋a |＋|x －b |≥|a ＋b |，所以f (x )≥|a ＋b |，当且仅当(x ＋a )(x －b )<0时，等号成立，又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ，所以a ＋b ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＝4，b ＝4－a ，14a 2＋19b 2＝14a 2＋19(4－a )2＝1336a 2－89a ＋169＝1336⎝ ⎛⎭⎪⎫a －16132＋1613，故当且仅当a ＝1613，b ＝3613时，14a 2＋19b 2取最小值为1613. 3．(2018届高三·湖南五市十校联考)设函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋a |. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若不等式f (x )>0在x ∈[2,3]上恒成立，求a 的取值范围．解：(1)a ＝1，f (x )>1⇔|x －1|－2|x ＋1|>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－x ＋1＋x ＋或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，－x ＋1－x ＋>1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x －1－x ＋⇔－2<x ≤－1或－1<x <－23或x ∈∅⇔－2<x <－23，故不等式f (x )>1的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23. (2)f (x )>0在x ∈[2,3]上恒成立⇔|x －1|－2|x ＋a |>0在x ∈[2,3]上恒成立⇔|2x ＋2a |<x －1⇔1－x <2x ＋2a <x －1⇔1－3x <2a <－x －1在x ∈[2,3]上恒成立⇔(1－3x )max <2a <(－x －1)min ⇔－5<2a <－4⇔－52<a <－2.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－2.4．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式|g (x )|<5；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由||x －1|＋2|<5得－5<|x －1|＋2<5，所以－7<|x －1|<3，解得－2<x <4，则不等式|g (x )|<5的解集为{x |－2<x <4}． (2)因为对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围为{a |a ≥－1或a ≤－5}．5．(2018届高三·湘中名校联考)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥5；(2)若存在x 0满足f (x 0)＋|x 0－2|<3，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥5得|x －2|＋|2x ＋1|≥5.当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥5，解得x ≥2，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥5，即x ≥2，所以解集为空集；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥5，解得x ≤－43，所以x ≤－43.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤－43或x ≥2.(2)f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|，∵原命题等价于(f (x )＋|x －2|)min <3，即|a ＋4|<3，∴－7<a <－1.即实数a 的取值范围为(－7，－1)．6．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. 7．(2017·贵阳检测)已知|x ＋2|＋|6－x |≥k 恒成立． (1)求实数k 的最大值；(2)若实数k 的最大值为n ，正数a ，b 满足85a ＋b ＋22a ＋3b＝n .求7a ＋4b 的最小值．解：(1)因为|x ＋2|＋|6－x |≥k 恒成立，设g (x )＝|x ＋2|＋|6－x |，则g (x )min ≥k .又|x ＋2|＋|6－x |≥|(x ＋2)＋(6－x )|＝8，当且仅当－2≤x ≤6时，g (x )min ＝8，所以k ≤8，即实数k 的最大值为8.(2)由(1)知，n ＝8，所以85a ＋b ＋22a ＋3b ＝8，即45a ＋b ＋12a ＋3b＝4，又a ，b 均为正数，所以7a ＋4b ＝14(7a ＋4b )⎝ ⎛⎭⎪⎫45a ＋b ＋12a ＋3b＝14[]a ＋b ＋a ＋3b⎝⎛⎭⎪⎫45a ＋b ＋12a ＋3b ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋a ＋3b 5a ＋b ＋5a ＋b 2a ＋3b ≥14×(5＋4)＝94，当且仅当a ＋3b 5a ＋b ＝5a ＋b 2a ＋3b ，即a ＝5b ＝1552时，等号成立，所以7a ＋4b 的最小值是94. 8．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2.证明：(1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，当且仅当a ＝b 时等号成立．所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca ，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥⎝⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c ＋bc a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc ＋b ⎝⎛⎭⎪⎫a c ＋ca ＋c ⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋ba ≥2a ＋2b ＋2c ＝2，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立.。

2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：28 Word版含解析

跟踪强化训练(二十八)一、选择题1．(2017·河北“五个一名校联盟”二模)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12[解析] 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是：P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1512＝25.故选C. [答案] C2．(2017·邯郸一模)口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则2次取出的球的颜色不相同的概率是( )A.29B.13C.23D.89[解析] 解法一：由题意知，基本事件总数n ＝3×3＝9，记事件M 为“2次取出的球的颜色不相同”，则事件M 所包含的基本事件个数m ＝3×2＝6，所以2次取出的球的颜色不相同的概率P (M )＝mn ＝69＝23，故选C.解法二：由题意知，所有的基本事件为：红红、红白、红黑、白红、白白、白黑、黑红、黑白、黑黑，共9个，其中2次取出的球的颜色相同的基本事件有3个，所以2次取出的球的颜色不相同的概率为1－39＝23.[答案] C3．(2017·四川省成都市高三二诊)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开．则这两位同学能够见面的概率是( )A.1136B.14C.12D.34[解析] 如图所示，以5：30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )＝30×30－2×12×15×1530×30＝34.[答案] D4．(2017·金华十校模拟)下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二次走的是男同学的概率是( )A.12B.13C.14D.15[解析] C 12·A 33A 44＝12，故选A.[答案] A5．(2017·南宁模拟)从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为( )A.225B.13125C.18125D.9125[解析] 从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有53＝125个，但要使各位数字之和等于12且没有重复数字时，则该数只能含有3,4,5三个数字，它们有A 33＝6种；若三位数的各位数字均重复，则该数为444；若三位数中有2个数字重复，则该数为552,525,255，有3种．因此，所求概率为P ＝6＋1＋3125＝225，故选A.[答案] A6．(2017·山东青岛模拟)为了庆祝2016年元旦，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为( )A.3181B.3381C.4881D.5081[解析] 获奖可能情况分两类：①12311；12322；12333； ②12312；12313；12323.①P 1＝3×A 55A 3335，②P 2＝3×A 55A 22·A 2235， ∴P ＝P 1＋P 2＝3A 55⎝ ⎛⎭⎪⎫1A 33＋1A 22A 2235＝5081，故选D.[答案] D 二、填空题7．(2017·湖北武汉模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为________．[解析] 由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：5727 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数， ∴所求概率P ＝1520＝0.75. [答案] 0.758．(2017·青岛模拟)如图所示的阴影部分是由x 轴，直线x ＝1及曲线y ＝e x －1围成的，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是__________．[解析] 由几何概型的概率计算公式可知，所求概率为⎠⎛01(e x－1)d x 1×(e －1)＝e －2e －1.[答案]e －2e －19．(2017·皖南八校联考)某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差D(ξ)＝________.[解析] 从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，选出的男生人数ξ可能为1,2,3，其中，P(ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P(ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P(ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.所以ξ的数学期望E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2，D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25.[答案] 25 三、解答题10．(2017·山东临沂一模)为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛．经过层层选拔，最终甲乙两人进入总决赛，争夺冠军．决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得3分者获胜．已知甲、乙答对每道题的概率分别为23和34，且每次答题的结果相互独立．(1)若乙先答题，求甲3∶0获胜的概率；(2)若甲先答题，记乙所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望E(X )．[解] (1)分别记“甲、乙回答正确”为事件A 、B ，“甲3∶0获胜”为事件C ，则P (A )＝23，P (B )＝34.由事件的独立性和互斥性得：P (C )＝P (B －A B －)＝P (B －)P (A)P (B －)，＝14×23×14＝124.(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×14＝19，P (X ＝1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×34×14＋C 12×13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝19，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋C 12×13×C 12×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×23＝61216，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝107216. X 的分布列为：E (X )＝0×19＋1×19＋2×61216＋3×107216＝467216.11．(2017·广州综合测试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A)＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝k)＝C k4·C 3－k 6C 310(k ＝0,1,2,3)．所以P (X ＝0)＝C 04·C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14·C 26C 310＝12，P (X ＝2)＝C 24·C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34·C 06C 310＝130.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65. 12．(2017·石家庄质检)交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60率，完成下列问题：(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a＝950.记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；(数学期望值保留到个位数字)(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值．[解](1)由题意可知，X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a.由统计数据可知：P(X＝0.9a)＝16，P(X＝0.8a)＝112，P(X＝0.7a)＝112，P(X＝a)＝13，P(X＝1.1a)＝14，P(X＝1.3a)＝112.所以X的分布列为所以E(X)＝0.9a×16＋0.8a×112＋0.7a×112＋a×13＋1.1a×14＋1.3a ×112＝11.9a 12＝1130512≈942.(2)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＋C 1313⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2027.②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为－5000,10000.所以Y 的分布列为所以E (Y )＝－5000×13＋10000×23＝5000，所以该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌的二手车获得利润的期望值为100×E (Y )＝500000元．。

2018年高考理科数二轮创新专题复习：课时跟踪检测十

课时跟踪检测（十）1．(2018届高三·西安八校联考)如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC ，垂足为M .EA ⊥平面ABC ，CF ∥AE ，AE ＝3，AC ＝4，CF ＝1.(1)证明：BF ⊥EM ；(2)求平面BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．解：(1)证明：∵EA ⊥平面ABC ，∴BM ⊥EA ，又BM ⊥AC ，AC ∩EA ＝A ，∴BM ⊥平面ACFE ， ∴BM ⊥EM .①在Rt △ABC 中，AC ＝4，∠BAC ＝30°，∴AB ＝23，BC ＝2，又BM ⊥AC ，则AM ＝3，BM ＝3，CM ＝1.∵FM ＝MC 2＋FC 2＝2，EM ＝AE 2＋AM 2＝32， EF ＝42＋(3－1)2＝25，∴FM 2＋EM 2＝EF 2，∴EM ⊥FM . ② 又FM ∩BM ＝M ，③∴由①②③得EM ⊥平面BMF ，∴EM ⊥BF .(2)如图，以A 为坐标原点，过点A 垂直于AC 的直线为x 轴，AC ，AE 所在的直线分别为y ，z 轴建立空间直角坐标系．由已知条件得A (0,0,0)，M (0,3,0)，E (0,0,3)，B (3，3,0)，F (0,4,1)， ∴BE ―→＝(－3，－3,3)，BF ―→＝(－3，1,1)．设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE ―→＝0，n ·BF ―→＝0，得⎩⎨⎧－3x －3y ＋3z ＝0，－3x ＋y ＋z ＝0，令x ＝3，得y ＝1，z ＝2，∴平面BEF 的一个法向量为n ＝(3，1,2)．因为EA ⊥平面ABC ，所以取平面ABC 的一个法向量为AE ―→＝(0,0,3)．设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，AE ―→〉|＝3×0＋1×0＋2×322×3＝22.故平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为22.2．(2017·云南调研)如图所示，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，AD ＝23，∠ACD ＝60°，E 为CD 的中点．(1)求证：BC ∥平面PAE ；(2)求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵AB ＝3，BC ＝1，∠ABC ＝90°， ∴AC ＝2，∠BCA ＝60°.在△ACD 中，∵AD ＝23，AC ＝2，∠ACD ＝60°， ∴由余弦定理可得：AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ，∴CD ＝4， ∴AC 2＋AD 2＝CD 2，∴△ACD 是直角三角形．又E 为CD 的中点，∴AE ＝12CD ＝CE ＝2，又∠ACD ＝60°，∴△ACE 是等边三角形， ∴∠CAE ＝60°＝∠BCA ，∴BC ∥AE . 又AE ⊂平面PAE ，BC ⊄平面PAE ， ∴BC ∥平面PAE .(2)由(1)可知∠BAE ＝90°，以点A 为原点，以AB ，AE ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,2)，B (3，0,0)，C (3，1,0)，D (－3，3,0)，∴PB ―→＝(3，0，－2)，PC ―→＝(3，1，－2)，PD ―→＝(－3，3，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB ―→＝0，n ·PC ―→＝0，即⎩⎨⎧3x －2z ＝0，3x ＋y －2z ＝0，取x ＝1，则y ＝0，z ＝32，n ＝⎝⎛⎭⎫1，0，32，∴cos 〈n ，PD ―→〉＝n ·PD ―→|n |·|PD ―→|＝－2374·16＝－217，∴直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值为217.3．(2017·武昌调研)如图，在四棱锥S -ABCD 中，AB ∥CD ，BC⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.(1)证明：SD ⊥平面SAB ；(2)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，则D (1,0,0)，A (2,2,0)，B (0,2,0)．设S (x ，y ，z )，显然x >0，y >0，z >0，则AS ―→＝(x －2，y －2，z )，BS ―→＝(x ，y －2，z )，DS ―→＝(x －1，y ，z )．由|AS ―→|＝|BS ―→|，得 (x －2)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2，解得x ＝1.由|DS ―→|＝1，得y 2＋z 2＝1. ① 由|BS ―→|＝2，得y 2＋z 2－4y ＋1＝0.②由①②，解得y ＝12，z ＝32.∴S ⎝⎛⎭⎫1，12，32，AS ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，－32，32，BS ―→＝⎝⎛⎭⎫1，－32，32，DS ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，32， ∴DS ―→·AS ―→＝0，DS ―→·BS ―→＝0，∴DS ⊥AS ，DS ⊥BS ，又AS ∩BS ＝S ，∴SD ⊥平面SAB .(2)设平面SBC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则n ⊥BS ―→，n ⊥CB ―→，∴n ·BS ―→＝0，n ·CB ―→＝0. 又BS ―→＝⎝⎛⎭⎫1，－32，32，CB ―→＝(0,2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－32y 1＋32z 1＝0，2y 1＝0，取z 1＝2，得n ＝(－3，0,2)． ∵AB ―→＝(－2,0,0)，∴cos 〈AB ―→，n 〉＝AB ―→ ·n |AB ―→||n |＝－2×(－3)2×7＝217. 故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为217. 4．(2017·宝鸡质检)如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E 为AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△PBE ，如图②所示，点P 在平面BCDE 上的射影O 落在BE 上．(1)求证：BP ⊥CE ；(2)求二面角B -PC -D 的余弦值．解：(1)证明：∵点P 在平面BCDE 上的射影O 落在BE 上， ∴PO ⊥平面BCDE ，∴PO ⊥CE ，∵CE ＝12＋12＝2，BE ＝12＋12＝2，BE 2＋CE 2＝4＝BC 2，∴BE ⊥CE ，又PO ∩BE ＝O ，∴CE ⊥平面PBE ，∴BP ⊥CE .(2)以O 为坐标原点，以过点O 且平行于DC 的直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B ⎝⎛⎭⎫12，－12，0，C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，D ⎝⎛⎭⎫－12，32，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，22，∴CD ―→＝(－1,0,0)，CP ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－32，22，PB ―→＝⎝⎛⎭⎫12，－12，－22，BC ―→＝(0,2,0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·CD ―→＝0，n 1·CP ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝0，－12x 1－32y 1＋22z 1＝0，令z 1＝2，可得n 1＝⎝⎛⎭⎫0，23，2，为平面PCD 的一个法向量．设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PB ―→＝0，n 2·BC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x 2－12y 2－22z 2＝0，2y 2＝0，令z 2＝2，可得n 2＝(2,0，2)，为平面PBC 的一个法向量． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝3311，由图可知二面角B -PC -D 为钝角，故二面角B -PC -D 的余弦值为－3311.5．如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 是PD 的中点，点F 是PC 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)若底面ABCD 为正方形，探究在什么条件下，二面角C -AF -D 的大小为60°？解：易知AD ，AB ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设AB ＝2a ，AD ＝2b ，AP ＝2c ，则A (0,0,0)，B (2a,0,0)，C (2a,2b,0)，D (0,2b,0)，P (0,0,2c )．连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，则O (a ，b,0)，又E 是PD 的中点，所以E (0，b ，c )．(1)证明：因为PB ―→＝(2a,0，－2c )，EO ―→＝(a,0，－c )，所以PB ―→＝2EO ―→，所以PB ―→∥EO ―→，即PB ∥EO .因为PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)因为四边形ABCD 为正方形，所以a ＝b ，则A (0,0,0)，B (2a,0,0)，C (2a,2a,0)，D (0,2a,0)，P (0,0,2c )，E (0，a ，c )，F (a ，a ，c )，因为z 轴⊂平面CAF ，所以设平面CAF 的一个法向量为n ＝(x,1,0)，而AC ―→＝(2a,2a,0)，所以AC ―→·n ＝2ax ＋2a ＝0，得x ＝－1，所以n ＝(－1,1,0)．因为y 轴⊂平面DAF ，所以设平面DAF 的一个法向量为m ＝(1,0，z )，而AF ―→＝(a ，a ，c )，所以AF ―→·m ＝a ＋cz ＝0，得z ＝－a c ，所以m ＝⎝⎛⎭⎫1，0，－ac ∥m ′＝(c,0，－a )． cos 60°＝|n·m ′||n ||m ′|＝c 2(a 2＋c 2)＝12，得a ＝c .故当AP 与正方形ABCD 的边长相等时，二面角C -AF -D 的大小为60°.。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(十一)直线与圆有解析

课时跟踪检测（十一）直线与圆1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 若a ≠0，则由l 1∥l 2，得a ＋11＝－a 2a ，所以2a ＋2＝－1，即a ＝－32；若a ＝0，则l 1∥l 2.所以a 的值为－32或0.2．在平面直角坐标系xOy 中，若圆x 2＋(y －1)2＝4上存在A ，B 两点关于点P (1,2)成中心对称，则直线AB 的方程为( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0 解析：选B 由题意得圆心(0,1)与点P (1,2)的连线垂直于直线AB ，所以k AB ·2－11－0＝－1，解得k AB ＝－1.而直线AB 过点P ，所以直线AB 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.3．(2017·沈阳一模)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选D 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为(0,3)，又直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则其斜率为1，故直线l 的方程为x －y ＋3＝0.4．(2017·菏泽一模)已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选A 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝112＋(－3)2＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2.5．(2017·惠州三调)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d ＜r ＋1＝3，即d ＝|－a |2＜3，解得－32＜a ＜3 2. 6．(2018届高三·湖北八校联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值为( )A.52 B ．4 C.92D ．9解析：选C 圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，因为直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，故直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)经过圆心(1,2)，即a ＋2b ＝6.又6＝a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝2b ＝3时取等号，故ab 的最大值为92.7．(2017·西安模拟)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|PA |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设P (x ，y )，则由|PA |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个．9．(2016·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x －a )2＋(y －b )2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为( )A ．2 5B ．5 2C ．4D ．8解析：选B ∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝(x ＋2)2＋(0－4)2＋(x ＋1)2＋(0－3)2，∴f (x )的几何意义为点M (x,0)到两定点A (－2,4)与B (－1,3)的距离之和，设点A (－2,4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝(－1＋2)2＋(3＋4)2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．2 5D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2，所以2r ＝55，解得r ＝10. 11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为( )A ．－1或1B ．0或－43C ．1D ．－1解析：选A 设直线l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2，k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝⎝⎛⎭⎫k ＋b x 1⎝⎛⎭⎫k ＋b x 2 ＝k 2＋kb ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2x 1x 2＋b 2x 1x 2＝k 2＋kb⎝⎛⎭⎫－2kb b 2－4＋b 2(1＋k 2)b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4，由k OP ·k OQ ＝k 2，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2，解得k ＝±1.12．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选A 如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ，则|OP |2＋|OQ |2＝|OM |2＝3，∴|AC |2＋|BD |2＝4(4－|OP |2)＋4(4－|OQ |2)＝20.又|AC |2＋|BD |2≥2|AC |·|BD |，则|AC |·|BD |≤10， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |≤12×10＝5，当且仅当|AC |＝|BD |＝10时等号成立， ∴四边形ABCD 面积的最大值为5.故选A.13．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. 设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32，解得x ＝1或x ＝277.即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 14．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意得圆的半径为4，因为△ABC 是直角三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离为22，即|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.答案：－115．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C (3,0)，半径r ＝2，设过原点O 的动直线l 的方程为y ＝kx ，由题意，设A (a ，ka )，B (2a ，2ka )，将A 点坐标代入圆C 的方程得(1＋k 2)a 2－6a ＋5＝0. ①记AB 中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫32a ，32ka ，所以CD ⊥AB ，所以32ka 32a －3＝－1k . ②联立①②，解得⎩⎨⎧a ＝54，k ＝±155，可得点D 坐标为⎝⎛⎭⎫158，±3158，所以圆心C 到直线l 的距离为|CD |＝ ⎝⎛⎭⎫158－32＋⎝⎛⎭⎫31582＝364. 答案：36416．(2017·云南模拟)已知动圆C 过A (4,0)，B (0，－2)两点，圆心C 关于直线x ＋y ＝0的对称点为M ，过点M 的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．解析：依题意知，动圆C 的半径不小于12|AB |＝5，即当圆C 的面积最小时，AB 是圆C 的一条直径，此时点C 是线段AB 的中点，即点C (2，－1)，点M 的坐标为(1，－2)，且|CM |＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝2＜5，所以点M 位于圆C 内，当点M 为线段EF 的中点(过定圆内一定点作圆的弦，以该定点为中点的弦最短)时，|EF |最小，其最小值等于2(5)2－(2)2＝2 3.答案：23。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(十五) 排列、组合与二项式定理

课时跟踪检测（十五）排列、组合与二项式定理1．(2017·宝鸡模拟)我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为( )A ．12B ．8C ．6D ．4解析：选C 由题意知除两端的2个河滩主题公园之外，从中间5个河滩主题公园中调整2个，保留3个，可以从这3个河滩主题公园的4个空中任选2个来调整，共有C 24＝6种方法．2．若⎝⎛⎭⎫9x －13x n (n ∈N *)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为( )A ．84B ．－252C ．252D ．－84解析：选A 由题意可得C 2n ＝36，∴n ＝9.∴⎝⎛⎭⎫9x －13x n ＝⎝⎛⎭⎫9x －13x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9·99－r ·⎝⎛⎭⎫－13r令9－3r 2＝0，得r ＝6. ∴展开式中的常数项为C 69×93×⎝⎛⎭⎫－136＝84.3．(2017·昆明一模)旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为( )A ．24B ．18C ．16D ．10解析：选D 第一类，甲在最后一个体验，则有A 33种方法；第二类，甲不在最后一个体验，则有A 12A 22种方法，所以小李旅游的方法共有A 33＋A 12A 22＝10种．4．(2017·西安二检)将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法种数为( )A ．15B ．21C ．18D ．24解析：选B 分两类，第一类：两个红球分给其中一个人，有A 33种分法；第二类：白球和黄球分给一个人，有A 13种分法；第三类：白球和一个红球分给一个人，有A 33种分法；第四类：黄球和一个红球分给一个人，有A 33种分法．总共有A 33＋A 13＋A 33＋A 33＝21种分法．5．将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 的展开式按x 的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则n 为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 二项式的展开式为T r ＋1＝C r n (x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝C r n ⎝⎛⎭⎫12r ，由前三项系数成等差数列得C 0n ＋C 2n ⎝⎛⎭⎫122＝2C 1n ⎝⎛⎭⎫121，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)，故n ＝8.6．(2017·西安二模)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种解析：选A 1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，所以不同的放球方法有C14C33＋C24C22＝10(种)．7．(2017·广州模拟)将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有()A．150种B．180种C．240种D．540种解析：选A先将5人分成三组，3,1,1或2,2,1，共有C35＋C15×C24·C222！＝25种方法，再将三组学生分到3所学校有A33＝6种方法，共有25×6＝150种不同的保送方法．8．(2017·成都模拟)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为()A．25 B．5C．－15 D．－20解析：选C因为(x＋1)5的展开式的通项公式为T r＋1＝C r5x5－r，令5－r＝2，得r＝3；令5－r＝1，得r＝4，所以(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为－2C35＋C45＝－15.9．(2018届高三·桂林中学摸底)从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程x2 a2＋y2b2＝1中的a和b，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|＜11，且|y|＜9}内的椭圆个数为() A．43 B．72C．863 D．90解析：选B在1,2,3，…，8中任取两个数作为a和b，共有A28＝56个椭圆；在9,10中取一个作为a，在1,2,3，…，8中取一个作为b，共有A12A18＝16个椭圆，由分类加法计数原理，知满足条件的椭圆的个数为56＋16＝72.10．(2018届高三·威海二中调研)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B，C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有()A．24种B．96种C．120种D．144种解析：选B先安排程序A，从第一步或最后一步选一个，有A12种，再把B，C看成一个整体和其余三个程序编排，有A44种，最后B，C排序，有A22种，故共有A12A44A22＝96种．11．在(2x－3y)10的展开式中，奇数项的二项式系数和与各项系数的和的比值为() A．210B．29C.1210 D.129解析：选B令x＝1，y＝1，则各项系数的和为(2－3)10＝1，因为C010＋C210＋C410＋…＋C1010＝C110＋C310＋C510＋…＋C910，C010＋C110＋C210＋C310＋C410＋C510＋…＋C910＋C1010＝210，故奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋C410＋…＋C1010＝29，故奇数项的二项式系数和与各项系数的和的比值为29.12．(2017·衡水二模)已知数列{a n}共有5项，其中a1＝0，a5＝2，且|a i＋1－a i|＝1，i＝1,2,3,4，则满足条件的数列{a n}的个数为()A．2 B．3C．4 D．6解析：选C法一：因为|a i＋1－a i|＝1，所以a i＋1－a i＝1或a i＋1－a i＝－1，即数列{a n}从前往后，相邻两项之间增加1或减少1，因为a1＝0，a5＝2，所以从a1到a5有3次增加1，有1次减少1，故数列{a n}的个数为C34＝4.法二：设b i＝a i＋1－a i，i＝1,2,3,4，∵|a i＋1－a i|＝1，∴|b i|＝1，即b i＝1或－1.a5＝a5－a4＋a4－a3＋a3－a2＋a2－a1＋a1＝b4＋b3＋b2＋b1＝2，故b i(i＝1,2,3,4)中有3个1,1个－1，故满足条件的数例{a n}的个数为C14＝4.13．(2018届高三·湖南五校联考)在(2x＋1)(x－1)5的展开式中含x3项的系数是________．(用数字作答)解析：由题易得二项式的展开式中含x 3项的系数为C 25(－1)2＋2C 35(－1)3＝－10.答案：－1014．(2018届高三·西安八校联考)已知关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n 的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a 的值为________．解析：依题意得2n＝32，n ＝5，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5·(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝C r 5·a r 令15－5r 6＝0，得r ＝3.由C 35·a 3＝10a 3＝80，解得a ＝2. 答案：215．(2018届高三·广西五校联考)已知n ＝∫20x 3d x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23x n 的展开式中常数项为________．解析：n ＝∫20x 3d x ＝14x 4| 20＝4，二项式的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x 4－r ⎝⎛⎭⎪⎫－23x r ＝(－2)r C r 4x 4－43r ，令4－43r ＝0，则r ＝3，展开式中常数项为(－2)3C 34＝－8×4＝－32. 答案：－3216．(2017·中山模拟)由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．解析：当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A 28；当十位数字与千位数字为1,8或8,1时，四位数的个数是A 28A 22；当十位数字与千位数字为2,9或9,2时，四位数的个数是A 28A 22.故所求的四位数的个数是A 28＋A 28A 22＋A 28A 22＝280.答案：280。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(十五)排列、组合与二项式定理含解析

3．（2017·昆明一模)旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为（)A．24 B．18C．16 D．10解析：选D 第一类，甲在最后一个体验，则有A错误!种方法；第二类,甲不在最后一个体验，则有A错误!A错误!种方法,所以小李旅游的方法共有A错误!＋A错误!A错误!＝10种．4．(2017·西安二检）将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法种数为( )A．15 B．21C．18 D．24解析:选B 分两类，第一类：两个红球分给其中一个人，有A错误!种分法；第二类：白球和黄球分给一个人，有A1，3种分法；第三类：白球和一个红球分给一个人,有A33种分法；第四类：黄球和一个红球分给一个人，有A错误!种分法．总共有A错误!＋A错误!＋A错误!＋A错误!＝21种分法．5．将错误!n的展开式按x的降幂排列,若前三项的系数成等差数列,则n为( ）A．6 B．7C．8 D．9解析：选C 二项式的展开式为T r＋1＝C错误!(错误!）n－r错误!r＝C错误!r x324－n r，由前三项系数成等差数列得C错误!＋C错误!错误!2＝2C错误!错误!1，错误!即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1（舍去），故n＝8。

2018届高三理科数学(新课标)二轮复习专题整合高频突破习题专题二函数与导数专题能力训练8 Word版含答案

专题能力训练利用导数解不等式及参数的取值范
围
能力突破训练
.设() ()∈.
()令()'(),求()的单调区间;
()已知()在处取得极大值,求实数的取值范围.
.已知函数()()(其中为自然对数的底数).
()求函数()的单调区间; ()定义:若函数()在区间[](<)上的取值范围为[],则称区间[]为函数()的“域同区间”.试问函数()在(∞)上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域同区间”;若不存在,请说明理由.
.已知函数() 的图象在(为自然对数的底数)处的切线的斜率为.
()求实数的值;
()若()≤对任意>成立,求实数的取值范围;
()当>>(∈*)时,证明:.
.设函数() ,其中∈.
()讨论()的单调性; ()确定的所有可能取值,使得()>在区间(∞)内恒成立(…为自然对数的底数).。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(三) 不等式 Word版含解析

课时跟踪检测（三）不等式1．(2018届高三·湖南四校联考)已知不等式mx 2＋nx －1m ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－12或x ＞2，则m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：选B 由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m ＜0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52.2．已知直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，则2a ＋4b 的最小值为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选B ∵直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，∴a ＋2b ＝1，则2a ＋4b ≥22a ·22b ＝22a ＋2b＝22，当且仅当2a ＝22b ，即a ＝12，b ＝14时取等号．3．(2017·兰州模拟)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y的最小值是( )A ．5B ．7C ．8D ．23解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，对该直线进行平移，可以发现经过⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3的交点A (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值7.4．(2017·贵阳一模)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112解析：选B 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y ＞0，所以x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值为4.5．(2017·云南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≥1，21－x －2，x ＜1，则不等式f (x －1)≤0的解集为( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ≤3}解析：选D 由题意，得f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－2，x ≥2，22－x－2，x ＜2.当x ≥2时，由2x －2－2≤0，解得2≤x ≤3；当x ＜2时，由22－x －2≤0，解得1≤x ＜2.综上所述，不等式f (x －1)≤0的解集为{x |1≤x ≤3}．6．(2017·武汉调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：选B 根据约束条件画出可行域如图①中阴影部分所示．可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点A 处z 有最小值，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12，则a －12＋a ×a ＋12＝7，解得a ＝3或a ＝－5. 当a ＝－5时，如图②，虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．7．(2017·合肥二模)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为x ∈[1,4]，则不等式x 2＋ax －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x －x ，设f (x )＝2x －x ，x ∈[1,4]，由题意得只需a ＜f (x )max ，因为函数f (x )为区间[1,4]上的减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g (x )＝x 2＋ax －2，函数g (x )的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g (x )＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.8．(2017·太原一模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4] C.⎣⎡⎦⎤45，13 D.⎣⎡⎦⎤45，4解析：选C 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝⎛⎭⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，故选C.9．(2017·衡水二模)若关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( ) A.63B.233C.433D.263解析：选C ∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号． ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433.10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．故黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩、20亩时，种植总利润最大．11．已知点M 是△ABC 内的一点，且AB ―→·AC ―→＝23，∠BAC ＝π6，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为23，x ，y ，则4x ＋y xy 的最小值为( )A ．16B ．18C ．20D ．27解析：选D 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . ∵AB ―→·AC ―→＝23，∠BAC ＝π6，∴|AB ―→|·|AC ―→|cos π6＝23，∴bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin π6＝14bc ＝1.∵△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为23，x ，y ，∴23＋x ＋y ＝1，即x ＋y ＝13， ∴4x ＋y xy ＝1x ＋4y ＝3(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝3⎝⎛⎭⎫1＋4＋y x ＋4xy ≥3⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝27，当且仅当y ＝2x ＝29时取等号，故4x ＋y xy的最小值为27.12．(2017·安徽二校联考)当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx －y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0] C.⎣⎡⎦⎤－15，35 D.⎣⎡⎦⎤－15，0 解析：选D 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，y －4＝x得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0，即C (2,0)；由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)．要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0.13．(2018届高三·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．解析：令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：314．(2017·石家庄模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125. 答案：－12515．(2017·成都二诊)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________．解析：ax 2－|x |＋2a ＜0⇒a ＜|x |x 2＋2，当x ≠0时，|x |x 2＋2≤|x |2x 2×2＝24(当且仅当x ＝±2时取等号)，当x ＝0时，|x |x 2＋2＝0＜24，因此要使关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，只需a ≥24，即实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫24，＋∞.答案：⎣⎡⎭⎫24，＋∞16．(2018届高三·福州调研)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y ＋2≤0，x ＋y －4≤0的解集记作D ，实数x ，y 满足如下两个条件：①∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ；②∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a . 则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，不等式组所表示的可行域D 如图中阴影部分(△ABC 及其内部)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，所以点B 的坐标为(2,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1,3)．因为∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ，由图可知，a ≤k OB ，所以a ≤1.由∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a ，设z ＝x －y ，则a ≥z min .当目标函数z ＝x －y 过点C (1,3)时，z ＝x －y 取得最小值，此时z min ＝1－3＝－2，所以a ≥－2.综上可知，实数a 的取值范围为[－2,1]．答案：[－2,1]。

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课时跟踪检测（八）
一、选择题

1．已知函数f(n)＝ n2n为奇数，－n2n为偶数，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋
a
100
＝( )

A．0 B．100 C．－100 D．10 200
解析：选B 由题意，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－
1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋
100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100，故选B.
2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二
人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、
乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五
人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )

A.54钱 B.53钱

C.32钱 D.43钱

解析：选D 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意有






2a1＋d＝3a1＋9d，

2a1＋d＝52，

解得 a1＝43，d＝－16，故选D.
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步
不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思
为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，
走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
A．192里 B．96里
C．48里 D．24里

解析：选B 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝12，依题意有a11－1261－12＝378，解
得a1＝192，则a2＝192×12＝96，即第二天走了96里，故选B.
4．已知数列{an}的通项公式为an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，我们把使乘积
a1·a2·a3·…·an为整数的n
叫做“优数”，则在(0,2 018]内的所有“优数”的和为

( )
A．1 024 B．2 012
C．2 026 D．2 036
解析：选C a1·a2·a3·…·an＝log23·log34·log45·…·log(n＋1)(n＋2)＝log2(n＋
2)＝k，k∈Z，令02

－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝22－291－2－18＝211－22＝2 026.故选C.
5．(2018届高三·湖北七市(州)联考)在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点
(a2n，a2n－1)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn＝( )

A．3n－1 B.1－－n2

C.1＋3n2 D.3n2＋n2
解析：选A 由点(a2n，a2n－1)在直线x－9y＝0上，得a2n－9a2n－1＝0，即(an＋3an－1)(an－
3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，∴an＋3an－1>0，∴an－3an－1＝0，即anan－1＝3，∴数列{an}

是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝a1－qn1－q＝－3n1－3＝3n－1，
故选A.
6．(2017·贵阳检测)正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得 aman＝4a1，且
a
6

＝a5＋2a4，则1m＋4n的最小值是( )

A.32 B．2
C.73 D.256
解析：选A 记等比数列{an}的公比为q，其中q>0，于是有a4q2＝a4q＋2a4，即q2－
q
－2＝0，(q＋1)(q－2)＝0(q>0)，由此解得q＝2.由aman＝16a21得a21×2m＋n－2＝16a21，故m＋
n

＝6，其中m，n∈N*，∴1m＋4n＝161m＋4n(m＋n)＝5＋nm＋4mn6≥5＋2nm×4mn6＝32，当且仅且nm＝
4mn，即m＝2，n＝4时等号成立，∴1m＋4n的最小值为3
2
.
二、填空题
7．对于数列{an}，定义Hn＝a1＋2a2＋…＋2n－1ann为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}
的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S5对任意的n∈N*恒成立，则
实数k的取值范围为________．
解析：由Hn＝2n＋1，
得n·2n＋1＝a1＋2a2＋…＋2n－1an， ①
(n－1)·2n＝a1＋2a2＋…＋2n－2an－1， ②
①－②，得2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n，所以an＝2n＋2，an－kn＝(2－k)n＋2，又Sn≤
S
5

对任意的n∈N*恒成立，所以 a5≥0，a6≤0，即 －k＋2≥0，－k＋2≤0，解得73≤k≤125.

答案：73，125
8．(2017·安阳检测)在数列{an}中，a1＋a22＋a33＋…＋ann＝2n－1(n∈N*)，且a1＝1，若
存在n∈N*使得an≤n(n＋1)λ成立，则实数λ的最小值为________．
解析：依题意得，数列ann的前n项和为2n－1，当n≥2时，ann＝(2n－1)－(2n－1－1)＝

2n－1，且a11＝21－1＝1＝21－1，因此ann＝2n－1(n∈N*)，annn＋＝2n－1n＋1.记bn＝2n－1n＋1，则bn>0，
bn＋1bn＝n＋n＋2＝n＋＋nn＋2>n
＋2

n
＋2

＝1，即bn＋1>bn，数列{bn}是递增数列，数列{bn}的最

小项是b1＝12.依题意得，存在n∈N*使得λ≥annn＋＝bn成立，即有λ≥b1＝12，λ的最
小值是12.
答案：12
9．(2018届高三·湖北七市(州)联考)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝n＋1，则{an}前40
项的和为________．
解析：由an＋1＋(－1)nan＝n＋1，可依次列出n取不同值时数列项之间的关系：
当n＝1时，a2－a1＝2， ①
当n＝2时，a3＋a2＝3， ②
当n＝3时，a4－a3＝4， ③
当n＝4时，a5＋a4＝5， ④
由②－①得a3＋a1＝1，由③＋②得a4＋a2＝7，