运筹学习题答案(第二章)2
最全运筹学习题及答案
最全运筹学习题及答案运筹学习题答案第⼀章（39页）1.1⽤图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
（1）max 12z x x =+ 51x +102x ≤501x +2x ≥1 2x ≤4 1x ，2x ≥0（2）min z=1x +1.52x1x +32x ≥3 1x +2x ≥2 1x ，2x ≥0（3）max z=21x +22x1x -2x ≥-1-0.51x +2x ≤21x ，2x ≥0（4）max z=1x +2x1x -2x ≥031x -2x ≤-31x ，2x ≥0解：（1）（图略）有唯⼀可⾏解，max z=14 （2）（图略）有唯⼀可⾏解，min z=9/4 （3）（图略）⽆界解（4）（图略）⽆可⾏解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
（1）min z=-31x +42x -23x +54x 41x -2x +23x -4x =-21x +2x +33x -4x ≤14-21x +32x -3x +24x ≥21x ，2x ，3x ≥0，4x ⽆约束（2）k i z =1mk x=-∑ik x ≥（1Max s. t .-41x x 1x ,2x(2)解：加⼊⼈⼯变量1x ，2x ，3x ，…n x ，得： Max s=(1/k p )1ni =∑mk =∑ik αik x -M 1x -M 2x -…..-M n xs.t.m（1）max z=21x +32x +43x +74x 21x +32x -3x -44x =8 1x -22x +63x -74x =-31x ,2x ,3x ,4x ≥0(2)max z=51x -22x +33x -64x1x +22x +33x +44x =721x +2x +3x +24x =31x 2x 3x 4x ≥0（1）解：系数矩阵A 是：23141267----?? 令A=(1P ，2P ，3P ，4P )1P 与2P 线形⽆关，以（1P ，2P ）为基，1x ，2x 为基变量。
运筹学考试练习题二答案
1、有3个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征( D )A．有7个变量B．有12个约束C．有6约束D．有6个基变量2、X是线性规划的基本可行解则有( C )A．X中的基变量非零，非基变量为零B．X不一定满足约束条件C．X中的基变量非负，非基变量为零D．X是最优解3、设线性规划的约束条件为则基本可行解为（C）A．(0, 0, 4, 3) B．(3, 4, 0, 0) C．(2, 0, 1, 0) D．(3, 0, 4, 0)4、若线性规划问题的最优解同时在可行解域的两个顶点处达到，那么该线性规划问题最优解为（C）A.两个B.零个C.无穷多个D.有限多个5、若原问题中ix为自由变量，那么对偶问题中的第i个约束一定为（A）A．等式约束B．“≤”型约束C．“≥”约束D．无法确定6、若P为网络G的一条流量增广链，则P中所有正向弧都为G的（D ）A．对边B．饱和边C．邻边D．不饱和边7、对于线性规划问题，下列说法正确的是（D）A线性规划问题可能没有可行解B在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域C线性规划问题如果有最优解，则最优解可以在可行解区域的顶点上到达D上述说法都正确8、在求解运输问题的过程中运用到下列哪些方法（D）A.西北角法B.位势法C.闭回路法D.以上都是二、填空题1、有5个产地5个销地的平衡运输问题，则它的基变量有（9 ）个2、设运输问题求最大值，则当所有检验数（小于等于0 ）时得到最优解3、线性规划中，满足非负条件的基本解称为（基本可行解），对应的基称为（可行基）。
4、线性规划的目标函数的系数是其对偶问题的（右端常数）；而若线性规划为最大化问题，则对偶问题为（最小化问题）。
5、一个（无圈）且（连通）的图称为树。
6、在图论方法中，通常用（点）表示人们研究的对象，用（边）表示对象之间的某种联系。
7、求解指派问题的方法是（匈牙利法）8、求最小生成树问题，常用的方法有：（避圈法）和（破圈法）9、如果有两个以上的决策自然条件，但决策人无法估计各自然状态出现的概率，那么这种决策类型称为（不确定）型决策。
运筹学基础及用课后习题答案(第一二章习题解答)
运筹学基础及应用 习题解答习题一 P46 1.1 (a)该问题有无穷多最优解，即满足210664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。
(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。
1.3 (a)(1) 图解法4最优解即为⎩⎨⎧=+=+8259432121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,1x ，最大值235=z(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ⎩⎨⎧=++=+++++=825943 ..00510 max 4213214321x x x x x x t s x x x x z则43,P P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。
5839,58min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ02>σ，2328,1421min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 231,4321====x x x x 。
最大值 235*=z (b) (1) 图解法 \\最优解即为⎩⎨⎧=+=+524262121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,27x ，最大值217=z(2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式21=+x x 2621+x x1234523124125max 2000515.. 62245z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩则3P ，4P ，5P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表21σσ>。
245min ,,461θ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭02>σ，1533min ,24,522θ⎛⎫== ⎪⎝⎭新的单纯形表为0,21<σσ，表明已找到问题最优解11x =，2 2x =，3152x =，40x =，50x =。
运筹学课后答案2
运筹学（第2版）习题答案2第1章 线性规划 P36~40第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页由于大小限制，此文档只显示第6章到第12章，第1章至第5章见《运筹学课后答案1》习题六6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i ，j ]的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最小部分树内边0],[1j i x ij数学模型为：,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656m in 52,22,233344,510ij ijij i j ij Z c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==++≤++≤++≤++≤+++≤+++≤+++≤++++≤++++≤+++++≤=∑或,[,]i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩所有边6.2如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
图6－42【解】弧(i ，j )的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最短路径中弧0),(1j i x ij数学模型为：,1213122324251323343524344546253545564656m in 100,00110,(,)ijiji jij Z cx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =⎧+=⎪---=⎪⎪+--=⎪⎪+--=⎨⎪++-=⎪⎪+=⎪=⎪⎩∑或所有弧 6.3如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最大流问题的线性规划数学模型。
管理运筹学第二章课后答案
管理运筹学（谢家平）第二章课后答案1 解maxZ=200x1+240x260x1+50x2≤420030x1+40x2≤300060x1+50x2≤4500化成标准型为：maxZ=200x1+240x2+0x3+0x4+0x560x1+50x2+x3=420030x1+40x2+x4=300060x1+50x2+x5=4500**********************最优解如下*************************目标函数最优值为: 18400变量最优解相差值------- -------- --------x1 20 0x2 60 0约束松弛/剩余变量对偶价格------- ------------- --------1 0 .8892 0 4.8893 300 0目标函数系数范围:变量下限当前值上限------- -------- -------- --------x1 180 200 288x2 166.667 240266.667常数项数范围:约束下限当前值上限------- -------- -------- --------1 3750 4200 45002 2100 3000 33603 4200 4500 无上限最优生产方案是生产甲产品20，生产乙产品60。
x3=0，x4=0，x5=300说明：生产甲乙产品的材料为瓶颈材料增加材料会增加甲乙二设备D为富余设备。
因为甲产品上升100大于88所以甲需要调整，而乙产品下降的60小于73.33所以不需要调整。
由表可知非紧缺资源最多可以减少300，紧缺资源分别可以增加300,360。
2 设项目第一二三年年初投资为x1,x5x6;项目I第一年年初投资x2项目III第二年年初投资为x3项目IV第三年年初投资为x4MaxZ=0.2x1+0.5x2+0.6x3+0.4x4+0.2x5+0.2x6+30X1+X2≤30X2≤20X5+x3≤30—（x1+x2）+1.2x1X3≤15X6+x4≤30-（x1+x2）+1.2x1-x5-x3+1.5x2X4≤10X1,x2,x3,x4,x5,x6≥0**********************最优解如下*************************目标函数最优值为: 27.5变量最优解相差值------- -------- --------x1 12.5 0x2 17.5 0x3 15 0x4 10 0x5 0 .3x6 16.25 0约束松弛/剩余变量对偶价格------- ------------- --------1 0 .32 2.5 03 0 .34 0 .15 0 .26 0 .2目标函数系数范围:变量下限当前值上限------- -------- -------- --------x1 .08 .2 .56x2 .14 .5 .62x3 .5 .6 无上限x4 .2 .4 无上限x5 无下限.2 .5x6 0 .2 .28常数项数范围:约束下限当前值上限------- -------- -------- --------1 15 30 452 17.5 20 无上限3 9 30 334 12 15 285 13.75 30 无上限6 0 10 26.25项目一一二三年年初投资为12.5, 0，16.25项目二第一年初投资为17.5项目三第二年年初投资为15项目四年初投资为10 万元3设五种家具分别为x1，x2，x3，x4，x5。
运筹学课后习题答案
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第一章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 复习思考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 第二章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 复习思考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 第 三 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 第 四 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 第 五 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 第 六 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 第 七 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
运筹学第二章答案
1．某人根据医嘱，每天需补充A 、B 、C 三种营养，A 不少于80单位，B 不少于150单位，C 不少于180单位．此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分．已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示．（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A ，B ，C 三种营养成分．试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型．表2-22【解】（1）设x j 为每天第j 种食物的用量，数学模型为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥++++≥+++++≥++++++++++=01801034217181501512253092480118401425132.03.09.08.04.05.0min 65432154321654321654321654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 、、、、、（2）设y i 为第i 种单位营养的价格，则数学模型为12312312312312312312123m ax 801501801324180.525970.41430210.84025340.9812100.311150.5,,0w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎪++≤⎨⎪++≤⎪⎪++≤⎪≥⎩2．写出下列线性规划的对偶问题 （1）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤+-+-=0,451342max 21212121x x x x x x x x 【解】12121212m in 42354,0w y y y y y y y y =-+-+≥-⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+--=++-=0,8310232min 32132121321x x x x x x x x x x x Z 无约束， 【解】121212212m ax 108223130w y y y y y y y y y =+-=⎧⎪-=-⎪⎨≤⎪⎪≥⎩无约束；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++-≥--+=--+-++=无约束43214321432143214321,0,0,66841052678410342max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 【解】123123123123123123m in 8106107416822644530,0w y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≥⎧⎪+-≥⎪⎪--+≤⎨⎪--+=-⎪≤≥⎪⎩无约束； （4）12341234134123411234m ax 236732696562225100,,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++--+-=⎧⎪+-≥⎪⎪-+-+≤-⎨⎪≤≤⎪≥⎪⎩无约束【解】123412341341234111234m ax 236732696562225100,,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++--+-=⎧⎪+-≥⎪⎪-+-+≤-⎪⎨≥⎪⎪≤⎪≥⎪⎩无约束对偶问题为： 12345123451212312312345m in 962+510362223566270,000w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x =--+--+-≥-⎧⎪-+=⎪⎪--=⎨⎪-++=-⎪≤≥≤≥⎪⎩无约束；，，， 3．考虑线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥++=0,73225442012min 2121212121x x x x x x x x x x Z(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解； (3)利用公式C B B －1求原问题的最优解； (4)利用互补松弛条件求原问题的最优解． 【解】(1)原问题的对偶问题为123123123m ax 427212453200,1,2,3jw y y y y y y y y y y j =++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X ＝(2，1)、Y ＝(1，0，1)，由定理2.4知都有最优解。
运筹学清华大学第四版答案
运筹学清华大学第四版答案【篇一：运筹学作业2(清华版第二章部分习题)答案】s=txt>2．1 题（p. 77）写出下列线性规划问题的对偶问题：????（1）?????maxz?2x1?2x2?4x3s.t.x1?3x2?4x3?22x1?x2?3x3?3x1?4x2? 3x3?5x1?0，x2?0,x3无约束；解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：?maxw?2y1?3y2?5y3?s.t.y1?2y2?y3?2??3y1?y2?4y3?2 ? ?4y1?3y2?3y3?4?y1?0,y2?0,y3?0??mn?minz???cijxij?i?1j?1?n???cijxij?ai,i?1,?,m（2）? j?1?n??cijxij?bj,j?1,?,n?j?1???xij?0,i?1,?,m;j?1,?,n解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：mn??maxw??aiui??bjvji?1j?1??ui?vj?cij ??i?1,?,m;j?1,?,n???ui无约束，vj无约束2．2判断下列说法是否正确，为什么？（1）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；答：错。
因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。
但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。
maxz?3x1?x2例如原问题s.t.?x1?x2?1?x2?3??x?0,x?02?1有可行解，但其对偶问题minw?y1?3y2s.t.?3?y1?y2?1?y1??y?0,y?02?1无可行解。
（2）如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；答：错，如（1）中的例子。
（3）在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或求极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值。
答：错。
正确说法是：在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，求极大的问题可行解的目标函数值一定不超过求极小的问题可行解的目标函数值。
运筹学习题答案
运筹学习题答案第⼀章习题1.思考题（1）微分学求极值的⽅法为什么不适⽤于线性规划的求解？（2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把⼀般的线性规划化为标准形式？（3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？（4）什么是线性规划的可⾏解，基本解，基可⾏解？引⼊基本解和基可⾏解有什么作⽤？（5）对于任意基可⾏解，为什么必须把⽬标函数⽤⾮基变量表⽰出来？什么是检验数？它有什么作⽤？如何计算检验数？（6）确定换出变量的法则是什么？违背这⼀法则，会发⽣什么问题？（7）如何进⾏换基迭代运算？（8）⼤M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？（9）松弛变量与⼈⼯变量有什么区别？试从定义和处理⽅式两⽅⾯分析。
（10）如何判定线性规划有唯⼀最优解，⽆穷多最优解和⽆最优解？为什么？2.建⽴下列问题的线性规划模型：（1）某⼚⽣产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所⽰：润最⼤的模型。
（2）某公司打算利⽤具有下列成分（见表1-19）的合⾦配制⼀种新型合⾦100公⽄，新合⾦含铅，锌，锡的⽐例为3：2：5。
如何安排配⽅，使成本最低？（3）某医院每天各时间段⾄少需要配备护理⼈员数量见表1-20。
表1-20假定每⼈上班后连续⼯作8⼩时，试建⽴使总⼈数最少的计划安排模型。
能否利⽤初等数学的视察法，求出它的最优解？（4）某⼯地需要30套三⾓架，其结构尺⼨如图1-6所⽰。
仓库现有长6.5⽶的钢材。
如何下料，使消耗的钢材最少？图1-63. ⽤图解法求下列线性规划的最优解：≥≤+-≥+≥++=0,425.134 12 64 min )1(2121212121x x x x x x x x x x z≥≤+≥+-≤++=0,82 5 1032 44 max )2(2121212121x x x x x x x x x x z≥≤≤-≤+-≤++=0,6 054 422232 96 max )3(21221212121x x x x x x x x x x x z≥≤+-≥++=0,1 1234 3 max )4(21212121x x x x x x x x z4. 把下列线性规划化为标准形式：≥≤=-++-≥-+≤-+-+-=⽆约束432143213214313210,,01 32 212 min )1(x x x x x x x x x x x x x x x x x z≤≤≥+-≤++=⽆约束211212121,02182 32 max )2(x x x x x x x x x z5. 判定下列集合是否凸集：（1）R 1=｛(x 1,x 2)|x 12+2x 22≤2｝（2）R 2=｛(x 1,x 2)|x 12－2x 2+3≥0,x 2≥0,|x 1|≤1｝（3）R 3=｛(x 1,x 2)|x 1x 2≥1,x 1≥1,x 2≥0｝6. 求出下列线性规划的所有基本解，并指出其中的基可⾏解和最优解。
运筹学第2章答案
2.1某人根据医嘱，每天需补充A 、B 、C 三种营养，A 不少于80单位，B 不少于150单位，C 不少于180单位．此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分．已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示．（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A ，B ，C 三种营养成分．试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型．表2-22j ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥++++≥+++++≥++++++++++=01801034217181501512253092480118401425132.03.09.08.04.05.0min 65432154321654321654321654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 、、、、、（2）设y i 为第i 种单位营养的价格，则数学模型为12312312312312312312123m ax 801501801324180.525970.41430210.84025340.9812100.311150.2,,0w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎪++≤⎨⎪++≤⎪⎪++≤⎪≥⎩2.2写出下列线性规划的对偶问题（1）123123123123m in 3536824,,0x x x x x x x x x x x x =++-++≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩ 【解】1212121212m ax 84233561,0w y y y y y y y y y y =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪≥⎩（2）12312123123m ax 2329310,0Z x x x x x x x x x x x =-++=⎧⎪--+≤⎨⎪≥⎩无约束， 【解】121212212m in 910223130w y y y y y y y y y =+-=⎧⎪-≥-⎪⎨≥⎪⎪≥⎩无约束；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++-≥--+=--+-++=无约束43214321432143214321,0,0,66841052678410342max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 【解】123123123123123123m in 8106107416822644530,0w y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≥⎧⎪+-≥⎪⎪--+≤⎨⎪--+=-⎪≤≥⎪⎩无约束； （4）12341234134123411234m ax 236732696562225100,,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++--+-=⎧⎪+-≥⎪⎪-+-+≤-⎨⎪≤≤⎪≥⎪⎩无约束【解】123412341341234111234m ax 236732696562225100,,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++--+-=⎧⎪+-≥⎪⎪-+-+≤-⎪⎨≥⎪⎪≤⎪≥⎪⎩无约束对偶问题为： 12345123451312312312345m in 962+510362223566270,000w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =+-++-++≥-⎧⎪-+=⎪⎪+-=⎨⎪--+=-⎪≤≥≤≥⎪⎩无约束；，，， 2.3考虑线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥++=0,73225442012min 2121212121x x x x x x x x x x Z(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解；(3)利用公式C B B －1求原问题的最优解； (4)利用互补松弛条件求原问题的最优解． 【解】(1)原问题的对偶问题为123123123m ax 427212453200,1,2,3j w y y y y y y y y y y j =++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X ＝(2，1)、Y ＝(1，0，1)，由定理2.4知都有最优解。