数学中的基本初等函数
五类基本初等函数及图形
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
基本初等函数.定义
五类基本初等函数·定义在高中数学中，无论文科理科，函数都占据了所考内容的半壁江山。
总的来说，高中所要解决的函数问题主要是基本初等函数问题与初等函数问题。
高中基本初等函数包括五类：多项式函数（一次函数、二次函数）、指数函数、对数函数、幂函数与三角函数；而所谓的初等函数只是基本初等函数经过有限次的有理运算（÷⨯-+、、、等）与复合，生成的有解析式表示的函数。
①多项式函数一次函数（直线）：形如()()R x a b ax x f y ∈≠+==,0的函数，叫做一次函数； 二次函数（抛物线）：形如()()R x a c bx ax x f y ∈≠++==,02的函数，叫做二次函数。
②指数函数形如()()R x a a a x f y x ∈≠>==,1,0的函数，叫做指数函数。
函数13213+⋅=+x y 是否为指数函数；指出使函数b a c y n m x +⋅=+为指数函数时，满足条件的n m c b a ,,,,。
③对数函数形如()()0,1,0log >≠>==x a a x x f y a 的函数，叫做对数函数。
函数()113log 23++⋅=x y 是否为对数函数；指出使函数()b n mx c y a ++⋅=log 为对数函数时，满足条件的n m c b a ,,,,。
④幂函数形如()()0,≠∈==x R x x f y αα的函数，叫做幂函数。
函数()113221++⋅=x y 是否为幂函数；指出使函数()b n mx a y ++⋅=α为幂函数时，满足条件的n m b a ,,,。
⑤三角函数正弦函数()x x f y sin ==；余弦函数()x x f y cos ==；正切函数()x x f y tan ==。
函数()12sin 2++⋅=πx y 是否为正弦函数；我们把()ϕω+=x A y cos 称为什么函数。
基本初等函数
●
当0<a<1, b>1时，y=logab<0;
●
当a>1, 0<b<1时，y=logab<0。
● 注意：负数和0没有对数。
● 4.三角函数 ● 以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为
因变量的函数叫三角函数 ● 不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观
或者计算得出，称为三角恒等式。 ● 常见三角函数主要有以下 6 种：
● （4）单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数；0<a<1时，在定义域上为单调减函数；
● （5）奇偶性：非奇非偶函数
● （6）周期性：不是周期函数
● （7）零点：x=1
● （8）若y=logab （其中a>0,a≠1，b>0）
●
当0<a<1, 0<b<1时，y=logab>0;
●
当a>1, b>1时，y=logab>0;
End
● 7.常数函数 y=C（C为常数） ● 常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数 ● f(X)是一个常数函数,f(X)与其他任何函数的复合函数仍是一个常数函数。 ● 任一定义域和值域相同的常数函数是等幂的。 任一拓扑空间上的常数是连续的。 在一个
连通集合中，当且仅当f是常数时，它是局部常数
● 3.对数函数 y=loga x（a>0且a=/1，x>0）
● （1）定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大 于0以外，还应注意底数大于0且不等于1.
● （2）值域：实数集R，对数函数无界；
基本初等函数证明
基本初等函数证明基本初等函数是指由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数通过有限次的四则运算和函数复合所得到的函数。
在数学证明中，我们需要使用一些基本逻辑推理和常见数学性质来证明有关基本初等函数的一些性质。
一、常数函数常数函数是指对于给定的实数集，函数始终取某一个固定的值。
我们可以用以下方式来证明常数函数的性质：1. 任何数的平方大于等于0，即对于任意实数x，x^2 ≥ 0。
这可以通过平方的定义和乘法的性质来证明。
2. 对于任意实数a和b，常数函数c(x) = a + b是线性函数。
我们可以使用加法和乘法的性质来证明常数函数之和是线性函数的性质。
3. 常数函数c(x) = a * x是线性函数。
同样地，我们可以使用加法和乘法的性质来证明常数函数乘以变量是线性函数的性质。
二、幂函数幂函数是指函数的形式为f(x) = x^n，其中n是一个实数。
我们可以用以下方式来证明幂函数的性质：1. 对于任意实数a，幂函数f(x) = a^x是指数函数。
这可以通过指数的定义和乘法的性质来证明。
2. 幂函数f(x) = x^n中的n为正整数时，函数为单调递增函数。
这可以通过比较不同幂函数的大小来证明。
3. 幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
这可以通过导数的定义和幂函数的性质来证明。
三、指数函数指数函数是指函数的形式为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1。
我们可以用以下方式来证明指数函数的性质：1. 指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以自然数e为底的对数。
这可以通过导数的定义和指数函数的性质来证明。
2. 指数函数f(x) = a^x中，a趋近于无穷大时，函数趋近于无穷大；a趋近于0时，函数趋近于0。
这可以通过指数的性质和极限的定义来证明。
四、对数函数对数函数是指函数的形式为f(x) = log_a(x)，其中a是一个正实数且a≠1。
函数的基本初等函数与复合函数
函数的基本初等函数与复合函数函数作为数学中重要的概念，是数学研究的核心内容之一。
本文将探讨函数的基本初等函数与复合函数，并介绍它们的定义、性质和应用。
1. 基本初等函数基本初等函数是指一些常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
每个基本初等函数都有其独特的性质和特点。
1.1 常数函数常数函数是指函数图像上所有的点都位于同一条水平线上，即对于任意的x值，函数的取值都是一个常数。
常数函数的表达式为f(x) = C，其中C为常数。
1.2 幂函数幂函数是指函数的定义域为全体实数，并且函数表达式为f(x) = x^a，其中a为实数指数。
幂函数的图像呈现出平滑的曲线，且取决于指数a的不同而有不同的特征。
1.3 指数函数指数函数是以常数e为底的幂函数，其定义域为全体实数。
指数函数的表达式为f(x) = e^x，其中e约等于2.71828。
指数函数具有快速上升的特点，是模型中常见的函数之一。
1.4 对数函数对数函数是指以某个正实数为底的幂函数的反函数，其定义域为正实数集合。
对数函数的表达式为f(x) = log_a(x)，其中a为底数。
对数函数具有递增且变化逐渐减缓的特点。
1.5 三角函数与反三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，其定义域为全体实数。
三角函数具有周期性和周期性平移的特点。
反三角函数是指三角函数的反函数，其定义域和值域视情况而定。
2. 复合函数复合函数是指多个函数的组合形成的新的函数。
设有两个函数f(x)和g(x)，则其复合函数为f(g(x))。
复合函数的性质取决于原函数之间的关系。
复合函数的定义要求满足两个函数的定义域和值域相互对应，且内层函数的值域必须是外层函数的定义域。
复合函数的运算法则是由内到外进行运算。
3. 应用基本初等函数和复合函数在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在数学上，基本初等函数是构建更复杂函数的基础，通过组合使用这些基本函数，可以推导出其他函数的性质和特点。
6类基本初等函数以及三角函数(考研数学基础)
基本初等函数及图形(1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数）(2) 幂函数 μx y =，μ是常数；(3) 指数函数 xa y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；(4) 对数函数x y a log =(a是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当u>1时在原点处与X 轴相切。
且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称；2. 当u 为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数。
3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。
函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原点对称4. 当u 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数.1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减.2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方.3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.(5) 三角函数正弦函数xy sin=，),(+∞-∞∈x，]1,1[-∈y，余弦函数xy cos=，),(+∞-∞∈x，]1,1[-∈y，正切函数xy tan=，2ππ+≠kx，k Z∈，),(+∞-∞∈y，1.他的图形为于y轴的右方.并通过点(1,0)2.当a>1时在区间(0,1),y的值为负.图形位于x的下方,在区间(1, +∞),y值为正,图形位于x轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到/余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；(6)反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数xy cotarc=，),(+∞-∞∈x，),0(π∈y．小结：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不论x为何值,y总为正数;b):当x=0时,y=1.对数函数a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点b):当a＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(1,+∞)的值为正；在定义域内单调增.幂函数(a为任意实数)这里只画出部分函数图形的一部分。
《函数基本初等函数》课件
函数的性质
01
函数的性质包括奇偶性 、单调性、周期性等。
02
03
奇偶性是指函数图像关 于原点对称还是关于y轴 对称的性质。
单调性是指函数在某个 区间内单调递增或单调 递减的性质。
04
周期性是指函数具有周 期性的性质，即函数图 像每隔一定的周期重复 出现。
02 初等函数的分类
一次函数
总结词
线性关系，简单直观
03 初等函数的运算
加法运算
总结词：基本运算
详细描述：加法是初等函数中最基本的运算之一，它涉及到将两个函数的输出值 相加，以得到新的函数值。在进行加法运算时，需要确保函数的定义域相同，以 便进行有效的加法操作。
减法运算
总结词：逆向运算
详细描述：减法是加法的逆向运算，通过将一个函数的输出值减去另一个函数的输出值，可以得到新的函数值。与加法运算 类似，减法运算也需要在相同的定义域内进行。
对数函数的图像与性质
对数函数
$y = log_a x$，其中$a > 0, a neq 1$。
图像
在第一象限的曲线。
性质
当$0 < a < 1$时，函数在$(0, +infty)$上单调递减；当$a > 1$时， 函数在$(0, +infty)$上单调递增。
05 函数的应用
一次函数的应用
一次函数在生活中的应用非常 广泛，例如在计算时间与速度 的关系、路程与速度的关系等
在工程设计中，幂函数也扮演着重要的角色，例如在计算机械零件的弹性模量、导 热系数等方面都会用到幂函数。
指数函数的应用
指数函数在金融领域中有着广泛的应 用，例如在计算复利、评估股票价格 等方面都会用到指数函数。
6类基本初等函数以及三角函数(考研数学基础)
x
[1,1]
，
y
[
2
,
2
]
，
反余弦函数 y arccos x ， x [1,1]， y [0, ] ，
反正切函数
y
arctan
x
，
x
(,)
，
y
(
2
,
2
)
，
反余切函数 y arccot x ， x (,) ， y (0, ) ．
小结：
函数名称 指数函数
函数的记号
对数函数
函数的图形
函数的性质 a):不论 x 为何值,y 总为正数; b):当 x=0 时,y=1. a):其图形总位于 y 轴右侧,并过(1,0)点 b):当 a＞1 时,在区间(0,1)的值为负；在区间 (1,+∞)的值为正；在定义域单调增.
九、辅助角公式
asin x bcosx a2 b2 sin(x ) （）
其中：角 的终边所在的象限与点 (a,b) 所在的象限相同，
sin b ， cos a ， tan b 。
a2 b2
a2 b2
a
十、正弦定理
a b c 2R （ R 为 ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
sin（π－α）=sinα cos（π－α）=-cosα tan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα
sin（α-π）=－sinα cos（α-π）=－cosα tan（α-π）=tanα cot（α-π）=cotα sec(α-π)=-secα csc(α-π)=－cscα
四、和角公式和差角公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan
基本初等函数证明
基本初等函数证明首先，我们来讨论基本初等函数的定义。
基本初等函数是指由常数函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次的四则运算和函数复合得到的函数。
对于这些函数，我们可以通过一些基本的性质和定理来进行证明。
一、常数函数：常数函数是指对于任意实数x，函数值都是一个常数。
常数函数的性质很简单，我们可以通过以下例子来进行证明：例1：证明常数函数的导数为0。
已知常数函数为f(x) = a，其中a为常数。
对于任意实数x1和x2，它们的差为Δx = x2 - x1，则有f(x2) - f(x1) = a - a = 0。
由导数的定义可知，导数f'(x) = lim（Δx->0）（f(x2) - f(x1)）/（x2 - x1） = 0。
二、指数函数：指数函数是以常数e（自然对数的底）为底的幂函数。
它具有以下性质：性质1：指数函数f(x) = e^x的导数为它本身。
证明：根据指数函数的定义，知道f(x+h) = e^(x+h) = e^x * e^h，所以f'(x) = lim（h->0）（f(x+h) - f(x)）/h = lim（h->0）(e^x *e^h - e^x) / h = e^x * lim（h->0）(e^h - 1) / h。
由于lim（h->0）(e^h - 1) / h = 1，所以f'(x) = e^x。
性质2：指数函数的导数等于它的斜率。
证明：由指数函数的导数f'(x) = e^x可得，函数f(x)在任意一点的斜率等于e^x，也就是说切线的斜率等于函数值。
三、对数函数：对数函数是指以指数为底的幂函数的反函数。
以下是对数函数的性质：性质1：对数函数f(x) = log_a(x)（a>0且a≠1）的导数为1 /（x * ln(a)）。
证明：由对数函数的定义可知，对于任意实数x1和x2，x1 =a^y1，x2 = a^y2。
初 等 函 数
初等函数
【例32】
某单位要建造一个容积为V的长方体水池，它的底为正方形. 如果池底的单位面积造价为侧面积造价的2倍，试建立总造价与底 面边长之间的函数关系.
谢谢聆听
初等函数
【例31】
某工厂生产电视机年产量为x台，每台售价1 200元.当年产量 在500台以内，可以全部售出.经广告宣传后又可以再多出售300台， 每台平均广告费为40元，若生产再多，本年就销售不出去了.试建 立本年的销售总收入y与年产量x的关系.
解因为总收入＝产量×单价，根据题意可列出函数关系如下：
图 1-22
初等函数
图 1-23
初等函数
其中sh x，th x，cth x都是奇函数，ch x是偶函数. sh x，ch x，th x
反双曲正弦函数y=arsh x. 反双曲余弦函数y=archx. 反双曲正切函数y=arth x. 同样，反双曲函数可以通过自然对数函数来表示，这里不作介 绍. 用数学工具解决实际问题时，往往需要建立相应的数学模型， 其中一类较简单的问题是建立函数关系.下面给出两个子.
初等函数
初等函数
(1)幂函数：y=xα(α∈R是常数) (2)指数函数：y=ax(a>0， 且a≠1) (3)对数函数：y=logax(a>0， 且a≠1) (4)三角函数：y=sin x，y=cosx，y=tanx， y=cotx，y=sec x，y=csc x (5)反三角函数：y=arcsinx，y=arccosx， y=arctan x，y=arccotx等.
是由几个式子表示的函数，因而不是初等函数.但是，由 于分段函数在其子定义域内通常都是初等函数，所以仍可通 过初等函数来研究它们.
初等函数
在工程技术中经常要用到一类初等函数是双曲函数，它们是由指 数函数y=ex与y=e-x生成的初等函数，它们的定义和符号如下：
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方
根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，
正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表
示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．
②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当
n
为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a．
③根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数
时， (0)|| (0) nnaaaaaa．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且
1)n
．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：
11
()()(0,,,mmmnnnaamnNaa
且1)n．0的负分数指数幂没有意
义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)rsrsaaaarsR ②()(0,,)rsrsaaarsR
③()(0,0,)rrrabababrR
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
函数名称 指数函数
定义
函数(0xyaa且1)a叫做指数函数
图象
1a 01a
定义域
R
值域
(0,)
过定点
图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
函数值的
变化情况
1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax 1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax
a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a
越大
图象越低．
〖2.2〗对数函数
x
ay
x
y
(0,1)
O1yxayxy(0,1)O
1y
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作
logaxN
，其中a叫做底数，N叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaNaaN．
（2）几个重要的对数恒等式
log10a，log1aa
，logbaab．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中
2.71828e
…）．
（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aaMN，那么
①加法：logloglog()aaaMNMN ②减法：
logloglogaaaMMNN
③数乘：loglog()naanMMnR ④logaNaN
⑤loglog(0,)bnaanMMbnRb ⑥换底公式：
loglog(0,1)logbabN
Nbba且
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
函数 对数函数
名称
定义
函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数
图象
1a 01a
定义域
(0,)
值域
R
过定点
图象过定点(1,0)，即当1x时，0y．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数
函数值的
变化情况
log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx
a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a
越
大图象越靠高．
(6)反函数的概念
设函数()yfx的定义域为A，值域为C，从式子()yfx中解出x，
x
y
O
(1,0)
1x
logayx
x
y
O
(1,0)
1x
logayx
得式子()xy．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，
x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x
是y的
函数，函数()xy叫做函数()yfx的反函数，记作1()xfy，习惯
上改写成1()yfx．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()yfx中
反解出1()xfy；
③将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数()yfx与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称．
②函数()yfx的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定
义域．
③若(,)Pab在原函数()yfx的图象上，则'(,)Pba在反函数
1()yfx
的图象上．
④一般地，函数()yfx要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．
（2）幂函数的图象 课堂画
（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂
函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是
奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非
偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增
函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限
内，图象无限接近x轴与y轴．
④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数
为偶函数．当qp（其中,pq互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数
时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，
若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象
在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若
01x，其图象在直线yx上方，若1x
，其图象在直线yx下方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：2()(0)fxaxbxca②顶点式：2()()(0)fxaxhka③
两根式：12()()()(0)fxaxxxxa（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有
关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用
两根式求()fx更方便．
（3）二次函数图象的性质
①二次函数2()(0)fxaxbxca的图象是一条抛物线，对称轴方程为
,2bxa
顶点坐标是24(,)24bacbaa．
②当0a时，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在
[,)2ba
上递增，当2bxa时，2min4()4acbfxa；当0a时，抛物线开口向下，
函数在(,]2ba上递增，在[,)2ba上递减，当2bxa时，
2
max
4()4acbfxa
．
③二次函数2()(0)fxaxbxca当240bac时，图象与x轴有两
个交点11221212(,0),(,0),||||||MxMxMMxxa．
（4）一元二次方程20(0)axbxca根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识
在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法
偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的
运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方
程实根的分布．
设一元二次方程20(0)axbxca的两实根为12,xx，且12xx．令
2
()fxaxbxc
，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：
a
②对称轴位置：2bxa ③判别式： ④端点函数值符号．
总结：