6.2.3 解一元一次方程——去括号法
解一元一次方程的四种技巧
解一元一次方程的四种技巧孙昌晋(江苏省连云港新海实验中学ꎬ江苏连云港２２２０００)摘㊀要:一般来说ꎬ解答一元一次方程的大概步骤主要包括:去分母㊁去括号㊁移项㊁合并同类项ꎬ再把未知数的系数化为１.然而ꎬ这个适用于大部分一元一次方程的方法ꎬ也有它不能解决的问题.对形式特殊的一元一次方程ꎬ就要先找到方程的特殊结构ꎬ再选取合适的方法进行求解.解题过程简单ꎬ不仅可以提高解题速度ꎬ还能拓宽思维ꎬ使学习效果显著提升.下面举例来帮助同学更好地解决特殊的一元一次方程.关键词:一元一次方程ꎻ解题技巧ꎻ解题方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１４－００２０－０２收稿日期:２０２３－０２－１５作者简介:孙昌晋(１９８４.２－)ꎬ男ꎬ江苏省连云港人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.１去括号的技巧例１㊀解方程:３２[２３(１４ｘ－１)－２]－２＝ｘ.解析㊀通过仔细观察这个方程式我们可以发现ꎬ题目中括号里面的２３和括号最外面的３２是一组互为倒数的数ꎬ又因为３２乘以－２等于－３ꎬ因此ꎬ我们去括号就需要从外向内进行比较好.解㊀先去中括号ꎬ可得(１４ｘ－１)－３－２＝ｘꎬ化简得到１４ｘ－１－５＝ｘꎬ解得ｘ＝－８.例２㊀解方程１２{１２[１２(１２ｘ－２)－２]－２}－２＝４.解析㊀先观察方程式ꎬ常数４在方程的右边ꎬ方程的左边有一个－２ꎬ我们可以利用合并同类项的方法将右边的常数４和左边的－２合并相加减以后ꎬ方程的左边化成积的式子ꎬ再去掉大括号的系数ꎬ要去大括号就需要用去分母的方式ꎬ经过整理以后得到的式子的形式与原方程是相同的.解㊀先从常数项着手ꎬ移项ꎬ合并同类项后有:１２{１２[１２(１２ｘ－２)－２]－２}＝６.将分母去掉ꎬ可以得到１２[１２(１２ｘ－２)－２]－２＝１２.重复上述操作ꎬ经过多次移项㊁合并同类项ꎬ去分母就可以解出:ｘ＝１２４.２将部分看成一个整体求解例３㊀解方程:３ｘ＋１()－１３ｘ－１()＝２ｘ－１()－１２ｘ＋１().解析㊀首先观察题目所给的方程式ꎬ发现方程的左右两边都有(ｘ＋１)与ｘ－１()ꎬ因此我们便把他们看成两个整体分别合并ꎬ最后使用解一般一元一次方程的方法ꎬ经过移项㊁合并同类项ꎬ化简ꎬ求出方程的解.解㊀利用部分当做整体的思想ꎬ把(ｘ＋１)与ｘ－１()分别看成两个整体ꎬ再移项ꎬ得:３(ｘ＋１)＋１２(ｘ＋１)＝２(ｘ－１)＋１３(ｘ－１)ꎬ合并同类项得７２(ｘ＋１)＝７３(ｘ－１).去分母得３(ｘ＋１)＝２(ｘ－１)ꎬ所以ｘ＝－５.例４㊀解方程:３{２ｘ－１－[３(２ｘ－１)＋３]}＝５.０２解㊀观察方程式ꎬ可以将２ｘ－１.看做是一个整体ꎬ然后再按顺序去掉括号ꎬ由此得到３(２ｘ－１)－３[３(２ｘ－１)＋３]＝５ꎬ再去中括号得到:３(２ｘ－１)－９(２ｘ－１)－９＝５ꎬ移项再合并同类项得－６(２ｘ－１)＝１４.解得ｘ＝－２３.３合理拆项例５㊀解方程:２ｘ－１３－１０ｘ＋１６＝２ｘ＋１４－１.解析㊀我们从拆项这方面考虑ꎬ先把方程式中的每一个分式拆分ꎬ再合并同类项ꎬ这样方程式求解就会简便很多.解㊀２３ｘ－１３－５３ｘ－１６＝１２ｘ＋１４－１ꎬ将这个方程左右两边合并同类项得到:－ｘ－１２＝１２ｘ－３４ꎬ所以－３２ｘ＝－１４ꎬ解得ｘ＝１６.例６㊀解方程:１２(ｙ＋１)＋１３(ｙ＋２)＝３－１４(ｙ＋３).解析㊀这道题不能用将部分看成整体的方法求解ꎬ用拆项的办法刚好适用ꎬ方程式中有一个 ３ ꎬ再根据题目中各个括号内的常数项和括号前的系数ꎬ所以可以将 ３ 拆分成为１㊁１㊁１ꎬ然后分别转化成２２㊁３３㊁４４ꎮ解㊀将原方程化为:１２ｙ＋１()－２２[]＋１３ｙ＋２()－３３[]＋１４ｙ＋３()－４４[]＝０ꎬ去小括号㊁合并同类项得:１２(ｙ－１)＋１３(ｙ－１)＋１４(ｙ－１)＝０ꎬ提出(ｙ－１)ꎬ得:(１２＋１３＋１４)(ｙ－１)＝０ꎬ解得ｙ＝１.４合理利用分式的基本性质例７㊀解方程:４ｘ－３２１２－５ｘ－４５１５＝６５－ｘ１１０.解析㊀因为题目中所给方程有分母:１２ꎬ１５ꎬ１１０ꎬ而１２ˑ２＝１ꎬ１５ˑ５＝１ꎬ１１０ˑ１０＝１ꎬ这里可以考虑用分数的性质ꎬ要想去掉分母可以将分母转化成１再去掉ꎬ这样就可以很简便又很迅速地去掉分母.解㊀根据分式的性质ꎬ第一个分式的分子分母同时乘以２ꎬ第二个分式的分子分母同时乘以５ꎬ等式右边分子分母同时乘以１０ꎬ得出:(４ｘ－３２)ˑ２１２ˑ２－(５ｘ－４５)ˑ５１５ˑ５＝(６５－ｘ)ˑ１０１１０ˑ１０.化简得:(８ｘ－３)－(２５ｘ－４)＝１２－１０ｘꎬ解出ｘ＝－１１７.例８㊀解方程:４－６ｘ１１００－１３２＝１５０－２ｘ１５０－１５２.解㊀化简得到:４－６ｘ１１００＝１１００－ｘ１１００－１ꎬ将上述方程式进一步化简得:４－６ｘ１１００＝１－ｘ１１００－１.即４－６ｘ１１００＝－ｘ１１００ꎬ也就是－ｘ＝－６ｘ＋４ꎬ解得ｘ＝４５.一般来说对于结构特殊的一元一次方程ꎬ只要抓住了它的结构特征ꎬ就意味着成功了一半ꎬ希望本文能提高同学们解一元一次方程的能力.参考文献:[１]王日.初一学生解一元一次方程应用题的错误类型及教学对策研究[Ｄ].兰州:西北师范大学ꎬ２０１６.[２]郑晓颖.一元一次方程错误类型与错因分析[Ｄ].福州:福建师范大学ꎬ２０１８.[３]白娟.数学史融入一元一次方程教学的实践研究[Ｄ].太原:山西师范大学ꎬ２０１７.[责任编辑:李㊀璟]１２。
人教版七年级数学上册解一元一次方程(二)——去括号与去分母课件
3
5
解方程：
解： 去分母（方程两边乘15），得
15 − 5( − 1) = 105 − 3( + 3).
15 − 5 + 5 = 105 − 3 − 9.
去括号，得
移项，得
15 − 5 + 3 = 105 − 5 − 9.
合并同类项，得
系数化1，得
13 = 91.
= 7.
2 − 1
.
2 3 +
=3−
2
3
解：去分母（方程两边乘 6），得
−1
2 − 1
6 3 +
=6 3−
. 不漏乘
2
3
18 + 3( − 1) = 18 − 2(2 − 1).
去括号，得
18 + 3 − 3 = 18 − 4 + 2.
18 + 3 + 4 = 18 + 2 + 3.
2
3
3
2
1
− − 2 − = 1.
2 6
3
解法二： 去括号，得
去分母（两边同乘6），得
3 − − 12 − 2 = 6.
移项，得
合并同类项，得
系数化1，得
− − 2 = 6 − 3 + 12.
−3 = 15.
= −5.
课 堂 小 结
一、解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1.
拓展练习
1
2
解方程：
1− − 3+
= 1.
2
3
3
2
1
(华东师大版)七年级下册数学：6.2.2 解一元一次方程1
3.下列计算或变形正确的是( C).
A. 3x+2y=5xy
B. 若 4x=－4,则x=1
C. 若x=y,则ax=ay D. 3x2－4x2=－1
4.方程3x+5=8的解是 x=1 .
5.方程 4x 1 1 的解是 44
x1 8
.
6.对有理数a,b,现规定运算★的意义是：
a★b=a+2b,则方程3x★4=2的解是 x 2 .
即 4x=6.
两边都除以4，得：x
3
.
2
去括号 合并同类项
移项
系数化为1
例题精析
例3 解下列方程： (2) 2(x－5)－(3x+1)=4(1－x);
(3) 5(x+8)－5=6(2x－7). (2) 去括号得：2x－10－3x－1=4－4x，
即 －x－11=4－4x. 移项，得：－x+4x=4+11, 即 3x=15.
由2|m|－7=1得|m|=4, ∴m=±4. 由m－4≠0得m≠4, ∴m=－4. 当m=－4时， m2－2m+1995=(－4)2－2×(－4)+1995
=16+8+1995
=2019.
随堂练习
1.方程(m－2)x|m|－1+8=0是关于x的一元一次方程， 求m的值及方程的解. 解：依题意得：|m|－1=1 且m－2≠0.
例4 当x取何值时,代数式2x+3的值与3(1－x)的值 互为相反数？
解:依题意得：(2x+3)+3(1－x)=0,
去括号得：2x+3+3－3x=0，
即 －x+6=0.
移项，得：x=6.
用去括号法解一元一次方程
知识点 2 用去括号法解一元一次方程
知2－讲
解含有括号的一元一次方程时，要先利用前面 学习的去括号法则去掉括号，再利用移项法解方程．
去括号解一元一次方程的步骤： 第一步：去括号(按照去括号法则去括号)； 第二步：用移项法解这个一元一次方程： 移项→合并同类项→系数化为1.
想一想 (1)上面这个方程列得对吗？为什么？
类型
共有 9 种等可能的结果，其中“和为 3 的倍数”的有 3 种， “和为 7 的倍数”的有 3 种，∴P(小杰赢)＝39＝13，P(小玉 赢)＝39＝13.因此游戏是公平的．
习题链接
温馨提示：点击 进入讲评
1 2 3 4
答案呈现
类型
(2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求， 两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则 甲赢，数字之和为偶数则乙赢．你认为这个游 戏公平吗？请说明理由．
(2)去括号时，括号外的因数要乘括号内的每一项， 不可漏乘．
（来自《点拨》）
知1－练
1 下列是四个同学解方程2(x－2)－3(4x－1)＝9时去括 号的结果，其中正确的是( A ) A．2x－4－12x＋3＝9 B．2x－4－12x－3＝9 C．2x－4－12x＋1＝9 D．2x－2－12x＋1＝9
移项，得 4x＋x = 7－2. 合并同类项，得 5x= 5. 方程两边同除以5，得 x=1.
知2－讲
（来自教材）
知2－讲
例3 解方程：－2(x－1) = 4.
解法一：去括号，得 －2x＋2 = 4.
移项，得 －2x= 4－2.
化简，得 －2x= 2.
方程两边同除以－2,得 x = －1.
解法二：方程两边同除以－2,得 x－1 = －2.
《解一元一次方程(二)——去括号与去分母》公开课教案
《解一元一次方程（二）——去括号与去分母》公开课教案XX中学王老师教学目标1. 知识与技能：掌握一元一次方程中去括号与去分母的基本方法与步骤。
2. 过程与方法：通过实际例子和互动，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
3. 情感态度与价值观：增强学生学习数学的兴趣和信心，体会数学在日常生活中的应用。
教学重点与难点教学重点：理解并掌握去括号和去分母的方法。
教学难点：灵活运用去括号和去分母解决实际问题。
教学过程一、导入故事引入：讲述一个生活中的小故事，比如小华和小刚分饼干，小华分了两次，每次分一半，结果发现总量没有变化。
引导学生思考：这和我们今天要学习的去括号与去分母有什么关系？二、新课讲授1. 去括号定义：去括号是指把括号内的项通过分配律展开。
举例：例如3(2x + 4)，我们可以展开为6x + 12。
互动：提问学生：如果是4(3y 2)，我们该如何去括号？2. 去分母定义：去分母是指通过乘以方程的最小公倍数，使分母消失。
举例：例如方程1/2x + 1/3 = 5，如何去分母？步骤：1. 找到最小公倍数：62. 方程两边都乘以6：6(1/2x + 1/3) = 653. 化简：3x + 2 = 30互动：让学生尝试解方程2/(3x) 1/4 = 1，讨论他们的步骤和方法。
3. 实际应用情境设置：假设你和朋友一起做了一个项目，收入按比例分配。
你们一起赚了240元，你得到的比例是1/3，你朋友得到的比例是1/2。
设你朋友的收入为x元，列出方程并解答。
学生讨论：x/2 + x/3 = 240，解方程。
三、练习巩固1. 课堂练习解以下方程，并去括号与去分母：1. 5(2x 3) = 42. 1/3y + 1/2 = 5互动：学生解答后，同桌互相检查，并讨论解决过程中的难点。
2. 教师讲解针对学生易错点进行讲解和纠正。
四、回顾反思、课堂小结总结：今天我们学习了去括号和去分母的方法，这些方法在解一元一次方程中非常重要。
解一元一次方程的方法(二)+—去括号与去分母+课件++2024-2025学年人教版七年级数学上册
分析：设这个数为 x． 根据题意，得 2 x + 1x + 1 x + x = 33． 3 27
问题 2：这个方程与前面学过的一元一次方程有什么不同？ 怎样解这个方程呢？
问题 3：不同的解法各有什么特点？通过比较你认为采用什 么方法比较简便？
解方程时要注意：
①确定最简公分母前要先将多项式分解因式； ②去分母要方程两边同乘以最简公分母； ③分子要加括号； ④去括号时要用乘法分配律； ⑤移项要变号； ⑥选择解法步骤要灵活，根据具体方程选择最优法．
(3)
11 9
x
+
2 7
=
2 9
x
-
5； 7
方法 2：
解：移项，得 11 x - 2 x = - 2 - 5．
99
77
合并同类项，得 x = - 1．
(4) 3 8
8 3
x+ 4
= 1．
解：去括号，得 x + 3 = 4． 2
移项，得 x = 5． 2
思考：通过以上练习，你有解一元一次方程的新思路吗？解 一元一次方程的一般步骤，是否是一成不变的？
15x + 5 - 20 = 3x - 2 - 4x - 6
移项
x=
7 16
系数化为 1
16x = 7 合并同类项
15x - 3x + 4x = - 2 - 6 - 5 + 20
思考：解含分数系数的一元一次方程的步骤包括哪些？ ①解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、 移项、合并同类项，系数化为 1 等． ②通过这些步骤可以使以 x 为未知数的方程逐步向 着 x = a 的形式转化，这个过程主要依据等式的基 本性质和运算律等．
最新人教版《 解一元一次方程(二)——去括号与去分母(第2课时)》七年级数学教学设计教案
第三章一元一次方程3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母第2课时一、教学目标【知识与技能】1.掌握含有分母的一元一次方程的解法；2. 进一步掌握利用一元一次方程解决实际问题【过程与方法】经历分析“工程问题”中数量关系过程，培养分析问题和解决问题的能力.【情感态度与价值观】1.归纳解一元一次方程的步骤，体会转化的思想方法。
2. 让学生了解数学的渊源及辉煌的历史,激发学生的学习热情;二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法.【教学难点】加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的步骤．五、课前准备教师：课件、三角尺、等式的性质等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程（一）导入新课下面是一道著名的求未知数的问题. （出示课件2-4）一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，求这个数.教师问1：思考题中涉及到哪些数量关系和相等关系？学生回答：它的三分之二+它的一半+它的七分之一+它的全部=33教师问2：引进什么样的未知数，能根据这样的相等关系列出方程呢？学生回答：设这个数为x. 根据题意，得23x+12x+17x+x=33.教师问3：这个方程与前面学过的一元一次方程有什么不同？学生回答：这个方程含有分母.教师：怎样解这个方程呢？这节课我们就来学习怎样解答这类方程。
（二）探索新知1.师生互动，探究含有分母的一元一次方程的解法解方程：3x+12−2=3x−210−2x+35(出示课件6)教师问4：若使方程的系数变成整系数方程，方程两边应该同乘什么数?学生讨论后回答：两边同乘以分母的最小公倍数.教师问5：去分母时要注意什么问题?学生回答：分子是多项式的要加括号，等式里的整数不要漏乘.教师问6：哪位同学试着解答一下？学生小组讨论后，师生共同解答如下：（出示课件7）教师问7：下列方程的解法对不对？如果不对，你能找出错在哪里吗？（出示课件8）解方程：2x−13−x+22=1解：去分母，得 4x -1-3x + 6 = 1 ①移项，合并同类项，得 x=4 ②学生回答：总结点拨：解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
用去括号法解一元一次方程
(1)若用x(元)表示商品价格，请你用含x的式子
分别表示两种购物优惠后所花的钱数． (2)当商品价格是多少元时，两种优惠后所花 钱数相同？ (3)若某人计划在该超市购买价格为2 700元的
一台电脑，请分析：选择哪种优惠更省钱？
解：
(1)由题意可得优惠一：所花的钱数为0.9x元，
优惠二：所花的钱数为(200＋0.8x)元．
解：设笼中有鸡x只，则有兔(30－x)只．
根据题意，得2x＋4(30－x)＝84，
解得x＝18. 则30－x＝30－18＝12.
答：笼中有鸡18只，有兔12只．
14．大位《直指算法统宗》：一百馒头
一百僧，大僧三个更无争，小僧三 人分一个，大小和尚各几丁．意思
是：有100个和尚分100个馒头，如
果大和尚一人分3个，小和尚3人分 一个，正好分完，试问大、小和尚
1
C．1－2x＋3＝6 D．2x－1－3＝6
2．下列运算正确的是( D ) A．－3(x－1)＝－3x－1
B．－3(x－1)＝－3x＋1
C．－3(x－1)＝－3x－3 D．－3(x－1)＝－3x＋3
3．下列是四个同学解方程2(x－2)－ 3(4x－1)＝9时去括号的结果，其中
正确的是( A )
A．2x－4－12x＋3＝9 B．2x－4－12x－3＝9
解时较为方便．
11．若方程4x＝3(x－1)＋4(x－3)的解比
关于x的方程ax－5＝3a的解小1，求a 的值．
解：解方程4x＝3(x－1)＋4(x－3)，得x＝5， 所以关于x的方程ax－5＝3a的解为x＝6.
将x＝6代入ax－5＝3a，得6a－5＝3a， 5 解得a＝ 3
12．关于x的方程(3x－5)＋2(x－m)＝x
解一元一次方程--去括号、去分母
;
;
（4）. 解方程3x
x 7 16
Exp. 在解方程
x 1 2
2x 3
1
时，
去分母正确的是（
）
3
A．3(x－1)－2(2＋3x)=1
B．3(x－1)－2(2＋3x)=6
C．3x－1－4x＋3=1
D．3x－1－4x＋3=6
例2 下 列 方 程 : 解 ：解下列方程
(1 ) . 2x 1 6 ( 2 ). x 1 4 ( 3 ). 3 y 12 4 2 1 5x 1 8 2x 1 6 5 y 7 3
X-1 2 4x+2 = -2(x-1) 5
x6 7
x5 6
x4 5
x3 4
(3)
5x+1 4
2x-1 4
=2 Y-2 2
(4)
Y+4 -Y+5= Y+3 3 3
典例解析
3x 1 2 2 3x 2 10 2x 3 5
2： 解 方 程
想一想
若是方程的系数变成整系数方程， 方程两边应该同乘以什么数?
2
例 题 2： 解 方 程
例1：
3x 1 2
2
3x 2 10
2x 3 5
解：去分母，两边同乘以10， 得 5（3x＋1）－10×2=（3x－2）－2（2x＋3） 去括号 15x＋5－20 = 3x－2－4x－6 移项 15x－3x＋4x=－2－6－5＋20 合并同类项 系数化为1 16x = 7
奋斗就是生活，人生只有前进.
——巴金
1、一元一次方程的解法我们学了哪几步？
初中数学人教版七年级上册《第三章解一元一次方程(二)—去括号与去分母》教学课件
根据火车的速度不变列方程，得
去分母，得 2(500+x)=3(500-x).
解方程，得 x=100.
答：火车的长度为100 m.
500+
30
=
500−
20
，
解一元一次方程的一般步骤如下：
1. 去分母
根据：等式的性质2.
具体做法：方程两边同时乘各分母的最小公倍数.
注意事项：
(1) 不要漏乘不含分母的项；
系数化为1，得 =
11
5
.
2
(
3
− 1).
−3
解方程：
0.15
−
+4
0.2
解：原方程可化为
=
6−0.1
.
0.3
20−60
3
− (5 + 20) =
去分母，得 20x-60-3(5x+20) =60-x.
去括号，得 20x-60-15x-60=60-x.
移项，得 20x-15x+x=60 +60 + 60，
把 x=4 代入上述方程，可得 a=-1，所以原方程为
去分母，得 2(2x-1)+10=5(x-1).
去括号，得 4x-2+10=5x-5.
移项、合并同类项，得 -x=-13.
系数化为1，得 x=13.
2−1
5
+1=
−1
2
，
解一元一次方程的一般步骤：
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
ሶ
我们知道，无限循环小数都可以转化为分数.例如，将0. 3转化为分数时，
3. 移项
根据：等式的性质1.