1.1.1函数
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.1.1锐角三角函数说课稿
学生在学习本节课之前，应当已经具备以下前置知识或技能：了解直角三角形的定义和性质，掌握基本的三角函数概念，如正弦、余弦和正切。然而，学生在学习本节课时可能存在的学习障碍包括：
1.对锐角三角函数概念的理解可能存在困难，因为这是一个从具体到抽象的过程；
2.学生可能难以将直角三角形的边角关系与三角函数的性质联系起来；
主要知识点包括：
1.锐角三角函数的定义；
2.锐角三角函数的符号表示；
3.锐角三角函数的性质；
4.锐角三角函数的应用。
（二）教学目标
1.知识与技能目标：
（1）理解锐角三角函数的定义；
（2）掌握锐角三角函数的符号表示；
（3）熟练运用锐角三角函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：
（1）通过观察、分析直角三角形的边角关系，发现锐角三角函数的规律；
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源或技术工具来辅助教学：直角三角形模型、多媒体课件、电子白板和数学软件。直角三角形模型可以帮助学生直观理解三角形的边角关系；多媒体课件用于展示教学内容的结构，以及动态演示锐角三角函数的变化过程；电子白板能够实时展示学生的思考和计算过程，增强互动性；数学软件则可以用于验证学生的探究结果，提供直观的数据和图像。这些资源在教学中的作用是提高教学的直观性和互动性，帮助学生更好地理解和掌握抽象的数学概念。
（1）锐角三角函数的定义；
（2）锐角三角函数的符号表示；
（3）锐角三角函数的性质。
2.教学难点：
（1）如何引导学生从直角三角形的边角关系中抽象出锐角三角函数的概念；
（2）如何帮助学生理解并运用锐角三角函数的性质；
（3）如何培养学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力。
《经济数学》第1章 函数、极限与连续
第1章 函数、极限与连续1.1 函 数在自然现象、经济活动和工程技术中，往往同时遇到几个变量，这些变量通常不是孤立的，而是遵循一定规律相互依赖的，这个规律反映在数学上就是变量与变量之间的函数关系。
关于函数的有关知识，已在中学数学中作了介绍，本节仅就其中的一部分作简要的叙述，并作必要的补充。
1.1.1 函数的概念1．函数的定义定义1-1 设某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果当变量x 在其变化范围内任意取定一个值时，变量y 按照一定的对应法则有确定的值与它对应，则称y 是x 的函数，记作y = f (x )。
其中x 叫做自变量，y 叫做因变量。
如果自变量x 取某一数值x 0时，函数y 有确定的值和它对应，就称函数在点x 0有定义。
在一般情况下，使函数有定义的自变量取值的集合，称为函数的定义域，它一般是数轴上的一些点的集合（区间），在实际问题中，还应结合实际意义来确定函数的定义域。
自变量取定义域内某一值时，因变量的对应值，叫做函数值。
函数值的集合叫函数的值域，它是由定义域和对应的法则决定的。
如果对于定义域内任一个自变量的值，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则，就叫做多值函数。
本书所讨论的函数，如果没有特别指出，均指单值函数。
例1-1 求函数 的定义域，并与函数2)(2-=x x f 比较它们是否表示同一个函数？解 )(1x f 的定义域是0≠x 的一切实数，即),0()0,(+∞-∞ ；而)(2x f 的定义域是),(+∞-∞。
由于)(1x f 与)(2x f 的定义域不同，故)(1x f 与)(2x f 不表示同一个函数。
说明 决定函数的两要素是定义域和对应法则，因此，两个函数只有在它们的定义域和对应法则都相同时，才认为是相同的。
2．分段函数表示函数的方法通常有公式法、列表法和图示法三种。
用公式表示函数时，一般用一个式子表示一个函数。
有时需要用几个式子分段表示一个函数，即对于自变量不同的取值范围，函数采用不同的表达式，这种函数叫做分段函数。
1.1.1平均变化率
1.1.1 平均变化率【教学目标】1. 理解函数的平均变化率2. 能求出函数在某一区间上的平均变化率 【重点难点】重点：函数在某一区间上的平均变化率 难点：平均变化率的几何意义 【教学过程】 一、问题导学假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)．问题1：若旅游者从A 点爬到B 点，则自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？问题2：如何用Δx 和Δy 来刻画山路的陡峭程度？问题3：试想Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0的几何意义是什么？问题4：从A 到B ，从A 到C ，两者的Δy Δx 相同吗？ΔyΔx 的值与山路的陡峭程度有什么关系？二、新知自解1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 .2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 归纳总结：在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在[x 1，x 2]上有意义；(2)在式子f x 2 －f x 1 x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)在平均变化率中，当x 1取定值后，x 2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x 2取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．三、问题探究1、求函数在某区间的平均变化率【例1】(1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率；(2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率．【规律总结】求函数平均变化率的步骤为： 第一步：求自变量的改变量x 2－x 1；第二步：求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)；第三步：求平均变化率f x 2 －f x 1x 2－x 1.【对点练1】（1）函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率是________．（2）如图是函数y ＝f (x )的图象，则：①函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为______； ②函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 2.实际问题中的平均变化率【例2】物体的运动方程为S ＝t ＋1(位移单位：m ；时间单位：s )，求物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．【规律总结】平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．【对点练2】（3）圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．（4）在F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S＝10t＋5t2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？3、函数平均变化率的应用【例3】甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？【规律总结】平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．【对点练3】（5）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系是．（6）A、B两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W1(t)、W2(t)分别表示A、B两机关的用电量与时间第t天的关系，则下列说法一定正确的是________．(填序号)①两机关节能效果一样好；②A机关比B机关节能效果好；③A机关在[0，t0]上的用电平均变化率比B机关在[0，t0]上的用电平均变化率大；④A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大．四、课堂小结1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差．(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点． 2．平均变化率的几何意义(1)平均变化率f x 2 －f x 1 x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．五、课堂跟踪练习1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为________． 2．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________．3．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值：4.如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则在0到t 0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t 0到t 1范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)．5．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 6．已知函数f (x )＝2x 2＋1.求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率．7．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．。
高数1-3
第一章函数、极限与连续性1.1初等函数回顾1.1.1函数的概念设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数xD，变量y按照确定的法则总有唯一的数值与其对应，则称y是x的函数，记作y=f（x）.f--定义在D上的函数; D--定义域;x--自变量; y--因变量;R={y／y=f（x），x }—值域常见的函数的定义域有如下规则：（1）对于分式函数，分母不能为零；（2）偶次根号下的变量不能小于零；（3）对于对数函数y=x，规定：底数，，真数；（4）对于余切函数y=cotx，规定：，k；（5）对于正切函数y=tanx，规定：x，k；（6）对于反正弦函数y=arcsinx和反余弦函数y=arcosx规定：-1.1.1.2函数的几种特性函数的特性包括有界性、单调性、奇偶性和周期性。
（1）有界性定义：若有正数M存在，使函数f（x）在区间D上恒有|f（x）|，则称f(x)在区间D上是有界函数，否则，是无界函（2）单调性定义:若对于区间D内任意两点及，当<时，有f（）<f(,则称f（x）在I上单调增加，区间D称为单调增区间；若当<时，有f（）>f(,则称f(x)在D上单调减少，区间D 称为单调减区间，单调增区间或单调减区间统称为单调区间。
（3）奇偶性定义：设D是关于原点对称的区间，若对于任意x属于D，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。
（4）周期性若对于不为零的数T，使得对于任意x属于D，有x+T属于D，且f（x+T）=f（x）,则称f(x)为周期函数。
通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。
周期函数在每个定义域内都是相同形状1.1.3初等函数1.基本初等函数（理解和应用）我们把幂函数y=(aR),指函数y=(a>0,a),对数函数y=x(a>0,a),三角函数y=sinx,y=cosx,y=secx,y=cscx和反三角函数y=arcsinx,y=arccosx.y=arctanx,y=arccotx统称为基本初等函数。
《高数》第1章
复合函数也可以由两个以上的函数复合而成．例 2 y 如： = ln 2 + x ，是由 y = ln u , u = v , v = 2 + x 2 三 个函数复合而成的． 个函数复合而成的． 指出下列函数的复合过程。 指出下列函数的复合过程。 y = cos x 2 , （2） = ln 2 sin x, （3） = e arctan y y ） （1） ） ） 解 (1) y = cos x 2由 y = cos u , u = x 2 复合而成 复合而成. 例2
在图形上，单调增加的函数的图象是随着x的增大而呈上升的 在图形上 ， 单调增加的函数的图象是随着 的增大而呈上升的 曲线， 单调减少的函数， 其图象是随着x的增大而下降的曲 曲线 ， 单调减少的函数 ， 其图象是随着 的增大而下降的曲 线．
的定义域为D， （3）奇偶性：设f(x)的定义域为 ，对 ∀x ∈ D，如果 ）奇偶性： 的定义域为 ( i) f ( − x ) = − f ( x ) ，则称该函数为奇函数； 则称该函数为奇函数； (ii) f ( − x ) = f ( x ) ，则称该函数为偶函数． 则称该函数为偶函数． 在图形上， 奇函数的图象关于原点对称 ， 偶函数的 在图形上 ， 奇函数的图象关于原点对称， 图象关于y 轴对称． 图象关于 轴对称．
21世纪高职高专精品教材 世纪高职高专精品教材
高等数学
上海交通大学出版社
第1章 函数、极限与连续 章 函数、
1.1 函数
1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 一元函数 复合函数与反函数 基本初等函数 初等函数
1.1 函数
1.1.1 一元函数 １．一元函数的概念 定义1 是一个非空的实数集合， 定义1 设 D 是一个非空的实数集合，如果存在某种对 y 应规律 f ， 使得对 ∀x ∈ D ， 都有唯一的实数y 与之 对应， 对应，就称 f 确定了一个一元函数 f : D → f ( D ) ，通常 为自变量， 为函数（因变量） 记为 y = f ( x ) ．称 x 为自变量， y 为函数（因变量）， 为定义域， 称为值域． 为定义域，函数值的集合 f ( D ) 称为值域． D 如果对于确定的x 如果对于确定的 0 ∈ D ，通过对应规律 f ，函数 f (x) 有唯一确定的值 y0 与之对应，称 y0 为函数 与之对应， y = f (x) 在 x0 处的函数值，记为 处的函数值，
新编高等数学第一章
1.1 函数及其性质
当自变量x遍取D的所有数值时，对应的函数值f（x）的全体构成的集合称为函数f的值域， 记为M，即M={y|y=f（x）,x∈D}，由函数的定义可以看出，函数的定义域与对应法则是确定 函数的两个必不可少的要素.也就是说，如果两个函数的对应法则和定义域都相同，那么这两个 函数就是相同的函数. 【例】 f(x)=sin2x+cos2x与g(x)=1是相同的函数；而f(x)=lnx2与g(x)=2lnx不是相同的函数.
1.1 函数及其性质
下面给出反函数的具体定义： 定义1.2 设函数y=f（x），其定义域为D，值域为M，如果对于任意 y∈M，由函数关系式y=f（x）恰好唯一确定出一个x∈D与之对应，那么 认为x是y的函数，记作x=g（y），我们称上述的y=f（x）与x=g（y）互 为反函数，习惯上将x=g（y）记作x=f-¹（y），习惯上常用x表示自变量， y表示因变量，故常把y=f（x）的反函数写作y=f-¹（x），由反函数的定 义知，在定义区间上单调的函数必有反函数．
1.1 函数及其性质
对函数y=f（x）（x∈D），若取自变量x为横坐标，因 变量y为纵坐标，则在平面直角坐标系xOy中就确定了 一个点x,y.当x遍取定义域D中的每一个数值时，平面上 的点集C={（x,y）y=f（x）,x∈D}，称为函数y=f（x） 的图像（见图1-1）. 若自变量在定义域内任取一个数值，对应的函数值总是 唯一的，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数.
1.2.1基本初等函数 中学学过的常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称 为基本初等函数.这些函数中的多数函数我们比较熟悉，这里只做简要复习.
（1）常量函数.y=C（C为常数），该函数的定义域为 （-∞,+∞）,图像为过点（0,C）且平行于x轴的直线.
第1章 1.1.1 平均变化率
1．1 导数的概念 1．1.1 平均变化率学习目标 1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．知识点 平均变化率1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．特别提醒：在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在区间[x 1，x 2]上有意义．(2)在式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (4)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．1．平均变化率一定为正值．( × )2．函数的平均变化率为零，说明函数没有发生变化．( × ) 3．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )4．函数在区间上的变化速度与平均变化率的绝对值大小有关．( √ )一、实际问题中的平均变化率例1 (1)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T ＝120t ＋5＋15，其中T 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，则t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率为_______℃/min. 答案 －1.6解析 ΔT Δt ＝T (10)－T (0)10－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12010＋5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1200＋5＋1510＝－1.6(℃/min)，∴从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6℃/min.(2)某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率．解 前5年森林面积的平均变化率为6.5－2.55－0＝0.8(公顷/年)．后5年森林面积的平均变化率为14.5－6.510－5＝1.6(公顷/年)．反思感悟 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．跟踪训练1 某质点沿方程为y ＝f (x )＝5x 2＋3(x 表示时间，f (x )表示位移)的曲线运动，则该质点从x ＝10到x ＝11的平均速度等于________． 答案 105解析 因为f (x )＝5x 2＋3，则质点从x ＝10到x ＝11的平均速度为v ＝f (11)－f (10)11－10＝(5×112＋3)－(5×102＋3)11－10＝105.二、函数在某区间上的平均变化率例2 (1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率． 解 (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为f (2.1)－f (2)2.1－2＝(3×2.12＋2)－(3×22＋2)0.1＝12.3.(2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－2)(－1)－(－2)＝[3×(－1)－2]－[3×(－2)－2](－1)－(－2)＝(－5)－(－8)－1＋2＝3.反思感悟 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x 2－x 1. (2)求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)． (3)求平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练2 (1)计算函数y ＝f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为： ①2；②1；③0.1；④0.01；(2)思考：当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)因为f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－12＝(Δx )2＋2Δx ， 所以f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2.①当Δx ＝2时，平均变化率Δx ＋2＝4， 即函数f (x )＝x 2在区间[1,3]上的平均变化率为4； ②当Δx ＝1时，平均变化率Δx ＋2＝3， 即函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3；③当Δx ＝0.1时，平均变化率Δx ＋2＝2.1，即函数f (x )＝x 2在区间[1,1.1]上的平均变化率为2.1； ④当Δx ＝0.01时，平均变化率Δx ＋2＝2.01，即函数f (x )＝x 2在区间[1,1.01]上的平均变化率为2.01.(2)当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 三、函数平均变化率的应用例3 婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第________年增长较快．答案 一解析 ∵ΔW 1Δt 1＝11.25－3.7512－0＝0.625，ΔW 2Δt 2＝14.25－11.2524－12＝0.25， ∴ΔW 1Δt 1>ΔW 2Δt 2，故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快． 反思感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化速度越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化速度越慢．跟踪训练3 汽车行驶的路程S 和时间t 之间的函数图象如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系是______________．答案 v 3>v 2>v 1解析 v 1＝S (t 1)－S (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝S (t 2)－S (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝S (t 3)－S (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC ， 所以v 3>v 2>v 1.1．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 B解析 平均变化率为1－33－1＝－1.故选B.2．一物体的运动方程是S ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 答案 B解析 v ＝S (2.1)－S (2)2.1－2＝7.2－70.1＝2.3．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________． 答案 2 解析f (b )－f (a )b －a ＝(2b ＋4)－(2a ＋4)b －a ＝2(b －a )b －a＝2. 4．一个半径为r 的圆面，当半径增大Δr 时，面积S 的平均变化率为________． 答案 2πr ＋π·Δr解析 半径增大Δr 时，面积增加ΔS ＝π(r ＋Δr )2－πr 2 ＝π(Δr )2＋2πr ·Δr ，所以ΔS Δr ＝π(Δr )2＋2πr ·Δr Δr＝2πr ＋π·Δr .5．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间[0,4]内温度的平均变化率为________ ℃/h.答案 －14解析 Δy Δx ＝f (4)－f (0)4－0＝－14(℃/h)．1．知识清单： (1)平均变化率．(2)平均变化率的几何意义及应用． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错．1．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 答案 B解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 2．已知函数f (x )＝x 2＋2，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 A解析 ∵f (3)＝11，f (1)＝3，∴该函数在区间[1,3]上的平均变化率为f (3)－f (1)3－1＝11－33－1＝4.3．某质点沿曲线运动的方程为f (x )＝－2x 2＋1(x 表示时间，f (x )表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6 答案 D解析 由题意得该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为f (2)－f (1)2－1＝－8＋1－(－2＋1)1＝－6.4．一根金属棒的质量y (单位：kg)是长度x (单位：m)的函数，y ＝f (x )＝3x ，则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( )A.25kg/m B.35kg/m C.34kg/m D.12kg/m 答案 B解析 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是 f (9)－f (4)9－4＝3(9－4)9－4＝35(kg/m)．5．质点运动规律的方程是S ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]内，相应的平均速度是( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt答案 A解析 平均速度为(3＋Δt )2＋3－32－3Δt ＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt .6．国庆黄金周7天期间，某大型商场的日营业额从1 300万元增加到4 100万元，则该商场国庆黄金周期间日营业额的平均变化率是______万元/天． 答案 400解析 日营业额的平均变化率为4 100－1 3007＝400(万元/天)．7．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 答案 4解析 (a 3＋2)－(13＋2)a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21.解得a ＝4或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝4.8．函数y ＝f (x )＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为________． 答案 －8－2Δx解析 ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝－8－2Δx ，即平均变化率为－8－2Δx . 9．已知函数f (x )＝x 2＋3x 在[0，m ]上的平均变化率是函数g (x )＝2x ＋1在[1,4]上的平均变化率的3倍，求实数m 的值．解 函数g (x )在[1,4]上的平均变化率为g (4)－g (1)4－1＝9－33＝2.函数f (x )在[0，m ]上的平均变化率为f (m )－f (0)m －0＝m 2＋3mm ＝m ＋3.令m ＋3＝2×3，得m ＝3.10．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s 到0 m/s 花了5 s ，乙车从18 m/s 到0 m/s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能． 解 甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m/s 2)．乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m/s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．11．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A ．3 B ．3Δx －(Δx )2 C ．3－(Δx )2 D ．3－Δx答案 D解析 ∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)＝3Δx －(Δx )2 ∴ΔyΔx＝3－Δx . 12．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度答案 BC解析 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s 0t 0，故A 错误，B 正确；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故C 正确，D 错误． 13．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值： t /min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c (t )/ (mg/mL) 0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min)． 答案 －0.002 解析c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002mg/(mL·min)．14．如图是函数y ＝f (x )的图象．(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为______； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．答案 12 34解析 (1)函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数y ＝f (x )的图象知， f (x )＝⎩⎨⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3，所以函数y ＝f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.15．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 体积的增加量ΔV ＝4π3m 3－4π3＝4π3(m 3－1)，所以ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3，所以m 2＋m ＋1＝7，所以m ＝2或m ＝－3(舍)．16．圆柱形容器，其底面直径为2 m ，深度为1 m ，盛满液体后以0.01 m 3/s 的速率放出，求液面高度的平均变化率．解 设液体放出t 秒后液面高度为y m ， 则π·12·y ＝π·12×1－0.01t ， ∴y ＝1－0.01πt ，液面高度的平均变化率为 ΔyΔt ＝1－0.01π(t ＋Δt )－1＋0.01πtΔt ＝－0.01π，故液面高度的平均变化率为－0.01π.。
【必做练习】高中数学第一章三角函数1.1.1任意角教案新人教A版必修4
课题：任意角
［课时安排］
1 课时
［教学目标］
1．理解任意大小的角正角、 负角和零角， 掌握终边相同的角、
象限角、区间角、终边在坐标轴上的角 .
2．从数形结合的角度认识角
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、
转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力
［教学重点］
理解概念，掌握终边相同角的表示法 .
A． 30° B ． 30°
C
． 630° D ． 630°
3. 把 1485°转化为 α ＋ k· 360°（ 0°≤ α ＜ 360° , k∈ Z）的形式是（ ）
A ． 45o 4×360°
B
C． 45o 5× 360°
D
o
． 45 4× 360°
o
．315 5× 360°
4. 下列结论中正确的是 ( )
方向旋转形成的角；
零角：射线没有任何旋转形成的角；
负角：按
方向旋转形成的角。
（3）象限角与坐标轴上的角：
B 终边
始边
O 顶点
A
使角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边落第几象限，则
称为
；终边落在坐标轴上的角称为
。
2. 与角 终边相同的角为
k 360
k z) ，连同角 可构成一个集
合 S ，即
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(4) 第四象限 . 探究 2. 写出与角
45 的终边相同的角的集合 S，并写出 S 中适合不等式
360
720 的元素 β .
【当堂训练】 1. 与 405°角终边相同的角是（ ）
A. k ·360°－ 45° ( k Z )
高等数学b1教材目录
高等数学b1教材目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义与表示1.1.2 函数的性质与分类1.1.3 函数的运算与复合1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义与表示1.2.2 极限的性质与运算1.2.3 极限存在性的判定方法1.3 无穷小量与无穷大量1.3.1 无穷小量的概念与性质1.3.2 无穷大量的概念与性质1.3.3 无穷小量与无穷大量的比较第二章导数与微分2.1 导数的概念与计算2.1.1 导数的定义与性质2.1.2 常见函数的导数计算2.1.3 导数的四则运算与复合运算 2.2 微分的概念与应用2.2.1 微分的定义与性质2.2.2 微分中值定理与导数的应用 2.2.3 泰勒公式与高阶导数2.3 函数的增减性与极值2.3.1 函数的增减性与临界点2.3.2 函数的极值与拐点2.3.3 函数图象的描绘与分析第三章不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.1.1 不定积分的定义与基本性质 3.1.2 常用函数的不定积分计算3.1.3 不定积分的线性运算与换元法 3.2 定积分的概念与性质3.2.1 定积分的定义与基本性质3.2.2 定积分的计算及其几何应用 3.2.3 定积分的性质与换元法扩展 3.3 反常积分与广义积分3.3.1 反常积分的概念与判敛准则 3.3.2 反常积分的计算与应用3.3.3 广义积分的收敛性与判别法第四章微分方程与其应用4.1 微分方程的基本概念与解法4.1.1 微分方程的定义与分类4.1.2 一阶线性微分方程的解法4.1.3 二阶线性齐次微分方程的解法 4.2 常微分方程的应用4.2.1 常微分方程的生活应用4.2.2 常微分方程的物理应用4.2.3 常微分方程的经济应用第五章重积分与曲线曲面积分5.1 重积分的概念与性质5.1.1 二重积分的定义与计算 5.1.2 二重积分的坐标变换5.1.3 三重积分的定义与计算 5.2 曲线曲面积分的概念与应用 5.2.1 曲线积分的定义与计算 5.2.2 曲面积分的定义与计算 5.2.3 曲线曲面积分的应用第六章空间解析几何与向量代数 6.1 空间解析几何的基本概念6.1.1 空间直角坐标系与点坐标 6.1.2 空间线段与方向向量6.1.3 空间平面与法向量6.2 向量的概念与运算6.2.1 向量的定义与性质6.2.2 向量的线性运算与数量积 6.2.3 向量的向量积与混合积 6.3 空间几何与向量代数的应用6.3.1 空间几何与向量代数的关系 6.3.2 空间几何在物理中的应用6.3.3 向量代数在计算中的应用第七章多元函数微分学7.1 多元函数的概念与性质7.1.1 多元函数的定义与表示7.1.2 多元函数的极限与连续性7.1.3 多元函数的偏导数与全微分 7.2 隐函数与参数方程的微分7.2.1 隐函数的存在性与全微分7.2.2 参数方程的全微分与导数7.2.3 多元函数微分学的几何应用 7.3 多元函数的方向导数与梯度7.3.1 方向导数的定义与计算7.3.2 梯度的定义与性质7.3.3 多元函数的最大最小值与应用第八章多元函数积分学8.1 多元函数的二重积分8.1.1 二重积分的定义与计算8.1.2 二重积分的坐标变换8.1.3 二重积分的应用8.2 多元函数的曲线曲面积分8.2.1 曲线积分的定义与计算8.2.2 曲面积分的定义与计算8.2.3 曲线曲面积分的应用8.3 多元函数的空间曲线与曲面积分 8.3.1 参数曲线的弧长与曲线积分 8.3.2 参数曲面的面积与曲面积分 8.3.3 多元函数积分学的应用第九章空间平面与曲线的解析几何 9.1 空间平面的方程与性质9.1.1 空间平面的点法向式方程9.1.2 平面与平面的位置关系9.1.3 空间平面的截距式方程9.2 空间曲线的方程与性质9.2.1 参数方程与切线方向9.2.2 曲线的弧长与曲率9.2.3 直线与曲线的位置关系9.3 空间平面与曲线解析几何的应用9.3.1 空间平面与曲线的几何应用9.3.2 空间平面与曲线在工程中的应用 9.3.3 空间几何的综合应用第十章常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.1.1 常微分方程的分类与解10.1.2 一阶线性微分方程的解法10.1.3 高阶线性齐次微分方程的解法 10.2 常微分方程的定解问题与稳定性 10.2.1 定解问题与唯一解的存在性10.2.2 稳定性与解的性态10.2.3 常微分方程的应用10.3 常微分方程的数值解与近似解10.3.1 常微分方程的数值解法10.3.2 常微分方程的泰勒展开法10.3.3 常微分方程的近似解法总结以上为高等数学B1教材的目录，涵盖了函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程与其应用、重积分与曲线曲面积分、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、多元函数积分学、空间平面与曲线的解析几何以及常微分方程等内容。
第1章 函数
R p0q
R
C
C C0 C1q
q
图 1-6
例 4 单利模型
单利是金融业务中的一种利息，某人在银行存入现金 2
万元，年利率为 10%，问 3 年之后本利和多少？
解 设初始本金 P ，年利率 r ，利息c ，单利I ，本利
和 A，存款 t 年．
例如，函数 y sin x 在(,) 内是有界的,因为对任意 x (,)，存在M =1，使得|sin x|≤1 恒成立.
1.1.5内容小结
1. 函数的概念 2. 分段函数 3. 反函数 4. 函数的四种特性
第1章 函数
1.2 初等函数
1.2.1 基本初等函数 1.2.2 复合函数 1.2.3 初等函数 1.2.4 内容小结
若当q q0 时，Pr (q0 ) 0 ．则q0 称为损益分岐点（又称保
本点或盈亏平衡点）．由
P r
(q 0
)
0
，解出q0
，即得损益分岐点
模型：
Ｃ
q0
P0
0
Ｃ1
损益分岐点q0 的经济意义 可由图 1-6 来说明．
由 图 1-6 可 知 , 当 产 量 q q0 时，总成本高于收益,因此
亏损；当q q0 时，收益高于总
（2）要使 1 x2 有意义，必须使1 x2 ≥0 即x2 1 ，
x 1，因此 函数定义域是[1,1] （3）这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函
数的定义域，然后求其公共部分即可，使函数 1 有意 4 x2
义，必须满足4 x2 0,即x 2 而使函数 x 2 有意义，必须满足 x 2 0 即x 2 因此，函数的定义域是 (2,2) ∪(2,) （ 4 ） lg(1 x2 ) 的 定 义 域 满 足 不 等 式1 x2 0 , 解 得