中学数学中的高观点问题
刍议“高观点”视角下的初中数学教学措施
刍议“高观点”视角下的初中数学教学措施发表时间：2020-11-02T15:58:29.723Z 来源：《中国教师》2020年第19期作者：王桂梅[导读] 早在19世纪末20世纪初，“高观点”这一意识形态逐渐被人们所熟知。
王桂梅山东省滨州市阳信县翟王镇中学山东滨州 251800摘要：早在19世纪末20世纪初，“高观点”这一意识形态逐渐被人们所熟知。
“高观点”视角下的初中数学教学，并不意味着将高等数学迁移至初中数学教学过程当中，而是指运用高等数学的知识和方法来处理初中数学的问题。
只有从高等数学的角度解决初中数学教学过程中的难题，初中数学教学才能更加通俗易懂、易于学生解决。
本文在分析“高观点”视角的基础上，提出一系列“高观点”视角下的初中数学教学措施，以期能够有效简化初中数学难题，提高教学质量。
关键词：高观点；初中数学；教学措施在“高观点”视角下的初中数学教学中，要求教师站在高等数学的角度审视、处理初中数学问题，只有这样才能使初中数学问题变得简单、明了。
作为一位初中数学教师，应当充分掌握数学的各种概念和方法。
同时，还应当了解数学教育发展的全过程。
在初中数学教学过程中，教师应当具备极强的语言表达能力，运用通俗易懂的语言向学生传授一些高等数学的解题思路和方法，从而有效加快学生的学习效率，提高教学质量。
一、运用“高观点”的思想，转变初中数学教学理念“高观点”这一概念是由19世纪末20世纪初世界上最具有影响力的哥廷根学派的创始人克莱因提出的。
“高观点”视角下初中数学教学工作中，教师应当运用“高观点”的思想，转变初中数学教学理念，加深学生对数学知识的理解。
在初中数学中的化归思想，顾名思义就是将教学过程中遇到的不易解决的问题转化为易于解决的问题。
例如，教师在教学初中数学中的《二次函数》一课时，对于抛物线的图像，教师首先可以将这一数学知识概念分为三个较为简单的二次函数，如、、.其次，教师可以告诉学生运用数形结合、类比的方法将这四个二次函数互相转化，如“对于，我们可以先将这个函数的图像画出来，然后将这个图像通过上下平移或左右平移得到”，从而进一步引出本节课的教学重点.在这一教学过程中，教师结合旧知识引进新知识，将晦涩难懂的问题转化为简单易懂的问题，可以使学生轻松接受新概念。
基于高观点的高考数学试题赏析
基于高观点的高考数学试题赏析
? 福建省同安第一中学 谭新华
高考命题专家团队主要以大学教授为主，命题专 家命题时不可避免会涉及自己的研究领域和研究喜 好．由 于 高 考 的 选 拔 功 能，高 考 命 题 专 家 越 来 越 青 睐 基于高等数学背景命制试题，意在考查考生进入高校 进一步学 习 的 潜 能．近 年 来 的 高 考 试 题 中，涌 现 了 不 少高观点试题，其 特 点 为 背 景 新、立 意 高、设 问 巧，形 成了一道亮丽的 风 景．本 文 从 “高 观 点 ”的 角 度 出 发， 对几道典型高考数学试题的命题背景作了分析．
Ａ．４５ Ｂ．６０ Ｃ．１２０ Ｄ．２１０ 解析：由 题 意 知 犳（３，０）＝Ｃ３ ６Ｃ０ ４，犳（２，１）＝Ｃ２ ６Ｃ１ ４， 犳（１，２）＝Ｃ１ ６Ｃ２ ４，犳（０，３）＝Ｃ０ ６Ｃ３ ４，因此犳（３，０）＋犳（２，１） ＋犳（１，２）＋犳（０，３）＝１２０． 背景：本题的命题背景是组合数学中的范德蒙恒 等式 Ｃ狀０Ｃ狉犿 ＋Ｃ狀１Ｃ狉犿－１ ＋ … ＋Ｃ狉狀Ｃ０犿 ＝Ｃ狉狀＋犿 ，这个恒等式 可以利用母函数或者结合组合意义证明．
如图１，图２，当四边形犃犅犆犇 的边犃犇 上有５个整 点时，犖（狋）＝９；
如图３，当四边形 犃犅犆犇 的边犃犇 上有３个整点 时，犖（狋）＝１１；
如图４，当四边形 犃犅犆犇 的边犃犇 上有２个整点 时，犖（狋）＝１２．
所以选 Ｃ．
一、范德蒙恒等式
例１ （２０１４·浙江卷）在（１＋狓）６（１＋狔）４ 的展开 式中，记狓犿狔狀 项的系数为犳（犿，狀），则犳（３，０）＋犳（２， １）＋犳（１，２）＋犳（０，３）＝（ ）．
图１ 图２
图３ 图４
背景：对于格点多边形（顶点都是格点）的面积与
高观点下的中学数学
龙源期刊网 高观点下的中学数学作者：王一棋来源：《数学教学通讯·中等教育》2013年第11期摘要：随着高考改革的逐步深入，为了渗透新课程理念，中学数学引入微积分、概率、空间向量等知识点，使得中学数学与高等数学的联系日趋紧密，并为初等数学问题的解决提供了更为广阔的空间. 本文对拉格朗日中值定理在高中数学中的应用做了一番探讨.关键词：中学数学；高等数学；拉格朗日中值定理中学数学引入微积分、概率、空间向量等知识点，使得中学数学与高等数学的联系日趋紧密，并为初等数学问题的解决提供了更为广阔的空间. 拉格朗日中值定理是微分学基础定理之一，并且具有明显的几何意义，选取此类知识点设计试题，既新意又直观，成为近年来高考命题的热点. 辽宁省2009、2010年连续2年出现以拉格朗日中值定理为背景设计的压轴题.评析：本题主要考查函数的单调性、平均值不等式、求导等基本知识，考查化归与转化等数学思想方法及分析和解决问题的能力. 笔者给出两种解题方法，初等解法通过构造函数g （x），然后利用g′（x）借助均值不等式来求其取值范围，此做法的难点在于如何构造新的函数. 而高等数学解法利用拉格朗日中值定理轻易突破了此难点. 此题体现了高等数学与中学数学之间紧密的联系，培养了学生的能力，有利于高校的选拔.[⇩] 结束语高观点题起点高，落点低，也就是所谓的“高题低做”，即试题的设计来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识，并不要求学生用高等数学知识来解决问题，因此，此类问题的备课重点是如何化归和转化并应用初等数学的知识进行处理. 拉格朗日中值定理具有明显的几何意义，便于理解和掌握，对于学有余力的学生，让他们利用课外时间积极地学习这些具有明显几何意义的高等数学知识和方法，提高他们的数学思维能力为进入高校的继续学习做准备.。
高观点下的几个初等数学问题 甄.选
高观点下的几个初等数学问题（优选.)最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改高观点下的几个初等数学问题作者 叶小英摘要:初等数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。
本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用例子把初等数学问题用高等数学解法来解答，从中找到两者的联系。
关键词：高等数学；初等数学；分解因式；数列；不等式1 引言高等数学与初等数学的研究对象、研究方法有本质上的不同，但两者之间存在着紧密的联系,高观点下的初等数学(参见文献[1])，是从高等数学的观点和角度来审视，理解初等数学问题，对中学数学的理论理解及解题思路都有很大的指导作用。
1.1 从高观点的角度看初等数学问题的必要性在中学学数学时，对有些概念和方法没有加以解释与说明就直接应用，虽然使用时能解决问题，但要深入地理解是不可能的。
如果只局限于用初等数学的眼光来看初等数学问题，很多问题是无法看清的. 正如德国著名数学家克莱因曾经告诫我们的一样，只有在完全不是初等数学的理论体系中，才能深刻地理解初等数学。
例如，“形如bi a +(a,b 都是实数)的数”叫做复数。
这是中学学习的复数，当时对这里的“+”很疑惑。
a 与bi 是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将a 与bi 连结成一个整体的符号。
那么，能不能把这个符号理解为普通的加法符号呢？仅用初等数学眼光来看都是模糊的。
这是初等数学的局限性。
1.2 用高等数学思想思想剖析初等数学问题更明了另一方面，初等数学是高等数学的基础，许多初等数学的内容都是高等数学中的模型。
如初等代数中的代数式、方程、数系、函数等，都是数学模型，在高等数学中进一步抽象为集合与映射空间、群等现代数学概念。
“高观点”视角下的初中数学教学
“高观点”视角下的初中数学教学作者：杭静来源：《数学教学通讯·初中版》2019年第09期[摘 ;要] “高观点”视角下的初中数学教学，不是将高等数学知识教学下移，而是用高观点思想、方法、知识、思维统领、驾驭、关联学生的初中数学学习. 只有从高观点视角来理解、认识初中数学教学，教学才能居高临下、深入浅出. “高观点”视角下的初中数学教学，能让学生的数学学习呈现出勃勃生机和新的景象.[关键词] 初中数学;高观点;数学教学所谓“高观点”是指用高等数学、现代数学的知识、思想和方法来分析、解决初等数学（中小学数学）知识. “高观点”视角下的初中数学教学，不是将高等数学知识教学下移，而重点是“用通俗易懂的语言向学生介绍或适当补充一些与高等数学相关的思想、方法等” . 只有从较高视角来理解、认识初中数学教学，教学才能居高临下、深入浅出. 这其中，最为常用的教学方法就是渗透、植入、嵌入和融入.渗透“高观点”思想，改变初中数学教学观念德国著名数学家、数学教育家克莱因深刻地指出，许多初等数学知识，只有放置到高等数学视角下，才能得到较为合理、较为科学的理解. 渗透高观点思想，是高观点视角下初中数学教学的基本内涵.比如，化归思想是初中数学的一种高阶思想. 在化归思想下，解决初中数学问题有许多具体的方法. 这些方法，一般都能将未知化为已知、将陌生化为熟悉，因而都受化归思想的统摄. 比如教学函数y=ax2+bx+c的图像这一部分内容，教师可以从学生已有知识经验出发，切入学生数学认知的“最近发展区”. 针对学生已学的三个简单的二次函数——“y=ax2”“y=ax2+c”“y=a （x-b）2”入手，通过类比法、数形结合法等，引导学生自主探究，逐步推出函数“y=a（x-b）2+c”这一新教学内容. 可以将“y=ax2”的函数图像沿着y轴向上或者向下平移若干个单位，再向左或向右平移若干个单位，得到“y=a（x-b）2+c”图像. 如此，教师运用学生所熟悉的知识，构建新的数学知识. 这个过程，教师要充分发挥学生的主观能动性，既让学生理解了数学知识的来龙去脉，更让学生洞察了数学知识的内在关联. 在具体的数学知识实践过程中，学生自己展开严谨的推导，自己进行理性的计算. 在这个过程中，数学的转化思想牵引学生的数学学习，学生主动地类比、将数与形结合思考. 用数学的思想牵引、指导数学教学，让数学课堂教学焕发出生命的活力，学生能深刻理解、把握数学知识的实质.植入“高观点”方法，丰富初中数学教学形式“高观点”思想下的方法，是具有统摄作用的方法，其运用性强、组织性高，具有再生性、生长性等特性. 从学生学习视角看，“高观点”视角下的数学方法，具有一种活性以及知识的繁殖性. 换言之，数学方法是贯穿于学生数学学习始终的，是贯穿于不同的数学知识学习之中的.以类比方法为例，所谓“类比”，是指根据两个或者两类对象之间某些相同或相似属性，推导、推演出它们在其他方面也存在着某些相同或相似属性. 类比，是一种重要的数学思考方法，它是合情推理的一种. 比如学生学习“一元一次不等式的解法”可以类比“一元一次方程的解法”，因为它们都要经过“去分母、去括号、移项、合并同类项”等过程，都是将未知项的系数化为1;比如分数加减法可以类比分式加减法，因为数与式具有一种通性，都是借助于基本性质、通分、约分、四则运算等展开;再比如，学生学习“圆与圆的位置关系”可以类比“直线与圆的位置关系”，学习反比例函数、二次函数可以类比一次函数，等等. 在数学教学中，植入数学方法，能够丰富初中数学教学形式. 从学生学习数学视角来看，方法犹如一个纲，纲举目张;方法犹如一个支点，抓住方法，所有的数学知识都可以被撬动;方法是一个连心锁，能够赋予学生数学活动的力量.作为数学教师，只有站在高观点视角下运用数学方法来组织数学课堂教学，才能将复杂的、抽象的数学教学内容以一种生动的、直观的形象呈现在学生面前. 只有站在方法的制高点上，才能有效地驾驭数学教学，从而达到举一反三的高效教学目的.嵌入“高观点”知识，丰盈初中数学教学内容初中数学教材中的几何、函数、概率等内容在高中数学乃至于高等数学教学中同样会出现. 当然，其中知识的深浅、难易、抽象度、概括性等是不同的. 作為教师，在初中数学教学中，可以相机嵌入一些“高观点”数学知识，丰盈初中数学教学内容. 高观点知识，能够统领初等数学知识，能激发学生的好奇心、求知欲，从而能够改变学生被动学习、机械模仿的学习样态.比如教学“一次函数”“反比例函数”“二次函数”等知识内容时，教师可以渗透函数发展史的知识. 通过函数发展史，让学生明晰函数概念诞生的来龙去脉，从而洞察函数的本质. 应该说，函数思想史是一种高观点知识，因为其中涉及学生还没有学习的导数、微积分等知识. 但对函数发展史、函数知识背景的认知，能让学生体认到函数知识的文化价值. 函数源于力学的应用诉求，其中涉及了行星运行轨道的原理等知识. 当微积分建立的时候，还没有采用函数的概念，牛顿运用的是“流量”，莱布尼兹首次使用“函数”的概念表示幂. 在微积分经历了两百多年的锤炼、变革后，逐步形成了函数的概念. 这样的高观点知识的嵌入，不仅让学生了解了函数的发展史，还让学生认识到，初中函数的学习是非常重要的，许多高等数学知识的学习都必须运用函数知识，从而增强了学生学习函数的自觉性、能动性. 这种嵌入高观点知识的教学，改变了教师以往仅限于初等知识层面实施教学的机械模式，彰显了数学知识的连续性、学生数学学习的连续性的法则. 当然，在这个过程中，教师不能揠苗助长，拔高知识教学要求，而是可以通过适当的方式让学生了解，从而起到开阔学生数学视野的作用. 高观点知识的适度嵌入，提高了数学课堂教学效率.融入“高观点”思维，简化初中数学解题思路“高”者，超出常态也. “高观点”视角下的数学教学，比如融入高观点思维，能简化初中数学问题解决思路. 高观点思维，能让初中数学教学深入浅出，将最为复杂的知识用浅显的、明白的方式表征出来.比如对于这样的问题——“满足‘SSA’的两个钝角三角形全等吗”，有教师认为，这个判断需要具体地分清楚这个三角形是怎样的三角形，如果两个三角形都是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，那么就可以判定两个三角形全等. 其实，如果我们从高观点思维看，通过正弦定理就会发现，当两个三角形都是钝角三角形，并且只有当“两个钝角三角形中的两个钝角相等，并且两个钝角所对边以及另一个对边也相等时，这两个钝角三角形才会全等”. 而更一般的表述是：三角形中的两组边以及两组边中的较大的边所对的角相等，这两个三角形才会全等. 作为教师，可以通过高中数学知识，将这一过程详细地证明. 在初中数学教学中，教师可以通过引导学生画图探究的方式，催生学生的数学思考，提升学生的数学认知. 正如德国著名数学教育家克莱因所说：“理解初等数学知识，只有采用高观点思维，事情才会变得简单而明了. ”“高观点”视角下的初中数学教学，要站在学科知识结构与学生认知结构相关联的视角，渗透思想、植入方法、嵌入知识、融入思维. 从而能够让初中数学教学实现知识与思想的统一，文化与精神的和谐. 如此，学生的数学学习一定会呈现出勃勃生机和新的景象.。
高观点下的中学数学 第六章作业
1. 写出“非负数的平方为非负数”的逆否命题。
答：如果一个数是正数，那么它的平方是正数。
2. 命题“若0,02<<x x 则”的真假，说明理由。
答：原命题的逆否命题为“若0,02≥≥x x 则”，是真命题，原命题与逆否命题同真假，所以原命题是真命题。
3. 卡片的一面写上英文字母，另一面写上自然数．规定：若一面写英文字母R 时另一面必须写自然数2．为了判断下面4张卡片是否违犯规定，翻哪几张就够了？
R 2 T 7 A B C D
答：假言命题中的充分条件B A ⇒的矛盾是B A 非⇒，只是要求R 对应2，但并没有要求2对应R ，所以，第一组中翻R ，7两张牌即可，剩下的两张牌是不影响的，第二组中不用翻看任何一张。
4. 设P 、Q 、R 、S 都是命题，请检验下面的四个逻辑等价是否成立？
(1) (P →Q)(P →S)= P →（Q S)； (2) (P →Q)(P →S)=P →(Q S)； (3) (P →Q)(R →Q= (P R)→Q ；
(4) (P →Q)(R →Q)= (P R )→Q ；
答：（1）(P →Q)(P →S)= P →（Q S) 不成立
（2）(P →Q)(P →S)=P →(Q S) 成立
（3）(P →Q)(R →Q= (P R)→Q 成立
（4）(P →Q)(R →Q)= (P R )→Q 成立
5. 判断以下两个命题是否为真命题，并写出它们的否定命题：
（1）若
或，则； （2）若或，则．
答：（1）假命题
否定命题：若0)1)(21
2≠--==x x x x ，则（或 （2）假命题
否定命题：若0)2)(535≤--<>x x x x ，则（或。
高观点下的初等数学
课程目标
掌握初等数学的基本 概念和原理，理解其 本质和内在联系。
激发学生对数学的兴 趣和好奇心，培养其 自主学习和探索的能 力。
培养学生的数学思维 和解决问题的能力， 提高其数学素养和应 用能力。
02 代数基础
CHAPTER
代数方程
代数方程的解法
介绍代数方程的解法，包括一元一次 方程、一元二次方程、二元一次方程 等，以及解方程的技巧，如移项、合 并同类项、因式分解等。
01
03
立体几何的应用也非常广泛，包括建筑设计、机械设 计、地球科学等领域。
04
立体几何中的基本定理和性质包括平行六面体定理、 锥体体积公式、球体表面积公式等，这些定理和性质 是解决各种立体几何问题的关键。
解析几何
解析几何是使用代数方法研究几何对象的一门学 科。
解析几何中的基本定理和性质包括线性方程组的 解法、二次曲线的标准方程、极坐标与直角坐标 的转换等，这些定理和性质是解决各种解析几何 问题的关键。
金融数学初步
金融数学概述
金融数学是应用数学的一个分支，主要研究金融市场的数量关系和 金融产品的定价问题。
金融模型
金融数学中常用的模型包括资产定价模型、期权定价模型、资本资 产定价模型等，这些模型为投资者和决策者提供了重要的参考依据。
金融应用
金融数学在投资组合优化、风险管理、资产评估等方面有广泛应用， 对于金融市场的稳定和健康发展具有重要意义。
高观点下的初等数学
• 引言 • 代数基础 • 几何初步 • 概率与统计 • 应用数学
目录
CONTENTS
01 引言
CHAPTER
主题简介
初等数学是数学教育的基础，涵盖了 从小学到中学的数学知识点，包括算 术、代数、几何和概率统计等方面。
高观点下的中学数学的探究性学习能力的培养正式版
高观点下的中学数学的探究性学习能力的培养正式版文档资料可直接使用，可编辑，欢迎下载高观点下的中学数学的探究性学习能力的培养【摘要】为了迎接挑战，就要立足一线教学进行行动研究，更新原有的认知结构，提高教学能力。
希望通过开展高观点下的中学数学的探究性学习能力的培养研究，能够用高等数学的观点去解剖初等数学的基本概念和问题，揭示出蕴含在数学知识中的数学思想、数学方法，了解它们形成、的以及与数学发展的内在联系，帮助学生去分析、体会教材。
让学生在自主学习中探究，在质疑问难中探究，在问题解决中探究。
【关键词】高观点探究性数学思想一、概念界定1.探究性学习的内涵数学探究性学习就是学生在一定的数学学习情境中，在教师的指导下，发现问题，并通过观察、分析、类比、归纳、猜想、证明等一系列数学思维活动；或通过调查研究，动手操作、表达与交流等数学实践活动，解决问题，获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。
2.高观点的内涵本文所讲的“高观点”狭义是指高等数学和数学的思想方法和观点，广义是指一切数学知识、学知识、心知识、数学教育的基本理论，如弗赖登塔尔的数学教育理论、波利亚的解题理论、建构主义的数学教育理论等等。
二、中学数学和高等数学的关系中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多（不是全部）概念和理论的原型和特例所在。
因此，从高等数学观点来看中学数学，首先就要把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来。
这样，就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握中学数学的本质和关键。
从而高屋建瓴地处理中学教材，用高等数学的思想方法指导中学数学教学，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路，提高解题能力，大有裨益。
比如：连续函数在闭区间[a，b]上一定有最大值、最小值。
用原有的高中数学知识在解决高次函数时，就会显得捉襟见肘，力不从心。
但是利用导数的知识和方法，就显得得心应手，从容不迫。
“高观点”视角下的初中数学教学
龙源期刊网
“高观点”视角下的初中数学教学
作者：孙晓芳
来源：《内蒙古教育·综合版》2020年第01期
“高观点”视角是指，用经典的高等数学与现代数学知识、思想与方法研究初等数学的一种方法策略。
“高观点”视角下的初中数学教学是以高等数学知识为研究工具，以初中数学教学内容为研究对象，通过寻找与挖掘初中数学内容与高等数学知识之间的异同点，帮助学生更深层次地理解数学概念、剖析数学问题、掌握数学方法。
数学教学不是简单的、机械的知识传授，而是帮助学生完成知识体系的构建。
因此，“高观点”视角下的初中数学教学更加致力于深入挖掘数学知识的本质，让学生感受与体验数学知识的形成，从而让学生明晰数学知识产生的前因后果，把握知识脉络，最终实现对学生数学核心素养的培养。
一、“高观点”在概念教学中的应用
数学概念是学生进行数学运算、逻辑推理和解决问题的重要依据，也是数学教学中的重难点。
数学概念具有极强的抽象性和逻辑性，需要教师充分调动学生的已有认知结构和经验，促使其思维从具体化向形象化过渡，才能顺利地完成对数学概念的构建。
然而，在初中数学教材。
《高观点下中学数学-分析学》东北师范大学试题与答案
考前练兵-试题详解•单选题（8）•判断题（16）•计算题（6）•证明题（6）（1）正确答案:A（2）正确答案:B（3）正确答案:B （4）正确答案:A （5）正确答案:D （6）正确答案:B （7）正确答案:B（8）正确答案:D考前练兵-试题详解•判断题（16）（1）••正确答案:B（2）•正确答案:B（3）••正确答案:B（4）••正确答案:A（5）••正确答案:B（6）•正确答案:B（7）••正确答案:A（8）••正确答案:A（9）••正确答案:B（10）•正确答案:A考前练兵-试题详解•单选题（8）•判断题（16）•计算题（6）•证明题（6）（11）••正确答案:A（12）••正确答案:A（13）•正确答案:B（14）••正确答案:A（15）••正确答案:B（16）••正确答案:B考前练兵-试题详解•单选题（8）•判断题（16）•计算题（6）•证明题（6）（1）设,求.正确答案:解因为,故有所以有（2）已知,求的最小值。
正确答案:解已知在内,是上凸函数,由上凸函数的定义有即而且当时,,故是的最小值。
（3）求过椭圆上的点的切线方程。
正确答案:解方程两边对求导,求出,即于是,切线方程为或（4）已知与是复数,且,求。
正确答案:解由有（5）已知,且,求的最大值。
正确答案:解因为在内是上凸函数,所以由上凸函数的定义有即有.当取时,,故是函数的最小值. （6）在第一象限内有定点,过点做线段,点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上,为坐标原点。
求点与点的坐标各为多少时的面积最小,最小面积是多少?.正确答案:解设,则从而有面积令得,,即时,为最小值且考前练兵-试题详解•单选题（8）•判断题（16）•计算题（6）•证明题（6）（1）证明设数集与均有上界,则集合有上界,且正确答案:证明:,有,故,即是的一个上界.,使得,即存在,使得故（2）证明设,有正确答案:证明:设,则,即是严格下凸,根据有（3）证明设是从到的连续函数,则存在点,使得.正确答案:证明:令,则是上的连续函数.若,则选取结论得证.若,则选取结论得证.否则有,则,由介值定理,存在,使得,即.（4）设有映射,证明:(1)若是满射,则是满射.(2)若是满射,且是单射,则是满射.正确答案:证明(1)因是满射,即,进一步有,故是满射。
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项 和 ｓｉ￣ ］其 表 的 为 ｂ［ ， 中 ］示 Ｅ
不 超 过 最 大 整 数 ，求 数 列 ｛ ｝ 前 Ｉ 的 ｂ的 Ｉ ，
项 和 ．
（） ≤ 时， ｘ （ Ｉ ｌ １ ２当０ ４ Ｉ ）＞ 。 ． ｆ（
本 题 主 要 考 查 导 数 的 基本 性
定理
例 １ （０ ６ １ｌ） ２ ０ １ ） 已知 函 ￣ ｉ ） ＋
学 建
高 施
◇ 斯函 高 数
高斯 函数 ］ 的定 义 ： ∈Ｒ，用 ］ 设
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眦 ＞） ） ｏ 的导数是， ．对任 ，） （
意 两个 不相 等 的正 。 ２ 明 ： ， 证 Ｘ
试题 研究 ＞ 延伸 知识
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中学数学中的高观点问题
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数 题
常
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近 几 年 的高 考 题 ． 出现 了一 些 所 谓 的“ 观点 试 题 ” 这些 热点 题 或是 以高 等 高 ， 数 学 为背 景 ， 或是 涉 及高 等 数学 中常见 的 数学 思想 方法 和 推理 方 法 ， 而这 些 知识 在
在［－ ］上连续，ｘ － ＋ 一 ｆ（）２ １・ ａ＝ 背
中 学是 没有 系统 学 习 的 ． 果 在 高 考 复 如 习 中补 充 一些 实用 的高 等 数 学 与 初 等 数
学 交 汇 的新 知识 ， 仅可 以增长 学 生ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的见 不
桫 相 等 的 正 数 ，２当ａ ４Ｎ ， 不 １ ， ￣ ＜
恒 成 立 ．即证
涉
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成 立．
个， 不能 被 ３ 除 的数 有４ ０ ， 以概 率 整 ２个 所
姻
中
Ｎ ２４ ２ ≥３ ｘ ｌ＋ ＋ 三＋
＝
：汀 ＞ 、
为
： ５－ 选 Ｒ ３ 故
比
４ ， 以尸（） ｌ 成 立 ， 原 不 ≥ｎ 所 ＿ ＞ 恒 故
拉格 朗 日（ａ ｒｎ ｅ ￣ｇ 誊 成 立 ． Ｌ ｇ ａ ｇ ）ｚＪ ［ 等式
我们 常常 可 以见 到 以余 数 为标 准 的
表 示 不超 过 的最 大 整数 ， 则 ］ 为 高 称 斯 函数 ， 叫取 整 函 数．高 斯 函数 是 数 学 也 竞 赛 的 常客 ， 中数 学也 时 常涉 及． 高 例 ３ 已知 数 列 ｛ ｝ 通项 ａ ２ ， ｎ 的 ． ｎ前 ＝
分类 ， 就 是 近世 代数 中 的剩 余 类 ， 中 它 在
学数 学 解题 中经 常用 到．
（当≤时 １ ｎｏ， ）
证明
学 ） ；
例 ２ （０ ６ 川 ） ０ 这 １ 个 数 ２０ 四 从 Ｎ９ ０
字 中任 取３ 个数 字 ，组 成 一个 没有 重 复数 字 的 三位 数 ，这个 数 不能 被３ 除 的概率 整
数 字 组成 一 个没 有 重复 数 字的 三位 数 ， 这
个数 不能被３ 整除 所有的三位 数有Ａ — ＝
６ ８ ， １ 个数 字分 成三 组 ， ４个 将 ０ 即被３ 除余 １
的有 ｛，， ｝被 ３ １４７ ， 除余 ２ 有 ｛，，｝被 ３ 的 ２５８ ， 整 除 的有 ｛， ，，｝ 要 求 所得 的 三 位 ３６９ ０．若
显 ，＝２， ≤｝＜当 然当 １时有 ３ ｎ， ２ ； ｎ，， ， ， ≤｝ ；ｎ ＝ ， ，时有 当≥ ３ ５７ １ ４６８ ９， ＜｝＜所 ， ＝ 时 时有 １ 以当 １ ， ０ ． ｎ， ６ ２ ＝
【ｎ ＝ １当＝４， ， ， ］＿ ｎ ， ６ ８ ６ Ｓ ｎ ． ３， ， 时 ５７ ＝ ［ｎ］．当≥时６【 ］一 ：ｚ ｎ９ ， ３ Ｓ ｎ； ．
＋ ， 易
） 定 义 域 （， ∞） 的 是 ０＋ 上
数 被３ 除 ． 可 以分 类讨 论 ： 三 个数 字 整 则 ①
均取 第一 组 ，或 均 取 第 二组 ，有 ２ ； １ Ａ ＝２
（ — ）可舟厂 ） （ ） 的 可 导 函 似 ， 『 是 ，２ 上
蝴
个； （ 三 个 数 字 均取 自第 三组 ， 若 则要 考
虑 的 中 无 字，有 ： 取出 数字 有 数 ｏ Ａ Ａ 共 一
１个 ； ８ ③若三组各取一个数字， 第三组 中
数 ，于是 由 Ｌ ｇａ ｇ ａ ｒｎ ｅ中值 定 理 可 知 ， １ （ ，
质 和应 用 ． 函数 的 性质 和 平均 值 不等 式 等
知 识及 综 合 分析 、 理 论 证 的 能 力．对 于 推
解 析 由 题 意 易知 Ｓ＝ （ ＋ ） 所 以 ｎｎ ｎ １ ，
Ａ ．
５ ４
Ｂ 箜 ｃ ．
．
Ｄ ４＿ ．ｌ
５ ４ ６Ｏ
＝
旦
＝
＋
．
第（） ２ 小题 ， 了命 题人 所给 的 两种 证 法 除
外 ． 们 还 可 以利 用Ｌ ｇａ ｇ ｑ 值 定理 进 我 ａ ｒｎ ｅ ＇
５ ４
解析
从 ０ ９ １ 个数 字 中任 取３ 到 这 ０ 个
行 非 常 简捷 的 证 明． （） １ 略．
（ ） ） ２～ 仳 ， ２由 ｔ （）２ 一 ｘ ＝ｘ