高考数学一轮复习教案(含答案)：选修4-4第1节坐标系

逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标 ①极径：设 M 是平面内一点， 极点 O 与点 M 的距离 |OM|叫做点 M 的极径， 记为 ρ. ②极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角， 记为 θ. ③极坐标：有序数对 (ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ， θ)．一般不作特 殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ可取任意实数．
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3．极坐标与直角坐标的互化
设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (x，y)，极坐标是 (ρ，θ)，则它们
x＝ρcos θ， 之间的关系为：
y＝ρsin θ；
ρ2＝ x2＋y2， y
tan θ＝x x≠0 .
4．简单曲线的极坐标方程
曲线
极坐标方程
圆心为极点，半径为 r 的圆
ρ＝ r(0≤θ＜2π）
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．
()
(4)极坐标方程 θ＝πρ（≥0)表示的曲线是一条直线．
()
[答案 ] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编 )在极坐标系中，圆 ρ＝－ 2sin θ的圆心的极坐标是 ( )
π A. 1， 2
π B. 1，－ 2
C．(1,0)
D．(1， π）
则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为 ________．
(1,1) [由 ρsin2θ＝cos θ? ρ2sin2θ＝ρcos θ? y2＝x，又由 ρsin θ＝ 1? y＝1，联
y2＝ x，
x＝1，
立
?
故曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为 (1,1)．]
y＝1
y＝1.
π 5．在极坐标系中，圆 ρ＝ 8sin θ上的点到直线 θ＝3(ρ∈R)距离的最大值是
x2＋y2＝1.
2．将圆
x2 ＋ y2＝ 1
变换为椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝
1
的一个伸缩变换公式为
φ：
X＝ax a＞ 0 ， 求 a， b 的值．
Y＝by b＞ 0 ，
1
X＝ax，
x＝aX，
[解] 由
得
Y＝by
1 y＝bY，
代入 x2＋y2＝1 中得 Xa22＋Yb22＝1，
所以 a2＝9，b2＝ 4，即 a＝3，b＝2.
π 过点 a，2 ，与极轴平行的直线
ρsin θ＝a(0＜θ＜π）
[ 基础自测 ]
1．(思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打“√”，错误的打“×” )
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与
坐标也是一一对应关系．
()
π (2)若点 P 的直角坐标为 (1，－ 3)，则点 P 的一个极坐标是 2，－ 3 .( )
3．(教材改编 )若以直角坐标系的原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极
坐标系，则线段 y＝ 1－ x(0≤ x≤ 1)的极坐标方程为 ( )A．ρ＝cos源自1 θ＋sinθ，
π 0≤θ≤2
B．ρ＝
cos
1 θ＋sin
θ，0≤θ≤π4
π C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤2
π D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤4
B [ 法一 ：由 ρ＝－ 2sin θ，得 ρ2＝－ 2ρsin θ，化成直角坐标方程为 x2＋ y2
＝－ 2y，化成标准方程为 x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为 (0，－1)，其对应的极坐标
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π 为 1，－ 2 .
π
π
法二 ：由 ρ＝－ 2sin θ＝2cos θ＋2 ，知圆心的极坐标为 1，－ 2 ，故选 B.]
平面直角坐标系中的伸缩变换
1．求椭圆
x2 4
＋
y2＝
1
经过伸缩变换
x′＝ 12x， y′＝ y
后的曲线方程．
1
[解]
由 x′＝ 2x，
x＝ 2x′， 得到
①
y′＝ y，
y＝ y′.
将
①
代入
x2 4＋
y2
＝
1，得
4x′ 4
2
＋
y′2＝
1，即
x′ 2＋y′2＝1.
因此椭圆
x2 4＋
y2
＝
1
经伸缩变换后得到的曲线方程是
x′＝ λ·x λ＞ 0 ，
φ：
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′( x′， y′ )，称 φ
y′＝ μ·y μ＞0
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox， 叫做极轴； 再选定一个长度单位、 一个角度单位 (通常取弧度 )及其正方向 (通常取
[ 规律方法 ] 伸缩变换后方程的求法，平面上的曲线
y＝ f x 在变换 φ：
的作用下的变换方程的求法是将
代入 y＝ f x ，得
，整理之后得到 y′＝h x′ ，即为所求变换之后的方程 .
易错警示 ：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标 的坐标 x′ ，y′ .
x， y 与变换后的点
选修 4－4 坐标系与参数方程
第一节 坐标系
[考纲传真 ] 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下 平面图形的变化情况 .2.了解极坐标的基本概念， 会在极坐标系中用极坐标刻画点 的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化 .3.能在极坐标系中给出简单图形表示的 极坐标方程．
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
圆心为 (r,0)，半径为 r 的圆 π
圆心为 r， 2 ，半径为 r 的圆
ρ＝
2r
cos
θ－π2≤θ≤
π 2
ρ＝ 2r sin θ(0≤ θ＜ π）
过极点，倾斜角为 α的直线
θ＝ α(ρ∈ R)或 θ＝ π＋α(ρ∈ R)
过点 (a,0)，与极轴垂直的直线
ππ ρcos θ＝a － 2＜ θ＜ 2
________． 6 [圆 ρ＝8sin θ即 ρ2＝ 8ρsin θ，化为直角坐标方程为 x2＋ (y－4)2＝ 16，直
线 θ＝π3，则 tan θ＝ 3，化为直角坐标方程为 3x－y＝0，圆心 (0,4)到直线的距
离为 |－4|＝ 2，所以圆上的点到直线距离的最大值为 2＋4＝6.] 4
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A [ ∵y＝1－x(0≤ x≤ 1)，
∴ρsin θ＝ 1－ ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，
∴ρ＝sin
1 θ＋cos
π θ0≤θ≤2 .]
4．在极坐标系中，曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρsin2 θ＝cos θ和 ρsin θ＝ 1.
以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，