4. 第四讲 线性变换之二
线性代数之第4章.向量空间与线性变换
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
Rn的基与向量关于基的坐标 显然Rn的基不是唯一的，而α关于给定的基的坐标是唯 一确定的。以后，我们把n个单位向量组成的基称为自 然基或标准基。 在三维几何向量空间R3中，i, j, k是一组标准基，R3中任 一个向量α可以唯一地表示为： α＝a1i +a2j +a3k 有序数组(a1, a2, a3 )称为α在基i, j, k下的坐标。如果α的 起点在原点，(a1, a2, a3 )就是α的终点P的直角坐标（以 后我们常利用R3中向量α与空间点 P 的一一对应关系， 对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释）。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换举例 解：由 β1 ε1 2ε2 ε3
β2 ε1 ε2 β ε ε3 3 1
即
1 1 1 ( β1 , β2 , β3 ) ( ε1 , ε2 , ε3 ) 2 1 0 1 0 1
n n
只有零解xj＝0 (j=1, 2, … , n) 。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 由于α1, α2, „, αn线性无关，由上式得：
a x
j 1 ij
n
j
0 i 1, 2, , n
因此，前方程只有零解（即上面齐次线性方程组只有零 解）的充要条件是上面齐次线性方程组的系数行列不等 于零，即定理中条件式成立。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 定义：设Rn的两组基B1={α1,α2,… ,αn}和 B2={η1,η2,… ,ηn}满足下式式的关系，
a11 a η1, η2 , , ηn α1, α2 , , αn 21 an1 a12 a1n a22 a2 n α α , , α A 1, 2 n an 2 ann
线性变换——精选推荐
线性变换第七章线性变换[教学过程]§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算⼀、定义和例⼦定义设V 是数域P 上的线性空间，A 是V 上的变换，如果P k V ∈?∈?,,βα，有()()()()()A A A A k kA αβαβαα+=+?=则称V V A →:为V 上的线性变换。
例1 在R 2中，A 为平⾯上绕原点逆时钟⽅向旋转θ⾓的变换，即cos sin sin cos x x y y θθθθ'-= ? ???'??容易验证A 是V 上的线性变换。
例2 P[x]中，令D （f(x)）=f(x)的导数，容易验证A 是V 上的线性变换,⼆、⼏个特殊的线性变换1、恒等（单位）变换E ：V E ∈?=ααα,)(。
2、零变换0：V ∈?=αα,0)(0。
3、数乘变换k ：V k k ∈?=ααα,)(。
三、性质：1、)()(,0)0(ααA A A -=-=。
2、若r r k k k αααβ+++= 2211，则)()()()(2211r r A k A k A k A αααβ+++= 。
3 若r ααα,,,21 线性相关，则)(,),(),(21r A A A ααα也线性相关。
练习：323P 1。
四、记{}()L V A A V =是的线性变换1 乘法：对()()()()()A B L V AB A B αα?∈=，，定义可证()AB L V ∈，设A ，B ，C ()L V ∈，有)()(BC A C AB =。
2、定义加法：()()()()αααB A B A +=+，可证()A B L V +∈。
则()L V 也是P 上的线性空间。
（若⼜有()()CA BA A C B AC AB C B A +=++=+,，则()L V 作成⼀个环）。
五、逆变换：()A L V ∈若()B L V ?∈，使E BA AB ==，则称A 是可逆的线性变换，⽽B 称为A 的逆变换，记为1-=A B ，则1-A 也是可逆的线性变换。
线性空间与线性变换
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继续保持安静
*例3 设R22中向量组{Ai}
1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}得线性相关性、 2求向量组得秩与极大线性无关组、 3把其余得向量表示成极大线性无关组得
求 V1 V2, V1 V2.
§1、3 线性空间V与Fn得同构
坐标关系
V
Fn
V得基{1,2,。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V,X Fn, ()=X
(1+2)=(1)+(2) (k)=k()
在关系下,线性空间V与Fn同构。
同构得性质
定理1、3、1:数域F上两个有限维线性空 间同构得充分必要条件就是她们得维数 相同。 同构保持线性关系不变。 应用: 借助于空间Fn中已经有得结论与方法研 究一般线性空间得线性关系。
1. 求从基(I)到基(II)得过渡矩阵C。
2. 求向量 7 3 在基(II)得坐标Y。 1 2
§1、2 子空间
概述:线性空间V中,向量集合V可以有集合得 运算与关系:
Wi V, W1W2, W1W2, 问题: 这些关系或运算得结果就是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间得概念
定义: 设非空集合WV,W ,如果W中得 元素关于V中得线性运算为线性空间,则称W 就是V得子空间。 判别方法:Important Theorem W就是子空间 W对V得线性运算封闭。
定义: T 得秩=dim R(T); T 得零度=dim N(T)
例 (P018) Rn中得变换 T:设A Rn×n就是一个给定 得 矩阵,XRn,T(X)=AX。 (1)T就是线性变换; (2)Ker(T)就是AX=0得解空间; (3)Im(T)=Span{a1,a2,…,a n}, 其中ai就是矩阵A得列 向量;
第2讲 线性变换
第2讲线性变换第2讲线性变换第2讲线性变换第2谈线性变换内容：1.线性变换2.线性变换的矩阵则表示，特征值与特征向量3.线性变换的值域、核及维持不变子空间线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，线性空间v中自身到自身的一种线性映射称为v的一个线性变换，线性变换研究线性空间中元素之间的最基本联系．介绍线性变换的基本概念并讨论它与矩阵之间的联系．§1线性变换1线性变换t是v到自身v的定义1.1设v是数域p上的线性空间，一个态射，即为对于v中的任一元素x均存有唯一的y∈v与之对应，则表示t为v 的一个转换或算子，记作t(x)=y,表示y为x在转换t下的象，x为y的原象．若态射t 还满足用户:t(kx+ly)=kt(x)+lt(y)，∀x,y∈v,k,l∈p,表示t为v的线性变换．1.1二维实向量空间r=⎨⎨⎨ξi∈r,i=1,2⎨，将其绕原点转动θ角的操作方式就是一个线性变换．证明：x=⎨⎨ξ1⎨⎨η1⎨⎨η1=ξ1cosθ-ξ2sinθy=t(x)=，,⎨⎨⎨η⎨⎨ξ2⎨⎨2⎨⎨η2=ξ1sinθ+ξ2cosθ⎨η1⎨⎨cosθ⎨η2⎨⎨sinθ-sinθ⎨⎨ξ1⎨∈r2。
可见该操作t⎨⎨⎨cosθ⎨⎨ξ2⎨证明其为线性变换．⎨x⎨⎨z⎨⎨kx⎨⎨lz⎨⎨kx+lz1⎨∀x=⎨1⎨,z=⎨1⎨∈r2,k,l∈r,kx+lz=⎨1⎨+⎨1⎨=⎨1⎨，xzkxlzkx+lz2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨cosθ-sinθ⎨⎨kx1+lz1⎨t(kx+ly)=⎨⎨⎨⎨⎨sinθcosθ⎨⎨kx2+lz2⎨⎨cosθ-sinθ⎨⎨x1⎨⎨cosθ-sinθ⎨⎨z1⎨，=k⎨+l⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨sinθcosθ⎨⎨x2⎨⎨sinθcosθ⎨⎨z2⎨=kt(x)+lt(z)所以,t是线性变换．2几种常用的线性变换把线性空间v的任一向量都变成其自身的转换称作单位转换或并集转换，记作te，即为：te(x)=x,把线性空间v中的任一向量都变为零向量的变换称为零变换，记为t0，即t0(x)=0,∀x∈v．如果t1,t2就是v的两个转换，∀x∈v，均存有t1(x)=t2(x)，则表示转换t1与t2成正比，记作t1=t2．4）满秩（线性）变换若（线性）转换t将所有的线性毫无关系元素组仍转换为线性毫无关系的元素组，则称作八十秩（线性）转换．5）变换的和t1+t2，∀x∈v，(t1+t2)(x)=t1(x)+t2(x)，则t=t1+t2．6）变换的数乘kt：∀x∈v，(kt)(x)=kt(x)．7）负变换：(-t)(x)=-t(x)．8）转换的乘积t1t2：∀x∈v，(t1t2)(x)=t1(t2(x))．9）连分数t-1：∀x∈v，若存有转换s使(st)(x)≡x，则表示s为t的连分数s=t-1．10）变换的多项式：tn=ttt，并规定t0=te;f(t)=∑ant→f(t)=∑ant→f(t)(x)=∑antn(x)．说明：变换的乘积不满足交换律；只有满秩变换才有逆变换，st=te．3线性变换的性质1）线性变换把零元素仍变成零元素2）正数元素的象为原来元素的象的负元素3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组．特别注意，线性毫无关系的元素组经过线性变换不一定就是线性并无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关．§2线性变换的矩阵表示、特征值与特征向量非常有限佩线性空间的任一元素（向量）都可以由基元素（向量）唯一线性则表示，元素（向量）可以用座标则表示出，通过座标把线性变换用矩阵则表示出，从而可以把比较抽象化的线性变换转变为具体内容的矩阵去处置．1线性变换的矩阵则表示设t是线性空间vn的一个线性变换，且{x1,x2,,xn}是vn的一个基，x=∑ξixi=[x1，则存在唯一的坐标表示⎨ξ1⎨⎨ξ⎨xn]⎨2⎨,有⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨t(x)=t(ξ1x1+ξ2x2++ξnxn)⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨2=[t(x1)t(x2)t(xn)]⎨⎨=t(x1x2xn)⎨2⎨,⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ξ⎨n⎨⎨ξn⎨要确定线性变换t，只需确定基元素在该变换下的象就可以了．2.1设t(xi)=[x1x2xn]⎨2i⎨，⎨⎨⎨⎨⎨ani⎨⎨a11⎨axn]⎨21⎨⎨⎨an1a12a22an2a1n⎨a2n⎨⎨=[xxx]a，12n⎨t(x1,x2,,xn)=[x1对于任意元素x，在该基下，变换后t(x)的坐标表示为⎨η1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨η⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨t(x)=[x1x2xn]⎨2⎨，即t(x)=t(x1,x2,,xn)⎨2⎨=[x1,x2,,xn]a⎨2⎨,⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ηξ⎨n⎨⎨n⎨⎨ξn⎨⎨η1⎨可知：⎨2⎨=⎨⎨⎨⎨⎨ηn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,即为：x⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨2⎨，t(x)⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,把a称作t⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨{x1,x2,,xn}下的矩阵表示．定理2.1设{x1,x2,,xn}就是vn的一个基为，t1、t2在该基下的矩阵分别为a、b．则存有（1）(t1+t2)[x1（2）(kt1)[x1（3）(t1t2)[x1（4）t-1[x1x2xn]=[x1x2xn](a+b)x2xn]=[x1x2xn](ka)x2xn]=[x1x2xn](ab)x2xn]=[x1x2xn]a-1推断2.1设f(t)=∑aiti为纯量t的m次多项式，t为线性空间vn的一个线性变换，且在vn的基{x1,x2,,xn}下的矩阵表示为a，则f(t)[x1x2xn]=[x1x2xn]f(a)，其中f(a)=∑aiai，推论2.2设线性变换t在vn的基{x1,x2,,xn}下的矩阵表示为a，元素x在该基下的坐标为(ξ1,ξ2,,ξn)，则t(x)在该基⎨η1⎨⎨η⎨下的坐标(η1,η2,,ηn)满足⎨2⎨=⎨⎨⎨⎨⎨ηn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨．⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨定理2.2设t在vn的两个基为{x1,x2,,xn}及{y1,y2,,yn}的矩阵分别为a和b，且[y1则b=c-1ac.y2yn]=[x1x2xn]c，即a和b相近，记作a~b．线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之，如果两个矩阵相似，那么它们可以看成同一个线性变换在两组不同基下的矩阵．定理2.3n阶方阵a和b相近的充要条件就是a和b为同一线性变换在相同基下的矩阵则表示．2特征值与特征向量定义2.2设t是数域p上线性空间v中的线性变换．如果对于数域p中某一数λ,存在非零向量α，使得t(α)=λα则称λ为t的一个特征值，而α称为t的对应于特征值λ的一个特征向量．式(1)说明，在几何上，特征向量α的方位，经过线性变换后维持维持不变．特征向量不是被特征值惟一确认；但是，特征值却被特征向量惟一确认．设x1,x2,,xn是线性空间vn的基，线性变换t在该基下的矩阵表示是a=(aij)．令λ0是t的特征值，属于λ0的特征向量x=ξ1x1+ξ2x2++ξnxn,则由式(1)知t(x)及λ0x的坐标分别是⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,λ0⎨2⎨，有a⎨2⎨=λ0⎨2⎨，即⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ξξξ⎨n⎨⎨n⎨⎨n⎨⎨ξn⎨(λ0e-a)⎨2⎨=0,（2）⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨由于x≠0，因此，ξ1,ξ2,,ξn不全系列为零，从而就存有det(λ0e-a)=-a21-an1-a12-an2-a1n-a2n定义2.3设a=(aij)是数域p上的n阶矩阵，λ是参数，称-a12-an2det(λe-a)=为矩阵的特征多项式．它是p上的一个n次多项式．ϕ(λ)的根(或零点)λ0，即ϕ(λ)=0，称作a的特征值(根)；而适当于方程组（2）的非零解向量(ξ1,ξ2,,ξn)t称为a的属于特征值λ0的特征向量．表明：如果λ0就是线性变换的特征值，那么λ0必定就是矩阵a的特征多项式ϕ(λ)=det(λe-a)的一个根；反之，如果λ0就是ϕ(λ)在数域p中的一个根，即为存有ϕ(λ0)=det(λ0e-a)=0,那么齐次线性方程组（2）就存有非零求解．于是非零向量x=ξ1x1+ξ2x2++ξnxn就满足用户式(1)，从而λ0就是t的特征值，所x就是t的属λ0的特征向量．以，欲求线性变换t的特征值和特征向量，只要求出t的矩阵a的特征值和特征向量就行了．换言之，t的特征值与a的特征值相一致，而t的特征向量在vn的基下的坐标(列向量)与a的特征向量相一致．因此，计算特征值和特征向量的步骤如下：第一步：挑定数域p上的线性空间vn的一个基为，写下线性变换t在该基下的矩阵a；第二步：算出a的特征多项式ϕ(λ)在数域p上的全部根，它们就是t的全部特征值；第三步：把求出的特征值逐个代入方程组(2)，求解出来矩阵a属每个特征值的全部线性毫无关系的特征向量．第四步：以a的属每个特征值的特征向量为vn中德博瓦桑县基下的座标，即为得t的适当特征向量．例2.1设线性变换t在v3的基x1,x2,x3下的矩阵是a=212⎨，谋t的特征值和特征向量．求解难求出a的特征多项式就是-2=(λ+1)(λ-5).ϕ(λ)=det(λe-a)=-2因此，t的特征值是λ1=一1(二重特征值)和λ2=5．特征方程(λ1e-a)x=0的一个基础解系为:(1,0,-1)t，(0,1,-1)t,t的属于λ1的t的属λ1的两个线性毫无关系的特征向量为y1=x1-x3，y2=x2-x3，全体特征向量为:k1y1+k2y2,(k1,k2∈p不同时为零)；特征方程(λ2e-a)x=0的一个基础卢播为(1,1,1)t，记y3=x1+x2+x3，则t的属于λ2的全体特征向量为：k3y3，(k3∈p不等于零)．定理2.4对于线性空间vn的线性变换t的任一特征值的属于λ0的全部特征向量，再添上零向量所构成的集={x(x)=λ0x,x∈vn}就是vn的一个线性子空间．事实上，设x,y∈vλ，则有t(x)=λ0x，t(y)=λ0y；于是：t(x+y)=t(x)+t(y)=λ0x+λ0y=λ0(x+y)，t(kx)=k(tx)=k(λ0x)=λ0(kx)，这就是说明x+y与kx均属于vλ．§3线性变换的值域、核及维持不变子空间1线性变换的值域和核定义3.1设数域p上的线性空间vn和vm，t是vn到vm的一个线性态射，t的全体像是共同组成的子集称作t的值域，用r(t)表示，也称为t的像是空间，记作tvn，即为r(t)=tvn=t(α)∈vn⊂vm；所有被t变为零元素（零向量）的元素（向量）形成的子集称作t的核，记作ker(t)或t-1(0)，有时也表示ker(t)为t的零空间，记作n(t)，即为n(t)=ker(t)=α(α)=0,α∈vn⊂vn．当t就是线性变换时，表示r(t)和n(t)分别为线性变换t的值域和核．可以证明，r(t)和n(t)分别是vm和vn的线性子空间．定义3.2称r(t)的维数dimr(t)为线性变换t的秩，记为r(t)；表示n(t)null(t)．的维数dimn(t)称为线性变换t的零度，记为⎨110⎨⎨3.1设t(x)=ax,a=110⎨，求t解令a={a1,a2,a3},x=(x1,x2,x3)t，其中a1=(1,1,0);a3=(0,0,1)r(t)={x1a1+x2a2+x3a3}=span(a1,a3)，ax=0的x=(1,-1,0)t=kα，故n(t)=span{α}.2线性变换的不变子空间定义3.3如果t就是线性空间v的线性变换，v1就是v的子空间，并且对于任一一个x∈v1，都存有t(x)∈v1，则表示v1就是t的维持不变子空间．定义3.4以cm表示全体m维复向量在复数域c上构成的线性空间，a为m⨯n复矩阵，其列(向量)为α1,α2,,αn．显然，αi∈cm，i=1,2,,n．子空间span(α1,α2,,αn)称为矩阵a的列空间(值域)，记作r(a)，即r(a)=s pan(α1,α2,,αn)．a=(α1,α2,,αn)y=(y1,y2,,yn)∈cnr(a)=ayy∈cn似乎，a的秩等同于a的值域的维数，即rank(a)=dimr(a)．定义3.5设a为m⨯n为丛藓科扭口藓矩阵，表示线性方程组ax=0在复数域上的求解空间为n(a)={xax=0}.的化零空间(核)，记作n(a)，即为显然，n(a)是cn的一个子空间，称n(a)的维数为a的零度，即null(a)=dimn(a).定理3.1（1）dimr(t)+dimn(t)=dimvn（2）dimr(a)=rank(a)（3）dimr(a)+dimn(a)=n，n为a的列数．基准3.2设a=⎨⎨⎨,求null(a)．1-13⎨⎨求解由ax=0Champsaurx=k(-5,1,2)t，故null(a)=1．定理3.2设a为m⨯n矩阵，则rank(a)+null(a)=n．证明因为齐次线性方程组ax=0的求解空间的维数(基础卢播涵盖的线性毫无关系向量的个数)为n-rank(a)，故上式设立．下面给出怎样利用不变子空间的概念将线性变换的矩阵简化为简单的准对角矩阵或对角矩阵．假设s={α1,α2,,αk}就是t的维持不变子空间w的一个基为，可以将s扩充为v的一个基s={α1,α2,,αk,αk+1,,αn}．t是v上的一个线性转换．对s中的每个基为向量αj,t(αj)∈w，可以则表示成t(α1)=a11α1++ak1αkt(αk)=a1kkα1++akkαkt(αk+1)=a1k+1α1++akk+1αk+ak+1k+1αk+1++ank+1αnt(αn)=a1nα1++aknαk+ak+1nαk+1++annαn⎨a11⎨⎨⎨ak1线性变换t在基s下的矩阵就是a=⎨⎨0⎨⎨⎨⎨0a可以分块译成a=0a12⎨⎨.a22⎨⎨akk+1ak+1k+1ank+1⎨，ak+1n⎨⎨⎨ann⎨⎨定理3.3如果v1⊕v2=v，并且v1，v2就是t的两个维持不变子空间，即t(v1)⊆v1，t(v2)⊆v2．则线性变换t的矩阵为依据对角形0⎨⎨.⎨a22⎨特别地，若所有vi都就是一维子空间时，则矩阵a精简为对角矩阵a=diag(a1,a2,,an)=⎨⎨⎨.⎨⎨an⎨⎨定理3.4设t是线性空间vn的线性变换,λ1,λ2,,λn是t的全部不同的特征值,则t在某一基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件是dimvλ1+dimvλ2++dimvλn=n.可知，线性变换t的矩阵简化为一个准对角矩阵(或对角矩阵)与线性空间vn可分解为若干个不变子空间的直和是相当的．。
线性变换的运算
当k=2时，若 AB BA E,
①
对①两端左乘 A ，得 A2B ABA A,
对①两端右乘 A，得 ABA BA 2 A,
上两式相加，即得 A2B BA2 2A 2A 21.
第22页共24页
假设命题对 k 1时成立，即
Ak1B BAk1 (k 1)Ak2 .
②
对②两端左乘 A ，得
证：" " 设 A 为线性空间V上可逆线性变换.
任取 , V , 若 A( ) A( ), 则有 ( A1A)( ) A1(A( )) A1(A( ))
(A1A)( ) . A 为单射. 其次，对 V , 令 A1( ), 则 V ,且 A( ) A(A1( )) AA1( ) . A 为满射.
D f x f x
J
f
x
x
0
f
t
dt
DJ f x D
x
0
f t dt
f x,
即 DJ E.
而，
JD
f
x
J
f x
x
0
f t dt
f
x
f
0
DJ JD.
第4页共24页
例2. 设A、B Pnn为两个取定的矩阵，定义变换
A( X ) AX , B( X ) XB,
X P nn
故 A(1 ), A( 2 ), , A( n ) 线性无关. " " 若 A(1 ), A( ), , A( n ) 线性无关，则它
也为V的一组基. 因而，对 V , 有
k1A(1 ) k2 A( 2 ) kn A( n ),
即有 A(k11 k2 2 kn n ) .
又 A 可逆，于是 A 是一一对应，且 A(0) 0
第讲 线性变换
第2讲 线性变换内容：1. 线性变换2. 线性变换的矩阵表示，特征值与特征向量3. 线性变换的值域、核及不变子空间线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，线性空间V 中自身到自身的一种线性映射称为V 的一个线性变换，线性变换研究线性空间中元素之间的最基本联系．介绍线性变换的基本概念并讨论它与矩阵之间的联系．§1 线性变换 1 线性变换定义1.1 设V 是数域P 上的线性空间，T 是V 到自身V 的一个映射，即对于V 中的任意元素x 均存在唯一的V y ∈与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为y x T =)(,称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象．若映射T 还满足:)()()(y lT x kT ly kx T +=+，P l k V y x ∈∈∀,,,,称T 为V 的线性变换．例1.1 二维实向量空间⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,1,212i R R i ξξξ，将其绕原点旋转θ角的操作就是一个线性变换．证明： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21ξξx ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==21)(ηηx T y , ⎩⎨⎧+=-=θξθξηθξθξηcos sin sin cos 212211 ， 22121cos sin sin cos R ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ξξθθθθηη。
可见该操作T 为变换，下面证明其为线性变换．22121,R z z z x x x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∀,R l k ∈,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+22112121lz kx lz kx lz lz kx kx lz kx ， )()(cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos )(21212211z lT x kT z z l x x k lz kx lz kx ly kx T +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+θθθθθθθθθθθθ， 所以, T 是线性变换． 2 几种常用的线性变换1）单位变换把线性空间V 的任一向量都变为其自身的变换称为单位变换或恒等变换，记为 e T ，即：V x x x T e ∈∀=,)(．2）零变换把线性空间V 中的任一向量都变为零向量的变换称为零变换，记为 0T ，即V x x T ∈∀=,0)(0．3）变换相等如果1T ,2T 是V 的两个变换，V x ∈∀，均有)()(21x T x T =，则称变换1T 与2T 相等，记为21T T =．4）满秩（线性）变换若（线性）变换T 将所有的线性无关元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩（线性）变换．5） 变换的和21T T +，V x ∈∀，)()())((2121x T x T x T T +=+，则21T T T +=．6） 变换的数乘kT ：V x ∈∀，)())((x kT x kT =． 7） 负变换：)())((x T x T -=-．8） 变换的乘积21T T ：V x ∈∀，))(())((2121x T T x T T =． 9） 逆变换1-T ：V x ∈∀，若存在变换S 使得x x ST ≡))((，则称S 为T 的逆变换1-=T S ．10） 变换的多项式：nn T TT T =，并规定e T T =0; ∑==Nn nn ta t f 0)( → ∑==Nn nn T a T f 0)( →)())((0∑==Nn n n x T a x T f ．说明：变换的乘积不满足交换律；只有满秩变换才有逆变换，e T ST =． 3 线性变换的性质1）线性变换把零元素仍变为零元素 2）负元素的象为原来元素的象的负元素3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组．注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定是线性无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关． §2 线性变换的矩阵表示、特征值与特征向量有限维线性空间的任一元素（向量）都可由基元素（向量）唯一线性表示，元素（向量）可以用坐标表示出来，通过坐标把线性变换用矩阵表示出来，从而可把比较抽象的线性变换转化为具体的矩阵来处理． 1 线性变换的矩阵表示设T 是线性空间n V 的一个线性变换，且},,,{21n x x x 是n V 的一个基，nV x ∈∀，则存在唯一的坐标表示⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==∑=n n ni i i x x x x x ξξξξ 21211][,有)()(2211n n x x x T x T ξξξ+++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x T x T x T ξξξ 2121)]()()([⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x T ξξξ 2121)(,要确定线性变换T ，只需确定基元素在该变换下的象就可以了．定义2.1 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ni i i n i a a a x x x x T 2121][)(，A x x x a a a a a a a a a x x x x x x T n nn n n n n n n ][][),,,(212122221112112121 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=，对于任意元素x ，在该基下，变换后)(x T 的坐标表示为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x x T ηηη 2121][)(，即[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n A x x x x x x T x T ξξξξξξ 21212121,,,),,,()(,可知：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n A ξξξηηη 2121,即： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡↔n x ξξξ 21，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡↔n A x T ξξξ 21)(,把A 称为T 在基},,,{21n x x x 下的矩阵表示．定理2.1 设},,,{21n x x x 是n V 的一个基，1T 、2T 在该基下的矩阵分别为A 、B ．则有 （1）)]([])[(212121B A x x x x x x T T n n +=+（2）)]([])[(21211kA x x x x x x kT n n =（3）)]([])[(212121AB x x x x x x T T n n =（4）121211][][--=A x x x x x x T n n推论 2.1 设i mi i t a t f ∑==0)(为纯量t 的m 次多项式，T 为线性空间n V 的一个线性变换，且在n V 的基},,,{21n x x x 下的矩阵表示为A ，则)(][])[(2121A f x x x x x x T f n n =，其中i mi i A a A f ∑==0)(，I A =0.推论 2.2 设线性变换T 在n V 的基},,,{21n x x x 下的矩阵表示为A ，元素x 在该基下的坐标为),,,(21n ξξξ ，则)(x T 在该基下的坐标),,,(21n ηηη 满足 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n A ξξξηηη 2121 ． 定理2.2 设T 在n V 的两个基},,,{21n x x x 及},,,{21n y y y 的矩阵分别为A 和B ，且C x x x y y y n n ][][2121=，则AC C B 1-=.即A 和B 相似，记为B A ~．线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之，如果两个矩阵相似，那么它们可以看成同一个线性变换在两组不同基下的矩阵．定理 2.3 n 阶方阵A 和B 相似的充要条件是A 和B 为同一线性变换在不同基下的矩阵表示． 2 特征值与特征向量定义2.2 设T 是数域P 上线性空间V 中的线性变换．如果对于数域P 中某一数λ,存在非零向量α，使得λαα=)(T . （1）则称λ为T 的一个特征值，而α称为T 的对应于特征值λ的一个特征向量．式(1)表明，在几何上，特征向量α的方位，经过线性变换后保持不变．特征向量不是被特征值惟一确定；但是，特征值却被特征向量惟一确定．设n x x x ,,,21 是线性空间n V 的基，线性变换T 在该基下的矩阵表示是)(ij a A =．令0λ是T 的特征值，属于0λ的特征向量nn x x x x ξξξ+++= 2211,则由式(1)知)(x T 及x 0λ的坐标分别是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n A ξξξ 21,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n ξξξλ 210，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n A ξξξ 21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n ξξξλ 210，即 ()0210=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-n A E ξξξλ , （2）由于0≠x ，因此，n ξξξ,,,21 不全为零，从而就有()0det 0212220211121100=---------=-nnn n n n a a a a a a a a a A E λλλλ定义2.3 设)(ij a A =是数域P 上的n 阶矩阵，λ是参数，称A的特征矩阵AE -λ的行列式())(det 212222111211λϕλλλλ=---------=-nnn n nna a a a a a a a a A E为矩阵A的特征多项式．它是P 上的一个n 次多项式．()λϕ的根(或零点) 0λ，即()0=λϕ，称为A 的特征值(根)；而相应于方程组（2）的非零解向量()T n ξξξ,,,21 称为A 的属于特征值0λ的特征向量．说明：如果0λ是线性变换的特征值，那么0λ必定是矩阵A 的特征多项式()()A E -=λλϕdet 的一个根；反之，如果0λ是()λϕ在数域P 中的一个根，即有()()0det 00=-=A E λλϕ,那么齐次线性方程组（2）就有非零解．于是非零向量n n x x x x ξξξ+++= 2211就满足式(1)，从而0λ是T 的特征值，x 是T 的属于0λ的特征向量．所以，欲求线性变换T 的特征值和特征向量，只要求出T 的矩阵A 的特征值和特征向量就行了．换言之，T 的特征值与A 的特征值相一致，而T 的特征向量在n V 的基下的坐标(列向量)与A 的特征向量相一致．因此，计算特征值和特征向量的步骤如下：第一步：取定数域P 上的线性空间n V 的一个基，写出线性变换T 在该基下的矩阵A ；第二步：求出A 的特征多项式()λϕ在数域P 上的全部根，它们就是T 的全部特征值；第三步：把求得的特征值逐个代入方程组(2)，解出矩阵A 属于每个特征值的全部线性无关的特征向量．第四步：以A 的属于每个特征值的特征向量为n V 中取定基下的坐标，即得T 的相应特征向量．例 2.1 设线性变换T 在3V 的基321,,x x x 下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A ，求T 的特征值和特征向量． 解 容易算出A 的特征多项式是()()=-=A E λλϕdet ()()511222122212-+=---------λλλλλ.因此，T 的特征值是1λ=一1(二重特征值)和2λ=5．特征方程()01=-x A E λ的一个基础解系为:T )1,0,1(-，T )1,1,0(- ,T 的属于1λ的两个线性无关的特征向量为311x x y -=，322x x y -=，T 的属于1λ的全体特征向量为:2211y k y k + ,(P k k ∈21,不同时为零)；特征方程()02=-x A E λ的一个基础解系为T )1,1,1(，记3213x x x y ++=，则T 的属于2λ的全体特征向量为：33y k ，(P k ∈3不等于零)．定理 2.4 对于线性空间n V 的线性变换T 的任一特征值0λ，T 的属于0λ的全部特征向量，再添上零向量所构成的集合{}n V x x x T x V ∈==,)(00λλ是n V 的一个线性子空间．事实上，设0,λV y x ∈，则有x x T 0)(λ=，y y T 0)(λ=；于是：()()y x y x y T x T y x T +=+=+=+000)()(λλλ，()()()()kx x k Tx k kx T 00λλ===，这就是说明y x +与kx 均属于0λV ．§3 线性变换的值域、核及不变子空间 1 线性变换的值域和核定义3.1 设数域P 上的线性空间n V 和m V ，T 是 n V 到mV 的一个线性映射，T 的全体像组成的集合称为T 的值域，用)(T R 表示，也称为T 的像空间，记为n TV ，即(){}m n n V V T TV T R ⊂∈==αα)(；所有被T 变成零元素（零向量）的元素（向量）构成的集合称为T 的核，记为)ker(T 或)0(1-T ，有时也称)ker(T 为T 的零空间，记为)(T N ，即(){}n n V V T T T N ⊂∈===ααα,0)()ker(．当T 是线性变换时，称)(T R 和)(T N 分别为线性变换T 的值域和核．可以证明，)(T R 和)(T N 分别是m V 和n V 的线性子空间． 定义3.2 称)(T R 的维数)(dim T R 为线性变换T 的秩，记为)(T r ；称)(T N 的维数)(dim T N 称为线性变换T 的零度，记为)(T null ．例3.1 设Ax x T =)(,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011011A ，求T 的值域和核．解 令 {}Tx x x x A A A A ),,(,,,321321==，(){}()31332211,A A span A x A x A x T R =++=，其中()()TTA A 1,0,0;0,1,131==．满足0=Ax 的()αk x T=-=0,1,1，故}{)(αspan T N =.2 线性变换的不变子空间定义3.3 如果T 是线性空间V 的线性变换，1V 是V 的子空间，并且对于任意一个1V x ∈，都有1)(V x T ∈，则称1V 是T 的不变子空间．定义3.4 以m C 表示全体m 维复向量在复数域C 上构成的线性空间，A 为n m ⨯复矩阵，其列(向量)为n ααα,,,21 ．显然，m i C ∈α，n i ,,2,1 =．子空间),,,(21n span ααα 称为矩阵A 的列空间(值域)，记作)(A R ，即),,,()(21n span A R ααα =．记),,,(21n A ααα =，()nTn C y y y y ∈=,,,21 .则)(A R 可表成{}nC y Ay A R ∈=)(．显然，A 的秩等于A 的值域的维数，即)(dim )(A R A rank =． 定义 3.5 设A 为n m ⨯复矩阵，称线性方程组0=Ax 在复数域上的解空间为A的化零空间(核)，记作)(A N ，即}0{)(==Ax x A N .显然，)(A N 是n C 的一个子空间，称)(A N 的维数为A 的零度，即)(dim )(A N A null =.定理3.1 （1）n V T N T R dim )(dim )(dim =+ （2）)()(dim A rank A R =（3）n A N A R =+)(dim )(dim ，n 为A 的列数．例3.2 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311211A ,求)(A null ． 解 由0=Ax 解得()T k x 2,1,5-=，故1)(=A null ． 定理3.2 设A 为n m ⨯矩阵，则n A null A rank =+)()(． 证明 因为齐次线性方程组0=Ax 的解空间的维数(基础解系包含的线性无关向量的个数)为)(A rank n -，故上式成立．下面给出怎样利用不变子空间的概念将线性变换的矩阵简化为简单的准对角矩阵或对角矩阵．假设{}k S ααα,,,21~=是T 的不变子空间W 的一个基，可以将~S 扩充为V 的一个基{}n k k S ααααα,,,,,,121 +=．T 是V 上的一个线性变换．对S 中的每个基向量()W T j j ∈αα,，可以表示成()()()()nnn k n k k kn n n nnk k k k k kk k k kkk k k kk a a a a T a a a a T a k a T a a T αααααααααααααααα+++++=+++++=++=++=+++++++++11111111111111111111线性变换T 在基S 下的矩阵是⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++nn nk n k k k kn kk kkk n k k a a a a a a a a a a a a A1111111111110000， A 可以分块写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221211A A A A . 定理 3.3 如果V V V =⊕21，并且1V ，2V 是T 的两个不变子空间，即()11V V T ⊆，()22V V T ⊆．则线性变换T 的矩阵为准对角形⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22110A A A . 特别地，若所有i V 都是一维子空间时，则矩阵A 简化为对角矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==n n a a a a a a diag A 2121,,,. 定理 3.4 设T 是线性空间n V 的线性变换,n λλλ,,,21 是T 的全部不同的特征值,则T 在某一基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件是n V V V n =+++λλλdim dim dim 21 .可知，线性变换T 的矩阵简化为一个准对角矩阵(或对角矩阵)与线性空间n V 可分解为若干个不变子空间的直和是相当的．。
线性代数-线性空间与线性变换PPT课件
例1
次数不超过
n
的多项式的全体，记作
P
x
，
n
即
P x n p x anx n a1x a0 an, ,a1,a0 ,
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.
这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，
故只要验证
P
x
对运算封闭.
n
一、线性空间的定义
1
0 ,
E 22
0
1
线性无关，所以 E11, E12 , E21, E22 是 M2
的一个基，向量
A
a11 a21
a12 a22
在这个基下的
坐标就是 a11, a12, a21, a22 T .
二、基变换与坐标变换
设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间Vn 中的两个基，且
第5章 线性空间与线性变换 20
目录/Contents
第5章 线性空间与线性变换 21
5.2 维数、基与坐标
一、线性空间的基、维数与坐标 二、基变换与坐标变换
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 22
定义 1 在线性空间V 中，如果存在n 个元素1,2, ,n 满足
(i) 1,2, ,n 线性无关； (ii) V 中任一元素 总可由1,2, ,n 线性表示，
x1, x2, , xn ，使
x11 x22 xnn ，
x1, x2, , xn 这组有序数就称为元素 在基1,2, ,n 下的坐标，并记作
x1, x2,
,xn
T
.
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 25
线性变换及其矩阵课件
（5）V 中线性变换的数乘运算满足： (kl)T k(lT ) ， (k l)T kT lT ，
k(T1 T2 ) •线k性T变1 换及k其T矩2 阵．
•5
定义 设V 是数域 P 上的线性空间，T L(V ) ，
推论 在线性空间V 中，存在某个基使线性变换T 在该基
下的矩阵是对角阵的充要条件是矩阵 A 可对角化，其中 A 为T
在任一个基下的矩阵．
•线性变换及其矩阵
•12
例 4 设三维线性空间 R3 中的两个基1 (1,0,0) ， 2 (0,1,0) ， 3 (0,0,1) 与1 (1,1,1) ，2 (1,0,1) ，3 (0,1,1) ，
注意 性质3的逆命题不成立，即线性变换可能将线性无
关向量组变成线性相关向量组．例如，零变换把任何线性无
关向量组都变成线性相关向量组．
•线性变换及其矩阵
•3
1.3.2 线性变换的运算
L(V ) 表示数域 P 上线性空间V 上的一切线性变换的集合．
定义 设V 是数域 P 上的线性空间，Ti L(V ) （ i 1,2 ），
T (1 ) 1 ，T (2 ) 2 ，,T ( n ) n
证明 先证存在性．
n
任取 V ，且 ki i ．定义V 的一个变换T ： i 1
n
T ( ) ki i i 1
容易证明T 是V 上的线性变换．
取 i (i 1,2,, n) 时，得 T (1 ) 1 ，T (2 ) 2 ，,T ( n ) n
（1）如果存在 S L(V ) ，使得
TS ST I ， 则称 S 为 T 的逆变换，记为T 1 ．特别地，若线性变换T 是可逆的， 则 T 1 也是线性变换．
人教版A版高中数学选修4-2线性变换的基本性质
线 2. 过点 M0（x0，y0） 且平行于向量 vvv12= OX =OM0 tv, tR,
l 的向量方程为:
x y
=
x0 y0
t
v1 v2
，tR，即
其中 X（x，y） 是直线上的任意一点。
试利用直线的向量方程来求解下列问题:
的直
（2） 直线 l 经过点 A（2，1） 且垂直于 x 轴，考察矩 阵 M= 1 0 对应的投影变换把直线 l 变成了什么?
一条直线经过线性变换后，所得的像是一条直线 或一个点。
如: 一条垂直于 x 轴的直线，关于 x 轴的投影变
换，它的像就是这
A
O
x
性质2: 二阶矩阵对应的变换 （线性变换） 把平面上的直线变成直线 （或一点）。
对性质 2 的证明我们简述如下:
设 P1，P2 是直线上的两点，则存在实数 l，m，使 P1P2 = lOP1 mOP2,
y
2B
1 O
AC A
12
B 3C
x
（1） 直线 AB 变成了直线 （x 轴）;
（2） 直线 BC 变成了一个点 （3，0）;
（3） △ABC 变成了一条线段。
【课时小结】
1. 二阶矩阵与向量乘法的性质 性质 1: 设 A 是一个二阶矩阵，a，b 是平
面上的任意两个向量，l 是一个任意实数，则 （1） A（la） =lAa;
逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍。 这两个过程的结果
相同吗? 两用代数运算试试。
y
y
2a a
O
x
a
O
x
先伸长，再旋转; 先旋转，再伸长。
两结果相同。
（一） 线性变换的基本性质
高等代数第四章线性变换
第四章 线性变换习题精解1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α.4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-==k A )(α故A 是P 3上的线性变换.5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=1,k=I,则 A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)8)是.因任取二矩阵Y X ,nn P⨯∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y XB Y X )()A X +A YA (k X )=k BXC k kXB ==)()(A X 故A 是nn P⨯上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明:A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2并检验(AB )2=A 2B 2是否成立. 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z)A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z)B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z)C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z) 所以A 4=B 4=C 4=E 2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB ≠BA 3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以A 2B 2=B 2A 23) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x) A 2B 2(a)=(-x,-y,z) 所以(AB )2≠A 2B 23.在P[x]中,A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f =证明:AB-BA=E证 任取∈)(x f P[x],则有(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明: A kB-BA k=k A1-k (k>1)证 采用数学归纳法. 当k=2时A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立.归纳假设m k =时结论成立,即A m B-BA m =m A 1-m .则当1+=m k 时,有 A 1+m B-BA 1+m =(A1+m B-A m BA)+(A m BA-BA1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A mE+m A1-m A=)1(+m A m即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A1-.若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A 1-,有a=b,这与条件矛盾.其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1-b=a 即可.因此,A 是一个双射.6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。