第4章习题及解答

第四章 多项式 4.1习题 ,()(),..(-)-(-)()()-(-)()--(-)(-)ZacadbcqZstadbcqacacbdabcdadbcacbdabcdacqacbdqabcd1. 设a,b,c,d已知(a-c)(ad+bc),求证(a-c)(ab+cd)证明：

又由 （） 得 （）（） 即 ,,-()()bdqZbdqZacabcd 即有

121212

,65(-3)13,65(-2)5,65-,65(-3)13(-2)571865-(6528)65(-65)-2828mmmmrccmcmcccmmr2. 一个整数被5除余3，被13除余2，求它被65除的余数解：设所求数为由题知 即 有 令 ，， 则有 故有

1723582957,581-143,-143202,0231414ababababbababa3. 对于下列的整数，分别求出以除所得的商和余数： （1）, （2）, （3）, （4）解：）由带余除法，可表示为 故商为，余数为； ）同理得 故商为，余数为； ）由 知商为，余数为； 49595ba ）由 知商为，余数为。

.()001ababbaqqZbqbaqqab4. 证明：若ab,b0,则证明：由 可得 又

又

1,)1.b11 1115. 设a,b是不全为零的整数，且a=da,b=db,d,a,bZ.证明d是a与b的一个最大公因数的充分必要条件是(a 1111111111

[]4.1.3,,..01(,)1[](,)1''1''1,''uvZstuavbdudavdbdduavbababuavbabuvuavbddd证明：根据定理得 即 又

故有

即 则有 综上所述，结论得证 6.(,)1,(,)1.,(1),,..()()(1),,1,1abababababddZduvZstuabvabduauvabduvaZuvaZab 证明：若则 证明：反证 假设（） 且

故 （）与 （） 矛盾 ,17.1..,()(),,.abababpabpapbppmnabkkZpabpbbkpapbpkmbmkmknbnknkp （） 设是一个大于的整数且具有以下性质： 对于任意整数，，若，则或 证明是一个素数 证明：令 又

当 不整除，有，不整除 又有，不整除或； 不整除或 若为合数，那,mknkppkpbp么由可知必为素数，否则 同理可证当不整除时，也必为素数

4.2习题 224324321.,,(21)(1)251\2(2)(21)()12521-2,1,31khmxhxxkxxxmxxxkhxhkxhkxhkhkmkhmhk 求使

解：对于左边

即有 解之得

432322.()242,()254.()(),()(),()().fxxxxxgxxxxfxgxfxgxfxgx 设

计算 4324432700765432()()4292()()6()0254()()()23913131868kk

ikikifxgxxxxxfxgxxxgxxxxxfxgxabxxxxxxxx

解：由题得

令

323122

22

3.()59-73,()(53),()().-15-50[()()]3691()()04.()0().()0()()()fxxxxgxxxfxgxfxgxxfxgxsfxfxfxfxfxfx 设求乘积 的次数及其系数和解：根据 得 令 则有 的系数和 证明：当时，是偶次多项式证明： 又有 根据定理24.2.12()()()()(),()()2fxfxfxfxfxnnNfxn的（）知 （）（）（） 再令 （） 结论得证

2225.(),(),()..()()(),()()()0.(),(),()1221222132212fxgxhxfxxgxxhxfxgxhxgxgfxfhxhghfgghfhghfgf 设是实数域上的多项式证明如下 若是 则 证明：令 （） （） （） 当 时，有 当 时，有 当 时，有 或 2222214()(),(),()(),(),()()()()06.(),(),()()0(),()1()0(),()hfxfxgxhxfxgxhxfxgxhxfxgxhxfxgxihxfxxgxxxhxx

 又由题可知 是偶次多项式，又由于是实数域上的多项式 故 的次数不存在 即 求一组满足上题结论的不全为零的复系数多项式解：令 ， 即 ， 222()()0()()0(),()1xgxxhxfxfxgxihx

满足条件 即 ，

4.3 习题 3221.()321,()321,()()()().fxxxxgxxxgxfxqxrx设求用除

所得的商式和余数 23232

22

17393213212133751337147399299172(),()3999()()()()xxxxxxxxxxxxxxxqxxrxfxgxqxrx解：

故 即

24323224

1212112212

2.,,(1)()?012,1(1)()3.()(()()),()(()()),:()(()()()()),(),()mpqxmxxpxqpmmmrqmpmmqmxmxxpxqgxfxfxgxfxfxgxuxfxuxfxuxuxFx在适合什么条件时，解：由题知当余式时有 即当 时 有 设证明其中为中任意两个12121212121211()(()()),()(()())()(()()()())()(()()()())()(),()()3()()(igxfxfxgxfxfxgxfxfxfxfxgxfxfxfxfxgxfxgxfxuxFxi多项式 证明：

即 根据多项式整除性质）可知 1122112221,2)..()()(),()()()2()()(1,2)..()(()()()())4.(1)(),(1)(),(1)().11(1)(),(1)(iostgxuxfxgxuxfxuxFxistgxuxfxuxfxxfxxfxxfxxxfxxf 再根据性质）得

若则证明： 1212)(),()[]()()(1)(1)()()(1)(2)xuxuxFxfxuxxfxuxx

221

()()(1)(-1)-(2)(1)()(-1)()2uxuxxxfxx 得

212

()()()[]2(-1)()21-1()0ouxuxuxFxxfxxxfx 故

即 或时，可得出 同样结论成立

12121212

212

1212

5.(1)()(()()),()()()()(2)()()(),()()()()1(),()1,()1()(()())()()()gxfxfxgxfxgxfxgxfxfxgxfxgxfxgxxfxxfxxgxfxfxgxfxfx 若则且对吗？ 若则或对吗？解：（）不对 如 ：令 可见 而 不整除 和 （21212122()-1,()1,()1()()()()()()gxxfxxfxxgxfxfxgxfxfx）不对 如 ：令 可见 而 不整除 和

(1)(2)6.(1)(1),.,1()1(1)(1),(1)(1).(1)(1)(0),1(1)1,(1)(1)(1)(dnndqdqdqddndnnqdrdqrrdndxxdndndnnqdxxxxxxxxxnqdrrdxxxxxxxx

 证明：的充分必要条件是（这里是正整数）证明 设 ，即 则 即 设，令则

且212121)(1)(1)0,0.7.()110220()32.(),()[]..(1)()10()(1)(2)()2dqdrxxxrdrdnfxxxfxxxuxuxFxstxuxfxxux ,又 故 ，即 设被除的余式为，被除的余式为， 求被 除的余式解：设 ， 23120()(2)()[]..()32(3)(1)(2)-(2)(1)()32--10(1)434-10(1)fxuxFxstfxxxurxxfxxxuuxrx 又 ， （） 有 （）（） （） 由（），（）可得

习题4.4