2021版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合练习理北师大版
2021版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3量词、逻辑联结词课件理北师大版
q,p∨q,p∧q中真命题的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.p和q显然都是真命题,所以 p, q都是假命题,p∨q,p∧q都是
真命题.
第三节 量词、逻辑联结词
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
必备知识·自主学习
【教材·知识梳理】 1.简单的逻辑联结词 (1)常用的简单的逻辑联结词:_且__,或,_非__, 用符号表示为:_∧__,_∨__,____. (2)含有逻辑联结词的命题真假判断方法: p∧q:_全__真才真,_一__假则假; p∨q:一真则_真__,_全__假才假;
序号 1
易错警示 不理解逻辑联结词的含义
2
真值表判断出错
3
全称、特称命题判断出错
4
不会进行命题的否定
典题索引 考点一、T1,2
考点一、T3 考点三、角度1
考点二、T1 考点二、T2,3
必备知识·自主学习
【教材·基础自测】
1.(选修2-1P14习题T2改编)命题“∀x∈R,x2+x≥0”的否定是 ( )
必备知识·自主学习
【解析】选D.因为当x=0时,x2=0,x2+1=1,所以选项A为假命题;因为 2 是无理数, 但( 2 )2是有理数,所以选项B为假命题;由于任意x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因 此使x2+2x+3=0的实数x不存在,所以选项C为假命题;由于存在整数3只有两个正因 数1和3,所以选项D为真命题.
必备知识·自主学习
3.含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题的否定: 原命题:∀x∈M,p(x);否定:__∃_x_∈__M_,____p_(_x_)_. (2)特称命题的否定: 原命题:∃x∈M,p(x);否定:__∀_x_∈__M_,____p_(_x_)_.
2021高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件课件文北师大版
＝32，则 x 是无理数”是真命题，故其逆否命题也是真命题．故选 B.]
20
3．已知命题 α：如果 x＜3，那么 x＜5；命题 β：如果 x≥3，那 么 x≥5；命题 γ：如果 x≥5，那么 x≥3.关于这三个命题之间的关系 中，下列说法正确的有________．(填序号)
①命题 α 是命题 β 的否命题，且命题 γ 是命题 β 的逆命题； ②命题 α 是命题 β 的逆命题，且命题 γ 是命题 β 的否命题； ③命题 β 是命题 α 的否命题，且命题 γ 是命题 α 的逆否命题．
24
⊙考点 2 充分、必要条件的判定 充分条件和必要条件的三种判断方法
(1)定义法：可按照以下三个步骤进行 ①确定条件 p 是什么，结论 q 是什么； ②尝试由条件 p 推结论 q，由结论 q 推条件 p； ③确定条件 p 和结论 q 的关系．
25
(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如¬p 是¬q 的什么条件， 利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求 q 是 p 的什么条件．
32
判断充要条件需注意三点 (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
33
1.(2019·重庆模拟)已知 x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x －6＝0”的( )
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
∴0≤m≤3. 即所求 m 的取值范围是[0,3]．]
40
[母题探究] 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求 m 的取值范围．
1－m≤1＋m，
[解] 由 x∈P 是 x∈S 的充分条件，知 P S，则1－m≤－2， 1＋m≥10，
2021高考数学一轮复习统考第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件课件北师大版
解析 答案
6．已知 p：x2－7x＋10<0，q：x2－4mx＋3m2<0，其中 m>0.若¬q 是¬p 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为__53_≤__m__≤__2___.
p⇒/ q 且 q⇒p
p 是 q 的□12 __充__要____条件
p⇔q
p 是 q 的□13 __既__不__充__分__也__不__必__要____条件
p⇒/ q 且 q⇒/ p
1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．(1)若 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 r 的充分不必要条件，则 p 是 r 的充分不必要条件． (2)若 p 是 q 的充分不必要条件，则¬q 是¬p 的充分不必要条件．
解析 由¬q 是¬p 的充分不必要条件知 p 是 q 的充分不必要条件，又 p： 2<x<5，q：m<x<3m，
m≤2， 所以3m≥5，即53≤m≤2.
m>0，
解析
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 四种命题及其相互关系
例 1 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种 命题的真假：
第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1
PART ONE
基础知识整合
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以□01 __判__断__真__假____的陈述句叫做命 题．其中判断为真的语句叫做□02 ___真__命__题___，判断为假的语句叫做□03
【高考领航】高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语文北师大版
【高考领航】高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语文北师大版第1课时集合的概念与运算1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算．1．集合与元素(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系①a属于集合A，用符号语言记作a∈A.②a不属于集合A，用符号语言记作a∉A.(3)常见集合的符号表示(4)集合的表示法：列举法、描述法、2．集合间的基本关系A B或B A∅⊆A，∅B(B≠∅) 3.∈A，∈B}∈A，∈B}|x，且x∉A}∪B[基础自测]1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁U M)＝( ) A．{1,3} B．{1,5}C．{3,5} D．{4,5}解析：∵∁U M＝{2,3,5}，∴N∩∁U M＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．答案：C2．(教材改编题)设集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B等于( ) A．{x|3≤x<4} B．{x|x≥3}C．{x|x>2} D．{x|x≥2}解析：∵B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|5x≥15}＝{x|x≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x<4}，故选A. 答案：A3．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为( )A．1 B．4C．1或4 D．36解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，解得x＝1或4，故选C.答案：C4．用符号∈或∉填空：(－1,1)________{y|y＝x2}；(－1,1)________{(x，y)|y＝x2}．解析：∵{y|y＝x2}中元素是数，而(－1,1)表示一组有序实数对或一个点，∴(－1,1)∉{y|y＝x2}．(－1,1)∈{(x，y)|y＝x2}．答案：∉∈5．已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|mx＋1＝0}，若A∪B＝A，则m的值为________．解析：A∪B＝A⇔B⊆A，若B＝∅，则m＝0，若B≠∅，则－1m ＝－1或－1m＝2，∴m ＝1或m ＝－12.答案：0,1，－12大一轮复习考点一 集合的基本概念[例1] (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． 审题视点 (1)令x ∈A ，y ∈A 逐个求解x －y . (2)讨论B 中每个元素分别为3，注意互异性．解析 (1)①当x ＝0时，y ＝0,1,2，此时x －y 的值分别为0，－1，－2； ②当x ＝1时，y ＝0,1,2，此时x －y 的值分别为1,0，－1； ③当x ＝2时，y ＝0,1,2，此时x －y 的值分别为2,1,0. 综上可知，x －y 的值可能为－2，－1,0,1,2，共5个，故选C. (2)∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ，∴当a ＋2＝3即a ＝1时，B ＝{3,5}，满足题意 当a 2＋4＝3时，a 2＝－1无意义，故a ＝1. 答案 (1)C (2)1(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.(2)利用元素与集合的关系求字母参数时，要注意分类讨论思想的应用．1．(2016·淮北质检)定义集合运算：A ※B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A ※B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．6解析：依题意，A ※B ＝{0,2,4}，∴它的所有元素之和为6.答案：D2．(2015·高考湖北卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( )A．77 B．49C．45 D．30解析：A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{(x，y)|x＝±1，y＝0；或x＝0，y＝±1；或x＝0，y＝0}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}＝{(x，y)|x＝－2，－1,0,1,2；y＝－2，－1,0,1,2}．A⊕B表示点集．由x1＝－1,0,1，x2＝－2，－1,0,1,2，得x1＋x2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．同理，由y1＝－1,0,1，y2＝－2，－1,0,1,2，得y1＋y2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．当x1＋x2＝－3或3时，y1＋y2可以为－2，－1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点，当x1＋x2＝－2，－1,0,1,2时，y1＋y2可以为－3，－2，－1，0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点，故A⊕B共有5×2＋5×7＝45个元素．答案：C考点二 集合间的基本关系[例2] (1)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. (2)若集合P ＝{x |3＜x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x ＜3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为( ) A ．(1,9) B ．[1,9] C ．[6,9)D ．(6,9]审题视点 (1)先化简A ，然后根据A ⊆B 借助数轴求解， (2)首先分析P 与Q 的关系，构造集合端点符合的不等式．解析 (1)由log 2x ≤2得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )， 由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.(2)依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＜3a －5，2a ＋1＞3，3a －5≤22.解得6＜a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]，选D. 答案 (1)4 (2)D(1)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系式．解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．(2)①通过集合之间的关系，求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的大小来实现，因此确定两个集合内的元素，成为解决该类问题的关键．由于元素的属性中含有参数，所以分类讨论成为必然，分类讨论时要注意不重不漏．②对于集合的包含关系，B ⊆A 时，别忘记B ＝∅的情况．对于端点的虚实可单独验证．1．(2016·厦门模拟)已知集合A ＝{}1，2，3，B ∩A ＝{}3，B ∪A ＝{}1，2，3，4，5，则集合B 的子集的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：由题意知B ＝{}3，4，5，集合B 含有3个元素，则其子集个数为23＝8(个)． 答案：C2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：利用命题的真假判断充要条件． ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ， ∴a ∈B 且a ≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A考点三集合的基本运算[例3] (1)(2014·高考广东卷)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )A．{0,1} B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2} D．{－1,0,1}(2)(2014·高考山东卷)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝( )A．[0,2] B．(1,3)C．[1,3) D．(1,4)审题视点(1)用Venn图求并集．(2)先将集合化简，再求交集．解析(1)根据题意画出Venn图，如图所示．故M∪N＝{－1,0,1,2}．(2)由|x－1|<2，解得－1<x<3，由y＝2x，x∈[0,2]，解得1≤y≤4，∴A∩B＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．答案(1)C (2)C在进行集合运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2解析：集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.答案：D2．(2015·高考山东卷)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B＝( )A．(1,3) B．(1,4)C．(2,3) D．(2,4)解析：由题意知B＝{x|1＜x＜3}，又因为A＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，即A∩B＝(2,3)．答案：C以集合为背景的新定义题[典例] 对于数集X＝{－1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y＝{a|a＝(s，t)，s∈X，t∈X}．若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1·a2＝0，则称X具有性质P.例如{－1,1,2}具有性质P.(1)若x＞2，且{－1,1,2，x}具有性质P，求x的值；(2)若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1＝1.解题指南首先借助题目中给的实例理解“性质P”，再选取a1，利用“试解”的方法寻找a2，从而求x.规范解答(1)选取a1＝(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(－1，b)，所以x＝2b，从而x＝4.4分(2)证明：取a1＝(x1，x1)∈Y.设a2＝(s，t)∈Y满足a1·a2＝0.由(s＋t)x1＝0得s＋t＝0，所以s，t异号．因为－1是X中唯一的负数，所以s，t之中一为－1，另一为1，故1∈X.6分假设x k＝1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n.选取a1＝(x1，x n)∈Y并设a2＝(s，t)∈Y满足a1·a2＝0，即sx1＋tx n＝0，则s，t异号，从而s，t之中恰有一个为－1.8分若s＝－1，则x1＝tx n＞t≥x1，矛盾；若t＝－1，则x n＝sx1＜s≤x n，矛盾．所以x1＝1.12分阅卷点评本题读准题意，合理转化是突破该题的关键点．创新点评(1)本题为新定义问题，命题设制新颖．(2)内容创新：以元素与集合的关系为背景，以向量的数量积运算为载体，通过新定义将二者有机地结合起来，考查阅读理解能力和知识迁移运用能力．(3)根据逻辑分析，推理的方法，考查了创新意识和解决问题的能力．备考建议(1)认真阅读，准确提取信息，是解决此问题的前提．(2)剥去新概念、新方法的外表，将陌生转化为熟悉，是解决此问题的关键．◆一个性质要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．◆两种方法Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．如全集U＝R，A＝{x|a≤x≤a＋1}，B＝{x|x<－1}，若A∩(∁U B)＝∅，则a的范围为a<－2.◆三个防范(1)注意区分几种常见集合．研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)注意空集的特殊性．空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．课时规范训练[A级基础演练]1．(2015·高考天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩(∁U B)＝( )A．{3} B．{2,5}C．{1,4,6} D．{2,3,5}∁U B＝{2,3,5}∩{2,5}＝{2,5}．解析：∁U B＝{2,5}，A∩()答案：B2．(2015·高考课标卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝( )A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.答案：A3．(2016·天津河西区训练)设集合P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是( )A．P∩Q＝P B．P∩Q QC．P∪Q＝Q D．P∩Q P解析：根据集合的定义可知P∩Q＝{2,3,4,5,6}，所以只有D选项正确．答案：D4．(2015·高考江苏卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，∴A∪B中元素个数为5.答案：55．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．解析：M ＝{x |－1≤x ≤3}，M ∩N ＝{1,3}． 答案：26．已知集合M ＝{}1，m ，N ＝{}n ，log 2n ，若M ＝N ，则(m －n )2 016＝__________.解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.即(m －n )2 016＝1或0.答案：1或07．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B . 解：(1)∵9∈(A ∩B )， ∴9∈B 且9∈A ， ∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝±3. 检验知：a ＝5或a ＝－3. (2)∵{9}＝A ∩B ， ∴9∈(A ∩B )， ∴a ＝5或a ＝－3.a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，所以a ＝－3.8．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }． (1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1. ∴m ＞5或m ＜－3.[B 级 能力突破]1．(2016·辽宁沈阳期中)已知集合M ＝{x |x >x 2}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝4x 2，x ∈M，则M ∩N ＝( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1C.{}x | 0<x <1D ．{}x | 1<x <2解析：对于集合M ，由x >x 2，解得0<x <1， ∴M ＝{x |0<x <1}．∵0<x <1，∴1<4x<4.∴12<4x 2<2.∴N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪12<y <2. ∴M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1，故选B. 答案：B2．(2016·广州模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－94，B ＝{x |x <0}，则A⊕B ＝( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：∵A －B ＝{x |x ≥0}，B －A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－94， ∴A ⊕B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－94或x ≥0.答案：C3．(2016·合肥模拟)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －3x<0，则阴影部分表示的集合是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1)D ．(0,1]解析：图中阴影部分表示集合B ∩(∁R A )，又A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <32，∴∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}． 答案：D4．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：∵集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪x 24＋y 216＝1. ∴A 中的元素为椭圆x 24＋y 216＝1上的点，A ∩B 中的元素为椭圆和指数函数y ＝3x图像的交点，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1，A 2，则A ∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}，共4个，故选A.答案：A5．(2016·宁夏银川一中模拟)已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________.解析：因为A ∩B ＝A ∪B ，所以A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1.，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.所以a 的值为0或14.答案：0或146．(2016·河南郑州质检)已知集合A ，B ，定义集合A 与B 的一种运算A ⊕B ，其结果如下表所示：A {1,2,3,4} {－1,1} {－4,8} {－1,0,1}B {2,3,6} {－1,1} {－4，－2,0,2} {－2，－1,0,1}A ⊕B{1,4,6}∅{－2,0,2,8}{－2}按照上述定义，若解析：由给出的定义知，集合A ⊕B 的元素是由所有属于集合A 但不属于集合B 和属于集合B 但不属于集合A 的元素构成的，即A ⊕B ＝{x |x ∈A 且x ∉B ，或x ∈B 且x ∉A }．故M ⊕N ＝{－2 014,2 015，－2 015,2 016}．答案：{－2 014,2 015，－2 015,2 016}7．设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x－2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))＞0}，N ＝{x ∈R |g (x )＜2}，则M ∩N 为______． 解析：函数f (g (x ))＝(3x－2)2－4(3x－2)＋3＝(3x)2－8·3x＋15＝(3x－3)(3x－5)．由f(g(x))＞0得(3x－3)(3x－5)＞0，所以3x＞5或3x＜3，所以x＞log35或x＜1，所以M＝{x|x＞log35或x＜1}．由g(x)＜2得3x－2＜2，即3x＜4，解得x＜log34，所以N＝{x|x＜log34}．所以M∩N＝{x|x＞log35或x＜1}∩(x|x＜log34)＝{x|x＜1}．答案：{x|x＜1}第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．(2)特点：能判断真假、陈述句．(3)分类：真命题、假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件前提：条件为p，结论为q.定义：(1)若p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，称p是q的充要条件，q也是p的充要条件．(3)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．[基础自测]1．(教材改编题)给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题． 答案：A2．“x >2”是“1x <12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x >2则1x <12，但1x <12x >2.如当x ＝－1时，1x ＝－1<12，但x 不大于2.答案：A3．命题“若a <b ，则a －1<b －1”的逆否命题是( ) A ．若a －1≥b －1，则a ≥b B ．若a >b ，则a －1>b －1 C ．若a －1>b －1，则a >bD ．若a ≥b ，则a －1≥b －1解析：“若p ，则q ”的逆否命题为“若綈q ，则綈p ”，故选A. 答案：A4．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的________条件． 解析：m ＝2⇒A ∩B ＝{4}，但A ∩B ＝4 m ＝2.答案：充分不必要5．(教材改编题)下列命题中所有真命题的序号是________． ①“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的必要条件； ③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件． 解析：①a >ba 2>b 2，为假．②a 2>b 2⇒|a |>|b |，为真．③a >b ⇔a ＋c >b ＋c ，为真． 答案：②③考点一 四种命题及其关系[例1] (1)命题“若a ＞b ，则2a＞2b”的否命题是( ) A ．若a ＞b ，则2a≤2bB ．若2a ＞2b，则a ＞b C ．若a ≤b ，则2a≤2bD ．若2a≤2b，则a ≤b(2)(2014·高考辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)审题视点(1)根据否命题的定义改写．(2)先判断命题的真假，再利用含逻辑联结词命题真假的判断进行求解．解析(1)否命题为“若a≤b，则2a≤2b”．(2)法一：取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b，由b∥c知b＝y c，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题．综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．又∵綈p为真命题，綈q为假命题，∴(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．法二：由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴綈p 是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则綈q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．答案(1)C (2)A在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题．在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的．1．(2014·高考陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.答案：B2．(2016·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中正确的命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．④D ．①②③解析：①“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②“面积不相等的三角形一定不全等”是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题．故选D.答案：D考点二 充分条件与必要条件的判断[例2] (1)(2014·高考安徽卷)“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知p ：|x －10|＋|9－x |≥a 的解集为R ，q ：1a＜1，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件审题视点 (1)根据ln(x ＋1)＜0求出x 的范围后判断． (2)利用集合的包含关系判断．解析 (1)∵ln(x ＋1)＜0，∴0＜x ＋1＜1，∴－1＜x ＜0.∵x ＜0是－1＜x ＜0的必要不充分条件，故选B. (2)∵|x －10|＋|9－x |≥1，∴当|x －10|＋|9－x |≥a 的解集为R 时，a ≤1，∴綈p 是a ＞1， 由1a<1，得a ＞1或a ＜0，∴綈p q .答案 (1)B (2)A判断p 是q 的什么条件，基本方法是利用定义，即①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；②若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p ⇒q ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件；⑤若pq ，但q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；⑥若pq ，且qp ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，而大范围不能推出小范围．1．(2015·高考湖南卷)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，∴“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件．答案：C2．(2016·广西南宁测试)已知p：|x|<2；q：x2－x－2<0，则p是q的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p：由|x|<2，得－2<x<2.q：由x2－x－2<0，得－1<x<2.∵{x|－1<x<2}{x|－2<x<2}，∴p是q的必要而不充分条件，故选B.答案：B考点三 充分条件、必要条件的应用[例3] 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围． 审题视点 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论． 解 法一：由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件．∴A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴m ≥9.法二：∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}． ∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≤－21＋m >10，即m ≥9或m >9. ∴m ≥9.本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．1．已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[－1,2]D ．⎝⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞) 解析：由4x －1≤－1，即4x －1＋1≤0， 化简，得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x <1； 由x 2＋x <a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a <0，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3＝－a 2＋a ＋6≥0，f 1＝－a 2＋a ＋2≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤3，－1≤a ≤2.解得－1≤a ≤2，故选C.答案：C2．已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}． (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件．解：(1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是{a |－3≤a ≤5}．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件．因考虑充分必要条件不全面致误[典例] 设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解题指南①弄清题目中谁是条件，谁是结论：条件是“|a·b|＝|a||b|”，结论是“a∥b”．解题目标是什么？判定|a·b|＝|a||b|⇒a∥b还是a∥b⇒|a·b|＝|a||b|.②探究转化关系一方面：由|a·b|＝|a||b|，讨论零向量与非零向量，结合数量积定义探究a与b的关系．另一方面：由a∥b，计算|a·b|.解析若|a·b|＝|a||b|，若a，b中有零向量，显然a∥b；若a，b均不为零向量，则|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，∴|cos〈a，b〉|＝1，∴〈a，b〉＝π或0，∴a∥b，即|a·b|＝|a||b|⇒a∥b.若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b|，其中，若a，b有零向量也成立，即a∥b⇒|a·b|＝|a||b|.综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．答案 C【回顾反思】①此题在推导过程中易忽略零向量的存在，导致解答不全面．②此类题务必要从两方面探究关系：即探究|a·b|＝|a|·|b|⇒a∥b后，还要探究a∥b⇒|a·b|＝|a||b|，结合充要条件的概念，才能正确作答．◆一个等价由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．◆三种方法命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．课时规范训练[A 级 基础演练]1．(2015·高考重庆卷)“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵x >1⇒log 12(x ＋2)<0，log 12(x ＋2)<0⇒x ＋2>1⇒x >－1，∴“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分而不必要条件．答案：B2．(2016·安徽马鞍山一模)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：否命题是原命题的条件和结论同时否定，故选A. 答案：A3．(2015·高考福建卷)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：借助函数的导数证明必要性成立，举反例说明充分性不成立．令f (t )＝sin t －t ，则f ′(t )＝cos t －1≤0恒成立，所以f (t )＝sin t －t 在[0，π]上是减函数，f (t )≤f (0)＝0，所以sin t <t (0<t <π)．令t ＝2x ，则sin 2x <2x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2，所以2sin x cos x <2x ，所以sin x cos x <x .当k <1时，k sin x cos x <x ，故必要性成立；当x ＝π3时，k sin 2x <2x可化为k <2×π3sin2π3＝4 3 π9，而43π9>43，取k ＝43，不等式成立，但此时k >1，故充分性不成立．答案：B4．有三个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题． 其中真命题的个数为________．解析：命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题，综上知真命题只有1个．答案：15．(2016·随州模拟)若“x 2－2x －8>0”是“x <m ”的必要不充分条件，则m 的最大值为________． 解析：由x 2－2x －8>0得x >4或x <－2，由条件可知m ≤－2，∴m 的最大值为－2. 答案：－2 6．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是__________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，则a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④7．(2016·开封调研)已知命题P ：“若ac ≥0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题P 的否命题；(2)判断命题P 的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)命题P 的否命题为：“若ac ＜0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”． (2)命题P 的否命题是真命题．证明如下： ∵ac ＜0，∴－ac ＞0⇒Δ＝b 2－4ac ＞0⇒一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根． ∴该命题是真命题．8．已知“|x －a |<1”是“x 2－6x <0”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：∵|x －a |<1， ∴a －1<x <a ＋1. ∵x 2－6x <0，∴0<x <6.又∵|x －a |<1是x 2－6x <0的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥0，a ＋1≤6，∴1≤a ≤5.经检验，当1≤a ≤5时，由x 2－6x <0不能推出|x －a |<1.所以所求实数a 的取值范围为[1,5]．[B 级 能力突破]1．(2015·高考湖北卷)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：利用充分条件和必要条件的概念，结合特殊值进行推理判断．若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q 2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，故q 成立，所以p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，所以p 不是q 的必要条件，故选B.答案：B2．(2015·高考四川卷)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b>3”是“log a 3<log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件解析：∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b>3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a>3b>3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．答案：B3．(2015·陕西五校联考)已知p ：2x －1≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：令A ＝{x |2x －1≤1}，得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，令B ＝{x |(x －a )(x －a －1)≤0}，得B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1⇒0≤a ≤12，故选A.答案：A4．已知条件p ：(1－x )(x ＋1)>0，条件q ：lg(1＋x ＋1－x 2)有意义，则綈p 是綈q 的________条件． 解析：由(1－x )(x ＋1)>0，得－1<x <1，即条件p ：－1<x <1，则綈p ：x ≤－1或x ≥1.由⎩⎨⎧1＋x ≥0，1－x 2≥0，1＋x ＋1－x 2>0.得－1<x ≤1.即条件q ：－1<x ≤1，则綈q ：x ≤－1或x >1. ∴綈p綈q ，但綈q ⇒綈p .∴綈p 是綈q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分5．以下关于命题的说法正确的有__________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．解析：对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，该命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④6．(2016·长沙模拟)若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3，另一根小于3的充要条件是________． 解析：方程x 2－mx ＋2m ＝0对应的二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，∵方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，∴f (3)<0，解得m >9，即：方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9.答案：m >97．已知条件p ：|5x －1|>a ，条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：条件p ：即5x －1<－a 或5x －1>a ， ∴x <1－a 5或x >1＋a 5，条件q ：2x 2－3x ＋1>0， ∴x <12或x >1.令a ＝4，即p ：x <－35或x >1.此时必有p ⇒q 成立，反之不然，故可以选取的一个实数是a＝4，A为p，B为q.对应的命题是若p则q.(答案不唯一)第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词、存在量词与全称命题、特称命题2．全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．要说明一个全称命题是错误的，只要举出一个反例即可，要说明特称命题是错误的，只要说明这个特称命题的否定是正确的即可．3．逻辑联结词(1)逻辑联结词通常是指“或”“且”“非”．(2)命题p且q，p或q，綈p的真假判断.[基础自测]1．已知命题p：任意x∈R，sin x≤1，则( )A．綈p：存在x∈R，sin x≥1B．綈p：任意x∈R，sin x≥1C．綈p：存在x∈R，sin x>1 D．綈p：任意x∈R，sin x>1解析：全称量词的否定应为存在量词．答案：C2．已知命题：p：3≥3；q：3>4，则下列选项正确的是( )A．p∨q为假，p∧q为假，綈p为真B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假解析：∵命题p：3≥3是真命题，q：3>4是假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，綈p为假．答案：D3．如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，那么( )A．命题p和q都是假命题B．命题p和q都是真命题C．命题p和q真假不相同D．以上答案都不对解析：据“p或q”一真则真，“p且q”一假则假知p和q一真一假．答案：C4．命题：“存在x∈R，使得e x＋2x－3＝0”的否定是________．解析：“存在量词”的否定是“全称量词”，“＝”的否定是“≠”．答案：任意x∈R，e x＋2x－3≠05．(教材改编题)命题“方程x2－2x－3＝0有且只有一个根是奇数”的否定是________．解析：一元二次方程最多有两个根，所以“有且只有一个”的否定是“有两个或没有”．答案：方程x2－2x－3＝0有两个根是奇数或没有奇数根考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断[例1] (2014·高考湖南卷)已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )A．①③B．①④C．②③D．②④审题视点先判定p与q的真假，再根据真值表求解．解析当x＞y时，－x＜－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x＞y时，x2＞y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题，③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.答案 C。
高考数学大一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合课件 文 北师大版
(2)已知
a∈R，b∈R，若a，ab，1
＝{a2，a＋b,0}，则
a2
016＋b2
106＝
____1____。
【解析】 由已知得ab＝0 及 a≠0，所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a
＝1 或 a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知 a＝1 应舍去，因此 a
＝－1，故 a2 016＋b2 016＝1。
_Z_
• (4)集合的表示方法
__Q___
• ①___________；②___________；③Venn图法。
列举法
描述法
实数集 __R__
关• 系2．集表合示 间的基本文关字语系言
集合 间 的 基 本 关 系
子集 真子集
相等
集合A中任何一个元素都是集合B 的元素
集合A是集合B的子集，并且B中 至少有一个元素不属于A
• 【规律方法】 (1)研究集合问题，一定要抓 住元素，看元素应满足的属性，对于含有字 母的集合，在求出字母的值后，要注意检验 集合的元素是否满足互异性。
• (2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一 个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出 方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互 异性。
变式训练 1 (1)已知集合 A＝{x| x∈Z，且2－3 x∈Z}，则集合 A 中的元
• 解析 正确。
√
• [练一练]
• 1．(2015·广东卷)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝ 0}，则M∩N＝( )
• A．{1,4}
B．{－1，－4}
• C．{0}
D．∅
解析 由题意知集合M＝{－4，－1}，N＝{4,1}，M和N没有相同 的元素，故M∩N＝∅。
2021高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合教学案文北师大版
第1章集合与常用逻辑用语全国卷五年考情图解高考命题规律把握说明：“Ⅰ1”指全国卷Ⅰ第1题,“Ⅱ1”指全国卷Ⅱ第1题,“Ⅲ1”指全国卷Ⅲ第1题. 1.考查形式本章在高考中一般考查1或2个小题,主要以选择题为主,很少以填空题的形式出现.2.考查内容从考查内容来看,集合主要考查集合的运算,包含集合的交、并、补集运算；常用逻辑用语主要考查充分必要条件的判断、逻辑联结词“且”“或”“非”以及全称量词与存在量词.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律①集合的交、并、补集运算问题；②充分条件、必要条件的判断问题；③含有“且”“或”“非”的命题的真假性的判断问题；④含有一个量词的命题的否定问题.(2)重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.第一节集合[最新考纲] 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．(对应学生用书第1页)1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或表示．(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A B或B A 真子集集合A是集合B的子集,但集合B中至少有一个元素不属于AA B,存在x0∈B,x0 AA B或B A基本关系相等集合A,B的元素完全相同A B,B A⇒A＝BA＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x,x, A表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A且属于B的元素组成的集合{x|x∈A且x∈B} A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A或x∈B} A∪B补集全集U中不属于A的元素组成的集合{x|x∈U,x A}U A[常用结论]1．集合子集的个数对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n－1,非空真子集个数为2n－2.2．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B A.(2)交集的性质：A∩＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A B.(3)补集的性质：A∪(U A)＝U；A∩(U A)＝；U(U A)＝A；U(A∩B)＝(U A)∪(U B)；U(A∪B)＝(U A)∩(U B)．一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x,y)|y＝x2}．( )(3)若{x2,1}＝{0,1},则x＝0,1. ( )(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．若集合A＝{x∈N|x≤22},a＝2,则下列结论正确的是( )A．{a}A B．a AC．{a}∈A D．a AD[由题意知A＝{0,1,2},由a＝2,知a A.]2．已知集合M＝{0,1,2,3,4},N＝{1,3,5},则集合M∪N的子集的个数为________．64[∵M＝{0,1,2,3,4},N＝{1,3,5},∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5},∴M∪N的子集有26＝64个．]3．已知U＝{α|0°＜α＜180°},A＝{x|x是锐角},B＝{x|x是钝角},则U(A∪B)＝________.[答案] {x |x 是直角}4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝1的解集为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13 [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝13，故方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13.]5．已知集合A ＝{x |－2＜x ＜3},集合B ＝{x |x －1＜0},则A ∩B ＝________,A ∪B ＝________.(－2,1) (－∞,3) [∵A ＝{x |－2＜x ＜3},B ＝{x |x －1＜0}＝{x |x ＜1}, ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1},A ∪B ＝{x |x ＜3}．](对应学生用书第2页)⊙考点1 集合的概念与集合中的元素有关的问题的求解思路(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集． (2)看清元素的限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．1.已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知,－3≤x ≤3,－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ,y ∈Z ,所以x ∈{－1,0,1},y ∈{－1,0,1},所以A 中元素的个数为9,故选A.]2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m },若3∈A ,则m 的值为________． －32 [由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3, 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时,m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时,m ＋2＝12,2m 2＋m ＝3,符合题意,故m ＝－32.]3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素,则a ＝________. 0或98 [当a ＝0时,显然成立；当a ≠0时,Δ＝(－3)2－8a ＝0,即a ＝98.]4．已知a ,b ∈R ,若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2,a ＋b,0},则a 2 020＋b 2 020＝________.1 [由已知得a ≠0,则b a＝0,所以b ＝0,于是a 2＝1,即a ＝1或a ＝－1,又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去,因此a ＝－1,故a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋02 020＝1.](1)求解此类问题时,要特别注意集合中元素的互异性,如T 2,T 4.(2)常用分类讨论的思想方法求解集合问题,如T 3.⊙考点2 集合的基本关系判断两集合关系的方法(1)列举法：用列举法表示集合,再从元素中寻求关系．(2)化简集合法：用描述法表示的集合,若代表元素的表达式比较复杂,往往需化简表达式,再寻求两个集合的关系．(1)(2019·唐山模拟)设集合M ＝{x |x 2－x ＞0},N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＜1,则( ) A ．M N B ．N MC ．M ＝ND ．M ∪N ＝R(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0,x ∈R },B ＝{x |0＜x ＜5,x ∈N },则满足条件A C B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5},B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1},若B A ,则实数m 的取值范围为________．(1)C (2)D (3)(－∞,3] [(1)集合M ＝{x |x 2－x ＞0}＝{x |x ＞1或x ＜0},N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＜1＝{x |x ＞1或x ＜0},所以M ＝N .故答案为C. (2)因为A ＝{1,2},B ＝{1,2,3,4},A C B ,则集合C 可以为：{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个．(3)因为BA ,所以①若B ＝,则2m －1＜m ＋1,此时m ＜2.②若B ≠,则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得,符合题意的实数m 的取值范围为(－∞,3]．] [母题探究]1．(变问法)本例(3)中,若B A ,求m 的取值范围．[解] 因为B A ,①若B ＝,成立,此时m ＜2. ②若B ≠,则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，且边界点不能同时取得,解得2≤m ≤3.综合①②,m 的取值范围为(－∞,3]． 2．(变问法)本例(3)中,若A B ,求m 的取值范围．[解] 若AB ,则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为.3．(变条件)若将本例(3)中的集合A 改为A ＝{x |x ＜－2或x ＞5},试求m 的取值范围． [解] 因为B A ,所以①当B ＝时,2m －1＜m ＋1,即m ＜2,符合题意．②当B ≠时,⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ＞4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ＜－12，即m ＞4.综上可知,实数m 的取值范围为(－∞,2)∪(4,＋∞)．(1)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．(2)空集是任何集合的子集,当题目条件中有BA 时,应分B ＝和B ≠两种情况讨论．1.设M 为非空的数集,M{1,2,3},且M 中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个A [由题意知,M ＝{1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共6个．] 2．若集合A ＝{1,2},B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0,x ∈R },且BA ,则实数m 的取值范围为________．[－2,2) [①若B ＝,则Δ＝m 2－4＜0,解得－2＜m ＜2,符合题意； ②若1∈B ,则12＋m ＋1＝0,解得m ＝－2,此时B ＝{1},符合题意； ③若2∈B ,则22＋2m ＋1＝0,解得m ＝－52,此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12,不合题意． 综上所述,实数m 的取值范围为[－2,2)．] ⊙考点3 集合的基本运算集合运算三步骤集合的运算(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7},A ＝{2,3,4,5},B ＝{2,3,6,7},则B ∩U A ＝( )A ．{1,6}B ．{1,7}C ．{6,7}D ．{1,6,7}(2)(2019·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{x |x ＞－1},B ＝{x |x ＜2},则A ∩B ＝( ) A ．(－1,＋∞) B ．(－∞,2) C ．(－1,2)D ．(3)(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1,0,1,2},B ＝{x |x 2≤1},则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{－1,1}D ．{0,1,2}(1)C (2)C (3)A [(1)由题意知U A ＝{1,6,7},又B ＝{2,3,6,7},∴B ∩U A ＝{6,7},故选C.(2)∵A ＝{x |x ＞－1},B ＝{x |x ＜2},∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2},即A ∩B ＝(－1,2)． 故选C.(3)由题意可知B＝{x|－1≤x≤1},又∵A＝{－1,0,1,2},∴A∩B＝{－1,0,1},故选A.][逆向问题]已知A,B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集,且A∩B＝{3},(U B)∩A＝{9},则A＝( ) A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}D[法一：(直接法)因为A∩B＝{3},所以3∈A,又(U B)∩A＝{9},所以9∈A.若5∈A,则5B(否则5∈A∩B),从而5∈U B,则(U B)∩A＝{5,9},与题中条件矛盾,故5A.同理,1A,7A,故A＝{3,9}．法二：(Venn图)如图所示．]集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的,常用Venn图求解．(2)若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．利用集合的运算求参数(1)已知集合A＝{1,3,m},B＝{1,m},A∪B＝A,则m等于( )A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3(2)已知集合M＝{x|－1≤x＜2},N＝{y|y＜a},若M∩N≠,则实数a的取值范围是( )A．[－1,2) B．(－∞,2]C．[－1,＋∞)D．(－1,＋∞)(1)B(2)D[(1)由A∪B＝A,得B A,所以m∈A.因为A＝{1,3,m},所以m＝m或m＝3,即m＝3或m＝1或m＝0.由集合中元素的互异性知m≠1,故选B.(2)M＝{x|－1≤x＜2},N＝{y|y＜a},且M∩N≠,结合数轴可得a＞－1.]利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解．(2)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到． 提醒：在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性)．[教师备选例题]1．已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤1,x ,y ∈Z },B ＝{(x ,y )||x |≤2,|y |≤2,x ,y ∈Z },定义集合AB ＝{(x 1＋x 2,y 1＋y 2)|(x 1,y 1)∈A ,(x 2,y 2)∈B },则AB 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30C [如图,集合A 表示如图所示的所有圆点“”,集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合AB 显然是集合{(x ,y )||x |≤3,|y |≤3,x ,y ∈Z }中除去四个点{(－3,－3),(－3,3),(3,－3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),则集合AB 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”,共45个．故AB 中元素的个数为45.故选C.]2．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0},集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0,a ＞0},若A ∩B 中恰含有一个整数,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．(1,＋∞)B [A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3},设函数f (x )＝x 2－2ax －1,因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图像的对称轴为直线x ＝a (a ＞0),f (0)＝－1＜0,根据对称性可知若A ∩B 中恰有一个整数,则这个整数为2,所以有⎩⎪⎨⎪⎧f2≤0，f 3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43.故选B.] 1.(2019·许昌、洛阳三模)已知集合A ＝{x |y ＝－x 2＋1},B ＝(0,1),则A ∩B＝( )A．(0,1) B．(0,1]C．(－1,1) D．[－1,1]A[由题意得A＝[－1,1],又B＝(0,1),∴A∩B＝(0,1)．故选A.]2．(2019·合肥巢湖一模)已知集合A＝{x|x＜3},B＝{x|x＞a},若A∩B≠,则实数a 的取值范围为( )A．[3,＋∞)B．(3,＋∞)C．(－∞,3) D．(－∞,3]C[因为A∩B≠,所以结合数轴(图略)可知实数a的取值范围是a＜3,故选C.]3．如图,设全集U＝N,集合A＝{1,3,5,7,8},B＝{1,2,3,4,5},则图中阴影部分表示的集合为( )A．{2,4} B．{7,8}C．{1,3,5} D．{1,2,3,4,5}A[由题图可知阴影部分表示的集合为(U A)∩B,因为集合A＝{1,3,5,7,8},B＝{1,2,3,4,5},U＝N,所以(U A)∩B＝{2,4}．故选A.]4．已知A＝{1,2,3,4},B＝{a＋1,2a}．若A∩B＝{4},则a＝________.3[因为A∩B＝{4},所以a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4,则a＝3,此时B＝{4,6},符合题意；若2a＝4,则a＝2,此时B＝{3,4},不符合题意．综上,a＝3.]。
【创新设计】2021届高考数学(北师大版)一轮训练：第1篇 基础回扣练——集合与常用逻辑用语
基础回扣练——集合与常用逻辑用语(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝()．A．{1,4}B．{2,3}C．{9,16}D．{1,2}解析∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案 A2．(2013·上饶模拟)设全集U＝R，集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系中正确的是()．A．M＝P B．P MC．M P D．(∁U M)∩P＝∅解析∵x2＞1，∴x＞1或x＜－1.故M P.答案 C3．(2014·宝鸡模拟)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0, 2}，则集合A*B的所有元素之和是()．A．0B．2C．3D．6解析∵z＝xy，x∈A，y∈B，且A＝{1,2}, B＝{0,2}，∴z的取值有：1×0＝0；1×2＝2；2×0＝0；2×2＝4.故A*B＝{0,2,4}．∴集合A*B的所有元素之和为0＋2＋4＝6.答案 D4．(2013·陕西五校质检)已知两个非空集合A＝{x|x(x－3)＜4}，B＝{x|x ≤a}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()．A．－1＜a＜1B．－2＜a＜2C．0≤a＜2D．a＜2解析解不等式x(x－3)＜4，得－1＜x＜4，所以A＝{x|－1＜x＜4}；又B 是非空集合，所以a≥0，B＝{x|0≤x≤a2}．而A∩B＝B⇔B⊆A，借助数轴可知a2＜4，解得0≤a＜2，故选C.答案 C5．(2014·渭南质检)若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则下列论断正确的是()．A．x∈P是x∈Q的充分不必要条件B．x∈P是x∈Q的必要不充分条件C．x∈P是x∈Q的充分必要条件D．x∈P是x∈Q的既不充分也不必要条件解析P为Q的真子集，故P中元素一定在Q中，反之不成立．故选A.答案 A6．(2013·湖南卷)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．答案 A7．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知命题p：任意x∈R,2x＜3x；命题q：存在x0∈R，x30＝1－x20，则下列命题中为真命题的是()．A．p且q B．綈p且qC．p且綈q D．綈p且綈q解析当x≤0时命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图像(图略)，易知命题q为真命题．故选B.答案 B8．(2013·江西师大附中调研)下列命题为真命题的是()．A．若p或q为真命题，则p且q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x＜－1，则x2－2x －3≤0”D．已知命题p：存在x∈R，使得x2＋x－1＜0，则綈p：任意x∈R，使得x2＋x－1＞0解析对于A，“p真q假”时，p或q为真命题，但p且q为假命题，故A 错；对于C ，否命题应为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”，故C 错；对于D ，綈p 应为“任意x ∈R ，使得x 2＋x －1≥0”，所以D 错；故选B.答案 B9．(2013·高新一中检测)已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )．A ．(2＋2，＋∞)B ．(－∞，2＋2]C ．[2，＋∞)D ．[6，＋∞)解析 x －1x ≤0⇒0＜x ≤1⇒1＜2x ≤2，由题意知，22＋2－m ≤0，即m ≥6，故选D.答案 D10．已知数列{a n }是等比数列，命题p ：“若a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是递增数列”，则在命题p 及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 若已知a 1＜a 2＜a 3，则设数列{a n }的公比为q ，有a 1＜a 1q ＜a 1q 2.当a 1＞0时，解得q ＞1，此时数列{a n }是递增数列；当a 1＜0时，解得0＜q ＜1，此时数列{a n }也是递增数列．反之，若数列{a n }是递增数列，显然有a 1＜a 2＜a 3，所以命题p 及其逆命题都是真命题．由于命题p 的逆否命题和命题p 是等价命题，命题p 的否命题和命题p 的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p 的否命题和逆否命题都是真命题，故选D.答案 D二、填空题11．(2013·江苏卷)集合{－1,0,1}共有________个子集．解析 所给集合的子集个数为23＝8个．答案 812．已知集合A ＝{0,2}，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________．解析 由题意知a 2＝4，所以a ＝±2.答案±213．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N＝________.解析由对数与指数函数的知识，得M＝(－1，＋∞)，N＝(1，＋∞)，故M∩N ＝(1，＋∞)．答案(1，＋∞)14．已知命题p：“存在x0∈(0，＋∞)，x0＞1x0”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________．(填“真”或“假”)解析全称命题的否定为特称命题，所以命题q为：任意x∈(0，＋∞)，x≤1 x.答案任意x∈(0，＋∞)，x≤1x假15．(2013·吉安模拟)若命题“存在x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析∵存在x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0是真命题，∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1.答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)16．(2013·昆明质检)下面有三个命题：①关于x的方程mx2＋mx＋1＝0(m∈R)的解集恰有一个元素的充要条件是m ＝0或m＝4；②存在m0∈R，使函数f(x)＝m0x2＋x是奇函数；③命题“x，y是实数，若x＋y≠2，则x≠1或y≠1”是真命题．其中真命题的序号是________．解析①中，当m＝0时，原方程无解，故①是假命题；②中，当m＝0时，f(x)＝x显然是奇函数，故②是真命题；③中，命题的逆否命题“x，y是实数，若x＝1且y＝1，则x＋y＝2”为真命题，故原命题为真命题，因此③为真命题．答案②③三、解答题17．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解 A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎨⎧ m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}．∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.∴m ＞5或m ＜－3.故实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．18．已知命题p ：关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，a ≠1)的解集是{x |x ＜0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．解 由关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，a ≠1)的解集是{x |x ＜0}，知0＜a ＜1； 由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a ＞0的解集为R ，则⎩⎨⎧ a ＞0，1－4a 2＜0，解得a ＞12. 因为p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，所以p 和q 一真一假，当p 假，q真时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＞12⇒a ＞1；当p 真，q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，a ≤12⇒0＜a ≤12.综上，知实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．。
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合课件文北师大版
实数p的取值范围为
. 世纪金榜导学号
【解析】由x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5, 所以A={x|-2≤x≤5}. B⊆A,则有 ①当B=∅时,有p+1>2p-1,即p<2. ②当B≠∅时,利用数轴可知:
核心素养·微专题
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息 一下眼睛，
【迁移应用】
已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的值是
.
【解析】因为集合A有且只有2个子集,所以A仅有一个元素,即方程ax2+2x+a=0(a∈R)
仅有一个根.
当a=0时,A={0}符合题意;
当a≠0时,要1.
综上所述,a=0或a=±1.
D.{x|0<x<2}
【解析】选B.因为集合B={x|x≥1},所以∁RB={x|x<1},所以A∩(∁RB)={x|0<x<1}.
4.(必修1P15A组T4改编)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B= ( )
A.{3}
B.{5}
C.{3,5}
D.{1,2,3,4,5,7}
复习课件
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合课件文北师大版
2021/4/17
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合课件文
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北师大版
第一章 集合与常用 逻辑用语 第一节 集 合
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.元素与集合 (1)集合元素的三特性:确定性、_互__异__性__、_无__序__性__. (2)元素与集合的关系:属于或不属于,分别记为_∈__和_∉_. (3)集合的表示方法:_列__举__法__、_描__述__法__、图示法. (4)常见数集:自然数集_N_,整数集_Z_,有理数集_Q_,实数集_R_,正整数集_N_*_(_或__N_+_)_.
2021版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第一章集合与简易逻辑题组1
题组层级快练(一)1．下列各组集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}答案 B2．若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1|，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P答案 C解析由题意，得∁R P＝{x|x≥1}，画数轴可知，选项A，B，D错，故选C.3．(2021·新课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2答案 D解析由已知得A＝{2，5，8，11，14，17，…}，又B＝{6，8，10，12，14}，所以A∩B＝{8，14}．故选D.4．(2021·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案 A解析由已知得M＝{0，1}，N＝{x|0<x≤1}，则M∪N＝[0，1]．5．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P答案 C解析依题意得集合P＝{y|y≤1}，Q＝{y|y>0}，∴∁R P＝{y|y>1}，∴∁R P⊆Q，选C.6．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝() A．(0，2) B．[0，2]C．{0，2} D．{0，1，2}答案 D解析由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{0，1，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}．7．(2022·湖北宜昌一中模拟)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝() A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2}C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}答案 A解析不等式(x－1)2<4等价于－2<x－1<2，得－1<x<3，故集合M＝{x|－1<x<3}，则M∩N＝{0，1，2}，故选A.8．(2022·山东省试验中学月考)若集合A＝{x|x2－2x－16≤0}，B＝{y|C5y≤5}，则A∩B中元素个数为() A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D解析A＝[1－17，1＋17]，B＝{0，1，4，5}，∴A∩B中有4个元素．故选D.9．若集合M＝{0，1，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为() A．9 B．6C．4 D．2答案 C解析N＝{(x，y)|－1≤x－2y≤1，x，y∈M}，则N中元素有：(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，1)．10．(2022·高考调研原创题)已知集合A＝{1，3，zi}(其中i为虚数单位)，B＝{4}，A∪B＝A，则复数z的共轭复数为()A．－2i B．2iC．－4i D．4i答案 D解析由A∪B＝A，可知B⊆A，所以zi＝4，则z＝4i＝－4i，所以z的共轭复数为4i，故选D. 11．(2022·衡水调研卷)设集合M＝{y|y＝2sinx，x∈[－5，5]}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则M∩N＝() A．{x|1<x≤5} B．{x|－1<x≤0}C．{x|－2≤x≤0} D．{x|1<x≤2}答案 D解析∵M＝{y|y＝2sinx，x∈[－5，5]}＝{y|－2≤y≤2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x>1}，∴M∩N＝{y|－2≤y≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．12.设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．[－1，0] B．(－1，0)C．(－∞，－1)∪[0，1) D．(－∞，－1]∪(0，1)答案 D解析由于A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}，则u＝1－x2∈(0，1]，所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}．所以A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1，0]．故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0，1)，故选D.13．(2022·沧州七校联考)已知集合A＝{－1，0}，B＝{0，1}，则集合∁A∪B(A∩B)＝()A．∅B．{0}C．{－1，1} D．{－1，0，1}答案 C解析∵A∩B＝{0}，A∪B＝{－1，0，1}，∴∁A∪B(A∩B)＝{－1，1}．14．(2022·天津南开区一模)已知P＝{x|4x－x2≥0}，则集合P∩N中的元素个数是()A．3 B．4C．5 D．6答案 C解析由于P＝{x|4x－x2≥0}＝{x|0≤x≤4}，且N是自然数集，所以集合P∩N中元素的个数是5，故选C. 15．(2022·浙江温州二模)集合A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A⊆B，则A∩B＝________，A∪B＝________，∁B A＝________．答案{0，1}{1，0，－1}{－1}解析由于A⊆B，所以|x|∈B，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A＝{0，1}，则A∩B ＝{0，1}，A∪B＝{1，0，－1}，∁B A＝{－1}．16．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0，1，2，3，4}，则集合B＝________．答案{2，4，6，8}解析U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B＝{2，4，6，8}．17．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值．(1)9∈A∩B；(2){9}＝A∩B.答案(1)a＝5或a＝－3(2)a＝－3解析(1)∵9∈A∩B且9∈B，∴9∈A.∴2a－1＝9或a2＝9.∴a＝5或a＝±3.而当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，故舍去．∴a＝5或a＝－3.(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B.∴a＝5或a＝－3.而当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}≠{9}，故a＝5舍去．∴a＝－3.讲评9∈A∩B与{9}＝A∩B意义不同，9∈A∩B说明9是A与B的一个公共元素，但A与B允许有其他公共元素．而{9}＝A∩B说明A与B的公共元素有且只有一个9.18．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝∅，试求实数m的值．答案m＝1或m＝2解析易知A＝{－2，－1}．由(∁U A)∩B＝∅，得B⊆A.∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．。
2021高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件教学案文北师大版
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[最新考纲] 1.理解命题的概念.2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(对应学生用书第4页)1．命题可以判断真假,用文字或符号表述的语句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p[常用结论]1．在四种形式的命题中,真命题的个数只能为0,2,4.2．p是q的充分不必要条件,等价于¬q是¬p的充分不必要条件．其他情况依次类推．3．集合与充要条件：设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的充分不必要条件⇔A B；p是q的必要不充分条件⇔A B；p是q的充要条件⇔A＝B.一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( ) (2)命题“若p ,则q ”的否命题是“若p ,则q ”． ( ) (3)当q 是p 的必要条件时,p 是q 的充分条件．( ) (4)“若p 不成立,则q 不成立”等价于“若q 成立,则p 成立”． ( )[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．下列命题是真命题的是( ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a ＞b ,c ＞d ,则ac ＞bd C ．若整数a 是素数,则a 是奇数D ．命题“若x 2＞0, 则x ＞1”的逆否命题A [令a ＝c ＝0,b ＝d ＝－1,则ac ＜bd ,故B 错误；当a ＝2时,a 是素数但不是奇数,故C 错误；取x ＝－1,则x 2＞0,但x ＜1,故D 错误．]2．命题“若x 2＞y 2,则x ＞y ”的逆否命题是( ) A ．“若x ＜y ,则x 2＜y 2” B ．“若x ＞y ,则x 2＞y 2” C ．“若x ≤y ,则x 2≤y 2” D ．“若x ≥y ,则x 2≥y 2”C [根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2＞y 2,则x ＞y ”的逆否命题是“若x ≤y ,则x 2≤y 2”．故选C.]3．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若x ＝1,则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立,但反之不成立,即若(x －1)(x ＋2)＝0,则x 的值也可能为－2.故选B.]4．命题“若α＝π3,则sin α＝32”的逆命题为________命题,否命题为________命题．(填“真”或“假”)假 假 [若α＝π3,则sin α＝32的逆命题为“若sin α＝32,则α＝π3”是假命题；否命题为“若α≠π3,则sin α≠32”是假命题．](对应学生用书第4页)⊙考点1 命题及其关系判断命题真假的两种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可；(2)间接判断：当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．1.下列命题是真命题的是( )A ．若1x ＝1y,则x ＝yB ．若x 2＝1,则x ＝1 C ．若x ＝y ,则x ＝y D ．若x ＜y ,则x 2＜y 2[答案] A2．下列命题中的真命题是( )①“若x 2＋y 2≠0,则x ,y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m ＞0,则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x ＝312,则x 是无理数”的逆否命题． A ．①②③④ B ．①③④ C ．②③④D ．①④B [①“若x 2＋y 2≠0,则x ,y 不全为零”的否命题为“若x 2＋y 2＝0,则x ,y 全为零”,是真命题；②“正多边形都相似”的逆命题是“相似的多边形是正多边形”,为假命题；③“若m ＞0,则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题,故其逆否命题也是真命题；④“若x ＝312,则x 是无理数”是真命题,故其逆否命题也是真命题．故选B.]3．已知命题α：如果x ＜3,那么x ＜5；命题β：如果x ≥3,那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5,那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系中,下列说法正确的有________．(填序号)①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题； ②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题； ③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题．①③ [本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确．]4．设m∈R,命题“若m＞0,则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．若方程x2＋x－m＝0没有实根,则m≤0[m∈R是大前提,故该命题的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根,则m≤0.”]四种命题的三个处理技巧(1)要分清原命题的条件与结论．当原命题有大前提时,它的其他三种命题要保持大前提不变,只需改变小前提和结论．如T4.(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．(3)判断一个命题是真命题,要给出推理证明；判断一个命题为假命题可举反例．⊙考点2 充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的三种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么,结论q是什么；②尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系．(2)等价转化法：对于含否定形式的命题,如¬p是¬q的什么条件,利用原命题与逆否命题的等价性,可转化为求q是p的什么条件．(3)集合法：根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(1)(2019·浙江高考)设a＞0,b＞0,则“a＋b≤4 ”是“ab≤4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)[一题多解](2019·天津高考)设x∈R,则“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)(2019·北京高考)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数),则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B(3)C[(1)由a＞0,b＞0,若a＋b≤4,得4≥a＋b≥2ab,即ab≤4,充分性成立；当a ＝4,b ＝1时,满足ab ≤4,但a ＋b ＝5＞4,不满足a ＋b ≤4,必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件,选A.(2)法一：|x －1|＜1⇔－1＜x －1＜1⇔0＜x ＜2. 当0＜x ＜2时,必有0＜x ＜5； 反之,不成立．所以,“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件． 法二：因为{x ||x －1|＜1}＝{x |0＜x ＜2}{x |0＜x ＜5},所以“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件．(3)当b ＝0时,f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )为偶函数,则f (－x )＝cos(－x )＋b sin(－x )＝cos x －b sin x ＝f (x ),∴－b sin x ＝b sin x 对x ∈R 恒成立,∴b ＝0.故“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的充分必要条件．故选C.][逆向问题](2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1C [若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立,则Δ＝(－1)2－4m ＜0,解得m ＞14,因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时,必有m ＞0,但当m ＞0时,不一定推出不等式在R 上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m ＞0.]判断充要条件需注意三点(1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时,可举出反例说明．1.(2019·重庆模拟)已知x ∈R ,则“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件B [x 2－5x －6＝0⇔x ＝－1或x ＝6,∵x ＝－1⇒x ＝－1或x ＝6,而x ＝－1或x ＝6推不出x ＝－1,∴“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分而不必要条件,故选B.]2．给定两个命题p ,q ,若¬p 是q 的必要不充分条件,则p 是¬q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为¬p 是q 的必要不充分条件,所以q ⇒¬p ,但¬p q ,其等价于p ⇒¬q ,但¬qp ,故选A.]3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的( )A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件D [非有志者不能至,是必要条件；但“有志”也不一定“能至”,不是充分条件．] ⊙考点3 充分条件、必要条件的应用根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系,再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．已知P ＝{x |－2≤x ≤10},非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S的必要条件,则m 的取值范围为________．[0,3] [由x ∈P 是x ∈S 的必要条件,知S P .又S 为非空集合, 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．] [母题探究]把本例中的“必要条件”改为“充分条件”,求m 的取值范围． [解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件,知P S ,则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9,即所求m 的取值范围是[9,＋∞)．利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍． 提醒：含有参数的问题,要注意分类讨论．设n∈N*,则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 3或4[由Δ＝16－4n≥0,得n≤4,又n∈N*,则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时,方程没有整数根；当n＝3时,方程有整数根1,3,当n＝4时,方程有整数根2.综上可知,n＝3或4.]。
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- 1 - 1.1 集合 核心考点·精准研析 考点一 集合的基本概念
1.已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为 ( ) A.3 B.6 C.8 D.9 2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a= ( )
A. B. C.0 D.0或
3.已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2 021+b2 021为 ( ) A.1 B.0 C.-1 D.±1 4.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为 ( ) A.9 B.8 C.5 D.4 【解析】1.选D.集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2), (2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个. 2.选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=,所以a的取值为0或. 3.选C.由已知得a≠0,则=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2 021+b2 021=(-1)2 021+02 021=-1. 4.选A.由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为9.
1.集合定义应用 - 2 -
要明确构成集合的元素,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后看元素的限制条件是什么,准确把握集合的含义. 2.二次项系数讨论 若二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等的二次项系数含有参数,必须讨论二次项系数为0的情况. 【秒杀绝招】
1.排除法解T2,a=0时显然方程有一个解,排除A、B,当a≠0时,由Δ=0解得a=,排除C. 2.图像法解T4,画出圆x2+y2=3,在圆内找整点.如图所示,在圆内共有9个整点,故选A.
考点二 集合间的基本关系 【典例】1.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0( ) A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2019·大庆模拟)集合A=,B={y|y=x2+1,x∈A},则集合B的子集个数为 ( ) A.5 B.8 C.3 D.2 3.已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若B⊆A,则实数a的取值范围为 A.(-∞,-3]∪[2,+∞) B.[-1,2] C.[-2,1] D.[2,+∞) 【解题导思】 序号 联想解题 1 由集合A,想到一元二次方程的根 2 由求集合B子集的个数,想到子集计算公式2n 3 由B⊆A,想到列不等式组 【解析】1.选D.由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4},又因为A⊆C⊆B,所以C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}. - 3 -
2.选B.由≤0得-1≤x<3,则A={-1,0,1,2},B={y|y=x2+1,x∈A}={1,2,5},其子集的个数为23=8个. 3.选C.集合A={x|y=}={x|-2≤x≤2},因为B⊆A,所以有所以-2≤a≤1. 1.集合间基本关系的两种判定方法 (1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系. (2)用列举法、图示法、数轴表示各个集合,从元素或图形中寻找关系. 2.求参数的方法 将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.
1.已知集合M={0,1},则满足条件M∪N=M的集合N的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的取值集合为 . 【解析】1.选D.由M∪N=M,得N⊆M.又M中有2个元素,故其子集的个数为22=4,所以集合N的个数为4.
2.A={-3,2},若a=0,则B=∅,满足B⊆A;若a≠0,则B=,由B⊆A知,=-3或=2,故a=-或a=,因此a
的取值集合为. 答案: 考点三 集合的运算 命题 精解 读
1.考什么:(1)集合的交、并、补集运算. (2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养和数形结合等数学思想. 2.怎么考:与不等式结合,考查集合的基本运算,属基础题类型. 3.新趋势:以集合为载体,考查解不等式、集合的交、并、补等知识以及数形结合等数学思想. 学霸 好方 1.集合运算方法:若集合可以用列举法表示,则一一列举集合的元素;若与不等式结合,则解不等式后画数轴求解. - 4 -
法 2.交汇问题:集合的运算与函数、不等式、方程等相结合,考查相关的性质和运算. 集合的交集、并集运算 【典例】1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-4( ) A.{x|-4C.{x|-22.(2020·安庆模拟)若集合M={x|x2-3x+2≤0},N={x|-1≤x≤1},则M∪N= ( ) A.∅ B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1≤x≤2} D.{x|1≤x≤2} 【解析】1.选C.由题意得M={x|-42.选C.由题意得M={x|1≤x≤2},N={x|-1≤x≤1},则M∪N={x|-1≤x≤2}.
涉及不等式的集合运算时,借助什么工具解题? 提示:当题目中涉及不等式时,常借助数轴解题.
集合的补集运算 【典例】1.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则RA= ( ) A.{x|-1B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 2.(2019·资阳模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为 ( )
A.{x|x≤-1或x≥3} B.{x|x<1或x≥3} C.{x|x≤1} D.{x|x≤-1} 【解析】1.选B.方法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以RA={x|-1≤x≤2}. 方法二:因为A={x|x2-x-2>0},所以RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}. - 5 -
2.选D.图中阴影部分表示集合为U(A∪B),又A={x|-1-1},所以U(A∪B)={x|x≤-1}.
怎样求阴影部分所表示的集合? 提示:先用集合间的关系和集合的运算表示阴影,再根据集合运算求解.
利用集合的运算求参数 【典例】1.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 2.已知集合A={x|a-1A.(-∞,-2) B.(-∞,-2] C.(-2,+∞) D.[-2,+∞) 【解析】1.选D.由题意可知{a,a2}={4,16},所以a=4. 2.选B.因为A∪B=B. 当A=∅时,a-1≥2a+1,解得a≤-2;
当A≠∅时,有不等式组无解. 综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-2]. 当A⊆B,讨论集合A时容易忽视哪种情况? 提示:容易忽视A=∅的情况.
1.(2020·吉安模拟)设集合M={x∈R|x2=x},N={-1,0,1},则M∪N= ( ) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{-1,0,1} 【解析】选D.因为M={x∈R|x2=x}={x∈R|x=0或x=1},N={-1,0,1},所以M∪N={-1,0,1}. 2.(2019·西安模拟)设集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|x≤2,x∈Z},则(RA)∩B= - 6 -
( ) A.{1} B.{2} C.{1,2} D.∅ 【解析】选D.A={x|x≤1或x≥2},则RA={x|1又集合B={x|x≤2,x∈Z},所以(RA)∩B=∅. 3.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|xA.-12 C.a≥-1 D.a>-1 【解析】选D.由A∩B≠∅知,集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示:
易知a>-1. 已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为 ( ) A.77 B.49 C.45 D.30 【解析】选C.集合A表示如图所示的所有“”,集合B表示如图所示的所有“”+所有“”,集合A⊕B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),则集合A⊕B表示如图所示的所有“。”+所有“”+所有“·”,共45个.故A⊕B中元素的个数为45.