2019年初中数学竞赛专题乘法公式

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(完整版)[初一数学]乘法公式

乘法公式一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2要注意等式的特点：（1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数；（2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方．值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具．例１下列各式中不能用平方差公式计算的是（）．A．（a－b）（－a－b）B．（a2－b2）（a2＋b2）C．（a＋b）（－a－b）D．（b2－a2）（－a2－b2）解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a 是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算．例２运用平方差公式计算：（１）（x2－y）（－y－x2）；（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）．解：（１）（x2－y）（－y－x2）＝（－y ＋x2）（－y－x2）＝(－y)2－（x2）2＝y2－x4；（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）＝（a－3）（a＋3）（a2＋9）＝（a2－32）（a 2＋9）＝（a2－9）（a2＋9）＝a4－81 ．例３计算：（１）54.52－45.52；（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)．分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算．解：（１）54.52－45.52＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5)＝100×9＝900 ；（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)=(2x2+1)2-(3x)2=4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1二、完全平方公式：(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2．二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等错误．需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．例１利用完全平方公式计算：（１）（－3a－5）2；（２）（a－b＋c）2．分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a －b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．解：（１）（－3a－5）2＝（－3a）2－2×（－3a）×5 ＋ 5 2＝9a2 ＋ 30a ＋ 25（２）（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2＝（a－b）2 ＋ 2（a－b）c + c2＝a 2－2ab＋b 2＋2ac－2bc + c2＝a 2＋b 2+ c2＋2ac－2ab－2bc ．例２利用完全平方公式进行速算.(1)1012 (2)992解: (1)1012分析:将1012变形为(100+1)2原式可=(100+1)2利用完全平方公式来速算. =1002+2×100×1+12=10201解: (2)992分析:将992变形为(100-1)2原式可=(100-1)2利用完全平方公式来速算. =1002-2×100×1+12=9801例３计算：（１）992－98×100 ；（２）49×51－2 499 ．解：（１）992－98×100＝（100－１）2－98×100＝1002－２×100＋１－9800＝10000 －200－9800＋１＝１；（２）49×51－2499＝（50－1）（50＋１）－2499＝2500－1－2499＝０．例４已知a＋b＝8，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值．分析：由前面的公式变形可以知道：a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a ＋b)2－4ab．解：由于a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．而a＋b＝8，ab＝10所以a 2＋b 2＝(a＋b)2－2ab＝ 82 － 2× 10＝ 44(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82 － 4× 10＝ 24 ．三：练习1．利用乘法公式进行计算：(1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) (2) (3x+2)2-(3x-5)2 (3)(x-2y+1)(x+2y-1)(4) (2x+3y)2(2x-3y)2 (5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2(6) (x2+x+1)(x2-x+1)解：(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1)=(x4-1)(x4+1)=x8-1.(2)解法1：原式=(9x2+12x+4) -(9x2-30x+25)=9x2+12x+4-9x2+30x-25=42x-21解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2) -(3x-5)] =(6x-3)×7=42x-21.(3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]=x2-(2y-1)2=x2-(4y2-4y+1)=x2-4y2+4y-1(4)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]2=(4x2-9y2)2=16x4-72x2y2+81y4(5) 原式=[(2x+3) -(3x-2)]2=(-x+5)2=x2-10x+25(6) 原式=[(x2+1)+x][(x2+1) -x]=(x2+1)2-x2=(x4+2x2+1) -x2=x4+x2+12．已知：a+b=5, ab=3，求：(1) (a-b)2；(2) a2+b2；解：(1) (a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4×3=13(2) a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3=19.在线测试选择题1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A、(x+1)(1+x)B、( a+b)(b- a)C、(-a+b)(a-b)D、(x2-y)(x+y2)2．下列各式计算正确的是（）A、(a+4)(a-4)=a2-4B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1D、(a+2)(a-4)=a2-83．(- x+2y)(- x-2y)的计算结果是（）A、x2-4y2B、4y2- x2C、x2+4y2D、- x2-4y24．(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的结果是（）。

2019-2020年七年级数学下册6.4.3乘法公式课件新版北京课改版

(2)(3a-4b)(4b+3a)-(2b-a)(2b+3a) =〔(3a)2-(4b)2〕-(4b2+6ab-2ab-3a2) =9a2-16b2-4b2-4ab+3a2 =12a2-4ab-20b2.
典例精析
例8、运用乘法公式计算：(2y+x)2(x-2y)2. 分析：运用加法交换律，将2y+x变形为x+2y，这样(x+2y)(x-2y)符合平方差公式，然后运用积的乘法公式将原式变形为〔 (x+2y)(x-2y) 〕2，再运用乘法公式计算.
七年级下册
6.4.3 乘法公式
情境导入前面我们学习了完全平方公式和平方差公式，怎样运用它们进行
综合解决问题呢？
下面我们继续学习乘法公式.
本节目标
1、巩固完全平方公式、平方差公式. 2、能灵活运用完全平方公式、平方差公式解决实际问题.
预习反馈
1、加法的交换律：__a_+_b__=_b_+__a___. 2、完全平方公式：__(_a_±__b_)_2_=_a_2_±__2_a__b_+__b_2. 3、平方差公式：___(_a_+__b_)_(a__-b__)=__a_2_-b__2.
解：(2y+x)2(x-2y)2 =〔 (x+2y)(x-2y) 〕2 =(x2-4y2)2 =x4-8x2y2+16y4.
跟踪训练
运用乘法公式计算：(a-b+c)2.
解：(a-b+c)2 =〔 (a-b)+c 〕2 =(a-b)2+2(a-b)×c+c2 =a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2.

2019苏科初中数学七年级下册《9.4 乘法公式》PPT课件 (6).ppt

（2）(m+ )(m- )= m2-25 n2
（3）(a+b)( )= b2 - a 2 （4）( )(1- x 2)= x4 -1
关键：从已知项中分析得出相同项和相反项 8
三、平方差公式的拓展应用
（1）如果(x a)(x 5) x2 b, 那么a _____, b _________
①熟记公式，弄清公式的特征
②关键是如何判断a、b
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四、平方差公式的图形验证
a 方法2：可则以阴分影割部成分两的个面直积角为梯形，a
b
b
(a b)(a b) 2 (a b)(a b) 2
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四、平方差公式的图形验证
a
a
b
a
a
b b
方法（3）：可以拼成长方形，则
阴影部分的面积为 (a b)(a b)
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通过这节课的学习活动你有哪些收获？
（2）已知a+b=5，a2 b2 15 那么a-b=_______
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四、平方差公式的图形验证
(a b)(a b) a2 b2
你能设计相应的图形，利用面积不变性来验证平方差公式吗？ a
a b
b
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四、平方差公式的图形验证
方法1：阴影部分的
面积为 a 2 b2 a
a
b b
11
9.4 平方差公式
1
一、探索平方差公式
(a b)(a b) a2 b2
这个公式称为平方差公式。
左边是：两数和与它们的差的积
右边是：两数的平方差
2
一、探索平方差公式
问题：判断下列式子是否可以使用平方差公式进，如果可以，请说出公式中的a和b，如果不可以，请说明理由

乘法公式(2)全面版

用乘
(3)
(2a5)2
法解:原式(2a)22(2a)(5)(5)2
公
4a220a25
式算算看：(2a 5) 2
计
算结论：(2a5)2(2a5)2
：
建湖县实验初中
填空: 1.(2x-y)(_2_x_+_y_)=4x2-y2 2.(b-a)(_-_a_-_b_)=a2-b2 3.4x2-12xy+(_9_y_2_)=(_2_x_-_3_y_)2 4.(-3x-2)(_-2_+__3_x)=4-9x2
= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bcƻb+c）2是多少吗？面积法：通过图形的拼合
ab c
a b
c
所以有：（面图a+积形b（+c1））2 = 图面形积（2） =a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 建湖县实验初中
试试看！
计算： 1、（m+n-t）2 2、（-2s+3t-h）2 练习：书P82 练一练 3、4
建湖县实验初中
1、已知（a+b）2=7，（a-b）2=3，求：
（1）a2+b2（2）ab的值.
拓展与延伸
2、观察下面各式规律：
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
课题：乘法公式（2）初一数学备课组

《乘法公式》知识清单

《乘法公式》知识清单一、平方差公式平方差公式是初中数学中非常重要的一个乘法公式，其表达式为：（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²。

这个公式的特点是：两个二项式相乘，其中一项相同（即 a），另一项互为相反数（即 b 和 b）。

相同项的平方减去相反项的平方，就得到了乘积的结果。

例如：（5 ＋ 3)（5 3) ＝ 5² 3²＝ 25 9 ＝ 16 。

在使用平方差公式时，关键是要正确识别公式中的 a 和 b 。

平方差公式在简化计算和因式分解中都有着广泛的应用。

在简化计算方面，比如计算 98×102 ，我们可以将其变形为（100 2)（100 ＋ 2) ，然后利用平方差公式，得到 100² 2²＝ 10000 4 ＝ 9996 。

在因式分解中，例如 x² 4 ，可以分解为（x ＋ 2)（x 2) 。

二、完全平方公式完全平方公式有两个：（1）（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²；（2）（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²。

这两个公式的特点是：一个二项式的平方，等于这个二项式各项的平方和，加上（或减去）这两项乘积的两倍。

比如：（3 ＋ 4)²＝ 3²＋ 2×3×4 ＋ 4²＝ 9 ＋ 24 ＋ 16 ＝ 49 。

完全平方公式在代数式的运算和变形中经常用到。

在计算时，若遇到形如（a ＋ b)²的式子，可以直接展开计算。

例如：（2x ＋ 3y)²＝（2x)²＋ 2×2x×3y ＋（3y)²＝ 4x²＋ 12xy ＋ 9y²。

在因式分解中，对于像 a²＋ 6a ＋ 9 这样的式子，可以变形为（a＋ 3)²。

三、乘法公式的拓展乘法公式还有一些拓展形式，例如：（a ＋ b ＋ c)²＝ a²＋ b²＋ c²＋ 2ab ＋ 2bc ＋ 2ac 。

初中乘法公式知识点总结

乘法公式知识点总结1.平方差公式：
易错总结：
①只有平方差公式，没有平方和公式；
②注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”；
③注意符号、系数，要学会灵活运用公式。

2.完成平方公式：
和的完全平方公式：
差的完全平方公式：
易错总结：
①记忆口诀：“首平方，尾平方，二倍乘积夹中央”；
②注意区分平方差公式和完全平方公式；
③注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”；
④注意符号、系数，要学会灵活运用公式。

3.其他公式：
易错总结：
①注意区分立方和（差）公式与完全立方公式；
②注意符号、系数，要学会灵活运用公式。

【初中数学精品资料】乘法公式

年级初二学科数学内容标题乘法公式编稿老师应佳成【本讲教育信息】一、教学内容1. 会推导乘法公式，并了解乘法公式的几何背景2. 会用乘法公式进行简单计算二、重点、难点1. 重点：乘法公式的运用2. 难点：如何正确地运用乘法公式三、知识梳理1. 平方差公式：()()b a b a b a 22-=+-;2. 完全平方和公式：()b ab a b a 2222++=+;完全平方差公式：()b ab a b a 2222+-=-;3. 补充公式：立方和公式：()()b a b ab a b a 3322+=+-+；立方差公式：()()b a b ab a b a 3322-=++-；其它：()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++()b b a b a a b a 3223333+++=+4. 公式之间的变形：（1）基本的变形单位：y x +、y x -、y x 22+、xy（2）变形公式：()()ab b a b a 422+-=+（可以变形为多个公式）()()()b a b a b a 22222+=-++（3）特殊的公式：211222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k k k ；211222-+=⎪⎭⎫⎝⎛-kk k k【典型例题】例1. 计算下列各题：（1）()()x y y x ---；（2）()()y x x y --；（3）()()b a c c b a --++；（4）()()()b a a 2111+--+- 解：（1）原式=-+-()()x y y x=+-=-()()x y x y x y22（2）原式=---()()x y x y2222y xy 2x )y xy 2x ()y x (-+-=+--=--=2 （3）原式))((c b a c b a -+++-=[]2222222b ab 2a c )b a (c c )b a (---=+-=-+-=（4）原式)1)(1)(1(2b a a ++--==--+=-+--=--++()()()a b a a b b a a b b 2222222221111例2. 用乘法公式计算：（1）()()11222++-a a a ；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21214121412122m m m m m m ；（3）已知：()654481682=+N ，求()()7858++N N 的值；（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a b a 22222122121.解：（1）原式[]22)1)(1(++-=a a a=-+a a 326321（2）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41212141212122m m m m m m =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-m m m 3361818164（3）原式=()()N N ++5878()[]()[]()=+-++=+-=-=N N N 68106810681065448110065438122（4）原式=+⎛⎝⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪2214212222a b a b =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-212212414222244a b a b a b例3. 已知：3=+b a ，12-=ab ，求下列各代数式的值.22+ab 22+-()2解：（）123212924332222a b a b ab +=+-=-⨯-=+=()()222b ab a +-）（45369)12(333)(22=+=-⨯-=-+=ab b a （）34341294857222()()()a b a b ab-=+-=-⨯-=+=例4. 已知0132=+-a a ，求：（1）a a 221+；（2）⎪⎭⎫⎝⎛-a a 12解： a a 2310-+=∴-+=∴+=a a a a 31013（1）a a a a 2222112327+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-=-=（2）a a a a -⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-=-=114345222例5. 已知()()021322=+--+x x x x ，求()x +12的值.解： ()()x x x x 22312+--+=+++----=x x x x x x x 423243122220∴+-=∴+=++=+=x x x x x 222210121112()例6. 观察下列式子：()()1112-=+-x x x ； ()()11132-=++-x x x x ； ()()111423-=+++-x x x x x ； ……请你根据这一规律计算：（1）()()111++++--x x x x n n （2）1222221213+++++ 解：（1）原式=-+xn 11（2）原式=-+++++=-()()2122221211312214…例7. （1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特点：⎩⎨⎧=-=+566522 ⎩⎨⎧=-=+788722 1516161522+=-=⎧⎨⎩⎩⎨⎧=-=+2728282722 （2）从上面的计算中你发现了什么？你能用含一个字母的等式表示这个规律吗？（3）请你用所学的知识解释这个规律的正确性；（4）请用上面的规律计算：10099985432122222222-+--+-+- . 解：（1）561165117815871515163116153127285528275522222222+=-=⎧⎨⎩+=-=⎧⎨⎩+=-=⎧⎨⎩+=-=⎧⎨⎩ （2）()()n n n n +-=++1122（3）左边=+-=++-=+()n n n n n n 121212222右边=+21n∴=∴左边右边等式成立（4）原式…=-++-+++-+()()()()()()121234349910099100=-++++++=-()1234991005050…【模拟试题】（答题时间：30分钟）［基础训练］1. （1）（a ＋b ）2＝_______；（2）（a －b ）2＝________.2. （1）（a ＋13b ）2＝a 2＋______＋19b 2；（2）（2x －y ）2＝4x 2－______＋y 2；（3）（－12m ＋1）2＝（）2－（）＋1；（4）x 2＋y 2＝（x ＋y ）2－_______. 3. 化简：（3x ＋2y ）2＋（x ＋y ）（－x －y ）. 4. 运用完全平方公式计算：（1）712；（2）4982；（3）2022；（4）79.82.5. 计算（－a 2＋12）2的结果是（） A . a 4－2a 2＋14 B . －a 4＋2a 2＋14 C . a 4－a 2＋14 D . －a 4＋a 2＋146. 计算（x ＋1）（－x －1）的结果是（）A . －x 2－2x －1B . －x 2－1C . －x 2＋2x －1D . x 2－1 7. 下列各等式中正确的是（） A . （x －2y ）2＝x 2－2xy ＋4y 2 B . （3x ＋2）2＝3x 2＋12x ＋4 C . （－3x －y ）2＝9x 2－6xy ＋y 2 D . （－2x －y ）2＝4x 2＋4xy ＋y 28. 设（a ＋b ）2＝（a －b ）2＋m ，则m 为（） A . －4ab B . －2ab C . 4ab D . 2ab［提高训练］9. 若x ＋1x＝3，则x 2＋21x ＝________.10. （2a b +）2－（2a b -）2的值为（）A . abB . 2abC . 2abD . 011. 当x 、y 取什么值时，代数式x 2＋y 2＋x －2y ＋2的值最小，这个最小值为多少？ 12. 已知x ＋y ＝－2，xy ＝－3，求x 2＋y 2的值.［应用拓展］13. （1）已知a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝2，求ab 的值.（2）已知（a＋b）2＝7，（a－b）2＝4，求a2＋b2及ab的值.【试题答案】1.（1）a2＋2ab＋b2（2）a2－2ab＋b22.（1）23ab （2）4xy （3）－12m m （4）2xy3. 8x2＋10xy＋3y24.（1）5041 （2）248004 （3）40804 （4）6368.045. C6. A7. D8. C9. 7 10. A11. x＝－12，y＝1，最小值为3412. 1013.（1）ab＝－1 2（2）a2＋b2＝112，ab＝34。

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1
专题02 乘法公式
阅读与思考
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数
式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：
1．熟悉每个公式的结构特征；
2．正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；
3．逆用即将公式反过来逆向使用；
4．变用即能将公式变换形式使用；
5．活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．
例题与求解
【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是．
（全国初中数字联赛试题）
解题思路：因22()()ababab，而abab的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差
的数，要么为奇数，要么能被4整除．

【例2】（1）已知,ab满足等式2220,4(2)xabyba，则,xy的大小关系是( )
A．xy≤ B．xy≥ C．xy D．xy
（山西省太原市竞赛试题）
（2）已知,,abc满足22227,21,617abbcca，则abc的值等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
（河北省竞赛试题）
解题思路：对于（1），作差比较,xy的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；
对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．

【例3】计算下列各题：
（1） 2486(71)(71)(71)(71)1；（天津市竞赛试题）
（2）221.23450.76552.4690.7655；（“希望杯”邀请赛试题）
2

（3）22222222(13599)(246100)．
解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，
使之符合乘法公式的结构特征．

【例4】设221,2abab，求77ab的值．（西安市竞赛试题）
解题思路：由常用公式不能直接求出77ab的结构，必须把77ab表示相关多项式的运算形式，而
这些多项式的值由常用公式易求出其结果．

【例5】观察：222123415;2345111;3456119;
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算20002001200220031的结果（用一个最简式子表示）．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．

【例6】设,,abc满足2223331,2,3,abcabcabc求：
（1）abc的值；
3

（2）444abc的值．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．

能力训练
A级

1．已知22(3)9xmx是一个多项式的平方，则m ．（广东省中考试题）
2．数4831能被30以内的两位偶数整除的是．
3．已知222246140,xyzxyz那么xyz ．
（天津市竞赛试题）
4．若3310,100,xyxy则22xy ．
5．已知,,,abxy满足3,5,axbyaxby则2222()()abxy的值为．
（河北省竞赛试题）
6．若n满足22(2004)(2005)1,nn则(2005)(2004)nn等于．
7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000等于（）
A．19992000 B．20012000 C．19994000 D．20014000
8．若222210276,251MabaNaba，则MN的值是（）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．可正可负
9．若222,4,xyxy则19921992xy的值是（）
A．4 B．19922 C．21992 D．41992 （“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能
组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少
名同学？（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）
4

11．设9310382a，证明：a是37的倍数．（“希望杯”邀请赛试题）
12．观察下面各式的规律：
2222
2222
2222

(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;



写出第2003行和第n行的式子，并证明你的结论．

B级
1．()nab展开式中的系数，当n1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”
求出901.1的值为．（《学习报》公开赛试题）

2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3
的对面的数分别为,,abc，则222abcabbcac的值为．
3．已知,,xyz满足等式25,9,xyzxyy则234xyz ．
4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知19992000,19992001,19992002axbxcx，则多项式222abcabbcac的

3
9
13

第2题图

1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
… … … … … … …
5

值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）
A．16种 B．14种 C．12种 D．10种
（北京市竞赛试题）
7．若正整数,xy满足2264xy，则这样的正整数对(,)xy的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
（山东省竞赛试题）

8．已知3ab，则339abab的值是（）
A．3 B．9 C．27 D．81
（“希望杯”邀请赛试题）
9．满足等式221954mn的整数对(,)mn是否存在？若存在，求出(,)mn的值；若不存在，说明理由．

10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方
数，求所有这样的两位数．
（天津市竞赛试题）

11．若xyab，且2222xyab，求证：2003200320032003xyab．
6

12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如
222222
420,1242,2064,
因此4，12，20这三个数都是神秘数．

（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为22k和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数
吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？（浙江省中考试题）
7
8

2019年初中数学竞赛专题 乘法公式