基于齿轮副整体误差的齿轮动力学模型及其动态特性

第４６卷第１７期　２０　１　０年９月　

机械工程学报　

ＪＯＵＲＮＡＬ　０Ｆ　ＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　Ｖｂ１．４６　Ｓｅｐ．　ＮＯ．１　７　

２　Ｏ　１　０　

ＤｏＩ：１０．３９０１／ＪＭＥ．２０１０．１７．０５５　基于齿轮副整体误差的齿轮动力学　模型及其动态特性术　

石照耀康焱林家春　（北京工业大学机械工程与应用电子技术学院北京　１００１２４）　

摘要：迄今提出的各种齿轮动力学模型，在处理齿轮误差的影响时，都回避因齿轮重合度人于１而分不清单双啮区的事实，　由此得出的结果不能较全面反映实际情况。基于齿轮副整体误差概念，综合考虑齿轮啮合过程的时变啮合刚度、误差激励等　非线性因素，建立一种新的考虑单、双啮过程的直齿轮动力学模型，能更精确地描述齿轮系统的动力学行为，解决现有模型　存在的主要问题：应用变步长四阶Ｒｏｕｎｇｅ．Ｋｕｔｔａ法获得新动力学模型的高精度数值解；定量研究不同工作条件下啮合刚度、　加工误差对振动响应的影响，研究结果对于完整认识复杂的齿轮动态性能、进行动态优化设计具有重要的理论和实用价值。　关键词：齿轮齿轮整体误差动力学模型时变啮合刚度动态响应　中图分类号：ＴＨｌ１３　

Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ　Ｄｙｎａｍｉｃｓ　Ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　Ｄｙｎａｍｉｃ　Ｒｅｓｐｏｎｓｅ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ａ　Ｓｐｕｒ　Ｇｅａｒ　Ｐａｉｒ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｇｅａｒ　Ｐａｉｒ　Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　Ｅｒｒｏｒ　

ＳＨＩ　Ｚｈａｏｙａｏ　ＫＡＮＧ　Ｙａｎ　ＬＩＮ　Ｊｉａｃｈｕｎ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，　Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１００１２４）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｇｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｍｏｄｅｌｓ，ｗｈｅｎ　ｄｅａｌｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　ｇｅａｒ　ｅｒｒｏｒ　ｏｎ　ｇｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃｓ，ａｌｗａｙｓ　ｏｍｉｔ　ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｉｎｇ　ｏｎｅ　ｐａｉｒ　ｏｆ　ｔｅｅｔｈ　ｆｒｏｍ　ｔｗｏ　ｐａｉｒｓ　ｏｆ　ｔｅｅｔｈ　ｉｎ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｄｕｒｉｎｇ　ｇｅａｒ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　ｓｉｎｃｅ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｒａｔｉｏ　ｏｆ　ｇｅａｒｓ　ｉｓ　ｇｒｅａｔｅｒ　ｔｈａｎ　ｏｎｅ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅｓｅ　ｍｏｄｅｌｓ　ａｒｅ　ｕｎａｂｌｅ　ｔｏ　ｉｎｄｉｃａｔｅ　ｔｈｅ　ｏｖｅｒａｌｌ　ｒｅａｌ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｇｅａｒ　ｐａｉｒ　ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　ｅｒｒｏｒ　（ＧＰＩＥ）ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ａ　ｎｅｗ　ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ｓｐｕｒ　ｇｅａｒ　ｐａｉｒ，ｔａｋｉｎｇ　ｉｎｔｏ　ａｃｃｏｕｎｔ　ｔｈｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｔｅｅｔｈ　ｉｎ　ｃｏｎｔａｃｔ，ｉｓ　ｂｕｉｌｔ　ｔｏ　ｏｖｅｒｃｏｍｅ　ｔｈｅ　ｄｒａｗｂａｃｋｓ　ｏｆｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｍｏｄｅｌｓ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆａｃｔｏｒｓ　ｓｕｃｈ　ａｓ　ｇｅａｒ　ｅｒｒｏｒｓ，ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ　ｍｅｓｈ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｌｏａｄ　ｓｈａｒｉｎｇ　ａｒｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｎｅｗ　ｍｏｄｅ１．Ｃｒｉｔｉｃａｌｌｙ，ｔｈｅ　ＧＰＩＥ　ｈａｓ　ｔｈｅ　ａｄｖａｎｔａｇｅ　ｔｏ　ｉｄｅｎｔｉｆｙ　ｔｈｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｔｅｅｔｈ　ｉｎ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｗｈｏｌｅ　ｇｅａｒ　ｒｏｔａｔｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ，ｔｈｕｓ　ｏｖｅｒｃｏｍｉｎｇ　ｔｈｅ　ｌｉｍｉｔａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ　ｇｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｍｏｄｅｌｓ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ａｃｔｕａｌ　ＧＰＩＥ　ｃｕｒｖｅ　ｆｒｏｍ　ａ　ｇｅａｒ　ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　ｅｒｒｏｒ　ｔｅｓｔｅｒ，ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａ　ｇｅａｒ　ｐａｉｒ　ｕｎｄｅｒ　ｖａｒｉｏｕｓ　ｗｏｒｋｉｎｇ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｃｏｎｄｕｃｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｎｅｗ　ｍｏｄｅｌ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｇｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｂｅｈａｖｉｏｒｓ　ａｒｅ　ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｃｌａｒｉｆｙ　ｓｏｍｅ　ｐｈｅｎｏｍｅｎａ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｔｏ　ｇｅａｒ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ，ａｎｄ　ｃａｎ　ｂｅ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｄｅｓｉｇｎ　ａｎｄ　ｎｏｉｓｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆｇｅａｒｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｇｅａｒ　Ｇｅａｒ　ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　ｅｒｒｏｒ　Ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｍｏｄｅｌ　Ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ　ｍｅｓｈ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　Ｄｙｎａｍｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　

０前言　几十年来，齿轮系统动力学一直受到人们的广　泛关注【¨，国内外学者以系统非线性振动理论为基　・国家自然科学基金资助项￣（５０５７５００３。５０８７５ＯＯ３）。２００９０９１８收到初　稿，２０１００４１２收到修改稿　础，以齿轮啮合过程的时变啮合刚度、误差激励、　阻尼和齿侧间隙等非线性因素为核心，对齿轮系统　非线性振动问题进行了大量研究，根据非线性因素　的个数和齿轮系统的具体情况以及分析目的等，提　出了各种形式的动力学模型【２。４Ｊ，其中单对齿轮副的　动力学模型是最简单的分析模型，主要是用来研究　由轮齿啮合本身所产生的振动特性，体现了齿轮系　２０１０年９月　石照耀等：基于齿轮副整体误差的齿轮动力学模型及其动态特性　５７　齿轮副整体误差曲线把主、从动轮所有的啮合　齿对工作面上的误差视为一个整体，将各点误差值　以同一零位计数，并按各点的实际啮合顺序统一在　啮合线上以啮合线增量来表示【ｌ　。一对齿轮副的齿　轮副整体误差不是一个单一的值，而是啮合点位置　的函数，通常用齿轮副整体误差曲线来表示。　齿轮副整体误差曲线与传动误差（Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　ｅｒｒｏｒ，ＴＥ）曲线相比（图３），它包含的误差信息更全面，　不但反映了啮合过程中主、从动轮误差相互作用的　结果，其外包络线就代表了该对齿轮副的静态传动　误差曲线，更重要的是反映了主、从动轮上每个啮　合齿对的完整过程，尤其揭示了在双啮区两对共同　参与啮合的轮齿的误差是如何相互影响和相互作用　的；而且相对于传动误差曲线，齿轮副整体误差曲　线上的误差值与主从轮上的接触点一一对应，因此，　它可以很清楚地确定各误差值是代表哪个齿面上哪　一部分的误差。　角度　图３　齿轮副整体误差的概念及其与传动误差的比较　因此，齿轮副整体误差提供了齿轮副全部共轭　齿面上完整的误差信息，克服了传动误差在研究问　题中的局限性，既可进行齿轮啮合过程的研究和传　动质量的评定，又可以用于误差溯源，进行齿轮工　艺误差的分析。　齿轮副整体误差可以采用间接测量法。首先利　用齿轮整体误差测量仪ＣＺ４５０ｔ　】测量主、从动轮的　齿轮整体误差，然后根据误差作用原理和齿轮啮合　原理合成齿轮副整体误差曲线　】。下表为实际被测　齿轮副的基本齿轮参数，图４为通过齿轮整体误差　测量仪ＣＺ４５０测得的该齿轮副的主、从动轮的齿轮　整体误差后，合成得到的该齿轮副的齿轮副整体误　差曲线及其幅频曲线。　表齿轮参数　

ｇ　【　账　蛙　翱　

５　０　

５　１０　—１５　

—２Ｏ　２５　３０　

ｇ　趔　馨　

０　８Ｏ　１６０　２４０　３２０　４００　４８０　时间ｔ／ｍｓ　

（ａ）齿轮副整体误差曲线　

０　２５　５０　７５　ｌ００　１２５　１５Ｏ　ｌ７５　２００　频率ｆ／Ｈｚ　（ｂ）齿轮剐整体误差的幅频曲线　

图４齿轮副整体误差曲线及其幅频曲线　

２基于齿轮副整体误差的直齿轮动力　学模型　

齿轮传动系统是一个含有时变啮合刚度、误差　激励和啮合阻尼等多种非线性因素的动力系统。设　七（　’（ｆ）和　’（ｆ）分别为齿轮副任意的第，对轮齿的　

单对齿啮合刚度（图５）和齿轮副整体误差，ｃ表示齿　轮副的啮合阻尼。建模时假设齿轮系统的传动轴和　轴承的刚度足够大，不考虑运动时由支承轴承所产　生的摩擦的影响；假设啮合的两齿轮均为渐开线直　齿圆柱齿轮（１＜占≤２），齿轮之间的啮合力始终作用　在啮合线方向上；充分考虑一对轮齿啮合的３个过　程和三个过程中一共有３对轮齿参与了啮合的实际　情况，单对齿轮副的动力学模型可以简化为如图６　所示的形式。转动惯量分别为五和厶的主动齿轮和　

从动齿轮的基圆半径分别为　和风　，转动角分别　为　和　，所受到的外力矩分别为　和　。　５８　机械工程学报　第４６卷第】７期　图５齿轮副综合啮合刚度　图６新的直齿轮副动力学模型　为了表达方便，首先假设三对轮齿同时作用，　根据第二类拉格朗日方程，可以建立假设条件下系　统的动力学模型如式（１）所示。　＋ｃ民Ｉ（　风ｌ一　民２一琏Ｊ－Ｄ）＋　ｃＲｂｌ（　民１一ｏ２　２一Ｆ（ＺＪ））＋　ｃ风１（　民ｌ—ｏ２Ｒ２一　¨　）＋　ｋ（Ｊ－Ｄ（ｆ）　ｌ（　风ｌ一　２一　。　）＋　七ｕ’（ｆ）民１（　风ｌ一　Ｒｂ２一　）＋　七ｏ¨’（ｆ）民ｌ（　民ｌ一　２～　川’）＝　厶　＋ｃ　２（Ｏ，ＲｂＩ一　风２一琏Ｊ－Ｄ）一　ｃ　２（　】一ｅ２Ｒｂ２一琏　）一　ｃＲｂ２（　民１一　风２一　州　）一　ｋ（Ｊ－Ｄ（ｆ）Ｒｂ２（ＯｌＲｂｌ一　Ｒｂ２一ＦＥｊ　’）一　“’（ｆ）风２（　Ｒｂ１一　Ｒｂ２一ＦＥｙ’）一　七ｕ¨　（　）民２（　Ｒｌ一　２一足川　）＝一　

引入轮齿在啮合线上的相对位移　“）为齿轮副　动态整体误差　（ｆ）＝Ｒｌ　（ｆ）一　２ｏ２（ｆ）　（２）　同时充分考虑每对轮齿的实际啮合时间，消除　上面的假设条件，由式（１）可得到新动力学模型的实　际运动方程　

。　）＋２ｄｃ（ｔ）＋ｋｍ　）　）＝　）＋　）　（３）　式中，ｍｅ为系统的等效质量，ｍｅ＝　／（‘稚＋　碥）；　（ｆ）＝ｖ，／　＝　／　：，它是系统的等效　

外部激励；　＝２ｎ／（ｚ１　），它是系统的啮合周期（Ｚ】　为主动轮的齿数１。　系统的综合啮合刚度为　

—　）＋Ｊ｝（　＜ｆ＜　＋　一　

＝｛　．ｉ：＝Ｕ　（ｆ）＋　＋　）　

系统的等效内部激励为　

＋　—１）　≤ｆ≤　＋　

＋　＜ｆ＜，ｚ　＋　

：ｑ１，２，…　

（ｆ一　）　＋　∽（ｆ）　＋　ｃ　—　）＋　（ｆ）］　，ｚ　＜ｆ＜　＋（占一１）　＝｛七∽＠　＋ｃ　＋　—１）　≤ｆ≤，ｚ　＋　ｋＵ）　）　（ｆ）十　ｕ　Ｏ＋　）　（ｆ）＋　ｃ［霆　（　＋　（明　＋　＜ｆ＜　＋　

ｎ＝０，１’２，…　在方程式中，齿轮副整体误差可以表示为匠＠＝　｛　（ｆ）），ｊ＝ｌ，２，…。它是以齿轮整体误差测量仪　ＣＺ４５０的测量结果为基础，由离散的点组成的数组　集合。在计算它的导数时这里选择中间差分法。