解三角形不等式
三角不等式的证明方法
三角不等式的证明方法最近看到一道有意思的三角不等式问题：在锐角ΔABC中，证明：cosA+cosB+cosC−4cosAcosBcosC≥1这种三角形内角余弦的不等式有两种方法：一是化为边转换为齐次的代数不等式进行证明，二是利用三角形中内角相关恒等式或不等式进行证明。
下面来分别使用两种不同方法进行证明。
一、代数法利用余弦定理：cosA=b2+c2−a22bc我们可以得到：cosA+cosB+cosC−4cosAcosBcosC≥1∑cycb2+c2−a22bc−4∏cycb2+c2−a22bc−1≥0∑cyca2bc(b2+c2−a2)−∏cyc(b2+c2−a2)−2(abc)2≥0(a+b+c)(∑cyca3(a2−bc)−∑cycab(a3+b3))≥0∑cyca3(a−b)(a−c)≥0由Schur不等式知：原命题得证。
当然，此题也可以使用SOS方法进行配方证明，具体配凑比较麻烦，在此不做赘述。
二、三角法利用三角形中的恒等式：cosA+cosB+cosC=1+4sinA2sinB2sinC2，我们有：cosA+cosB+cosC−4cosAcosBcosC≥1sinA2sinB2sinC2≥cosAcosBcosC>0 sin2A2sin2B2sin2C2≥cos2Acos2Bcos2C下面证明只需要两个不等式：{cosAcosBcosC≤18cosAcosBcosC≤∏cyc(1−cosA)对于前者，由射影定理：a=bcosC+ccosB≥2bccosBcosCb=ccosA+acosC≥2cacosCcosAc=acosB+bcosA≥2abcosAcosB三式相乘，得：abc≥∏cyc2abcosAcosB=8abccosAcosBcosC即cosAcosBcosC≤18对于后者，注意到ΔABC是锐角三角形，有：{cosA>01−cosA>0又这个不等式左右都是乘积形式，故两边取对后移项，只需证明：∑cyc[lncosA−ln(1−cosA)]≤0⋯⋯(∗)考察函数f(x)=lncosx−ln(1−cosx),(0<x<π2)则f′(x)=tanx−2sinxcosx−1f″(x)=(cosx−1)(1cos2x−2cosx)+sinx(tanx−2sinx)(cosx−1)2=(cos x−1)(1−2cos2x)+sin2xcosx(1−2cosx)cos2x(cosx−1)2=(cosx−1)(1−2cos2x)+(1−cos2x)cosx(1−2cosx)cos2x(cosx−1)2=1−2cos2x+cosx(1+cosx)(1−2cosx)cos2x(cosx−1)=cos2x−cosx+1cos2x(cosx−1)<0故由Jensen不等式，有：f(A)+f(B)+f(C)3≤f(A+B+C3)=f(π3)=ln12−ln12=0即(*)式得证。
三角不等式等号成立条件
三角不等式等号成立条件三角不等式是初中数学中的一个重要概念，它用于描述三角形中各边之间的关系。
三角不等式的等号成立条件是什么呢？下面我们来进行探讨。
我们先来回顾一下三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的和大于第三条线段。
根据这个定义，我们可以得出三角不等式的一般形式：对于任意三角形ABC，有以下三个不等式成立：1. AB+BC>AC2. AC+BC>AB3. AB+AC>BC那么根据这三个不等式，我们可以推导出三角不等式的等号成立条件。
什么情况下，这三个不等式会变成等式呢？我们来看第一个不等式AB+BC>AC。
当且仅当点A、B、C三个点共线时，这个不等式会变成等式。
也就是说，当点A、B、C三个点在同一条直线上时，三角形ABC退化成一条线段，此时AB+BC等于AC。
接下来，我们来看第二个不等式AC+BC>AB。
当且仅当点A、B、C三个点共线时，这个不等式会变成等式。
也就是说，当点A、B、C三个点在同一条直线上时，三角形ABC退化成一条线段，此时AC+BC等于AB。
我们来看第三个不等式AB+AC>BC。
对于这个不等式，我们可以发现，当且仅当点A、B、C三个点共线时，这个不等式无法成立。
因为当三个点共线时，两边之和等于第三边，不满足不等式的要求。
三角不等式的等号成立条件是：当且仅当三个点共线时，即三角形退化为一条线段时，三个不等式中的两个会变成等式。
通过以上的讨论，我们可以得出结论：三角不等式的等号成立条件是三个点共线。
这个结论在初中数学中有着重要的应用，可以帮助我们判断三角形是否存在，以及解决一些与三角形有关的问题。
总结一下，三角不等式是描述三角形中各边之间关系的重要概念。
三角不等式的等号成立条件是当且仅当三个点共线时，即三角形退化为一条线段时，两个不等式会变成等式。
这个结论在数学中有着重要的应用，帮助我们解决与三角形相关的问题。
通过学习和掌握三角不等式的等号成立条件，我们可以更好地理解和应用三角不等式。
高中数学数列、解三角形、不等式综合复习
本讲主要复习了必修（5）数列、解三角形、不等式等三部分知识要点和考点。
在利用这些知识点解决问题时注重函数的思想、数与形结合的思想、方程的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想及配方法、特值法、分离参数法等数学思想方法的应用。
考点一：数列、不等式、解三角形等基础知识的考查例1、在下列命题中，把正确命题的序号填在题后的横线上。
（1）当三角形的各角的余切成等差数列时，各角所对边的平方成等差数列（2）已知不等式①②x2－6x+8<0 ③2x2－9x+m<0若同时满足①②的x值也满足③，则m9.（3）一个等差数列和一个等比数列，其首项是相等的正数，若其第（2n+1）项是相等的，则这两个数列的第（n+1）项也是相等的。
（4）方程有解时a的取值范围是在上述命题中正确命题的序号是。
分析：（1）设三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c.由已知条件得：2cotB=cotA+cotC然后化为正、余弦。
通分再利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.（2）可用特值法：先求不等式①②解集的交集。
再对m取特值验证。
也可利用二次函数的图像解决。
（3）利用等差、等比数列的通项公式表示这两个数列的第（n+1）项，然后比较大小。
或取特值验证。
（4）分离参数法：把a分离出来，用表示a，再用均值不等式求解。
解析：（1）由已知得：2cotB=cotA+cotC.利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.故命题（1）是正确的。
（2）不等式①②的交集是（2，3），取m=0时，不等式化为：显然当2<x<3时，不等式成立。
故命题（2）错误另解：利用二次函数图像求解：设f（x）=2x2－9x+m，如图由已知得：（3）设数列分别是等差数列、等比数列。
首项分别是>0公差和公比分别是d、q，取n=2，q=2，由已知：即：，故==－=故，故命题（3）错误。
（4）由方程得：－（4+a）=.故此命题错误。
考点二：不等式与数列的综合应用的考查例2、已知数列{a}是首项a1＞0，q＞－1且q≠1的等比数列，设数列{b}的通项为b=a－ka（n∈N），数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路。
三角形不等式的应用举例(含练习题)
三角形不等式的应用举例根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、> 证明:作角∠120AOB = ，∠120BOC = ，则∠120AOC = ， 设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、> 证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).>++ 证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++ DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和.另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=知原不等式成立.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy ≥+即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤ 而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,44A ，3(,)44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的.但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、 求证：01≤.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。
不等式三角公式
不等式三角公式《不等式三角公式》是数学中重要的一部分，它可以帮助人们求解各种类型的三角形不等式问题。
这个不等式是由库伦（Konon）于1830年发明的，从那时起，不等式三角公式就被广泛应用于几何和三角几何中，以证明各种三角形的公式。
不等式三角公式有两个版本，一个叫做“库伦三角公式”，另一个叫做“贝瑞克三角公式”，它们都能够求解三角形中边界角度不等式的问题。
首先，这两个公式都需要三个参数：A，B和C，分别代表三角形的三条边，每条边后面加上一个小写角度值（α，β，γ）表示三角形的三个定角角度。
库伦三角公式用来求解边长A和B两个边长之和大于第三条边长C的不等式问题，即A + B > C。
库伦三角公式定义为：A + B > C的同时必须有α + >。
另一方面，贝瑞克三角公式则是另一种常用的不等式三角公式，它用来求解一种特别情况，即边AB之差小于第三条边长C，即A B < C的问题，贝瑞克三角公式的定义为：A B < C的同时必须有α + >。
不等式三角公式在数学中有着重要的地位，它不仅可以用来求解三角形不等式问题，而且还可以帮助求解相关的几何和三角几何问题。
在几何和三角几何中，不等式三角公式可以使用来求解一些复杂的三角形关系，例如求解三角形内角和外角之和，和内角和外角之差等。
此外，库伦三角公式也可以用来解决圆锥体和正六面体的一些重要的三角形关系问题。
不仅如此，不等式三角公式在日常生活中也有着很多应用，比如在建筑、土木工程、机械制造中，都经常使用到不等式三角公式。
虽然不等式三角公式可以求解一些复杂的三角形问题，但它也有一些局限性，比如，它只能在满足一些特定条件的情况下使用，而且它仅针对于处理等腰三角形的不等式问题有可能会出现错误的结果。
总而言之，不等式三角公式是一个重要的数学工具，它在几何和三角几何中应用十分广泛，也在日常生活中应用较多，但同时也很容易出现误差和错误结果，需要大家注意避免。
第23讲 三角不等式
第23讲 三角不等式竞赛热点含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式。
在高中数学竞赛内容中，涉及三角不等式的问题有三类：一是三角不等式的证明，二是解三角不等式，三是应用三角不等式求最值。
处理三角不等式的问题一方面要有扎实的三角变形能力，另一方面还需要有三角函数的图象和性质的认识。
同时，对不等式的有关性质和证明方法要能灵活运用。
解题示范例1：已知N n ∈，2≥n ，求证：.321cos31cos21cos>n思路分析：本题从三角变形入手不易，不可考虑利用x x <sin 放缩，转化为代数不等式。
证明：因为.121311110<<<<-<< n n所以.11sin 0kk<<又.)1)(1(111sin 11cos2222k k k kkk+-=->-= 所以)11()3432)(2321()1cos31cos 21(cos2nn nn n +∙-∙∙>.)32(2121)1453423)(1433221(2>>+=+∙∙-∙∙=nn nn nn即.321cos31cos21cos>n点评：此题应用三角函数中重要的不等式：若)2,0(π∈x ，则.tan sin x x x <<此结论的应用，将三角不等式转化为代数不等式，叠乘即证得。
例2：当],0[,,321n ∈ααα时，求证：.3sin 3sin sin sin 321321αααααα++≤++思路分析；利用和差化积公式和变为乘积的形式，再放缩证明。
证明：因为3sinsin sin sin 321321αααααα+++++62cos64sin22cos2sin23213212121αααααααααα-++++-+=3sin462cos3sin 464sin22sin 232132132132121αααααααααααααα++≤-+++=++++≤所以.3sin3sin sin sin 321321αααααα++≤++引申：此证明中利用1cos ≤α进行放缩，从证明过程中可以看出，等号当且仅当321ααα==时成立。
必修5(解三角形、数列、不等式)
必修5：
1、解三角形
正弦定理
三角形面积公式（用函数表示）
余弦定理（用边表示）
余弦定理（用角表示）
2、数列
等差数列的通项公式
等差数列前n项和公式
等差中项公式
等差数列几个特殊的公式
等比数列的通项公式
等比数列前n项和公式
等比中项公式
等比数列几个特殊的公式
3、不等式
当a＞0时，一元二次不等式ax^2+bx+c＞0，ax^2+bx+c＜0 解集与与y=ax^2+bx+c图象、ax^2+bx+c=0的根、判别式△=b^2-4ac之间的相互关系。
直线y=kx+b把平面分成哪两个区域，y>kx+b表示的平面区域，y<kx+b表示的平面区域。
对于不含边界的区域如何表示，若直线不经过原点，如何检验表示的区域是否正确。
什么叫线性规划
在约束条件4x+y≤10,4x+3y≤20,x≥0,y≥0下，如何探求目标函数P=2x+y的最大值。
基本不等式的数学表达方式。
模块练习之解三角形 不等式不等关系
数学练习题第一章：解三角形选择1．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 2．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．32 3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01504．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不能确定5．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．不能确定D ．等腰三角形 6．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++ 则A = ( )A ．090 B ．060 C ．0135 D ．01507．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ）A ．)2,2(B ．)2,2(-C ．]2,1(-D ．]2,2[- 8．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）A ．12B ．221C ．28D ．36 9．在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ）A ．sin cos A A >B ．sin cos B A >C ．sin cos A B >D ．sin cos B B >10、△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形11、△ABC 中，已知()()a b c b c a bc +++-=，则A 的度数等于（ ）A ．120B ．60C ．150D ．3012、已知钝角△ABC 的最长边为2，其余两边的长为a 、b ，则集合{}b y a x y x P ===,|),(所表示的平面图形面积等于（ ） A ．2 B ．2-π C ．4 D ．24-π填空13．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
三角形的不等式性质
三角形的不等式性质三角形是一个经典的几何形状，由三条边和三个角组成。
对于一个具有三个边长a、b和c的三角形，存在一组不等式性质，这些性质能够帮助我们了解三角形的特性和限制，并在解决与三角形相关的问题时发挥重要的作用。
在本文中，我们将讨论三角形的不等式性质以及它们的应用。
一、三角不等式三角形的不等式是关于三条边长的约束条件，它们是:1. 任意两边之和大于第三边：a + b > c，b + c > a，a + c > b。
2. 任意两边之差小于第三边：|a - b| < c，|b - c| < a，|a - c| < b。
这些不等式的意义在于，要构成一个有效的三角形，任意两边的和必须大于第三边，而任意两边的差必须小于第三边。
这些约束条件确保了三角形的形状的合理性。
二、等边三角形等边三角形是指三边长度相等的三角形。
在等边三角形中，三个角也相等，每个角都为60度。
由于它的三边相等，根据三角不等式，等边三角形的任意两边之和大于第三边的条件总是成立的，因此等边三角形一定能够构成一个有效的三角形。
三、等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个角也相等，而另一个角称为顶角。
对于一个等腰三角形，根据三角不等式，两个等边之和大于第三边的条件总是成立的，因此等腰三角形也能够构成一个有效的三角形。
四、直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，较长的边称为斜边，而其他两条边分别称为直角边。
根据三角不等式，对于直角三角形来说，斜边的长度必须大于直角边的长度，否则将无法构成一个合理的三角形。
五、应用于解决问题三角形的不等式性质在几何学和数学问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 判定三条边是否能够构成三角形：根据三角不等式，我们可以判断给定的三边是否能够构成一个有效的三角形。
只需要检查任意两边之和是否大于第三边即可。
2. 寻找可能的三角形边长：已知两边长度，我们可以利用三角不等式推导出第三条边的取值范围，从而得到可能的三角形边长。
《三角不等式》 知识清单
《三角不等式》知识清单一、什么是三角不等式在数学中，三角不等式是涉及三角形边长和角度的不等式关系。
它是解决几何问题、三角函数问题以及数学分析中许多问题的重要工具。
简单来说，如果有一个三角形，其三条边分别为 a、b、c，那么三角不等式告诉我们：任意两边之和大于第三边，即 a ＋ b ＞ c，a ＋ c＞ b，b ＋ c ＞ a。
二、常见的三角不等式类型1、边长不等式对于任意三角形，上述提到的两边之和大于第三边是最基本的边长不等式。
此外，还有两边之差小于第三边，即｜a b| ＜ c。
2、角度不等式在三角形中，大边对大角，大角对大边。
也就是说，如果边 a ＞ b＞ c，那么对应的角 A ＞ B ＞ C；反之，如果角 A ＞ B ＞ C，那么对应的边 a ＞ b ＞ c。
3、三角函数不等式例如，对于正弦函数，在三角形 ABC 中，有 sin A ／ a ＝ sin B ／b ＝ sin C ／ c。
对于余弦函数，有 cos A ＝（b²＋ c² a²) ／ 2bc 等，通过这些表达式也可以推导出一些相关的不等式。
三、三角不等式的证明方法1、几何方法通过画图，直观地展示三角形边长和角度的关系，利用几何图形的性质进行证明。
例如，要证明两边之和大于第三边，可以直接在图形上测量和比较。
2、代数方法利用代数运算和不等式的性质进行推导。
比如，对于边长不等式 a ＋ b ＞ c，可以通过移项、平方等操作来证明。
3、反证法假设不等式不成立，然后推出矛盾，从而证明原不等式成立。
四、三角不等式的应用1、判断三角形是否存在给定三条边的长度，如果满足三角不等式，那么可以确定能够构成一个三角形；否则，不能构成三角形。
2、求解三角形的边长范围已知某些边或角的条件，通过三角不等式可以确定其他边的取值范围。
3、解决几何最值问题在一些几何图形中，通过运用三角不等式可以求出边长或角度的最大值或最小值。
4、在数学分析中的应用三角不等式在极限、级数等数学分析的领域中也有广泛的应用，用于证明一些定理和结论。
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解三角形不等式 1.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且BC边上的高为36a，则cbbc
取得最大值时，内角A的值为（ ） A．2 B．6 C．23 D．3 2.已知函数()cosfxx，,,abc分别为ABC的内角A,B,C所对的边，且222334abcab，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. (sin)(cos)fAfB B. (sin)(cos)fAfB C. (sin)(sin)fAfB D. (cos)(cos)fAfB
3.若满足条件AB＝3，C＝3的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是( ) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，2) D．(2，2) 4.设ABC的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，则ABC的最小的边长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
5.在ABC中，若6,7·ACABACAB，则ABC面积的最大值为（ ） A．24 B．16 C．12 D．83
6.在ABC中，,51cos,6,5AACABO是ABC的内心，若 OPxOByOC,其中]1,0[,yx，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为
（ ）
A. 3610 B . 3614 C . 34 D. 26 7.在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，AB边上点P到边AC、BC的距离乘积的取值范围是
（ ） A． [0，2] B． [0，3] C． [0，4] D． [0，]
8.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若CCabbac则,2cos2222的可能取值为（ ）
A．65 B． 2 C．3 D． 6
9.△ABC各角的对应边分别为cba,,，满足1baccab，则角A的范围是（ ） A．(0,]3 B．(0,]6 C．[,)3 D．[,)6 10.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足sincosaBbA,则2sincosBC的最大值是（ ）
A. 1 B. 3 C. 7 D. 27 11.在ABC中，222sinsinsinsinsinABCBC，则A的取值范围是( )
A．(0,]6 B．[,)6 C．(0,]3 D．[,)
3
12.ABC中，a=x，b=2，45B，若三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A. 2x B. 2x C. 223x D. 222x 13.在钝角三角形ABC中，若45B，2a，则边长的取值范围是( ) A．21， B．，，210 C．21， D．，，210 14.(原创)在cbaABC,,,中分别是角A、B、C的对边,若bcCa2cos2,1且,则ABC的周长的取值范围是（ ）
A．3,1 B．[2,4] C．3,2 D．[3,5] 15.在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC所对的边，cb，且满足sin1cossincosBBAA．若点O是ABC外一点， AOB(0),22OAOB，
平面四边形 OACB面积的最大值是( ) A．8534 B．4534 C．3 D．4532 16.在 ABC中，角A、B、C所对边长分别为a，b，c，若 2223abc，则cosC的最小值为（ ）
A． 12 B． 14 C．32 D． 23 17.已知ABC的三边cba,,，面积S满足22)(bacS,且2ab，则S的最大值为（ ）
A．817 B．617 C．517 D．417 18.在ABC中，CBA,, 是三角形的三内角，若sincoscossin1ABBABB，则该三角形是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.不存在 19.在△ABC中，若AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（ ） A．60C B．20C C． 26C D．26C 20.在ABC中，已知9ACAB，CABsincossin，6ABCS，P为线段AB上的一点，且xCP.||||CBCByCACA，则yx11的最小值为( )
A．67 B．127 C．33127 D．3367 21.设锐角ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c， 且 1a，AB2, 则b的取值范围为 ………（ ）. )(A3,2 ． )(B 3,1 ．)(C 2,2 ． )(D 2,0 ．
22.在ABC中，3,2,2ABBCA，如果不等式BAtBCAC恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A.1, B.1,12 C.1,1,2 D.,01, 23.在ABC中，A．B．C所对的边长分别是a．b．c.满足 bAcCacoscos2.则BAsinsin的最大值是（ ）
A．22 B．1 C ．2 D．122 24.已知O为ABC内一点，若对任意kR，恒有|,|||ACBCkOBOA则ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 25.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且2cos2cBab，若ABC
的面积为32c，则ab的最小值为 . 26.锐角⊿ABC中：其中一定成立的有 （填序号） ①CBACBAcoscoscossinsinsin ②1tantanBA
③23sinsinsin222CBA ④2sinsinBA 27.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，则△ABC面积的最大值是 ．
28.在ABC中，,sin22tanCBA若1AB，则12ACBC的最大值 ． l1l2ACNBM
29.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=l，a= 2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为________．
30.在直角ABC中，两条直角边分别为ab、，斜边和斜边上的高分别为ch、，则chab
的取值范围是 ．
31.已知ABC的三边,,abc成等差数列，且22263abc，则b的最大值是 . 32.在ABC中，已知sinsincossinsincossinsincosABCACBBCA，若
,,abc分别是角,,ABC所对的边，则2cab的最小值为__ _．
33.已知ABC中, 22coscabC,则cosC的最小值为___________ 34.设12,FF是椭圆)0(12222babyax的两个焦点，P为椭圆上任意一点，当
12FPF取最大值时的余弦值为149，则椭圆的离心率为 ．
35.设O是ABC外接圆的圆心,,,abc分别为角,,ABC对应的边,已知 2220bbc
,则BCAOuuuruuur的范围是_________________.
36.ABC中，角A，B，C所对的边为,,abc．若2bac，则sincostansincostanAACBBC的取值范
围是 . 37.己知a，b，c分别是ABC的三个内角,,ABC的对边，M是BC的中点且AM= 23 sinsin()sinaAbBacc，则BC+AB的最大值是______. 38.如图，A是两条平行直线12,ll之间的一个定点，且A到12,ll的距离分别为1,2AMAN，设ABC的另两个顶点B,C分别在12,ll上运动，且ABAC，
coscosABACABCACB，则以下结论正确的序号是____________.
①ABC是直角三角形；②12ABAC的最大值为2; ③minminmin()()()ABCAMBACNMBCNSSSS四边形; ④设AMB的周长为1y，ACN的周长为2y，则12min()10yy. 39.已知ABC中,角A,B,C所对的边分别为cba,,，外接圆半径是1，且满足条件bBACA)sin(sin)sin(sin222，则ABC的面积的最大值为 .
40.在Rt△ABC中，C=090，则BAsinsin的最大值是_______________。 41.ABC中，角CBA、、所对的边分别为cba、、，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）.
①总存在某内角，使21cos； ②若ABBAsinsin，则AB； ③存在某钝角ABC，有0tantantanCBA； ④若02ABcCAbBCa，则ABC的最小角小于6； ⑤若10ttba，则tBA. 42.在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为 ．
43.在ABC中，角CBA、、所对的边分别为cba、、，且cAbBa21coscos，当)tan(BA取最大值时，角C的值为 .
44.下列命题中：①函数2sin0,sinfxxxx的最小值是22；②在ABC中，若sin2sin2AB，则ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数,,abc满足abc，则111abcabc；④如果yfx是可导函数，则0'0fx是函数
yfx在0xx处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是_____________
1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B 7.A 8.D 9.A10.A 11.C 12.D 13.D 14.C 15.A 16.D 17.D 18.B 19.A 20.C 21.A 22.C 23.C 24.A 25. 12 26.①②③ 27.2 28. 21329. 36. 30. 32(1,]4 31.21. 41.①④⑤ 42. 57(,)33 43.2 44.②③④