(江苏专用版 )2018-2019学年高中数学 学业分层测评8 平面直角坐标系中的伸缩变换 苏教版选修4-4

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学业分层测评(八) 平面直角坐标系中的伸缩变换

(建议用时：45分钟)
[学业达标]

1．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换 x′＝2x，y′＝3y后的方程．
(1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1.

【解】 由伸缩变换 x′＝2x，y′＝3y得到 x＝12x′，y＝13y′.①
(1)将①代入2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x′＋y′＝0，
所以，经过伸缩变换 x′＝2xy′＝3y后，直线2x＋3y＝0变成直线x＋y＝0.

(2)将①代入x2＋y2＝1，得x′24＋y′29＝1.所以，经过伸缩变换 x′＝2xy′＝3y后，方程x2＋y2＝1变成
x
2
4

＋y29＝1.

2．伸缩变换的坐标表达式为 x′＝x，y′＝4y.曲线C在此变换下变为椭圆x′2＋y′216＝1.求曲线C的方程．
【解】 把 x′＝x，y′＝4y，代入x′2＋y′216＝1，
得x2＋y2＝1，
即曲线C的方程为x2＋y2＝1.

3．设F：(x－1)2＋(y－1)2＝1在 3x＝x′，y＝y′的伸缩变换下变为图形F′，求F′的方程．

【解】 由 3x＝x′，y＝y′，得 x＝13x′，y＝y′.所以(x－1)2＋(y－1)2＝1变换为(13x′－1)2＋(y′－1)
2
＝1，即x′－29＋(y′－1)2＝1，所以F′的方程是x－29＋(y－1)2＝1.
4．双曲线x216－y29＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x2－y2＝1吗？
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【解】 双曲线方程x216－y29＝1可以化为(x4)2－(y3)2＝1.令 x4＝x′，y3＝y′，则x′2－y′2＝1.所以双

曲线x216－y29＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x2－y2＝1，具体步骤是：按伸缩系数14向着y轴进行伸缩
变换，再将曲线按伸缩系数13向着x轴进行伸缩变换．
5．已知G是△ABC的重心，经过伸缩系数k向着x轴(或y轴)的伸缩变换后，得到G′和△A′B′C′.
试判断G′是否为△A′B′C′的重心．

【解】 设△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，则G(x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33)．经
过伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到△A′B′C′的三个顶点及点G′的坐标分别为A′(x1，ky1)、
B′(x2，ky2)，C′(x3，ky3)，G′(x1＋x2＋x33，ky1＋y2＋y33)．由于△A′B′C
′的重心坐标为(x1＋x2＋x33，

ky1＋ky2＋ky
3

3
)，所以G′仍然是△A′B′C′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y轴方向，G′同样也是

△A′B′C′的重心．
6．已知：△ABC经过伸缩变换 kx＝x′，ky＝y′(k≠0，且k≠1)后，得到△A′B′C′.求证：△A′B′C′
和△ABC相似，且面积比为k2.
【证明】 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则
A′(kx1，ky1)、B′(kx2，ky
2
)．

所以A′B′＝kx1－kx22＋ky1－ky22
＝|k|x1－x22＋y1－y22＝|k|AB.
同理可得A′C′＝|k|AC，B′C′＝|k|BC，
所以△A′B′C′∽△ABC，所以∠A＝∠A′，

S△A′B′C′＝12(|k|AB)·(|k|AC)sin A
′

＝k2[12(AB·AC)sin A]＝k2S△ABC.
7．设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ，使P1P→＝
λPP2，称λ为点P分有向线段P1P2所成比．设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，点P分有向线段P1P2所成比为λ，
经过伸缩变换后，点P1、P2和P分别变为P1′、P2′和P′.求证：P1′、P2′和P′三点依然共线，且P′
分有向线段P1′P2′所成比等于λ.
【导学号：98990023】

【证明】 设P(x0，y0)，由P1P→＝λPP2→，得(x0－x1，y0－y1)＝λ(x2－x0，y2－y0)，
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所以 x0＝x1＋λx21＋λ，y0＝y1＋λy21＋λ.

设给定伸缩变换为 k1x＝x′，k2y＝y′，则有
P1′(k1x1，k2y1)、P2′(k1x2，k2y
2
)、

P′(k1x1＋λx21＋λ，k
2

y1＋λy
2

1＋λ
)．

P1′P′→＝(k1x1＋λx21＋λ－k1x1，k2y1＋λy21＋λ－k2y
1
)＝λ(k1x2－x11＋λ，k2y2－y11＋λ)，

P′P2′→＝(k1x2－k1x1＋λx21＋λ，k2y2－k
2

y1＋λy21＋λ)＝(k1x2－x11＋λ，k2y2－y
1

1＋λ
)，

所以P1′P′→＝λP′P2′→.
所以P1′、P2′和P′三点依然共线，且P′分有向线段P1′P2′所成比等于λ.
[能力提升]

8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x216－y29＝1的图形：
(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；

(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的12倍．

【解】 (1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线x216－y29＝1的图形如下：

(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x216－y29＝1的图形如下：
(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x216－y29＝1的图形如下：