2016届高考数学(理)二轮必考考点课件：专题7+数学思想方法的培养-分类讨论思想
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2016版高考数学(新课标全国卷Ⅱ·理科)二轮复习配套课件专题七 选考部分第3讲
思想等．
1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|ax＋b|≤ c(c>0)⇔－ c≤ ax＋b≤ c； (2)|ax＋b|≥ c(c>0)⇔ ax＋ b≥ c 或 ax＋b≤－ c； (3)对形如 |x－ c|＋ |x－ b|≤ a，|x－c|＋ |x－ b|≥ a 的不等式， 可利用 绝对值不等式的几何意义求解．
(2)因为 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，即 f(x)的 最小值等于 4， 所以|a－1|>4，解此不等式得 a<－3 或 a>5. 故实数 a 的取值范围为(－∞，－3)∪ (5，＋∞)．
方法归纳 求解绝对值不等式的常见方法 一是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二是根据 绝对值的意义， 采用零点分区间去绝对值后转化为不等式组的方 法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中根据 不同的问题情境灵活选用这些方法 .
(3)分析法就是从要证的不等式入手， 寻找它成立的充分条件， 直 到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时， 便可断定原不等 式成立．分析法的证题思路是“执果索因”．要求分析法的每一 步均可逆．分析法与综合法相辅相成，一般说来，对于较复杂的 不等式直接用综合法往往不易入手，通常用分析法探索证题途 径，然后用综合法加以证明．不少问题往往需要分析法、综合法 结合使用解决．
1 x<－2， 所以① 或 － 2x－1＋（3－2x）≤6 1 3 3 －2≤ x≤2， x>2， ② 或③ 2x＋1＋（3－2x）≤6 2x＋1＋（2x－3）≤6， 1 1 3 解①得－ 1≤ x<－ ，解②得－ ≤ x≤ ， 2 2 2 3 解③得 <x≤ 2， 2 即不等式的解集为 {x|－ 1≤x≤2}．
1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|ax＋b|≤ c(c>0)⇔－ c≤ ax＋b≤ c； (2)|ax＋b|≥ c(c>0)⇔ ax＋ b≥ c 或 ax＋b≤－ c； (3)对形如 |x－ c|＋ |x－ b|≤ a，|x－c|＋ |x－ b|≥ a 的不等式， 可利用 绝对值不等式的几何意义求解．
(2)因为 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，即 f(x)的 最小值等于 4， 所以|a－1|>4，解此不等式得 a<－3 或 a>5. 故实数 a 的取值范围为(－∞，－3)∪ (5，＋∞)．
方法归纳 求解绝对值不等式的常见方法 一是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二是根据 绝对值的意义， 采用零点分区间去绝对值后转化为不等式组的方 法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中根据 不同的问题情境灵活选用这些方法 .
(3)分析法就是从要证的不等式入手， 寻找它成立的充分条件， 直 到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时， 便可断定原不等 式成立．分析法的证题思路是“执果索因”．要求分析法的每一 步均可逆．分析法与综合法相辅相成，一般说来，对于较复杂的 不等式直接用综合法往往不易入手，通常用分析法探索证题途 径，然后用综合法加以证明．不少问题往往需要分析法、综合法 结合使用解决．
1 x<－2， 所以① 或 － 2x－1＋（3－2x）≤6 1 3 3 －2≤ x≤2， x>2， ② 或③ 2x＋1＋（3－2x）≤6 2x＋1＋（2x－3）≤6， 1 1 3 解①得－ 1≤ x<－ ，解②得－ ≤ x≤ ， 2 2 2 3 解③得 <x≤ 2， 2 即不等式的解集为 {x|－ 1≤x≤2}．
【高中课件】高考数学二轮专题突破配套专题七 数学思想方法课件ppt.pptx
B.y＝2sin(2x＋23π) D.y＝2sin(2x－3π)
解析 依函数图象，知y的最大值为2，所以A＝2.
又T2＝51π2－(－1π2)＝2π，
所以 T＝π，又2ωπ＝π，所以 ω＝2，所以 y＝2sin(2x＋φ). 将(－1π2，2)代入可得 sin(－π6＋φ)＝1，
故 φ－6π＝2π＋2kπ，k∈Z， 又－π<φ<π，所以 φ＝23π. 所以函数的解析式为 y＝2sin(2x＋23π)，故选 B.
答案 2
思维升华
数形结合思想在解题中的应用 (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等 式. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的 范围. (3)构建解析几何模型求最值或范围. (4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.
跟踪演练2 (1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}， 且在(0，＋∞)上单调递增，若f(1)＝0，则满足x·f(x)<0的x 的取值范围是_(－__1_,_0_)∪__(_0_,_1_) _. 解析 作出符合条件的一个函数图象草图即可，
当
CP⊥l
|3×1＋4×1＋8|
时，|PC|＝
32＋42 ＝3，
∴此时|PA|min＝ |PC|2－|AC|2＝2 2. 所以(S 四边形 PACB)min ＝2(S△PAC)min＝2 2. 答案 2 2
(三)分类与整合思想
分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成 若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决 原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于 增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性 问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低 问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.
高考数学二轮复习第二部分思想方法剖析指导第1讲分类讨论思想课件理
9 综上可得 ,实数 a 的取值范围是 -∞, 2 . -∞, 2
9
关闭
解析
答案
热点考题诠释
高考方向解读
������ + 1,������ ≤ 0, 1 4.(2017 全国 3,理 15)设函数 f(x)= ������ 则满足 f(x)+f ������- >1 2 2 ,������ > 0, 关闭 的 x 的取值范围是 . ������ + 1,������ ≤ 0, 1 ∵f(x)= ������ f(x)+f ������- >1, 2 2 ,������ > 0, 1 即 f ������- >1-f(x),利用图象变换,在同 2
2.(2016 上海,理 14)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,O 为正八边形 A1A2„A8 的中心,A1(1,0).任取不同的两点 Ai,Aj,点 P 满足������������ + ������������������ + ������������������ =0,则点 P 落在第一象限的概率是 .
③当 4<a<5 时,[f(x)]max=max{|4-a|+a,|5-a|+a},
|4-������| + ������ ≥ |5-������| + ������, |4-������| + ������ < |5-������| + ������, 则 或 |4-������| + ������ = 5 |5-������| + ������ = 5, 9 9 9 解得 a=2或 a<2,此时 4<a≤2.
)
关闭
∴b-a<0,b-1<0,a-1<0. ∴(a-1)(b-1)>0,(a-1)(a-b)<0,(b-a)(b-1)>0. ∴排除 A,B,C.
9
关闭
解析
答案
热点考题诠释
高考方向解读
������ + 1,������ ≤ 0, 1 4.(2017 全国 3,理 15)设函数 f(x)= ������ 则满足 f(x)+f ������- >1 2 2 ,������ > 0, 关闭 的 x 的取值范围是 . ������ + 1,������ ≤ 0, 1 ∵f(x)= ������ f(x)+f ������- >1, 2 2 ,������ > 0, 1 即 f ������- >1-f(x),利用图象变换,在同 2
2.(2016 上海,理 14)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,O 为正八边形 A1A2„A8 的中心,A1(1,0).任取不同的两点 Ai,Aj,点 P 满足������������ + ������������������ + ������������������ =0,则点 P 落在第一象限的概率是 .
③当 4<a<5 时,[f(x)]max=max{|4-a|+a,|5-a|+a},
|4-������| + ������ ≥ |5-������| + ������, |4-������| + ������ < |5-������| + ������, 则 或 |4-������| + ������ = 5 |5-������| + ������ = 5, 9 9 9 解得 a=2或 a<2,此时 4<a≤2.
)
关闭
∴b-a<0,b-1<0,a-1<0. ∴(a-1)(b-1)>0,(a-1)(a-b)<0,(b-a)(b-1)>0. ∴排除 A,B,C.
高考数学(理科)二轮复习课件：1.3第3讲分类讨论思想、转化与化归思想2
】、转化与化归思想转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等.1•转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方法.2•转化与化归的原则⑴熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则;(5)等价性原则.3•常见的转化与化归的方法⑴直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6) 类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法.应用二…竇殊与二般的转低…456例^16'25'36^^中e 为自然常数）的大小关系是（） e 4 e 5 e 6 口 e 6 e 5 e 4A __ <f ___ <f ___ R ___________________ <f ___ _____*162536 *36 2516c 5e4o 6c 4关闭4 4 5丄丁 e 分 e 分 e D 由于E=承逻 幷4)二花裁5)=亦八「_36・中j y -x4 —兀4 ・令f(x)>0得x<0或x>2,即函数几0在(2,+Q 内单调递增，因此有关闭e 5 丹、e 6 || =答,故可构造函数/U ）吕，于是e x -x 2-e x • 2xe x （z 2-2x ）思维升华1.当问题难以入手时，应先对特殊情形进行观察、分析, 发现问题中特殊的数量或关系，再推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.2.数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性,解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题.应用应用二•••••命题的•等价转化例2(2015全国1，理12改编)设函数心)二7(2rl) ■必+/其中XI，若存在唯一的整数旳使得心o)vO,求“的取值范围.解法1 设g(x)=e v(2x-1 ),A(x)=a(x-1)9则不等式兀)v0 即为1g(x)<h(x). 0 为g z(x)=e v(2x-1)+2e x=e x(2%+1),当x<--时,g(x)vO,函数g(x)单调递减;当Q弓时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为&(-*)•而函数h(x)=a(x-l)表示经过点P(l,0),斜率为a的直线.应用而 kpc-如图，分别作出函数g(x)=e A(2x-l)与h(x)=a(x-l)的大致图象. 显然，当aWO 时，满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x )=e x(2x-l)的图象与y 轴的交点为A(O,-1),与兀轴的交点为 堆，0)•取点 c(-l,-|).由图可知，不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时，须满足kpcWci<kpA ・0-(-1) 1-(-1)应用方法归纳解法2 设g(x)=e r(2x-1 ),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x)・因为g f(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),1当兀<三时g(x)vO,函数g(x)单调递减；当Q-扌时,gG)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为心)=2貞当x=o时,^(0)=-1 ,g( 1)=3e>0,/z(x)=a(x-1)表示经过点P(l,0)斜率为a的直线，作出g(x)和加劝的图象(图象略)，故h(0)=-a>g(0)=-l, 且g(-l)=-3e_1 ^h(-l)=-a-a,解得茲<a<\.解法3 由f(x)=e x(2x-1 )-ax+a,中a< 1 ,#/(0)= l-t/<0,#满足题意的整数应用xo=O.又Al)=e>0,<据唯一性，得介1)2 0也要成立，即&1(-2-1)+“+“三0 解得◎毙所以』9V1.这是必要条件.2e 2e当—<U<1 时f(x)=e\2x+l)-a,当兀>0 时/(x)>0,当xv・l 时/(%)<0, 所以函数沧)在(0,+oo)上单调递增，在(_oo,_l)上单调递减，所以7" <^<1也是充分条件.2e思维升华将已知条件进行转换，有几种转换方法就有可能得出几种解题方法.应用突破训练2（1）（2018山西吕梁一模，理5）函数心）在（0,+呦单调递增, 且怒+2）关于对称，若£2）二1，则使：!的x的取值范围是()A・[・2,2] B.(-oo,-2]U[2,+oo)C.（-oo,0]U[4,+oo）D.[0,4]（2）若关于x的方程9屮4+"）孑+4=0有解,则实数"的取值范围是___________ ・答案:⑴D (2)(-a),-8]应用方法归纳皿山应用二PJJ Z用四解析:(1 2)关于* -2对称o/⑴为偶函数，.貳x-2) W1 ofg2)WA-2)?/(Lv2l)WAI-2l).敏劝在(0，+8)单调递增，・•幷r2l)WAI-2l)u>W・2lW2,即0WxW4・选D.(2)(法一)设=3”,则原命题等价于关于/的一元二次方程Q+(4+a)f+4=0 有正解，仏=(4 + a)2-4 x 1 x4 > 0, (a > 0 或a S ・8,即］-(4 + a) > 0, 化简得］a < -4,(4 > 0, (4 > 0.所以即实数u的取值范围是(-00,-8］.(法二)设匸3»得”+(4+么"+4二0・分离变量a,得a+4=-(t +半).因为f>0,所以-(t +半)<-4, 所以6/^-8,即实数a应用三的取值范围是(-00禺.应用三应用三•••••常量与变量的转化关闭由题意，知g（x）—3x2-6/x+3tz-5,令0（“）=（3*）。
【高优指导】2016高考数学二轮复习 专题十 数学思想方法 第二讲 分类讨论思想、转化与化归思想课件 理
������- ������2 -4 ������+ ������2-4 2
,
2
综上,当-2≤a≤2 时,F(x)的单调递增区间为(1,+∞); 当 a>2 时,F(x)的单调递增区间为 0, F(x)的单调递减区间为 ,
������- ������2 -4 2
和
������+ ������2-4 2
∵x=1 是 f(x)的极值点, ∴f'(1)=1-e1+a=0. ∴a=-1,此时 f'(x)= -ex-1,3 分 当 x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,1)内单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)内单调递减.5 分
1 ������
考点1
ln x- -x+ -������-
上单调递减.
考点1
考点2
转化与化归的思想
例 2(本小题满分 12 分)(2014 云南昆明第一次调研,21)已知函 数 f(x)=ln x-ex+a. (1)若 x=1 是 f(x)的极值点,讨论 f(x)的单调性; (2)当 a≥-2 时,证明:f(x)<0. 1 (1)解:f'(x)= -ex+a(x>0), ������
考点1
考点2
②当 a>2 时,F'(x)=0 的两根为 x1= 故 F(x)的单调递增区间为 0, F(x)的单调递减区间为
2
������- ������2 -4 2
,x2=
������+ ������2-4 2 2
,
������- ������2 -4
2016高考数学理二轮复习课件：专题7 第5节 推理与证明
2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基
1. 合 情 推 理
纳 推 理 的 应 用 ；要 作 为 证 明 和 推 理 数 学
与演绎推理.
本模式，并能运用它们进行一些简单推理. 与其它知识交 命题的方法，常与函数、 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
2. 直 接 证 明
汇考查直接证 数列、不等式、解析几
的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得 以证明.
考纲考向分析 核心要点突破 第二十页，编辑于星期六：点 三十九分。
【例3】 已知△ABC的三边长都是有理数.
(1)求证：cos A是有理数；
(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数.
[解题指导](1)利用余弦定理求得cos A，再根据三边长为有理数可得结
第五节 推理与证明
考纲考向分析 核心要点突破 第一页，编辑于星期六：点 三十九分。
考点梳理
考纲速览
命题解密
热点预测
预测高考主要考查
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等
对合情推理和演绎推理
进行简单的推理，了解合情推理在数学发展
主要考查 的理解及应用；直接证
中的作用.
类比推理和归 明和间接证明的考查主
考纲考向分析 核心要点突破 第十二页，编辑于星期六：点 三十九分。
解析 法一 设数列{an}的公差为 d1， 则 d1＝ann－－mam＝nb－－ma . 所以 am＋n＝am＋nd1＝a＋n·nb－－ma ＝bnn－ －amm. 类比推导方法可知：设数列{bn}的公比为 q，
n－m 由 bn＝bmqn－m 可知 d＝cqn－m，所以 q＝
am＋n＝nnb－ －mma，所以
高考数学(理)二轮复习专题突破课件：数学思想方法构建2 分类讨论思想在函数与导数中的应用
(1)解 f′(x)＝ex－a，令 f′(x)＝0，得 x＝ln a， 当 x＜ln a 时，f′(x)＜0；当 x＞ln a 时，f′(x)＞0. ∴f(x)在(－∞，ln a)上是减函数，在(ln a，＋∞)上是增函数， 故当 x＝ln a 时，f(x)取最小值 f(ln a)＝a－aln a. 于是对一切 x∈R，f(x)≥1 恒成立， 当且仅当 a－aln a≥1.① 令 g(t)＝t－tln t，则 g′(t)＝－ln t. 当 0＜t＜1 时，g′(t)＞0，g(t)单调递增； 当 t＞1 时，g′(t)＜0，g(t)单调递减．
思想方法2 函数、方程与不等式之间的转化与化归思想 函数、方程、不等式就像“同胞三兄弟”，解决方程、不等式 的问题离不开函数这个灵魂核心；解决函数问题也离不开方程 (不等式)这个工具．因此借助函数、方程(不等式)进行转化与化 归，达到化难为易，化繁为简的目的，开辟数学解题的新途 径．
【典例2】 (2012·湖南高考)已知函数f(x)＝ex－ax，其中a＞0. (1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合； (2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜ x2)，记直线AB的斜率为k.证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0) ＝k成立． [思路点拨] (1)对x∈R，f(x)≥1恒成立，转化为求f(x)min，使 f(x)min≥1，构建关于“a”的不等式a－aln a≥1，进一步构造 函数，利用函数方程思想获解．(2)利用零点存在定理，转化 为 判 定 函 数 φ(x) ＝ f′(x) － k 在 区 间 (x1 ， x2) 端 点 函 数 值 的 符 号．
故当ห้องสมุดไป่ตู้t＝1 时，g(t)取最大值 g(1)＝1. 因此，当且仅当 a＝1 时，①式成立． 综上所述，a 的取值集合为{1}．
高考数学(理)二轮专题复习专题突破课件数学思想方法构建2 分类讨论思想在函数与导数中的应用
故当 t＝1 时，g(t)取最大值 g(1)＝1. 因此，当且仅当 a＝1 时，①式成立． 综上所述，a 的取值集合为{1}．
当 t＜0 时，F′(t)＜0，F(t)单调递减； 当 t＞0 时，F′(t)＞0，F(t)单调递增． 故当 t≠0 时，F(t)＞F(0)＝0，即 et－t－1＞0.
因为函数 y＝φ(x)在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线， 所以存在 x0∈(x1，x2)，使 φ(x0)＝0，即 f′(x0)＝k 成立．
思想方法2 函数、方程与不等式之间的转化与化归思想
函数、方程、不等式就像 “同胞三兄弟 ” ，解决方程、不等式 的问题离不开函数这个灵魂核心；解决函数问题也离不开方程 (不等式)这个工具．因此借助函数、方程(不等式)进行转化与化 归，达到化难为易，化繁为简的目的，开辟数学解题的新途 径．
【典例2】 (2012·湖南高考)已知函数f(x)＝ex－ax，其中a＞0. (1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合； (2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜
x2) ，记直线AB的斜率为k.证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)
＝k成立． [思路点拨] (1)对x∈R，f(x)≥1恒成立，转化为求f(x)min，使
f(x)min≥1，构建关于“a”的不等式a－aln a≥1，进一步构造 函数，利用函数方程思想获解．(2)利用零点存在定理，转化
为判定函数 φ(x) ＝ f′(x) － k 在区间 (x1 ， x2) 端点函数值的符
【典例1】 已知函数f(x)＝x3＋x2－ax(a∈R)
(1) 当 a ＝ 0时，求与直线 x － y － 10 ＝ 0 平行，且与曲线 y ＝f(x) 相切的直线方程；
2016高考数学二轮复习-专题9-思想方法专题-第三讲-分类讨论思想课件-文
第16页，共29页。
高考热 点突破
所以 g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有 1 个零点， 由于 g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以 g(x)分别在区间(－ ∞，0)和[1，＋∞)上恰有 1 个零点．
综上可知，当过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切时， t 的取值范围是(－3，－1)．
＋(a4＋a5＋
a6)＋…＋(a3k
－2＋a3k
－1＋a3k)＝－12＋2 22＋32＋
(－
42＋52 2
＋62)＋…＋
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高考热 点突破
[－（3k－2）2＋2 （3k－1）2＋(3k)2] ＝123＋321＋…＋18k2－5＝k（9k2＋4）， S3k－1＝S3k－a3k＝k（4－2 9k）， S3k－2＝S3k－1－a3k－1
第24页，共29页。
高考热 点突破
这时|QR|＝
8t＋2t 2＋2＋t822；
当 4＜t≤8 时，Q，R 两点分别在 BC，AD 上，
对方程①分别令 y＝0 和 y＝4，
可得 Q2t－8t，0，R8t＋2t，4，
这时|QR|＝4
t2＋16 t.
综上所述：当 0≤t≤8－4 3时，|QR|＝2 16＋t2；
第11页，共29页。
高考热 点突破
►跟踪训练 2．若函数 f(x)＝ax－x－a(a>0 且 a≠1)有两个零点，则实数 a 的 取值范围是________． 解析：设函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)和函数 y＝x＋a，则函数 f(x) ＝ax－x－a(a>0 且 a≠1)有两个零点，就是函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1) 与函数 y＝x＋a 有两个交点．由图象可知当 0＜a＜1 时两函数只有一 个交点，不符合；当 a＞1 时，因为函数 y＝ax(a＞1)的图象过点(0， 1)，而直线 y＝x＋a 所过的点一定在点(0，1)的上方，所以一定有两 个交点．所以实数 a 的取值范围是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)
高考热 点突破
所以 g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有 1 个零点， 由于 g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以 g(x)分别在区间(－ ∞，0)和[1，＋∞)上恰有 1 个零点．
综上可知，当过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切时， t 的取值范围是(－3，－1)．
＋(a4＋a5＋
a6)＋…＋(a3k
－2＋a3k
－1＋a3k)＝－12＋2 22＋32＋
(－
42＋52 2
＋62)＋…＋
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高考热 点突破
[－（3k－2）2＋2 （3k－1）2＋(3k)2] ＝123＋321＋…＋18k2－5＝k（9k2＋4）， S3k－1＝S3k－a3k＝k（4－2 9k）， S3k－2＝S3k－1－a3k－1
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这时|QR|＝
8t＋2t 2＋2＋t822；
当 4＜t≤8 时，Q，R 两点分别在 BC，AD 上，
对方程①分别令 y＝0 和 y＝4，
可得 Q2t－8t，0，R8t＋2t，4，
这时|QR|＝4
t2＋16 t.
综上所述：当 0≤t≤8－4 3时，|QR|＝2 16＋t2；
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►跟踪训练 2．若函数 f(x)＝ax－x－a(a>0 且 a≠1)有两个零点，则实数 a 的 取值范围是________． 解析：设函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)和函数 y＝x＋a，则函数 f(x) ＝ax－x－a(a>0 且 a≠1)有两个零点，就是函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1) 与函数 y＝x＋a 有两个交点．由图象可知当 0＜a＜1 时两函数只有一 个交点，不符合；当 a＞1 时，因为函数 y＝ax(a＞1)的图象过点(0， 1)，而直线 y＝x＋a 所过的点一定在点(0，1)的上方，所以一定有两 个交点．所以实数 a 的取值范围是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)
最新高考数学(理)二轮专题复习课件：第一部分 方法、思想解读 第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想2
������
������
������
等号成立).因为关于 x 的不等式 x+4������-1-a2+2a>0 对 x∈(0,+∞)恒成立,
所以 a2-2a+1<4 恒成立,解得-1<a<3,所以实数 a 的取值范围为(-1,3).
思维升华函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,
解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、
思维升华将已知条件进行转换,有几种转换方法就有可能得出几 种解题方法.
应用一
应用二
应用三
核心知识 应用四
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-10-
突破训练2若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,则实数a的取值
范围是(-∞,-8] .
解析:(法一)设t=3x,则原命题等价于关于t的一元二次方程
t2+(4+a)t+4=0有正解, ������ = (4 + ������)2-4 × 1 × 4 ≥ 0,
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二、转化与化归思想
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-2-
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决, 离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、 复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实 际问题向数学问题的转化等.
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角度六 由实际意义引起的分类讨论
[ 例6]
(2015· 高考天津卷)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允
许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种 子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员 中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自 同一个协会”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学 期望．
(2)当4≤s≤5时，(确立分类标准2) 此时可行域是△OAC′，如图所示． zmax＝ 8.(分类处理问题2) 综上，z＝3x＋2y最大值的变化范围是[7,8]．故选 D.
D(汇总问题)
角度四 由图形的不定性引起的分类讨论
由于x＋y＝s的直线位置可以平移，形成了不同的图形三角形或四边 形，故讨论直线的位置.
1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较 复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题 的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类 标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问 题 )分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
角度二 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论
a11－qn Sn＝ >0， (分类处理问题2) 1－q
1－q>0， 1－q<0， 1－qn 即 >0(n＝1,2,3， „)，则有 ① 或 ② n n 1－q 1－q >0 1－q <0.
由①，得－1<q<1，由②，得q>1. 故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(汇总问题)
分类讨论处理条件f(a)＝－3，解得a，然后代入函数解析式计算f(6－a)． 由于f(a)＝－3， ①若a≤1，则2a－ 1－2＝－3，整理得2a－ 1＝－1.(确定分类标准1) 由于2x＞0，所以2a－1＝－1无解；(分类处理问题1) ②若a＞1，则－log2(a＋1)＝－3，(确定分类标准2) 解得a＋1＝8，a＝7，(分类处理问题2) 7 所以f(6－a)＝f(－1)＝2－ 1－ 1－2＝－ . 4 7 综上所述，f(6－a)＝－ .故选 A.(汇总问题) 4 A
A．(－∞，4) C．(1,4)
利用零点分区间法解绝对值不等式． ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－ (5－ x)＜2，∴－4＜2，不等式恒 成立，∴x≤1. ②当1＜x＜5时，原不等式可化为x－1－ (5－ x)＜2， ∴ x＜4，∴1＜x＜4. ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－ (x－5)＜2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－ ∞，4)，故选A.
3．分类讨论的原则 (1)不重不漏． (2)标准要统一，层次要分明． (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
4．解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类． (3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结，将各类情况总结归纳．
角度五 由参数变化引起的分类讨论
1 2 1 81 1 2 又∵0≤m<2，n≥0，∴mn≤9m－ m ＝－ (m－9) ＋ <－ (2－9)2＋ 2 2 2 2 81 ＝16. 2 综上所述，mn的最大值为18，故选B.
B
角度五 由参数变化引起的分类讨论
因参数m的不同取值，函数fx及mn的最值有不同的形式和结果，故根 据抛物线的形式分类讨论.
角度一 由数学概念引起的分类讨论
本题是根据分段函数的概念，以分段函数的分段条件为标准讨论.
角度二 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论
[ 例2]
设等比数列{an}公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3„)，则q的取值
范围是__________．
(1)因为{an}是等比数列，Sn>0， 可得a1＝S1>0，q≠0.(确定需分类的目标与对象) 当q＝1时，(确立分类标准1) Sn＝na1>0； (分类处理问题1) 当q≠1时，(确立分类标准2)
角度五 由参数变化引起的分类讨论
[ 例5]
(2015· 高考四川卷)如果函数f(x)＝
1 2
(m－2)x2＋(n－8)x＋ )
1 1(m≥0，n≥0)在区间 ，2上单调递减，那么mn的最大值为( 2
A．16 C．25
B．18 D.
81 2 首先根据函数的单调性建立关于m，n的不等式，然后运用基本不等式
2．分类讨论的常见类型
(1)由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、 直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公
式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的 前n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次 方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等 式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
角度六 由实际意义引起的分类讨论
2 2 2 2 C2 C3＋C3 C3 6 (1)由已知，有 P(A)＝ ＝ . C4 35 8
6 所以，事件 A 发生的概率为 . 35 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.
k 4－ k C5 C3 P(X＝ k)＝ (k＝1,2,3,4)． C4 8
) B．[7,15] D．[7,8]
x＝4－s， ⇒ 取点A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)， y ＝ 2 s － 4 ，
C′(0,4)．(确定需分类目标与对象的基本特征)
角度四 由图形的不定性引起的分类讨论
(1)当3≤s<4时，(确立分类标准1) 可行域是四边形OABC，如图所示． 此时，7≤z≤8.(分类处理问题1)
所以，随机变量 X 的分布列为 1 2 3 4 1 3 3 1 P 14 7 7 14 1 3 3 1 5 随机变量 X 的数学期望 E(X)＝1× ＋ 2× ＋3× ＋4× ＝ . 14 7 7 14 2 X
角度六 由实际意义引起的分类讨论
根据随机变量x的实际意义：种子选手的人数进行分类分别计算概率.
求最值．
1 ①当m＝2时，∵f(x)在 ，2上单调递减， 2
∴0≤n<8，mn＝2n<16.
角度五 由参数变化引起的分类讨论
②当m≠2时，函数f(x)＝ n－8 方程为x＝－ . m－2
1 (m－2)x2＋ (n－8)x＋1(m≥0，n≥0)的对称轴 2
n－8 1 a．当m>2时，抛物线开口向上，∵f(x)在 ，2 上单调递减，∴－ 2 m－2 ≥2，即2m＋n≤12.又2m＋n≥2 2mn ，∴2 2mn ≤12，∴mn≤18.当 2m＝n＝6，即m＝3，n＝6时取等号，∴mn的最大值为18. n－8 1 b．当m<2时，抛物线开口向下，∵f(x)在 ，2 上单调递减，∴－ 2 m－2 1 1 ≤ ，即m＋2n≤18，即n≤9－ m. 2 2
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分 类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
(5)由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的 方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不 同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
(6)由实际．
专题复习·数学（理）
专题复习·数学
专题七
概率与统计
数学思想方法的培养——分类讨论思想
角度一 由数学概念引起的分类讨论
角 度
角度二 由性质、定理、公式的限制引起的 分类讨论 角度三 由数学运算要求引起的分类讨论 角度四 由图形的不定性引起的分类讨论 角度五 由参数变化引起的分类讨论
角度六 由实际意义引起的分类讨论
角度三 由数学运算要求引起的分类讨论
根据绝对值的运算，要分类讨论绝对值号里面的式子的正负.
角度四 由图形的不定性引起的分类讨论
x≥0， y≥0， [例 4] 在约束条件 y＋x≤s， y＋2x≤4
的变化范围是( A．[6,15] C．[6,8]
x＋y＝s， 由 y＋2x＝4
下，当 3≤s≤5 时，z＝3x＋2y 的最大值
角度一 由数学概念引起的分类讨论
[ 例1]
(2015· 高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ )
2x－1－2， x≤1， 且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( － log x ＋ 1 ， x >1 ， 2
7 A．－ 4 3 C．－ 4
5 B．－ 4 1 D．－ 4
角度一 由数学概念引起的分类讨论
角度二 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论
对于等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝ a11－qn . 1－q
角度三 由数学运算要求引起的分类讨论
[ 例3]
(2015· 高考山东卷)不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( A ) B．(－∞，1) D．(1,5)