对高中数学新教材第二章《函数》的认识解读

对高中数学新教材第二章《函数》的认识一、 函数函数是中学数学最重要的基本概念之一，它不仅是学习中学数学后继内容的基础， 而且也是进一步学习高等数学的基础，同时，函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方 法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。

因此，对本章内容力求学习得更 好一些。

函数这一章的内容可分为三个单元。

第一单元：函数， 主要介绍函数、函数的单调性、反函数及互为反函数的函数图 象间的关系。

这部分是学习本章内容的基础。

第二单元：指数与指数函数 第三单元：对数与对数函数本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，是近年高考的热点。

2.1 函数 关于函数的定义设在某个变化过程中有两个变量 x 和y ，如果对于x 在某一范围内的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量•函数的三大要素是：定义•域、值域、对应法则。

判断两个函数是否为同一函数，必须三个要素完全一致。

2.2函数的表示方法： ① 解析法：两个变量用一个等式表示，这个等式叫做解析式； ② 列表法； ③图象法。

分段函数是一个函数，只不过在不同子区间对应法则不同而矣。

甚至函数图象处 处不连续，也可看作分段函数。

如何确定常见函数的定义域？(1 )当f(x)是整式时，定义域是实数集R ；(2 )当f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的x 取值的集合(R 的子集)；(3 )当f(x)是二次根式(偶次根式)时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值的集合(R 的子集)；(4 )当f(x)是由几个数学式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x 取值的集合(R 的子集)；(5 )当f(x)表示实际问题中的函数关系时， 应考虑在这实际问题中 x 取值的意义。

例 1. 已知 f(x+1)= x 2 6x 2,求 f(0)，f(x).D(x)= ；1(x 为有理数)，、、0(x 为无理数)解：当x= — 1 时，x+仁0 , f(0)= f( —1+1)= ( —1)2+6( —1)+2=—3.法一：变量代换令X+仁t ，则x=t — 1 ,2f(t)=( t — 1) +6(t — 1)+22=t +4 t — 32f(x) = x +4 x — 3. f(0) = — 3.法二：配凑法2f(x+1) =( x +2x+1)+(4 x+4)+2 — 5=(x+1)2+4(x+1) — 32f(x) = x +4 x — 3.例2己知函数f(x)的定义域为〔0, 1〕，求函数f(2x)和f(x+1)的定义域.11解：0? 2x? 1= 0? x? ,••• f(2x)的定义域为〔0,〕.220? x+1 ? 1= — 1? x? 0, •f(x+1)的定义域•为〔—1, 0〕.例3求函数y = x - . 1 - 2x 的值域•2.3 函数的单调性什么叫做函数的单调性？设给定区间B 上的函数f(x)，对任x 1, X 2€ B (x 1< x 2),如果都有f(xj < f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是增函数， 如果都有f(Xj > f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是减函数. 可以表述为：(X 1 — X 2)〔 f(x 1) — f(X 2)〕> 0为增函数，(X 1 — X 2)〔 f(x 1)— f(X 2)〕< 0 为减函数，如果函数f(x)在某区间B 上是增函数或减函数，那么称f(x)在区间B 上具有俨格的)单调性，并把区间 B 叫做f(x)的单调区间.函数的单调性是函数的整体性之一1 2 1 X t+(t? 0).22y 二-1 1 —t E(t 1)21 (t? 0)22 2 故值域为〔 ——1〕.2求值域的方法：观察、配方、换兀、"法等。

解：换元设 t= 1 -2t ，则2 2t =1 — 2x. 2x= — t +1.①函数的单调性(不说函数的增减性)②在某某区间上是增(减)函数(不说“在某某区间内是增(减)函数”).实际上，函数的单调性不涉及区间端点问题，“上”包含了“内”，“内”却不包含“上”用“上”能较好地反映函数的整体性质.③在定义域内是增(减)函数(不说“在定义域上是增(减)函数)这仅仅是为了符合语言使用习惯•④在定义域内或某某区间上是增(减)函数(不说“在定义域内或某某区间上单调递增(减)”)，实际上“单调递增(减)”可以是不严格的增(减)，而且也不仅仅对于区间来定义，它是更广泛的概念，中学不予介绍•类似地教科书中只引入“单调区间”，而不使用“单调递增(减)区间”这些词语•在教学中更不能省略成“单增”、“单减” •⑤增函数、减函数(不使用单调函数)，实际上“单调函数”通常是指整个定义域内只具有一种单调性的函数，不能在有的区间上增，有的区间上减1研究函数的单调性，必须在定义域内的给定区间上，例如f(x)= 的定义域是(一xm, 0) U (0, +m)，它在(一8, 0)上是减函数，在(0, + m)上也是减函数，但不能说在定义域内是减函数•怎样利用己知函数的单调性来判定较复杂函数的单调性？若函数f(x)、g(x)在区间上B具有单调性，那么在区间B上：(1) f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性；⑵ f(x)与c f(x)当c> 0时，具有相同的单调性；当C V 0时，具有相反的单调性；1⑶当f(x)恒不为零时，f(x)与具有相反的单调性；f (x)(4) 当f(x)恒为非负时，f(x)与..f (x)具有相同的单调性；(5) 当f(x)、g(x)都是增(减)函数时，贝y f(x)+ g(x)也是增(减)函数；(6) 当f(x)、g(x)都是增(减)函数时，贝y f(x) x g(x)当f(x)、g(x)两者都恒大于0时，也是增(减)函数，当两者都恒小于0时是减(增)函数•至于按定义来证明函数的单调性，通常须五步：取值--- 求差--- 变形--- 定号--- 判断(分解因式、配方等)2.4 反函数新教材关于反函数的定义是按照函数的定义来重新定义的。

见教材P61页。

由定义可知：反函数X=f - 1(y)的定义域、值域分别为函数y=f(x)的值域、定义域.这样定义的反函数有一定的局限性，事实上函数y=f(x)和x=f - 1(y)表示的是同一种关系，两者的图象是一致的，这样，在同一个坐标系中，如果不记住是从x到y还是从y到x，就分不清函数的图象和它的反函数的图象了.为此，我们按照用x表示自变量，用y表示函数的习惯，把函数式x=f - 1(y)中的字母x, y对调一下，从而把函数y=f(x)的反函数x=f - 1(y)改写成y=f —^x).这样函数的解析式和图象都变了，叫做矫形反函数.在教科书中，函数的反函数都是指它的矫形反函数一般地讲，如果一个函数有反函数，那么原函数y=f(x)与它的反函数是互为反函求反函数时，应先确定原函数的值域，这样，反函数的定义域便确定了 求反函数的步骡是“一解、二换” 一解：即首先由给出的原函数解析式 y=f(x)，反解出用y 表示x 的式子x=f - 1(y )；二换：即是将x=f — 1(y )中的x , y 互换，得到y=f — 1(x).应该注意: 1(1)在y=f(x)与x=f — (y)中，字母x , y 但所表示的量相同，但地位不同，在y=f(x)中，x 是自变量，y 是x 的函数；在x=f — 1(y)中，y 是自变量， x 是y的函数.(2)在y=f(x)与y=f —^x)中，字母x 都是自变量，y 是x 的函数.即x , y 地 位相同，但这时x 与y 表示的量的意义却互换了.1(3) 在同一直角坐标系中， y=f(x)与x=f — (y)是同一图象，而 y=f(x)与y=f —1 (x)的图象关于直线y=x 对称. 注意利用函数图象来研究函数的性质函数图象可直观地，生动地反映函数的某些性质，因此研究函数性质应密切结合函数图象的特征，对应研究函数的性质 .所以要注意观察函数图象的变化趋势，总结函数的相关性质，同时在研究函数性质时，头脑中要有相应函数图 象来印证.因此，记住某些函数图象的草图，养成分析问题的习惯，形成数形结 合研究问题的意识. 例 1.若函数 y=f(x)的反函数是 y=g(x) , f(a)=b , ab ^ 0，贝U g(b)=().1 1(A) a (B) a — (C) b (D) b —解：由 f(a)=b ，得 g(b)=g 〔f(a)〕， T f(x)与g(x)互为反函数， ••• g 〔 f(a)〕= a. g(b)=a.故选(A). 例 2 己知 f (x )=M_2，求 f — 1(△).2 x 2 x x 22x 2 x 1解：由 f()= ，得 f(x)=.2 x2x x厂 2x —1(x^0), j2x _1(x Y 0)解：由 y =x 2 -1(x -0))解得 x 2=y+1 ,即 y=x 1 1 (y ")•解得 xxy -1x12 /c 、()-(x = 2).2 x “ 1x -2 2故 f — 1 (x)= — (x =1).即 f —x T例3求函数的反函数.x? 0,「. x= y 1(y 一 -1),1又由 y=2x — 1(x v 0 解得 x= (y 1)( y -1). 2 Jx +1(x X -1) 的反函数为f — 1 (x)=」1,;(x+1)(x Y —1) 2例4己知(1, 2)既在y 二..ax • b 的图象上，又在其反函数的图象上，求 a , b 的值•解：••• 点(1, 2)既在y = . ax • b 的图象上，、a b =2,即 a+b=4, ① 又••• 点(1, 2)在y = ax • b 的反函数的图象上,••• 点(2, 1)在y = ax ■ b 的图象上•2a b ^1，即 2a+b=1.②a = —3, 由①、②联立，解得 丿 '2 = 7.故a ,b 的值分别为一3、7.二、指数与指数函数2.5指数随着指数范围扩充，幕的运算性质可以合并和简化正整数指数幕的运算性质: m n m+ n* (1) a • a =a (m 、n € N );m 、n mn*、(2) (a ) =a (m 、n € N ); n n n*(3) (ab) =a b (n € N );(4) a m * a n =a m-- n (a * 0 m 、n € N , m > 0);na n a r * (5)(「)=；V (b 丰 0，且 n € N )； b b当指数的范围扩大到整数集 Z 之后，幕的运算性质可以合并: (1) ' a m • a n =a m+ n (m 、n € Z); (2) ' (a m )n =a mn (m 、n € Z);厂 2X 2-1,(x AO) y = ■«1(3) ' (ab)n =a n b n (n € Z).注意：零指数、负整指数幕底数不能等于0.当指数的范围扩大到有理数集 Q 以至实数集R ,仉然符合上述三条运算性质: ' r s r+ s(1)a • a =a (a > 0, r 、s € Q)；(2) (a r )s =a rs (a >0, r 、s € Q)； 'r r r(3) (ab) =ab (a >0, b >0, r € Q). 怎样证明？s=—,(其中 m 、n 互质，p 、q 互质，且 n > 1, q > 1)q化简：(12 16)(1 2 8)(1 2 4)(1 2 2).设 r=m ,n(1) a r •a s =a 「a°=：a mq a p ,(a r• a s )n ^(n a m -a p )nq =(〔a m )nq <q a p )nq=a mq •捫=a mq+nqm Pmq np 又 a rs= a qnq+ =a a=nq a mq np .②由①、②得j _s r+ sa • a=am p⑵(a r )s= (a n/ =(q a mF J 「a m )pmp_ q n mp nq f mp nq rs=<-3 a a am(ab)r =(ab)nn(ab)mn m m n m n —mr.r.a b a b - ab12 10、J 27( 1 )4-('2)J (2 10)3(、..3)0.9 10 527解:55 3 原式=—• 100…—■—3 121.3=101+5 • 4 4= 103. 1 1 3= 101 5( ) 3 12 4 计算:11-2解:1-2 16(1 2 16)(1 2 8)(1 2 4)(1 2 2)1 一 _ _ _ 厂(1 _2飞)(12飞)(1 2^)(1 2^) 1-2 16(1 _2一4)(1 2一4)(1 2三) 解: 1-2 16 11 (1 -22)(1 2 2)1-2 16X — 1化简：x 12 1x 3 x 31 -2 162 一2161x' -1 原式= (x 3 -1) (x 3 -x 31) -x 3(x 31)1=-启计算 3 2 - . 5 *6 9 • 4.5 解：原式=35 *6 4 2 *^5 5=汇2 -心 .921例 5 计算(a 5b 5) 3 • a 3. b 2(ab = 0).3 232解：原式=(a 7b 5) *a 5 *b^' = a 0b 0 =1.33丄」x 2+x ^ -3例6己知x 2 • x 2 =3,求2/3的值.X 2 +x -21 1 1 1解：由 x 2x 2 =3,得(x 2■ x 2) = 9, x x J = 7.(x x") = 49, X 2+X -2=47.3311x 2 x 7 =(x 2 x^)(x-1 X ，) =3(7-1) =18,=13'原式=18 -3 15 47 - 2452.6指数函数在指数函数的解析式 y=a x 中，为什么规定 a > 0且a * 1 ?⑴如果a=0,那么当x>0时，a x三0.当x? 0时，a x无意义•(2) 如果a v 0，那么对于x的某些数值，可使.a x无意义•1 1 .——例如当a=—4, .且x= 时，a x = (-4)2 =、_ 4.无意义.2(3) 如果a=1，那么对于任何x € R, a x三1.对它没有研究的必要.在规定了a> 0且1以后，那么对于任何x € R, a x都有意义且a x> 0，因此，指数函数的定义域是R,值域是(0, +R).要注意指数函数的解析式y=a x中a x的系数是 1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是.例如y=a x+k(a>0 且a^ 1, k € Z).有些函数看起来不像指数函数，实际上却是例如y=a-x(a> 0 且a* 1).1它可化为y=(a」)x=(—)x.(a-1>0 且a-1工1)a当x€ R,函数y=2x, y=2x+1 , y=2x+1, y= —2x, y=2-x图象之间有什么关系？(1) 将函数y=2x的图象沿y轴向上平移1个单位长度，就得到y=2x+1的图象；(2) 将函数y=2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，就得到y=2x+1的图象;(3) 将函数y=2x的图象关于x轴作“对称变换”(即画出它关于x轴对称的图形)就得到y= —2x的图象；(4) 将函数y=2x的图象关于y轴作“对称变换”(即画出它关于y轴对称的图形)就得到y=2-x的图象；等价化归在求解函数定义域、值域和判断函数的单调性中的作用：等价化归很讲究技巧，要通过经常认真的训练才能获得例 1 己知x, y € R,且2x+3y> 2-x+3-y,求证：x+y > 0.这个不等式两边都含有x, y两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把它化归成等价形式2x—3-x>2-y—3y,使它两边都只含一个变量，于是可构造一个辅助函数：f(x)= 2 x—3-x1由于指数函数2x是增函数，3伙=(—)x是减函数，一3-x3是增函数，因此，f(x)= 2x—3-x是增函数因2x—3-x> 2-y—3y=2-y—3-(-y),可知f(x) > f( —y),即x>—y. /• x+y >0 .把条件不等式化归成与它等价的不等式，也是“化归”思想的运用.而构造辅助函数在完成证明的过程起了重要的作用.2"2例2求函数y =3」2x 3的定义域和值域•解••• — X 2 • 2x • 3 _ 0,解得-1 _ X _ 3.故函数的定义域为〔一1, 3〕.u -- x 2 2x 3 - . -(x -1)2 4当 x € 〔一 1 , 3〕，u. €〔 0, 2〕. 又 y=3x 为增函数，••• 1乞y 乞9. 故函数值域为〔1, 9〕.2例3求函数y =(—)x °x」的值域及单调区间.3解：设 u = x 2 -2x -仁(x -1)2 -2, u 一 -21 u1 2而()为减函数，0 y 乞()=9331 2•••函数y =(—)x 乩」的值域为〔0, 9〕.3U 的单调增区间为〔1,+8〕，单调减区间为(一8, 1).1 2故y = ( )x ，x ■'的单调增区间为(一^, 1),单调减区间是〔1 ,+8〕310x —10 »例4己知f(x)= x x ，求f(x)的定义城、值域，并判定f(x)的单调性.10 10解：(1) •••10x 10^-0, 函数定义域为(一O O—O ).10x -10」102x -12⑵又尸齐歹二冲—102x12"22x则 f(x 1) — f(x 2)』11010-1 2(2x 11 102x2 1 (102x1 1)(102x2 1)•/ 102x - 0, 102x1 ■ 1,Y 1 Y[ 2x10 - 1-2 _22x . 10 12 1 1-± 0, 10 +1•函数的值域为(一1, 1). (3)设 X 1> X 2, X 1 . x 2 € ( — O,—O).X i A X2,,二2X i A2X2，二1O2X1A1O2X2.102X1 1 - 0 , 102X2 1 - 0 , ••• f(X i) > f(X2).1O X_10」故函数f(x)= 10—10为增函数•10X+10」2例 5 若(a 1)X 2 _ (a 1)3x(a - -1且a = 0)求X的取值范围•解：当a 1 -1,即a ' 0, x2• 2 _ 3x, x2「3x • 2 _ 0,解得X <1 或x _ 2.当0 a 1 1,即-1 a 0, x2 -3x • 2 乞0,解得1 < x 乞2.即当a>0时，X? 2或X? 1.当1v a v 0 时，1? X? 2.注意：对指数的底含字母参量的问题，一定要对底的取值分情况讨论我们应按教学大纲的要求，把数学思想渗透到整个教学过程中.所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质的认识，基本数学思想则是体现或应该体现于基础教学中的具有奠基性、总结性和最广泛应用性的数学思想，它含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的“数学思想”比一般说的“数学概念”是具有更高的抽象概括水平，“数学概念”比“数学思想”更具体、更丰富，而“数学思想”比“数学概念”更本质、更深刻.数学思想是与其相应的数学方法的精神实质与理论基础•“数学方法”则是实施有关数学思想的技术手段与操作程式，中学数学中用到的各种数学方法都体现著一定的数学思想.数学思想属于科学思想，但科学思想未必就是数学思想，有的“哲学思想”(例如“一分为二”的思想和转化思想)和逻辑思想(例如归纳思想)，由于其在数学中的运用而被“数学化”了，也可称之为数学思想.基本数学思想包括：符号与变元表示的思想、集合思想、对应思想、公理化与结构的思想、数形结合思想、化归思想、函数与方程的思想、整体思想、极限思想、抽样统计思想等.当我们按照空间形式和数量关系将研究的对象进行分类时，把分类思想也看作基本数学思想.基本数学思想有两大基石一一符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大支柱――对应思想和公理化与结构思想，基本数学思想及其衍生的其他数学思想，形成了一个结构性很强的网络.数学中渗透著基本数学思想，它们是基础知识的灵魂，如果能使它们落实到学生学习和应用数学的思维活动上，就能在发展他们的数学能力方面发挥出一种方法论的功能，这对于他们学习数学，发展能力、开发智力都是至关重要的三、对数与对数函数2.7 对数“对数”几年前由初中移到高中，大多数老师都很熟悉，为什么说求对数运算与求指数幕运算具有互逆关系？2的4次幕等于16,记作24=16.16是2的4次幕，2是底数，4是指数.相反的问题：2的多少次幕等于16 ?为了表示16是2的多少次幕，我们采用了式子log216=4，这里4叫做以2为底16的对数.2仍然是底数，16叫做真数.一般地，如果a(a>0且a z 1)b的次幕等于N(即a b=N)数b就叫以a为底N的对数，记作log a N=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.在实数集R内，正数的任何次幕都是正数.在式子a b=N中，因为a是不等于1的正数，所以对于任意一个实数b, N总是正数，也就是说，0与负数都没有对数.本章对数式中的字母，如果不加特殊说明，底数都是不等于1的正数，真数都是正数.指数式a b=N中，底数、指数、幕与对数式log a N=b中的底数、对数、真数的关系，可以表示如下：I ------------- 指数对数----------- 丨I ---------- 幕I 真数 ------------- 丨a b=N I logaN=b.I ----------------- 底数------------ I如果把a b=N 中的写成log a N，就有a logaN=N，这是对数恒等式.例如24=16, log216=4 ,二2 log J6=16.对数的运算性质：如果，a> 0, a z 1, M > 0, N > 0，那么(1) log a(MN)=log a M+log a N(2) log a—=log a M - log a NN(3) log a M n=nlog a M (n € R)怎样用文字语言来描述？(1) 两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和；(2) 两个正数的商的对数，等于同一底数的这两个数的对数的级；(3) 一个正数的任意实数幕的对数，等于这个幕的底数的对数乘以幕指数.怎样使学生理解证明对数运算性质log a(MN)=log a M+log a N的思路？先要弄清条件与结论，即己知log a M、log a N，求log a(MN).还要明确a> 0, a z 1，且M > 0, N > 0.因为求对数是求幕指数的逆运算，为了利用幕的运算性质，所以设iog a M=p ,由运算性质 ⑶，只须证log a b logbN = log a N .②log a N=q然后转化成指数式 M=a p , N=a q ,于是 MN= a p a q = a p+q .重新转化为对数式log a (MN)=p+q.把所设代换便可得证：log a (MN)= log a M+log a N. 另法. MN= a logaM a logaN. =a logaM+logaN. 由定义 log a (MN)= log a M+log a N.关于对数换底公式，未出现于教材正文，但习题2.8中出现，可通过实例来研究:当一个对数式的底改变时，整个对数式会发生什么变化？例如求log 35,设lo g 3 5=x ，改写成指数式，得3x =5.在等式两边同时取以 a(a >0且1)为底的对数，得log a 3 =log a 5, 即 xlog a 3=log a 5.在这个等式中，左边对数式的底数为3,如果将3变为a ,那么这个对数式变为等式右边的式子 .一般地，我们有下面的换底公式：以下给出两种证明方法：证法一：设log b N=x ，化为指数式，得 b x =N. 在这个指数式两边同时取以 a 为底的对数，x=loga5, log 3log a 3log a 5 log a 3.l o gNI o gN l o gb得 log a b^log a N ,即 xlog a b = log a N .l o gN l o gb即叭=血log a b证法二：要证log b Nlog a N log a b只须证l o gN *l o g^ l o gN. ①由运算性质⑶，只须证log a b logbN = log a N .②但 b logb N = N ,故 log a N=log a N 成立.对数换底公式的意义是把一个对数式的底数，换成另外的数 (大于0且不等于1). 这在对数式的恒等变形或计算求值中有重要作用 .对数换底公式按大纲的要求，不需记忆，只供学生学习时参考.2.7对数函数关于对数函数可与指数函数联系、比较，使学生更易掌握，对数函数的反函数是 指数函数，所以，要利用指数函数的性质来研究对数函数，应该让学生注意到：(1) 两种函数都要求底数大于 0且不等于1.(2) 定义域与值域对数函数的定义域为(0, + R )，结合图象，对数函数在 y 轴左侧没有图象，即负 数没有对数，零也没有对数，也就是真数必须大于 0.这个知识可以用来求含有对数的函数的定义域(比前面求定义域的准则扩充了).(3) 通过将对数函数及指数函数的图象进行对比，可以发现：当 a > 1或0v a v 1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的 .(即在区间(0, +R )上，同时为增函数或同时为减函数)(4) 对数函数的图象都经过点(1, 0)，这与性质Iog a 1=0= a 0=1.(5) 对数函数y^Iog a X 与指数函数y 二a x 互为反函数，那么它们的图象关于直线 y=x 对称. (5)通过对底数a 的取值进们分类讨论，研究对数函数的性质，包括函数 值大小的比较也是一个课题 .例 1 求值：① 812也7 :② 52log5 -15log 51 log 3-.9② 原式= 5log59 -15 *0 log 33° =9-2 =7.例 2 求值：〔1 — log 6 3$+log 6 2・log 6 18b log 6 4.解：原式==!log 6 6 -log 63 2 +log 62(log 6 2 + log 69 Wlog 6 22 =〔log 6 2 2 Tog 62 2 log 62 2log 63】 2log e 2=2log 2 2 2log 2log6^'2log 2=log 6 2 Iog 63 =1.1叫7解：①812 =314 log s 72二 3log s 7249.xx解之，得一 y=2或1.x -0, y -0,舍去 yx=2. y例4求下列函数的定义域:① y x5x-26:②2x -5X+6H0,解：① * 4x —x 2 兰 0,二4x - x 2 工 1x _ 2或 x _ 3,0x4, x = 2 - 3.•••定义域为（0，2 — .、3）U (2 — 3 , 2) U 〔 3, 2+ .. 3〕U (2+ .. 3 , 4). 2x 2-3x -20,x 2 ■ 0, 二x 2=1.-丄或x - 2,2 x 「-2, x = -11故所求函数的定义域为(—2, — 1) U ( — 1,— — ) U (2, + 8).2x 31例 3 设 lg x - y lg x 2y = Ig 2 Ig x lg y ，求—的值.y解：由己知 Ig x-y x ・2y =lg2xy ,x - y x 2y 二 2xy.即 x 2 - xy - 2 = 0.x -2=0.y2 2则x「2x 3 = log2y, x「1 logy「2x =1 _ I o gy — 2.x? 1, ••• f，(x) =1 logx匚2(x _4),f 二⑷=1 log—2 =1.2另法：f'(4) =a，则f(a) =4,2a= 22,二a2「2a 2,即(a-1)2=0,二a =1.从而「(4)=1.例6求下列函数的值域和单调区间：①y rg (x22x)；2②y =叽(x —2 | +2).解：①由x2 2x - 0,得x ' 0或x -2,又设u(x)= x2 2x(x - 0或x -2)，化为y 二log1 u，2•••u(x)在(0, +8)为增函数，在(一8,—2)上为减函数而y = I o gu为减函数，2故y = logjx2• 2)的单调减区间是(0, +8).2单调减区间是(一8,—2).故y Jog'x2• 2)的值域为(一8, + 8)2②设u(x)= x —2 | + 2,则u(x)? 2.当a> 1时，函数值域为〔log a2, +8〕.又u(x)在〔2, + 8〕上为增函数，在.(一8,一2)上为减函数，而y = log a u在定义域上为增函数..故当a> 1时，.y=(log a( x —2 |+2)的单调增区问为〔2, + 8〕，单调减区间为(一8,一2).当0v a v 1时，函数值域为(一°8, log a2).〔2, + ^〕，单调增区间为(— a, — 2).例 7 己知 f(x) =log b (x • x 2-2)的反函数为 f 」(x),(b - 0且b = 1) 求反函数f 」(x)，并指出它的定义域.'x +2_2 A 0解：由丿X 'X 2U,中的不等式②得、X 2-2 启0X —'.2 或 x 乞一、2 而当 x 乞一、、2 时，X -.X 2—2 0,故函数的定义域为〔2, +a 〕令 y = log b (x. x 2 - 2),得 b y = x . x 2 - 2.又 X 二〔2，：时，u(x) =xX 2 -2为增函数,u(x) _、• 2,b 2 x + 2厂(x)=甘(x —logb '2),例8己知正整数a , b , c(a? b? c)与非零实数x , y , z , w ,满足关系式xy zw1 a = b - c =30,且一x求a , b , c 的值.1 1 1 1解：由 a x =30w ,可知(a x )wx =(30w )wx ,即a w =30X ,而u(x)单调区间不变，故当 0V a v 1时，y=(log a ( x _2 2)的单调减区间为解得xb 2y 2 2b y,.f d (x) b 2x 2 2b x•••当b > 1时，反函数为当0 v b v 1时，反函数为b 2x 22b x (xlog^-2)1 丄 1 1同理可得b w= 30y, c w=30z,1 1 .1 .1 丄相乘，得(abc)w=30X y z=30w,abc=30.由1? a? b? c,可分三种情况:⑴如果a=1,那么a^30w得30w=1, w=0舍去⑵如果a=2,那么bc=15，所以b=3, c=5.⑶如果a> 2，那么由33=27 , 32X 4 > 30 及3X 42> 30. 知a bc=30无正整数解.综上可知a=2, b=3, c=5.别解：用对数，a x =30w，两边取对数.w lg a 1 1 lg a得xlga=wlg30，即.x lg 30 x w lg30同理1=丄更,1二丄dy w lg 30 z w lg 30.e 1 1 1 1 1 lg a lg b lg c 1又+ + = ,.•.(匕+ »)=.x y z w w lg 30 lg 30 lg 30 w刚lg a lg b lg c ’即 1. . lg(abc)=lg30.lg 30 lg 30 lg 30故abc=30 .以下同前解法.对底数的分类讨论应通过训练，让学生切实掌握11112 _—一、例9己知log2^ log3y = log4z= log5 w,请把x , y3, z4, w5按照由小到大的顺序排列起来.解：可设log2x 二log3y = log4z = log5 w = k,则x = 2k, y = 3k, z = 4k, w = 5k.1 k 1 k 1 k k 1 1 k所以x2 =22, y3=33, z4 =44 =22=x2, w5= 5勺k(1)当0v x v 1, 0v x V 1,即0V 22v 1, ••• k v 0.⑵由科学计算器可得 2 3 3, 2 5 5,又k v 0.于是k 1 1 k 22=（22）k=济》简=（3呼=£，k k同理可证：225塔，1111•- y3x'二z4 w5.1111⑵当x=1 , y=z=w=1 , 即22二y3二z4二w5・k⑶当x> 1 时，x > 1,即22> 1 ,••• k>0.1 1 k k仿(1)可由2233知2233,1 1 k k由5522知5522,1111y3 - x2=z4 ' w5.。