浅谈初高中函数概念对比
浅谈北师大版与苏教版高中数学《函数》一章的几点不同
浅谈北师大版与苏教版高中数学《函数》一章的几点不同【摘要】本文对比了北师大版和苏教版高中数学《函数》一章的几点不同之处。
在内容安排上，两版教材有所不同，习题设计和难易程度也有所不同。
讲解方式和风格上的差异也影响了学生的学习效果。
实例选取的不同以及对重点知识点的强调程度差异也是两版教材的特点。
总结来看，两版教材各有特点，适用不同的教学场景和教学目的。
学生可以根据自身情况选择合适的教材进行学习，以提高学习效果和兴趣。
【关键词】高中数学、函数、北师大版、苏教版、教材、内容安排、习题设计、讲解方式、实例选取、重点知识点、差异、特点、学习、教学场景、教学目的。
1. 引言1.1 介绍北师大版和苏教版高中数学教材北师大版和苏教版是我国高中数学教材中比较知名的两大版本，它们都具有一定的影响力和市场份额。
北师大版高中数学教材以其注重理论与实践相结合的特点而闻名，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
而苏教版高中数学教材则以其丰富的练习题和实例、形象生动的讲解方式而受到学生和教师的青睐。
北师大版高中数学教材在编写上更加注重数学概念的严谨性和逻辑性，力求将数学知识系统化地呈现给学生，帮助他们建立坚实的数学基础。
而苏教版高中数学教材则更注重学习过程的趣味性和启发性，引导学生主动思考和探究数学规律。
两个版本的教材在内容覆盖面上也各有特点，北师大版更注重深入探讨基础概念和理论，而苏教版更注重拓展知识面和应用能力的培养。
教材的差异性也给学生提供了不同的学习选择，以适应不同的学习需求和风格。
1.2 说明《函数》一章在高中数学中的重要性《函数》是高中数学中的重要章节，它是数学的基础概念之一，也是高中数学学习的重点和难点之一。
函数是数学中的一个核心概念，在现代数学理论和实际应用中都有着广泛的应用。
通过学习《函数》一章，学生不仅可以掌握函数的基本定义和性质，还可以进一步理解数学中的变化规律和关系。
在高中数学学习中，《函数》一章不仅是延续初中数学学习的重要内容，还为学生打下了数学分析和推理的基础。
浅谈二次函数在高中阶段的应用
浅谈二次函数在高中阶段的应用在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。
进入高中以后，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性、最值）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
一、进一步深入理解函数概念初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。
二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为f(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：类型I：已知f(x)= 2x2+x+2，求f(x+1)这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ：设f(x+1)=x2－4x+1,求f(x)这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X 的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
f(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得f(x)=x2－6x+6(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而f(x)= x2－6x+6二、二次函数的单调性，最值与图象。
在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b/2a ]及[－b/2a ，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
浅谈高中函数概念教学
浅谈高中函数概念教学为了帮助高一学生更好的理解函数概念，对新人教版高中数学必修1课本第一章第二节《函数及其表示》的内容进行了反复研究。
从重新定义函数的必要性和科学性，函数概念的导出与形成，初高中函数概念的比较，函数概念的发展史几个环节来谈怎么进行函数概念教学。
标签：高中函数概念教学函数是数学课程的一个核心概念，函数思想是整个高中数学的最基本思想之一。
从初中的“变量说”延展为高中以集合为基础的“对应说”，同一概念，两种不同的定义形式，使很多刚上高中的学生对函数概念的理解产生了困惑。
鉴于初中生对知识认识的直观与感性，初中课本把函数定义为两个变量的一种对应关系：“一般地，如果在一个变化过程中有两个变量，例如x和y，对于x 的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时称y是x的函数。
”而高中课本对函数概念的阐述则更为抽象和理性：“设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
显然，值域是集合B的子集。
”初中已经学过函数的概念，那么为什么高中还要重新定义函数的概念？两种定义形式有何差异和实质联系？这成为学生理解函数概念的难点。
那么如何才能突破这一难点呢？下面我结合自身的经验谈一谈我对函数概念教学设计的几个环节。
一、环节一：函数概念的导出新课标建议：在引入函数的一般概念时，应从学生已熟悉的具体函數（如一次函数，二次函数等）和生活中常见的函数关系（如气温的变化，出租车的计价等）入手，抽象出一般函数的概念和性质，使学生逐步理解函数的概念。
所以在这一环节中，我主要引导学生回忆初中学过的具体函数——一次函数、二次函数、反比例函数，并引导学生回忆初中学过的函数的概念。
浅谈高中生函数学习的困难与问题
浅谈高中生函数学习的困难与问题作者：丁则惠来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2015年第12期摘要：学生所学的知识，一般都是间接知识，是抽象化、形式化的知识。
这些知识都是前人思维的结果，而不是思维的过程，因此要提高学生的学习效率，必须对学生遇到的问题与困难有深刻的了解，。
关键词：教材；素质教育；函数从教15年，对教材已经非常熟悉，对于使用好新教材，优化教学结构、提高课堂效率、培养学生能力有些自己的想法。
中学生的学习的特点，是在教师的指导下，在较专而集中的时间里，以系统掌握间接知识为主的一种特殊的学习形式，但在当今社会发展迅猛的形势下，我认为学生的学习，当前应冲破题海圈，从应付高考而学习的一切片面方法中解脱出来，作为教师，在教学中若能恰当地把握传授知识与增减能力的关系，动用灵活的教学方法，充分发挥教材即课本的功能，以本为本，就可以事半功倍，提高课堂教学效果。
从数学的发展历程来看，函数从提出到不断完善，是一个曲折而漫长的过程。
笔者从多年的一线教学情况来看，高中生在学习函数的过程中存在困难的类型是多方面的，而这种现象显然也是由多种原因引起的，有些问题是由于函数内容本身学习困难造成的，如初高中衔接问题、函数知识的复杂性、函数学习的连贯性；而有些却是学生自身的问题导致，如学生建构知识体系的无效性、思维发展水平的局限性、函数学习兴趣的差异性。
这些问题如果得不到卓有成效的解决，将会严重影响到学生数学其他部分的后续学习，并会对教师的教学工作产生阻碍。
一、初高中衔接问题对于函数部分的知识高中学生并不陌生，学生在初中就已经对函数知识有简单的了解，相当一部分同学在访谈中还表示他们初中阶段对函数的理解掌握得还算不错，但是到了高中就意识到初高中函数内容衔接问题成为这部分学习的一道鸿沟。
调查结果显示，初高中衔接问题是学生函数学习困难的首要因素。
初中函数的相关知识简单易懂，而高中函数立足于一个新的起点。
就二次函数而言，它初中函数中属于最难的知识，但在高中却作为最基本、最典型的函数类型来研究，对于函数定义域、值域、单调性等许多抽象的相关概念需要借助二次函数来完成，这对于刚刚接触高中数学的学生来说是一个不小的跨度。
浅谈初高中数学的异同
浅谈初高中数学的异同作者：王启荣来源：《新课程·中学》2012年第07期摘要：在现实生活中，普遍存在着一部分学生初中时数学成绩很好，可是上了高一没多久成绩就大幅度滑坡。
很多学生连同家长为此感到迷惑，不知所措。
这一状态如果不能及时改观，就会对这部分学生后续学习高中数学知识产生极其不良的影响。
为此，结合自身教学实际对这一现象进行了浅显的分析。
关键词：环境的不同；教学内容与模式的不同；学习方法的不同我所在的学校是一所农村完全中学，既有初中部也有高中部，学校组织的教研活动尤其是听评课活动让我切身感受到了初高中数学的诸多不同之处，主要体现在以下几个方面。
一、学习环境的不同初中阶段，许多家长望子成龙、望女成凤心切，对孩子的智力教育非常重视，却往往忽视了对孩子生活自理与自立能力的培养。
有些家长什么家务活都不让孩子干，以为那样做可以多留些学习时间给孩子，殊不知这样做的结果却造成了孩子对家长、家庭、环境的过度依赖，有些学生连基本的生活处理能力都没有。
对于刚刚踏入高中校门的高一新生来讲，可以说一切都是全新的，新的教材、新的同学、新的教师，就连课本的样式都与初中时截然不同。
任何一个人到了一个新的环境中都需要一个适应的过程，这个过程会因为个体的差异而或长或短，年轻的学生自然也不例外，更何况有相当一部分学生是第一次远离父母的“监管”成为住校生。
当挫折来临时，这些学生往往又不能像初中阶段那样得到教师及时的呵护，从而导致自信心丧失，加之心理承受力又不够，所以，一进入高中就感到很不适应。
当然了，我们也不能排除有些学生在入学前就耳闻高中数学多么的难学，从而产生了畏惧心理，在数学学习上出现了较大的心理障碍。
二、与初中数学相比，高中数学教学内容剧增而学时却大幅度减少初中数学内容通俗而具体，题型少而简单，多数是对常量进行研究，课时充足使得每节课容量很小、进度很慢，对重点与难点部分教师有足够的时间反复强调，对各种类型问题的解法教师有足够的时间进行范例讲解，学生也有足够的时间进行加强巩固练习。
浅述初中数学差异教学的研究与实施——以“一次函数概念”为例
浅述初中数学差异教学的研究与实施——以“一次函数概念”为例发布时间：2021-08-03T15:09:48.477Z 来源：《教学与研究》2021年4月10期作者：欧国强[导读] 一次函数是初中生最先接触到的函数概念，是学生后续学好其他函数的基础欧国强中山市第一中学广东中山 528400摘要：一次函数是初中生最先接触到的函数概念，是学生后续学好其他函数的基础，学生在进入到初二以后，学习难度进一步加大，学生对数学的理解水平会出现差异分化，因此，根据学生的水平差异制定不同的课堂教学方法显得尤为重要。
差异教学绝不仅仅是把学生简单地分开，也不仅仅是讲多讲少、讲快讲慢的区别，而是要从教学目标、教学实施过程、作业布置、评价方式等采取不同教学设计。
文章以八年级下册“一次函数概念”的教学为例，探讨差异教学的研究和实施。
关健词：一次函数；差异教学；实施与研究引言一次函数的内容较多，也为后期其他函数的学习提供了学习思路和框架，而函数这个载体，又需要结合前期的很多知识。
一次函数中既有最基本的知识要求，又有难度较大的综合题，因此，对于不同水平的学生差异教学就能较好地解决这个问题。
下文笔者结合自己的实践经历，以“一次函数”为例浅谈差异教学对初中数学教学的重要意义。
一、研究意义1.函数理解是数学理解中重要且困难的内容之一国外对函数的理解相当重视，如美国、法国等在数学课程标准中对函数内容提出了具体的要求。
而我国无论是以前的教学大纲还是现在的课程标准都鲜明地体现了函数理解的重要性与困难性，甚至是目前正在修订的高中数学课程标准中也可看出函数理解是学习数形结合、转化与化归思想的基础，是培养学生核心素养的重要内容（如图1）。
且各国课标在函数的学习中都要求学生能够利用所学的特殊函数模型去解决一些实际问题，可见通过函数的理解能够逐渐培养学生数学建模的核心素养。
图1：鲍建生核心素养的评价建议报告2.函数概念是中学数学的重要概念著名数学家F·克莱茵（F·Klein，1849——1925）称函数为数学的“灵魂”，认为函数概念应该成为中学数学的“基石”，纵观近、现代数学的发展可知，函数是描述运动、变化的基本概念。
浅谈初高中数学的区别对高中学生学习数学的影响
浅谈初高中数学的区别对高中学生学习数学的影响作者：刘学光来源：《学周刊·中旬刊》2014年第05期摘要：许多初中学生进入高一后，会感觉到高中数学抽象、难度大、不好学，数学成绩会大幅度下滑，其中初高中数学无论是从教材、教法、学法上都有很大的区别是重要的原因之一。
本文主要分析了初高中数学的区别对部分高中学生学习数学的影响。
关键词：初高中数学区别影响许多学生上初中时，感觉数学易学，成绩优异，但毕业进入高中后不适应高中数学学习，出现了数学成绩大幅下降、厌学的现象，过去的数学优秀生变为了学习数学的学困生，甚至少数学生对学习高中数学失去了信心，其中初中数学与高中数学在教材、教法、学法等方面的不同也是造成部分高中学生数学成绩不理想的重要原因。
一、教学内容方面的区别1.知识难易程度上的区别。
相对于高中数学知识，初中数学有以下特点：初中数学知识更加贴近学生的生活实际，体现着数学在人们的生产实践中的重要作用；学生通常凭借自己的直观感知就能得出和理解课本中的定义、定理、公式等，因此，学生接受和消化数学知识一般都遵循着从感性到理性的认知规律，这样对于学生来说，也更容易接受和理解知识；初中教材中的数学术语通常通俗易懂、语句描述也简单，而且趣味性较浓；初中教材中的重要结论少且容易记忆；初中数学考试题型较固定且简单。
而学生刚进入高一后，学习高中数学必修1知识时，学生就会接触到如集合、函数、映射等极其抽象的数学概念；随着学习的进行，遇到的抽象概念会越来越多，如异面直线、排列和组合、导数等，知识难度越来越大；无论平时的作业还是考试，会遇到解题技巧灵活多变的好多高中数学题型，这些题型不仅考查学生数学计算能力，还考查学生的数学分析能力，充分体现着高中数学知识容量大、难度大、要求高、不好掌握的特点。
2.知识内容要求方面的区别。
初高中数学知识具有“脱节”现象。
比如，现行的初中教材中，不要求学生掌握“立方和与差”的公式，因此，初中课本已删去了这部分知识。
浅谈函数在初中阶段的地位与作用及其教学对策
教育教学浅谈函数在初中阶段的地位与作用及其教学对策黄另竹．(广西河池职业教育中心学校，广西河池547400)脯耍】函数在数学课程中一蛊占据着非常重要的地位，尤其在初中阶段，它不仅有着基础性的重要动能与广泛的实际应用，而且对于学生的后继学习也有着举足轻重的作用，是整个数学课程中最为主要的内容之一。
本文主要从函数的概念着手，着重分析了函数在初中阶段的重要洼，并且提出了函数在初中阶段的教学对策。
联_罐词】概念；地位；作用；对策函数是数学中一个基本的研究对象，也是数学课程中最为重要的学习内容。
它几乎贯穿着数学的始终，渗透到数学的点点滴滴。
例如，在小学我们就让学生了解速度、时间、路程之间的关系，设未知数等，虽然当时没有拯0函数的概念，但它实质上就是—个函数关系：又如正比例、反比例关系也是函数关系。
在初中阶段，课本正式引入了函数概念，函数成为一个重要的内容。
到高中这部分内容就更重要了，函数研究的类型及性质也比以前更加丰富。
在大学数学学习中(特别是在分析学中)，函数仍然是最基本的研究对象，函数也从以前的一元扩展到了多元，内容更加抽象与广泛了。
那么，什么是函数呢?一、函数的概念回顾函数概念的历史发展，从函数概念的第一次引入，到现在函数的科学定义，函数经过了几次重大的发展。
然而，受学生年龄特征、知识水平以及粤维能力的影响，初中阶段的函数概念只能定义如下：设在—个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯—确定的值与它对应，那么就说是的函数，叫做自变量，叫因变量。
这个概念用变量的观点，比较生动、直观地描述了函数，易于理解，因而被初中课本所引用。
随着学生抽象思维能力的提高，对函数概念的学习也逐步深入，于是又有了高中函数和大学函数的定义。
在此不必～举例。
’二、函数在初中阶段的地位和作用初中阶段是函数学习的开始。
，在这个阶段，主要学习函数概念，自变量的取值范围，几类函数(一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数)的解析式、图像与性质等。
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浅谈初高中函数概念对比
摘要：函数是现代数学中最基本的概念，贯穿整个中学阶段数学体系，甚至是中学数学的一条主线。
初高中之间由于学生基础的不同，分别用两种不同方式来定义函数的概念，本文分别从教学要求、教学方法和学习方法几方面来对比，进一步认识函数概念。
关键词：函数概念；初高中；变量说；集合——对应说
函数是现代数学中最基本的概念，贯穿整个中学阶段数学体系，甚至是中学数学的一条主线。
学生从初二第一次接触函数概念到高一重新认识函数，从中考所占的大比重到高考，无不让学生为之倾倒。
因此，学好数学，打好函数定义的基础显得尤为重要。
1 函数概念的发展历史
十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年，莱布尼兹首次提出“function”（函数）。
经过多年发展，1837年狄利克雷首先提出经典函数定义：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。
”
1914年豪斯道夫在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。
库拉托夫斯基于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为f。
元素x称为自变量，元素y称为因变量”。
2 函数概念的重要性
首先，函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用。
近些年，世界
各国中学数学中关于代数的内容逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心。
函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一，它的学习横跨了初中高中两个重要阶段。
函数贯穿整个中学阶段数学体系，甚至是中学数学的一条主线。
其次，函数思想是需要学生在学习函数过程中，以“细雨润无声”似的将函数内化吸收，已经成为了重要的数学思想和解题方法。
因此,在中学数学教学中,把握函数概念本质,处理好函数的教学是很重要的。
第三，函数模型通常用来描述客观世界中运动变化现象，而学习函数性质的目的是用数学知识和方法分析函数模型的性态，由此发现事物的变化规律，进而精确地预测未来。
函数模型的性态就是事物变化的规律，把握函数的性态就是掌握了事物的变化规律。
因此，了解函数的性质相当重要，但归其根本，首先就必须落实函数概念。
3 初高中函数概念的对比
3.1 初高中函数概念
初中阶段是从变量之间依赖关系的角度，对简单实例中的数量关系和变化规律进行归纳概括，得到函数概念，简称“变量说”一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x、y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说y是x的函数，x是自变量。
高中阶段的函数概念是“集合——对应说”：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B 中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y＝f(x)，x∈A，x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x 对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
其实在初中已经有了“y与x对应”的表述，但这里的“对应”仅仅是自然语言。
高中要做的是在此基础上的进一步抽象，明确对应的意义，并用集合语言具体指明x,y的变化范围，引入抽象符号f：A→B和y＝f(x)表示对应关系。
因此教材中先引导学生用变量关系的语言分析实例，指出其不严密的问题，并给出
“用更精确的语言”表示对应关系的示范。
再通过变式引导学生用集合语言和对应关系来刻画函数，完成从“变量关系语言”到“集合——对应语言”的过渡。
3.2初高中函数概念的对比
3.2.1 初高中课程标准的要求对比
《初中数学课程标准》总结起来大致上要求学生：了解函数的概念及常量和变量的意义，要求掌握一次函数和理解反比例函数，会用描点法画出函数图像，从图像上认识函数性质。
普通高中《高中数学课程标准》对“函数概念与性质”这部分内容的整体定位和指导思想是：通过学习要使学生建立完善的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图像揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型、解决问题；提升数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模素养。
从两者课程标准的要求上可以看出，初中课标要求明显偏低，高中则是要高出很多。
高中函数概念教学要求在初中基础上，要求对函数概念由简单到复杂，由具体到抽象，由变量说到集合—对应说，并且从过程上和数学语言上等要求都有了很大的提升。
3.2.2 教学方法的对比
根据两者的教材编排，教学都需要从学生的生活实际问题出发进而得到函数概念，从学生熟悉的背景着手，有助于学生对函数概念的理解，激发学生学习的兴趣。
基于初中生的特点，函数教学是一个从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性的认识过程，具有长期性和反复性。
而高中函数教学应该要重视函数功能分析及概念的教学、加强函数模型、改进函数解题指导，在函数教学中渗透数学的思想方法，注重信息技术在函数教学中的作用，以提高学生的分析问题解决问题的能力。
3.2.3 学习方法的对比
初中函数大纲要求不必搞得过于复杂，很多问题学生只要数形结合，做出图，大都都能解决，例如：函数图像过第几象限，函数增减性如何，函数解析式的求
解等。
稍难一点的，例如，根据相遇问题追击问题的结合来理解函数图像。
总之
很多问题都能通过图像帮助函数把问题由抽象变得具体。
到了高中，对于对数函数，幂函数，指数函数等具体函数，学生还能勉强接受，但遇到抽象函数，就出现脑子一片空白现象。
归根到底，是学生对于函数理
解还不够。
所以对于函数的研究不能留在表面，要在头脑中留下几个具体的实际
模型。
而且一定要突出函数图形的地位。
不管是哪一种表达方式，都要把握函数
的图形，数形结合。
并且，还要学会思考函数的应用，渗透数学建模思想。
函数是数学的重要组成部分，若把数学看作一串珍珠项链，函数就是其中的
链子。
而函数概念又是函数的根本，它的地位在数学中就不言而喻了。
只要肯钻研，就一定能让学生顺利从初中过渡到高中，体会初中的基础对于高中的重要性，为进一步的学习到好基础。
参考文献：
[1]人民教育出版社课程教育研究所中学数学课程教材研究开发中心 .普通
高中教科书教师教学用书数学第一册A版[M].北京.人民教育出版社.2019：93-102。