相似三角形的判定、性质及常见模型
相似三角形模型总结以及例题
相似三角形模型总结以及例题
相似三角形模型是同一个三角形被两次放大或缩小的一种模型，具有
以下特点：
1. 比较定理：三条边的比值相等，两个三角形都是一样的形状，只有
大小不同。
2. 角平分线定理：若两个三角形相似，则其中一角被平分线分割，得
到的两条边构成另一个三角形，且两个三角形也是相似的。
3. 中位线定理：若两个三角形相似，则其中一角的一边被中线分割，
形成的两个三角形，也是相似的。
理解相似三角形模型，最重要的是理解它的边和角之间的关系。
例题：若两个三角形的边比例是2:3:4和8:24:32，则它们是否相似？
答案：是的，它们是相似的。
由比较定理可知，若两个三角形的边比
例满足x:ax:ax^2关系，则它们是相似的，而2:3:4 = 8:24:32，满足
x:ax:ax^2关系，所以它们是相似的。
相似三角形的性质及判定方法
相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。
在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。
本文将探讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。
记为AA相似性质。
2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SSS相似性质。
3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SAS相似性质。
二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也必然相等，从而满足AA相似性质。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。
三、实例分析为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。
已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。
根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。
根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。
由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。
小学数学知识归纳三角形的相似判定及性质
小学数学知识归纳三角形的相似判定及性质三角形是初中数学中重要的几何形状之一，它具有丰富的性质与判定方法。
相似性是三角形研究中一项重要的内容，通过相似判定及相似性质可以帮助我们更深入地理解三角形的特性。
本文将归纳总结小学阶段数学中关于三角形相似判定及性质的知识，帮助小学生更好地掌握和运用。
一、相似判定方法1. AAA相似判定法当两个三角形对应的三个角分别相等时，可以判定它们相似。
例如，当三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F 时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。
2. AA相似判定法当两个三角形中一对对应角相等，并且另一对对应角相等时，可以判定它们相似。
例如，当三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，∠B = ∠E或∠A = ∠E，∠B = ∠D时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。
3. SAS相似判定法当两个三角形中一对对应边成比例，并且夹角也相等时，可以判定它们相似。
例如，当三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF，并且∠B = ∠E时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。
4. SSS相似判定法当两个三角形对应的三条边成比例时，可以判定它们相似。
例如，当三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF = BC/EF时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。
二、相似性质1. 对应角相等性质如果两个三角形相似，它们对应的角相等。
例如，在∆ABC ∽∆DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边成比例性质如果两个三角形相似，它们对应的边成比例。
例如，在∆ABC ∽∆DEF中，AB/DE = AC/DF = BC/EF。
3. 相似三角形的周长比性质如果两个三角形相似，它们的对应边长之比等于它们的周长之比。
例如，在∆ABC ∽ ∆DEF中，AB/DE = BC/EF = AC/DF = 周长(∆ABC)/周长(∆DEF)。
相似三角形有关模型
相似三角形有关模型相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
在几何学中，相似三角形是一个重要的概念，它在解决实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍相似三角形的相关模型以及其在实际问题中的应用。
我们来介绍相似三角形的定义和判定方法。
两个三角形相似的条件是它们的对应角相等，且对应边的比值相等。
根据这个定义，我们可以通过已知的条件判定两个三角形是否相似。
例如，如果两个三角形的对应角相等，并且其中一个角的对边与另一个角的对边的比值等于第三个角的对边与第三个角的对边的比值，那么这两个三角形就是相似的。
相似三角形的一个重要性质是它们的边长比例相等。
设两个相似三角形的对应边长分别为a、b、c和ka、kb、kc，其中k是一个常数。
由于相似三角形的定义，我们可以得到以下比例关系：a/ka = b/kb = c/kc。
这个比例关系可以用来求解相似三角形中未知边长的问题。
例如，如果我们知道一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边的比值，那么我们可以通过比例关系求解出这两个三角形的边长比例。
相似三角形的另一个重要性质是它们的面积比例相等。
设两个相似三角形的面积分别为S和k^2S，其中k是一个常数。
根据相似三角形的定义，我们可以得到以下面积比例关系：S/(k^2S) = 1/k^2。
这个面积比例关系可以用来求解相似三角形中未知面积的问题。
例如，如果我们知道一个三角形的面积与另一个三角形的面积的比值，那么我们可以通过面积比例关系求解出这两个三角形的面积比例。
相似三角形的模型可以应用于各种实际问题中。
例如，在地理学中，我们经常使用相似三角形来测量高度。
通过测量地面上的长度和角度，我们可以利用相似三角形的性质来计算出物体的高度。
又如，在建筑设计中，我们可以使用相似三角形来计算建筑物的比例缩放。
通过测量实际建筑物和模型建筑物的对应边长，我们可以利用相似三角形的性质来计算出建筑物的其他尺寸。
除了以上应用之外，相似三角形还可以用于解决各种几何问题。
相似三角形的判定与计算
相似三角形的判定与计算相似三角形是在几何学中常见的概念，它们具有相等角度但是边长不同的特点。
在本文中，我们将讨论如何判定两个三角形是否相似，并介绍相似三角形的相关计算方法。
一、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似主要有以下几种方法：1. 三边比较法如果两个三角形的三条边的比例相等，则可以判定它们是相似的。
即对于三角形ABC和DEF，如果AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么可以得出这两个三角形相似。
2. 角度比较法如果两个三角形的对应角度相等，则可以判定它们是相似的。
即对于三角形ABC和DEF，如果∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠EFD，∠ACB=∠EFE，那么可以判定这两个三角形相似。
3. 直角三角形的判定如果两个直角三角形的对应边长成比例，则可以判定它们是相似的。
即对于直角三角形ABC和DEF，如果AB/DE=BC/EF，那么可以判定这两个直角三角形相似。
二、相似三角形的计算已知两个相似三角形的一组对应边长的比例，可以通过计算求解出其他未知边长的长度。
1. 边长比例计算假设已知两个相似三角形为三角形ABC和DEF，其中AB/DE=AC/DF=BC/EF。
若已知其中一个三角形的边长，可以通过边长比例计算得到未知边长。
例如已知AB=5，DE=3，求解BC和EF的长度，则可以通过比例得到BC/EF=AB/DE=5/3，进而得到BC=5*(EF/3)。
2. 直角三角形的计算对于直角三角形，我们可以利用勾股定理求解未知边长。
假设已知两个相似直角三角形为三角形ABC和DEF，其中AB/DE=AC/DF=BC/EF。
若已知其中一个直角三角形的边长，可以通过比例得到其他未知边长。
例如已知AB=5，DE=3，求解BC和EF的长度。
由于BC和EF与AB和DE成比例，可以得到BC/EF=AB/DE=5/3。
由勾股定理可得BC=sqrt(AC^2-AB^2)，EF=sqrt(DF^2-DE^2)。
三、相似三角形的性质应用相似三角形的性质在实际问题中有着广泛的应用。
3.3相似三角形的性质和判定
AD 求 DB
A D B E
C
例.四边形DEFG是△ABC 的内接矩形.AM⊥BC，若 DG=2DE,AM=18,BC=20,求 矩形的周长。
A
AN DG AM BC
D B E
N
G
C M F
相似三角形的判定定理1:
三边对应成比例的两个三角 形相似. 相似三角形的判定定理2:
两角对应相等的两个三角形 相似.
2
E
3 2
C
B
相似三角形的判定定理1:三边对应成比 例的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理2:两角对应相 等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理3:两边对应成 比例且夹角相等的两个三角形相似.
斜边和一条直角边对应成比例 的两个直角三角形相似.
练一练
Rt△ABC与Rt△DEF中， AB=8，CB=10,∠A=90°， DE=4，FE=5，∠D=90°， 则这两个直角三角形（ ） 相似
若找不到相等的角，则判断三边是否对 应成比例。
常见图形归纳：
A D B E
E A B E A
1
A D C
B
D
A D2 1 B E C
①
A D2
C
②
C
D C
③
④
B
⑤
B C
⑥
每个基本图形两个三角 形相似的条件:图①② 为DE//BC;图③为 ∠ACB=Rt∠,CD⊥AB;图 ④⑤为 ∠1=∠B,∠2=∠C;图⑥ 为∠C=∠D或∠B=∠E
练一练
AE 1.若 AB
F A E
则△AEF∽△ABC
B
C
AF AC
练一练
2.请你填入一个比例 式，使△ACD∽△BCA
相似三角形判定
相似三角形判定相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边的比例相等的情况。
在几何学中，判定两个三角形是否相似是一个重要的问题。
本文将介绍相似三角形的判定方法及其应用。
一、相似三角形的判定条件1. 直角三角形相似判定对于两个直角三角形，若它们的一个角相等（除直角外），并且两个锐角分别相等，那么这两个直角三角形是相似的。
换句话说，如果两个直角三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
2. AAA相似判定对于两个三角形，如果它们的三个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
3. AA相似判定对于两个三角形，如果它们的一个角相等，而且两个角对应的两边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。
4. SAS相似判定对于两个三角形，如果它们的一个角相等，而且两边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的应用1. 比例计算相似三角形的边长比例可以用来计算未知长度。
例如，如果我们知道一个三角形的两个边与另一个三角形的两个边成比例，那么我们可以利用这个比例关系计算出未知边的长度。
2. 测量不可达距离在实际测量中，由于一些地方不可达或较难到达，我们可以利用相似三角形的原理来计算这些位置的距离。
通过测量已知距离和相似三角形的比例关系，我们可以确定不可达位置的距离。
3. 设计模型和原型相似三角形的原理也经常用于设计模型和原型。
通过在一个比例上缩小或放大一个已知的三角形，我们可以得到与原三角形相似的模型。
4. 空间推理在几何学中，相似三角形的概念经常被用于进行空间推理。
通过判断不同角度和边长的三角形是否相似，我们可以推断出一些与角度和长度相关的性质。
总结：相似三角形的判定条件包括直角三角形相似判定、AAA相似判定、AA相似判定和SAS相似判定。
相似三角形的应用广泛，包括比例计算、测量不可达距离、设计模型和原型以及空间推理等方面。
通过掌握相似三角形的判定条件和应用，我们可以在几何学和实际问题中更好地运用相似三角形的概念。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、学习要求1．了解相似多边形的概念，知道相似多边形的性质；2．了解两个三角形相似的概念，会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；3．会利用相似三角形的知识解决一些实际问题；认识现实生活中物体的相似；会运用相似多边形的性质解决简单的问题；利用图形的相似解决一些简单实际问题.二、知识梳理及例题分析1．相似三角形的概念：在和中，如果，，，，我们就说和相似，记作∽，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).思考：在中,点是边的中点,，交于点，与有什么关系？猜想：与相似. 证明：在与中，∴，.过点作，交于点在中，，，∴. 又，∴∴，∴∽(对应角相等，对应边的比相等的两三角形相似)，相似比为.改变点在上的位置，可以进一步猜想以上两个三角形依然相似.2．相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.思考：对比三角形全等判定的简单方法()，看是否也有简便的方法？已知：在和中，.求证：∽.分析：要证明∽，可以先作一个与全等的三角形，证明它与相似，这里所作的三角形是证明的中介，它把与联系起来证明：在线段(或它的延长线)上截取，过点作，交于点，根据前面的结论可得∽. ∴又，∴∴同理：∴≌∴∽相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.思考：若，，与是否相似呢？相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.进一步引申：若，，与是否相似呢？不一定问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等.例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，，；，，.(2)，，；，，.解：(1)，∴又∴∽问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是)(2)，，∴与的三组对应边的比不等，它们不相似.问：要使两三角形相似，不改变的长，的长应当改为多少？(答：)例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是：，3；或，；或，.注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.3．三角形相似的判定的应用例3.如图，弦和弦相交于内一点，求证：.分析:题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接，.在∴∽∴.例4.已知：如图，在中，于点.(1)求证：∽∽；(2)求证：；；(此结论称之为射影定理)(3)若，求.(4)若，求.分析：(1)利用两角相等证相似；(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可；(3)利用射影定理和勾股定理直接求；(4)利用上面的定理和方程求.进一步引申：在中，于点，这个条件可以放在圆当中，是直径，是圆上任意一点，于点，则可得到双垂直图形.例.已知：∽，分别是两个三角形的角平分线.求证：.分析：先利用相似三角形的性质得到，，再利用角平分线的定义，得到，从而可证得∽，则比例式可证得得到：相似三角形对应角的平分线的比等于相似比.那么对应中线的比，对应高线的比呢？4．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.(2)相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.证明：如果∽，相似比为，那么.因此，，.从而，.同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.如图，已知：∽，相似比为.分别作出与的高和和都是直角三角形，并且，∽相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，可以把他们分成若干个相似三角形证明.例5.如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.解：在和中，，又∽，相似比为.的周长为，的面积是.例6.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△B CO；(2)如果AP=m(m 是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O 上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.分析：此题第1问：利用两边的比相等，夹角相等证相似. 即，第2问：设∵是的比例中项，∴是的比例中项即∴解得又∵第3问：∵ ，，即当时，两圆内切；当时，两圆内含；当时，两圆相交.例7.如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.(3)在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.解：(1)，∽(2)∵的周长与四边形的周长相等∽(3)在线段上存在点，使得为等腰直角三角形.过作于，则，设交于若，则.∵∽若，同理可求. 若，∽∴ 在线段上存在点，使得为等腰直角三角形，此时，或.三、总结归纳：1、相似三角形的判定：(1)相似三角形的定义；(2)平行得相似；(3)三边的比相等；(4)两边的比相等，夹角相等；(5)两角对应相等.三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择.3、相似三角形的常见图形及其变换：4、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系证明题常用方法归纳：(1)通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(2)若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.(3)若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.。
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相似三角形的判定、性质及常见模型
1、相似三角形的定义与性质
(1)定义：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
(2)表示：在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边。
(3)性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；推论：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.(4)相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比.设▲ABC 与▲A'B'C'的相似比为k，▲A'B'C'与▲ABC的相似比为k'，则k'=1/k.注意：①两个三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关;②当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形.反过来，两个全等三角形一定是相似三角形，它们的相似比等于1.因此全等三角形是相似三角形的特例.2、相似三角形的预备定理和判定定理
相似三角形的3条判定定理证明思路如下：
3、直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似，即：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.4、相似三角形的基本图形(1)平行线型：A型与X型.
(2)斜交型.
(3)共边共角型
(4)双垂型
(5)旋转型
5、判定三角形相似的思路
6、三角形相似的性质
相似三角形的性质定理1证明思路如下：。