相似三角形的判定

相似三角形的判定中考要求重难点1．相似定义，性质，判定，应用和位似2．相似的判定和证明3．相似比的转化课前预习相似三角形的由来两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的实际高度，于是，命令祭司们去丈量．可是，没有一个祭司知道该怎样测量，往这个问题面前，祭司们个个束手无策．既然，人是不可能爬到那么高大的塔顶上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎样来量呢？一时，金字塔的高度成了一个难题．国王一气之下，杀死了几个祭司，同时悬赏求解答．有一个叫法涅斯的学者，看到国王的招字后，决心解決这个难题．他想了好几个解题的方案，但都行不通．失败并没使他灰心．法涅斯索性来到外面，一边踱步，一边思索著解決的辦法，以致撞到树上．于是，他转了个圈，又走下去．太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到那里．这时，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以请太阳来帮忙呢？在古埃及人的眼里，太阳是万能的，太阳能给人温暖，能帮助人们确定方向，法涅斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都拖著一个长长的影子，而中午每个物体的影子都很短…那么，是不是有一个时刻，物体的影子就等于物体的高度怩？﹁他自言自语起来．想到这里，法涅斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察、测量起來．经过几天的观察、测量，法涅斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于物体的高度．于是，他去测量好金字塔底边的长度，并把数据记下来．然后，他毫不犹豫地揭下了悬挂的招字．国王得到“有人揭下招字”的报告后，高兴万分，派人把法涅斯召进王官，盛情款待，一切准备停当后，国王选择了一个风和日丽的日子，举行测塔仪式．测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法捏斯一起来到金字塔旁．看热闹的人黑压压一片，喧闹着，拥挤著，他们等待着壮观的一刻到来，法涅斯站在测塔指挥台上，俨然像个天使，一动也不动地注视着自己的影子．看看时间快到了，太阳光给每一个在旁的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子．当法涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令。

这时，助手们立即测出了金字塔的阴影CD 的长．接着，法涅斯十分准确地算出了金字塔的高度，最后，他还把测量金字塔高度的秘密告訴大家．场上，发出一阵热烈的观呼声．当然，法涅斯利用了相似三角形的原理测得了塔高．在法捏斯以前，还沒有人知道这个原理呢！法捏斯第一次发现、利用这个原理．在那个时代，这是一个伟大的创举！在这个基础上，法涅斯进一步研究，得出一个法则：在任意两個对应角相等的三角形中，对应边的比率也相等．从而，找到了在任何季节里，在任何时候都能测塔高的方法．例题精讲模块一 相似三角形的判定☞角对应相等、边对应成比例，三角形相似对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，在ABC △与A B C '''△中，',','A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠，''''''AB BC ACA B B C A C ==，则ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．【例1】 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形．求证：MEF MBA △∽△．MFEDCBA【难度】1星【解析】解法一：由DC AB ∥得出对应角相等，对应边成比例EM FM EFMB MA AB==，再根据相似三角形的定义得出答案．解法二：根据三角形的对应边成比例，且夹角相等，可以证明两三角形相似．解法三：根据三角形的两组对应角相等，三角形相似，可以证明三角形相似． 本题根据第一种解法给出证明．【答案】∵DC AB ∥∴,FEM MBA EFM MAB ∠=∠∠=∠，EF EM FMAB MB MA==又有对顶角EM F BM A ∠=∠ ∴MEF MBA △∽△☞平行定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 常见题模型如下：EDCBAE D CBA G EDCAGFEDCBA G EDC BA DEFCBA方法点播：前两种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系，以及角平分线等．【例2】 如图，DE BC ∥，且DB AE =，若510AB AC ==，，求AE 的长．EDBA【难度】3星【解析】∵DE BC ADE ABC ⇒∥△∽△∴AD AE AD AE AB AC DB EC ==， ∵510AB AC BD AE ===，， ∴1210AD AB AD DB AE AE AE AC AE EC AC AE AE =====--， ∴1101023AE AE AE =⇒=-【答案】103【巩固】在ABC △中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅．PE D CBA MPED C BA【难度】3星 【解析】略【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥， ∴PCM PBD △∽△， ∴CM PCBD PB=， ∵CM AB ∥， ∴CEM AED △∽△， ∴CM ADCE AE=， ∵BD CE =， ∴CM CMCE BD =， ∴PC ADPB AE=， ∴AD BP AE CP ⋅=⋅【拓展】如图所示，在Rt ABC △中，090B ∠=，4,8BC cm AB cm ==，D E F 、、分别为AB AC BC 、、边的中点，点P 为AB 边上一点，过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，若3AP cm =，求正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积．P QMNABCD FE【难度】3星 【解析】PQ BC ∥∴APQ ABC △∽△ ∴AP PQAB BC=又∵4,3,8BC AP AB === ∴32PQ MN ==．同理4EF BD == ∴31122DN =-= ∴正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积133224=⨯=．【答案】34☞三条边对应成比例，两三角形相似如图，在ABC △与A B C '''△中，若AB BC ACA B B C A C ==''''''，则有'''ABC A B C △∽△．A 'B 'C 'CB A方法点播：利用三边对应成比例证明三角形相似时，如果是填空和选择题，会直接给出三边的长度数或者根据方格数自己算出长度，学生只需要对应的列出比例式就可以．解答题中需要由其他的相似导出成比例的三组对边，或者有一类题型要求找某一点时，一定要注意分类讨论，不要丢掉某种情况．【例3】 如图所示，如果,,D E F 分别在,,OA OB OC 上，且,DF AC EF BC ∥∥．求证：ABC DEF △∽△．ODFEBA【难度】1星【解析】由两组平行线得到ABC△与DEF△的三条边对应成比例，即DE DF EFAB AC BC==，题目得证．【答案】∵DF AC∥∴OD DF OF OA AC OC==∵EF BC∥∴OE EF OF OB BC OC==∴OD OE DE OA OB AB==∴DE DF EF AB AC BC==【巩固】如图，已知O是ABC△内一点，D E F、、分另是OA OB OC、、的中点．求证：ABC DEF△∽△．OFEAB CD【难度】1星【解析】考察相似三角形的判定定理：三边对应成比例，两三角形相似．【答案】∵EF BC∥，点,E F分别为线段OB和线段OC的中点∴12 OE EF OB BC==同理：12OE DE OB AB ==，12OD DF OA AC == 所以有12EF DE DF BC AB AC === ∴ABC DEF △∽△☞两角对应相等，两三角形相似如图，在ABC △与A B C '''△中，若','A A B B ∠=∠∠=∠，则有'''ABC A B C △∽△．A 'B 'C 'CB A常见题型中的几何模型有以下几种：方法点播：在解三角形相似问题时，遇到以上第一图和第三图的“A ”字形图形时，就马上想到有一个公共角，遇到第二图的“8”字形时就立马想到有一对对顶角可以利用，遇到直角三角形就想到有无数对互余的角，可以找到两对以上相等的角．【例4】 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，过C 作CE AB ∥，P 为梯形ABCD 内一点，连接BP 并延长交CD 于F ，交CE 于E ，再连接PC ．若BP PC =． 求证：PFC PCE △∽△．21EFABD C P【难度】2星 【解析】略【答案】∵在等腰梯形ABCD 中，BP PC =∴12∠=∠又∵AD BC∥∴1E∠=∠2E∠=∠，CPF EPC∠=∠∴PFC PCE△∽△【巩固】如图，在矩形ABCD中，1AB=，2BC=将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为（）F E D CBA 【难度】2星【解析】解法一：根据两角对应相等，证明CEF CAB△∽△，得到对应边成比例CF EF BC AB=，1CFBE EF ABBC==⋅==．解法二：由勾股定理求得．设BE x=，根据1AB=，2BC=，BE EF x==得知1CF=,2CE x=-，根据勾股定理可列：())22221x x-=+，解得：BE x=本题给出解法一的标准答案．【答案】BE∵C C∠=∠，90AFE ABE∠=∠=︒∴CEF CAB△∽△∴EF CEAB AC=∴1CEFE x ABAC==⨯=，x=∴BE x=【例5】如图所示，AB CD∥,,AD BC交于点,E F为BC上一点，且EAF C∠=∠．求证：（1）EAF B ∠=∠；（2）2AF FE FB =⋅．FEDC BA【难度】1星【解析】（1）根据AB CD ∥得到内错角相等B C ∠=∠，又已知EAF C ∠=∠，所以等量代换EAF B ∠=∠．（2）根据结论和三点定形法，可推断AFE BFA △∽△．借助第一问的结论，再结合公共角AFE BFA ∠=∠，可证明假设，同时得到AF FBFE AF=，问题得证． 【答案】（1）∵AB CD ∥∴B C ∠=∠ 又EAF C ∠=∠ ∴EAF B ∠=∠（2）∵EAF B ∠=∠，AFE BFA ∠=∠∴AFE BFA △∽△ ∴AF FBFE AF=，即2AF FE FB =⋅【巩固】如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB = ．PCBA【难度】4星【解析】120APB BPC ∠=∠=︒，6060BAP ABP ABC ABP ABP CBP ∠=︒-∠=∠-∠=︒-∠=∠，故ABP BCP △∽△，2PB PA PC =⋅,PB =【答案】☞两边对应成比例且夹角相等，三角形相似如图，在ABC △与A B C '''△中，若AB BCA B B C=''''且'B B ∠=∠，则有'''ABC A B C △∽△．A 'B 'C 'CB A方法点播：利用这一性质解题关键之处就是借助很容易求出的相似三角形得到比例线段，再结合本来相等的两个角同时加上同样大小的角和相等来解题．【例6】 已知，如图，D 为ABC △内一点连结,ED AD ，以BC 为边在ABC △外作,CBE ABD BCE BAD ∠=∠∠=∠．求证：DBE ABC △∽△．DACEB【难度】2星【解析】由,CBE ABD BCE BAD ∠=∠∠=∠，得到ABD CBE △∽△，得到AB BDBC BE=和ABD CBE ∠=∠，即AB BCBD BE=和ABC DBE ∠=∠，根据两边对应成比例且夹角相等，证明DBE ABC △∽△． 【答案】∵,CBE ABD BCE BAD ∠=∠∠=∠∴ABD CBE △∽△ ∴AB BDBC BE=，ABD CBE ∠=∠ ∴AB BCBD BE=，ABC DBE ∠=∠ ∴DBE ABC △∽△【巩固】在ABC △和DEF △中，22AB DE AC DF A D ==∠=∠，，，如果ABC △的周长是16，面积是12，那么DEF △的周长、面积依次为（ ）．【难度】2星【解析】根据已知可证ABC DEF △∽△，且ABC △和DEF △的相似比为2，再根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方即可求DEF △的周长、面积．【答案】∵在ABC △和DEF △中，22AB DE AC DF ==，∴2AB ACDE DF== 又∵A D ∠=∠∴ABC DEF △∽△，且ABC △和DEF △的相似比为2 ∵ABC △的周长是16，面积是12 ∴DEF △的周长为8，面积为3【拓展】如图，在ABC △中,AD BC ⊥，垂足为D ，且CE BE ⊥，垂足为E ，交BA 的延长线于点E ．求证：BDE BAC △∽△．EDBAC【难度】2星【解析】由两个对应角相等证明出ABD CBE △∽△，得出AB BD BC BE =所以有AB BCBD BE=，再由一个公共角ABC DBE ∠=∠，由三角形相似的判定定理可证BDE BAC △∽△【答案】略课堂检测1．如图，CD 是Rt ABC △斜边上的中线，过点D 作垂线直于AB 的直线交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ，求证：DCF DEC △∽△．ABCDE F【难度】2星【解析】利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可知BDC △为等腰三角形，又由Rt ABC △和Rt AED △有一个公共角可知，E B ∠=∠，由此可证DCF DEC △∽△．【答案】∵,DE AB BC AE ⊥⊥∴在Rt ADE △和Rt ACB △中，E B ∠=∠ 又∵CD 是Rt ABC △斜边上的中线 ∴DC BD = ∴B BCD ∠=∠∴BCD E ∠=∠，CDF EDC ∠=∠ ∴DCF DEC △∽△2．如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．HGFED CB A【难度】3星【解析】连接DF 、CG ，则45EDF EBF DFB ∠=∠+∠=︒，若DFB EBG ∠=∠，则EBF EBG ∠+∠可求，问题的关键是证明BCG FDB △∽△．【答案】45︒3．如图，已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BC CD =，AD 与CE 相交于F ，则AF EFFC FD+的值为（ ）A DEFCBA ．52 B ．1 C ．32D ．2 【难度】4星【解析】这类题的解法：找适当的点，作适当的平行线，构造基本图形解题，或者直接运用梅氏定理来解题．【答案】C4．在Rt ABC △中90,C AB B ∠=︒==，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连接AP ．（1）求AC BC 、的长；（2）设PC 的长为x ，ADP △的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．AB CDP【难度】3星【解析】（1）在Rt ABC △中，AB B =得AC AB =∴2AC =，根据勾股定理得：4BC =； （2）∵PD AB ∥，∴ABC DPC △∽△，∴12DC AC PC BC == 设PC x =，则11,222DC x AD x ==- ∴当2x =时，y 的最大值是1．【答案】2AC =,4BC =；2x =时，y 的最大值是1．总结复习1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ． ② ． ③ ．课后作业1．已知ABC △的三条边长分别为2、5、6，DEF △的三条边长分别为20、8、24，这两个三角形是否相似？为什么？ 【难度】1星 【解析】略【答案】相似，三边对应成比例，即28520624==∶∶∶．2. 如图，在直角梯形ABCD 中，7,2,3AD AB DC ===，P 为AD 上一点，以A B P 、、为顶点的三角形与 以P D C 、、为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有几个？为什么？P【难度】2星【解析】解答此题，必须引导学生进行分类讨论，拓展思维．1．APB DPC △∽△此时有一个点P ，145PA =，215PD = 2．APB DCP △∽△此时有两个点P ，1PA =，6PD =或6PA =，1PD =【答案】3个3．如图所示，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，D 、E 分别是边AB AC 、的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ,过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动，设,BQ x QR y ==． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．ERPQH ABCD【难度】3星【解析】（1）利用ADE HBD △∽△的相似比，和点D E 、分别为线段,AB AC 的中点，求得125DH =； （2）根据线段的比例关系求得：365x y =-． 【答案】125；365x y =-4．如图所示，已知四边形BDEF 是菱形，12DC BD =，且4DC =，求AF 的长． ABCDEF【难度】2星【解析】由平行线的性质能判定AFE △和EDC △的任意两个角相等，证明AFE EDC △∽△得到对应线段成比例21FE AF DC DE ==，4DC =，8FE DE BD BF ====，所以16AF =． 【答案】165. 如图，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为20B ,53⎛⎫- ⎪⎝⎭，D 是AB 边上的点，将ADO △沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的 图象上，那么该函数的解析式是（ ）【难度】2星【解析】先作EF CO ⊥，连接OD ，构造全等三角形，再由勾股定理和相似三角形的性质，求出E 点作标，利用待定系数法解答即可．【答案】作EF CO ⊥，连接OD ．因为点B 的坐标为20,53B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以203AB =，5AO =， 根据折叠不变性，5OE OA ==，根据勾股定理，253OB ，又因为OEF OBC △∽△， 所以 52553EF =，解得3EF =， 又因为点A 的坐标为()0,5A ，所以4OF所以E点坐标为()4,3-，设解析式为kyx =，将()4,3-代入解析式得4312k=-⨯=-所以解析式为12 yx =-。