第六讲几何计数

f(5)=1+3+6+10+15=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)=35;
……
f(n)=1+(1+2)+(1+2+3)+……+（1+2+3+……n）
=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+……+n×(n+1)÷2
= ×(1×2+2×3+3×4+……+n×(n+1))参考附录一。
分析：
因为只连接各个圆的圆心，我们可以把各枚棋子的圆心标出，这些圆心正好构成一个4行4列的钉子板，如图：
以点 为顶点的正方形如下图所示：
共有三个，由对称性知道，以 、 、 为顶点的正方形也各有三个（可以试一试，画一画），所以共有12个正方形。
以 为顶点的正方形如下图所示：
有5个，由对称性知道，以 、 、 、 、 、 、 分别为顶点的正方形也各有5个，所以共有8×5=40个；
个。这个计算是根据组合数的性质：
得到。
3.图中共有多少个正方形？
答案：4×11的方格共有正方形个数：4×11+3×10+2×9+1×8=100个；
6×5的方格中有正方形个数：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=70个；
二者重叠部分是4×5方格：共有正方形个数：4×5+3×4+2×3+1×2=40个；
以 为顶点的正方形如下图所示：共有7个，由对称性以 为顶点的正方形也各有7个，所以共有4×7=28个。
所以以这4×4=16个点为顶点的大、小正方形共有12+40+28=80个，而每个正方形有4个顶点，所以按照点为顶点计算，每个正方形没重复计算4次，所以这些棋子的顶点可以组成80÷4=20个正方形。
例6.如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵。用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连接起来就形成一个三角形。在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个？
6个单位的包含“﹡”有1个：梅红色的1个。
所以共有1+4+1=6个。
如图所示在直线ab上有7个点直线cd上有9个点以ab上的点为一个端点cd上的点为另一个端点的所有线段中任意条线段都不相交于同一个点求所有这些线段在ab与cd之间的交点数
第六讲
学习目标：利用排列组合解决几何计数问题。
重点学习类型：数格子、数组合图形
思想方法：归纳递推。
经典例题
例1.（第7界迎春杯决赛）图中共有______个正方形。
例3.下图中有多少个长方形？多少个正方形？
分析：按照方向数。
正方形的个数：
（1）正方的：1×1的有8个；2×2的有2个；
（2）斜放的：九宫格，有 个；
长方形：
（1）正放的：
有 个长方形；
有 个长方形；
有 个长方形，这个是重叠部分，所以要去掉。
所以正放的长方形共有：10+18-3=25个长方形。
（2）斜放的：九宫格中的长方形有： 个长方形。
因此长方形有25+36=61个长方形。
例4.下图中有多少个长方体？（包含正方体）
分析：要确定一个长方体只需要确定长、宽、高即可。
在红色线段所在的边上共有线段： 条线段；
蓝色线段所在的边上共有线段： 条线段；
绿色线段所在边上共有线段： 条线段。
所以共有： 个长方体。
例5.如下图，8枚圆形棋子放在4×4的棋盘中，用不同的方法连接各棋子的圆心，可以得到三种位置且大小不同的正方形。如果棋盘上每个格都放一枚圆形棋子（如图），用不同的方法连接各枚棋子的圆心，那么出现与左下图那样的位置不同（不论大小是不是相等）的正方形一共有_____个。
分析：要确定一个长方形或者正方形只需要确定长和宽，正方形要确定一边和邻边即可。
所以我们要确定正方形的个数分两步：第一步确定一边长，第二步确定邻边。
我们归纳一下：
对于1×1的正方形如下图：
共有 个正方形；
对于2×2的正方形如下图：
横着的边上，长度为1的线段有2条，竖直的边上长度为1的线段共有2条，所以边长为2的正方形共有2×2=4个小正方形；横着的边上长度为2的线段有1条，竖直的边上长度为2的线段有1条，边长为1正方形所以共有1×1=1个正方形。所以所有的正方形有：
根据n个连续自然数的平方和公式（见附录一）：
=
=338350.
例2.如图，由20个边长为1的小正方形拼成一个4×5长方形中有一格有“ ”。
求：（1）图中正方形的个数；
（2）图中长方形的个数；
（3）图中含 的正方形个数；
（4）图中含 的长方形的个数；
（5）图中所有长方形的面积之和；
（6）图中所有含 的长方形面积之和。
3×3的正方形：一条直线最多穿过5个正方形：
4×4的正方形，一条直线最多可以穿过7个正方形：
……以此类推，n×n的正方形，一条直线最多可以穿过2n-1个正方形；
所以由625=25×25的正方形，一条直线最多可以穿过2×25-1=49个正方形。
学案4.如图所示，在直线AB上有7个点，直线CD上有9个点，以AB上的点为一个端点，CD上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB与CD之间的交点数。
= × n×(n+1)×(n+2)=286
通过简单地估值，n=11.
学案1.在图中（单位：厘米）
1一共有几个长方形？
2所有这些长方形面积的和是多少？
答案：（1）一共有 个长方形；
（2）所求的和是：
[5+12+8+1+（5+12）+（12+8）+（8+1）+（5+12+8）+
（12+8+1）+（5+12+8+1）]×[2+4+7+3+(2+4)+(4+7)+
家庭作业：
1.图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。
分析：
白色小三角形个数：1+2+3+……+6=21；
黑色小三角形个数：1+2+3+……+7=28；
所以它们的比=
2.在一个圆周上标上10个点，以这10个点中的某些点为顶点，能够连出多少个不同的多边形？
答案：圆周上任意三个点不共线，所以任意三个点确定一个三角形，共有 个三角形；圆周上任意四个点确定一个四边形，共有 个四边形；……圆周上任意10个点确定一个10边形，共有 个10边形。所以，不同的多边形共有：
(7+3)+(2+4+7)+(4+7+3)+(2+4+7+3)]
=144×86=12384(平方厘米).
学案2.一块木板上有13枚钉子，用橡皮筋套住
其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形等，
如图,那么一共可以构成多少个不同的正方形？
答案：共有11个。
按照方向分类：
（1）正放的：1×1的5个；2×2的1个；红色
个正方形；
对于3×3的正方形如下图：
共有1×1+2×2+3×3= 个正方形。
对于4×4的正Βιβλιοθήκη 形如下图：共有1×1+2×2+3×3+4×4= 个正方形。
……
本题中共有正方形的个数：
巩固题：一个由正方形小方格组成的100×100的正方形中，共有______个正方形。
答案：根据上面的分析，共有： 个正方形。
所以，本题中所有长方形的面积之和等于，横着边上15条线段的长度之和与竖直边上10条线段的长度之和的乘积，即：（1×5+2×4+3×3+4×2+5×1）×（1×4+2×3+3×2+4×1）=700；
（6）图中包含五角星的长方形面积之和等于，横着边上包含蓝色线段的线段（8条）长度之和，与竖直边上包含红色线段的线段（6条）长度之和的乘积，即：（1+2×2+3×2+4×2+5）×（1+2×2+3×2+4）=360.
（2）横着边上线段有 =15条线段，竖直边上共有线段 =10条线段，所以共有15×10=150条线段。
（3）正方形要含五角星，所以要求这样的正方形：横着的边要包含蓝色的线段，竖直的边要包含红色的线段。横着边上包含蓝色线段的线段：长度为1的线段有1条(线段BC)；长度为2的线段有2条（线段AC和线段BD）；长度为3的线段有2条（线段AD和线段BE）；长度为4的线段有2条（线段AE和线段BF）；竖直的边上包含红色线段的线段有：长度为1的有1条；长度为2的有2条；长度为3的有2条；长度为4的线段有1条。所以包含五角星共有：1×1+2×2+2×2+2×1=11个正方形。
（4）同（3）横着的边上包含蓝色线段的线段共有8条线段，竖直的边上包含红色线段的线段共有6条线段，所以共有8×6=48条线段。
（5）
b
a
c d
如右图，容易算出：所有长方形（共9个）的面积共有（c+d+(c+d)）×(a+b+(a+b))，从此可以看出，所有长方形的面积等于横着边上所有线段的长度的和与竖直边上所有线段的长的和的乘积。
（1）f(5)=_____;
（2）若f(n)=286,则n=_______.