导数的概念及运算
第一课时导数的概念及运算
第一课时 导数的概念及运算 一、基本知识点： ⒈导数的概念：（1） 函数的增量)()(x f x x f y -∆+=∆（2） 函数的平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3） 导数的定义：0000()()lim lim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆A =， 则A x f =)(0'0000()()lim lim x x f x f x y x x x ∆→∆→-∆=∆-A =，则A x f =)(0'导函数的定义：00()()limlim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆ '()f x =2．导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义， 就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率．3．)(t S 为位移函数，瞬时速度为)()('t v t S =，平均速度tS ∆∆，瞬时加速度)()('t v t a =4．常用的导数公式：⑴0'=C (C 为常数)；⑵1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；⑶x x cos )'(sin =； ⑷x x sin )'(cos -=； ⑸*x xx 22sec cos 1)'(tan==； ⑹*x xx 22csc sin 1)'(cot -==； ⑺x x e e =)'(；⑻a a a xx ln )'(=；⑼x x 1)'(ln =；⑽e x x a a log 1)'(log =．⒊导数的运算法则：⑴两个函数四则运算的导数： ①'')'(v u v u ±=±；②'')'(uv v u uv +=； ③)0(''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv v u v u ． ⑵复合函数的导数：x u x u y y '·''=．二、典型例题例1：（1）若2)(0='x f ，则000()()lim 2k f x k f x k→--=（2）若b a f =)('，则0(3)()lim 2h f a h f a h h→+--=例2：(1)用定义求函数4+=x y 的导数(2)已知物体的运动方程为2522S t t =++,(1)求0t =到2t =时的平均速度 (2)求0t t =时的瞬时速度和瞬时加速度例3 :求下列函数的导数：(1) y=(2x 2-1)(3x+1)(4)11-+=xx e e y (5)2ln x y x =(6)y =22(2);cos 39(3).x y xx y =-+-=例4：（1）求抛物线2x y =上一点到直线02=--y x 的最短距离(2)（05福建卷）已知函数 的图象在点M （－1，f (-1)）处的切线方程为x +2y+5=0. 求函数y=f (x )的解析式；(3)过原点作曲线xy e =的切线，则切线方程为(4)（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于A ．1-或25-64B ．1-或214C ．74-或25-64D ．74-或7答案：A【解析】设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为320003()y x x x x -=-即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032x =-， 当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-， 当032x =-时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A .26()ax f x x b -=+例5：已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ，1263)(2++=x x x g ，和直线9:+=kx y m又0)1('=-f （1） 求a 的值（2） 是否存在k 的值，使直线m 既是曲线)(x f y =的切线，又是曲线)(x g y =的切线？如果存在，求出k 的值，如果不存在，请说明理由（3） 如果对于2-≥x 的所有x ，都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围第一课时 导数的概念及运算 ⒈导数的概念：（4） 函数的增量)()(x f x x f y -∆+=∆ （5） 函数的平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （6） 导数的定义： 当0→∆x 时，xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00A →，则A x f =)(0' 当0x x →时，0)()(x x x f x f x y --=∆∆A →，则A x f =)(0' 导函数的定义：当0→∆x 时，xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(的极限值 )(0x f 2．导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点 ))(,(00x f x 处的切线的斜率．3．)(t S 为位移函数，瞬时速度为)()('t v t S =，平均速度tS∆∆， 瞬时加速度)()('t v t a = 4．常用的导数公式：⑴0'=C (C 为常数)； ⑵1)'(-=n nnxx (Q n ∈)；⑶x x cos )'(sin =； ⑷x x sin )'(cos -=； ⑸*x x x 22sec cos 1)'(tan ==； ⑹*x xx 22csc sin 1)'(cot -==； ⑺xxe e =)'(； ⑻a a a xxln )'(=； ⑼x x 1)'(ln =； ⑽e xx a a log 1)'(log =． ⒊导数的运算法则：⑴两个函数四则运算的导数：①'')'(v u v u ±=±； ②'')'(uv v u uv +=； ③)0(''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv v u v u ．⑵复合函数的导数：x u x u y y '·''=． 二、典型例题 例1：（1）若2)(0='x f ，则当0→k 时，→--kx f k x f 2)()(00（2）若b a f =)('，则当0→h 时，→--+hh a f h a f 2)()3(例2：用定义求函数4+=x y 的导数例3 求下列函数的导数：(1)y=(2x 2-1)(3x+1)(211-+=x x e e y (3)3)2sin (x b ax -(4))1ln(2x x y ++= （5）)1(2+=x f y例4：（1）求抛物线2x y =上一点到直线02=--y x 的最短距离 （2）已知曲线C 1：y=x 2与C 2：y=-(x-2)2直线L 与C 1，C 2都相切，求直线L 的方程例5：已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ，1263)(2++=x x x g ，和直线9:+=kx y m 又0)1('=-f （4） 求a 的值（5） 是否存在k 的值，使直线m 既是曲线)(x f y =的切线，又是曲线)(x g y =的切线？如果存在，求出k 的值，如果不存在，请说明理由（6） 如果对于2-≥x 的所有x ，都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围。
导数的概念与运算
2.求下列函数的导数： (1)y＝(1－ (3)y＝xex； )(1＋ )； (2)y＝
(4)y＝tanx.
解：
(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1).
(4)y′＝
求下列函数的导数 ⑴ y (3x3 4 x)(2 x 1) ⑶ y 3 e 2 e
x x x
f / ( x) ＝ y ＝ 记作
/
y f ( x x) f ( x) lim lim x 0 x x 0 。 x
2．求导数的方法：
（1）求函数的增量⊿y；
（2）求平均变化率
y x
；
（3）求极限
y lim x 0 x
。
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数 的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，y0）处
导数的概念与运算
知识提要： 1．导数的概念： （1）已知函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有增 量⊿x，那么函数y相应地有增量
y ⊿y=f(x0+⊿x)-f(x0),比值 x 就叫做函数y=f(x)
在x0到x0+⊿x之间的平均变化率； y （ 2 ） 当 ⊿ x→0 时 ，x 有极限，就说函数 y=f(x)在x0 处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0 处的导数（或变化率），记作
1 . 了解导数的概念，初步会用定义式解决一些 问题； 2． 会用定义式求导数；
3． 了解导数的几何意义；
4． 掌握常见函数的导数公式，并会正确运用；
掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。
⑵ y x2 sin x
ln x ⑷ y 2 x 1
题型三、导数的几何意义
已知曲线y＝ (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点处的变化率。
导数的基本公式和运算法则是学习微积分的基础，下面将详细介绍。
一、导数的定义在数学中，函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量的增量。
该定义表示函数f(x)在点x处的导数是函数在极限过程中的变化率。
二、导数的基本公式1.常数函数的导数公式若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
4.对数函数的导数公式若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式- 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
三、导数的运算法则1.和差法则若f(x)和g(x)都可导，则(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
2.常数倍法则若f(x)可导，则(kf(x))' = kf'(x)，其中k为常数。
3.乘积法则若f(x)和g(x)都可导，则(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
导数的概念及其运算(解析版)
考点20 导数的概念及其运算【命题解读】从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.【基础知识回顾】1. 导数的概念设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)．2. 导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3. 基本初等函数的导数公式续表4. 导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）＝f′（x ）g （x ）－f （x ）g′（x ）g 2（x ）(g(x)≠0)． 5. 复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))．(2)复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝y′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1、下列求导结果正确的是（ ）A ．()21'12x x -=-B ．()cos30'sin30︒=-︒C ．()1ln 2'2x x=⎡⎤⎣⎦ D ．'=【答案】D【解析】对于A ，2(1)2x x -'=-，故A 错误； 对于B ，(cos30)0︒'=，故B 错误； 对于C ，11[(2)](2)2ln x x x x'=⨯'=，故C 错误；对于D 31223()2x x '===，故D 正确．故选：D ．2、若()ln2x f x e x =，则()f x '=（ ）A ．ln 22xx e e x x+B ．ln 2xx e e x x-C ．ln 2xxe e x x+D ．12xe x⋅【答案】C【解析】()()ln2(ln2)x x f x e x e x =+⋅'⋅''ln 2xxe e x x=+．故选：C ．3、（2020·广东肇庆市·高三月考）已知函数1()e ln x f x x x -=+，则()1f '=（ ）A ．0B ．1C ．eD ．2【答案】D【解析】因为1()e ln x f x x x -=+，所以111()e ln e 1ln x x f x x x x x--'=++⨯=++， 所以11(1)e 1ln12f -'=++=， 故选：D4、 设M 为曲线C ：y ＝2x 2＋3x ＋3上的点，且曲线C 在点M 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π，则点M 横坐标的取值范围为(D )A . [)－1，＋∞B . ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－34C . ⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－34D . ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－34 【答案】D【解析】、 由题意y ′＝4x ＋3，切线倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π，则切线的斜率k 的范围是[)－1，0，∴－1≤4x ＋3<0，解得－1≤x<－34. 故选D . 5、下列求导过程正确的选项是( ) A.⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 B ．(x )′＝12x C ．(x a )′＝ax a －1D ．(log a x )′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln a ′＝1x ln a 【答案】 BCD【解析】 根据题意，依次分析选项： 对于A ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －1)′＝－1x 2，A 错误；对于B ，(x )′＝12()x '＝12×12x -＝12x ，B 正确；对于C ，(x a )′＝ax a －1，C 正确；对于D ，(log a x )′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln a ′＝1x ln a ，D 正确； 则B ，C ，D 正确．6、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线(1)x y ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________. 【答案】2-【解析】,((1)1)x x y y ax e ax a e '=+=++，011,2x y a a ='=+=-∴=-. 故答案为:-2.7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ . 【答案】1 【解析】函数f (x )=ax −ln x ,可得()1'f x a x=-,切线的斜率为：()'11k f a ==-， 切点坐标(1,a ),切线方程l 为：y −a =(a −1)(x −1)， l 在y 轴上的截距为：a +(a −1)(−1)=1. 故答案为1.考向一 基本函数的导数例1、求下列函数的导数(1)()2(34)21y x x x =-+； (2) 31yx x； (3) ln x ye x ；(4) tan yx ； (5)2ln 1x y x =+； (6)2ln(15)xyx ．【解析】(1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，∴218104y x x '=--.(2) 322132y x x -'=-+；(3) 1ln x y e x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭；(4) 21cos y x'=；(5)y '=(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－2x ln x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2ln xx (x 2＋1)2； (6) 52ln 251x y x '=+-.变式1、求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ； (3)y ＝cos x e x .【解析】、(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x 2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cosx e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x . 变式2、求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2＋xe x ；(2)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2； (3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2.【解析】、(1)f ′(x )＝（2x ＋1）e x －（x 2＋x ）e x （e x ）2＝1＋x －x 2e x . (2)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2. ∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3. (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x .方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考向二 求导数的切线方程例2、(1)函数ln 2()x xf x x-=的图象在点(1,2)P -处的切线方程为__________． (2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，2) C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)【答案】 (1)x －y －3＝0 (2)B【解析】 (1)f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.（2）函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．变式1、(1)已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P(0，0)，那么过点P 的曲线S 的切线方程为____．(2)已知函数f(x)＝x ln x ，过点A(－1e 2，0)作函数y ＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．【答案】（1）y ＝4x 或y ＝358x（2）x ＋y ＋1e 2＝0【解析】 (1)设过点P 的切线与曲线S 切于点Q(x 0，y 0)，则过点Q 的曲线S 的切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝－2x 20＋2x 0＋4，又当x 0≠0时，k PQ ＝y 0x 0，∴－2x 20＋2x 0＋4＝y 0x 0. ①∵点Q 在曲线S 上，∴y 0＝－23x 30＋x 20＋4x 0.②将②代入①得－2x 20＋2x 0＋4＝－23x 30＋x 20＋4x 0x 0，化简，得43x 30－x 20＝0，∴x 0＝34或x 0＝0， 当x 0＝34时，则k ＝358，过点P 的切线方程为y ＝358x.当x 0＝0时，则k ＝4，过点P 的切线方程为y ＝4x ，故过点P 的曲线S 的切线方程为y ＝4x 或y ＝358x. (2)设切点为T(x 0，y 0)，则k AT ＝f′(x 0)， ∴x 0ln x 0x 0＋1e 2＝ln x 0＋1，即e 2x 0＋ln x 0＋1＝0. 设h(x)＝e 2x ＋ln x ＋1，则h′(x)＝e 2＋1x ，当x>0时，h ′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根. 又h ⎝⎛⎭⎫1e 2＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，∴x 0＝1e 2.由f′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e 2＝0.变式2、已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f(x)的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线方程．【解析】 (1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上，∴f ′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13， ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32.(2)(方法1)设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得x 30＝－8，∴x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， f ′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(方法2)设直线l 的方程为y ＝kx ，切点坐标为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0. 又∵k ＝f′(x 0)＝3x 20＋1， ∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴该切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.故切线方程为y －(－14)＝4(x －1)或y －(－18)＝4(x ＋1)，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.方法总结： 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y ＝f(x)“在”点P(x 0，y 0)处的切线与“过”点P(x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k ＝f′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．考向三 导数几何意义的应用例3、已知函数32()3611f x ax x ax =+--，2()3612g x x x =++和直线:9m y kx =+，且(1)0f '-=．(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线()y f x =的切线，又是曲线()y g x =的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【解析】：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∵3a －6－6a ＝0，∵a ＝－2. (2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6， ∵切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9.由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ∵由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2. 在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9，∵y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ∵由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12，解得x ＝0或x ＝1. 在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10； ∵y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述，y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9，此时k ＝0.变式1、已知函数()()3cos2sin 2,,4f x x x x a f f x π⎛⎫''=++= ⎪⎝⎭是()f x 的导函数，则过曲线3y x =上一点(),P a b 的切线方程为__________________．变式2：若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为________． 【答案】：(1)3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0 (2)－e【解析】：(1)由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ， 则a ＝f ′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)． 故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.当P 点不是切点时，设切点为(x 0，x 30)，∵切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)， ∵P (a ，b )在曲线y ＝x 3上，且a ＝1，∵b ＝1.∵1－x 30＝3x 20(1－x 0)，∵2x 30－3x 20＋1＝0，∵2x 30－2x 20－x 20＋1＝0，∵(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，∵切点为11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵此时的切线方程为131842y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0. (2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e. 变式3、(2019常州期末） 若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝________． 【答案】、 e 2【解析】、设切点A(x 0，e x 0)，由(e x )′＝e x，得切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝e x 0，－k ＝（1－x 0）e x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，k ＝e 2.方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B ．2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x . 故选D.4、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=5、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线()1e xy ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】−3【解析】()e 1e xxy a ax =++'，则0|12x y a ='=+=-，所以a =−3.6、【江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初】给出下列三个函数：①1y x=；②sin y x =；③e x y =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）． 【答案】①【解析】直线12y x b =+的斜率为k ＝12， 对于①1y x =，求导得：'21y x =-，对于任意x≠0，21x -＝12无解，所以，直线12y x b =+不能作为切线；对于②sin y x =，求导得：'1cos 2y x ==有解，可得满足题意； 对于③x y e =，求导得：'12x y e ==有解，可得满足题意； 故答案为：①7、【江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】已知函数()()x f x ax b e =+，若曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，则(1)f 的值为_______.【答案】3e【解析】因为()()x f x ax b e =+，所以((()))++=++'=x x x ax b f x ae a e x b e a ，则(0)'=+f a b ， 又曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，当0x =时，1y =，即(0)1f =，所以有31a b b +=⎧⎨=⎩，解得2,1a b ==.因此()(21)x f x x e =+，所以(1)3f e =.故答案为3e8、【2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)】如图，曲线2f x x ＝在点M t f t ，处的切线为l ，直线l 与x 轴和直线1x =分别交于点P 、Q ，点()1,0N ，则PQN 的面积取值范围为_____．【答案】80,]27（ 【解析】2f x x ＝的导数为'2f x x ,在点M t f t ，处的切线斜率为2k t ,切点为2,t t ,切线方程为2201y t t x t t （）, 令1x =可得22y t t ；令0y =,可得2t x =, 则PQN 的面积为()21112222t S PN QN t t ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭, 由211384(2)(32)44S t t t t , 当203t ＜ 时,0S ＞ ,函数S 递增；当213t ＜＜时,0S ＜ ,函数S 递减, 可得23t = 处S 取得极大值,且为最大值827, 且0t ＝时,0S ＝；1t ＝时,14S , 可得PQN 的面积取值范围为80,]27（, 故答案为：80,]27（.。
高中数学一轮复习重难点 导数的概念和运算(十年高考)
第四章一元函数的导数及其应用4.1导数的概念及运算考点导数的概念和运算1.(2023全国甲文，8）曲线e 1=+xy x 在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A.e4y x =B.e 2y x =C.e e 44y x =+ D.e 3e24y x =+【答案】C【解析】设曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()e 12y k x -=-，因为e 1xy x =+，所以()()()22e 1e e 11x x xx x y x x +-'==++，所以1e|4x ky ='==，所以()e e 124y x -=-，所以曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为e e 44y x =+，故选：C2.(2016四川理,9,5分)设直线l 1,l 2分别是函数f(x)=−lns 0<<1,lns >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A,B,则△PAB 的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案A 设l 1是y=-ln x(0<x<1)的切线,切点P 1(x 1,y 1),l 2是y=ln x(x>1)的切线,切点P 2(x 2,y 2),l 1:y-y 1=-11(x-x 1),①l 2:y-y 2=12(x-x 2),②①-②得x P =1−2+211+12,易知A(0,y 1+1),B(0,y 2-1),∵l 1⊥l 2,∴-11·12=-1,∴x 1x 2=1,∴S △PAB =12|AB|·|x P |=12|y 1-y 2=12·(1−2+2)21+212=12·(−ln 1−ln 2+2)21+2=12·[−ln(12)+2]21+2=12·41+2=21+2,又∵0<x 1<1,x 2>1,x 1x 2=1,∴x 1+x 2>212=2,∴0<S △PAB <1.故选A.思路分析设出点P 1,P 2的坐标,进而根据已知表示出l 1,l 2,然后求出点A 、B 的坐标及x P ,最后利用点在曲线上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.评析本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.3.(2014课标Ⅱ理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3答案D y'=a-1r1,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.4.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a ,b )可以作曲线y =e x 的两条切线,则()A.e b <aB.e a <bC.0<a <e bD.0<b <e a答案D 解法一:当x →-∞时,曲线y =e x 的切线的斜率k >0且k 趋向于0,当x →+∞时,曲线y =e x 的切线的斜率k >0且k 趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x 轴上方,且在曲线y =e x 的下方,∴0<b <e a ,故选D .解法二:易知曲线y =e x 在点P (t ,e t )处的切线方程为y -e t =e t (x -t ),∵切线过点(a ,b ),∴b -e t =e t (a -t ),整理得e t (t -a -1)+b =0.令f (t )=e t (t -a -1)+b ,则f '(t )=e t (t -a ),当t <a 时,f '(t )<0,当t >a 时,f '(t )>0,∴f (t )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增,∴当t =a 时,f (t )取得最小值f (a )=-e a +b.由已知得,f (t )的零点的个数即为过点(a ,b )的切线条数,∴f(t)有且仅有2个零点.∴f(a)=-e a+b<0,即b<e a.①若b≤0,则当t<a时,t-a-1<0,e t(t-a-1)<0,则f(t)<0,∴f(t)在(-∞,a)上无零点,而f(t)在[a,+∞)上至多有一个零点,不合题意.②若0<b<e a,由以上讨论可知,f(t)在(-∞,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数,∴f(t)min=f(a)=-e a+b<0,且limm−∞f(t)=b>0,f(a+1)=b>0,由零点存在性定理可知f(t)在(-∞,a)和[a,+∞)上各有一个零点,结合f(t)的单调性知f(t)有且只有两个零点.综上,0<b<e a.故选D.5.(2021全国甲理,13,5分)曲线y=2K1r2在点(-1,-3)处的切线方程为.答案y=5x+2解题指导:利用导数的几何意义求切线的斜率,利用点斜式得切线方程.解析y=2(r2)−5r2=2−5r2,所以y'=5(r2)2,所以k=y'|x=-1=5,从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.易错警示:①对分式型函数求导要注意公式的使用,先对分式进行化简可降低出错率.②要注意“在点处”和“过某点”的区别.6.(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.答案y=1e x;y=-1e x(不分先后)解析由题意可知,函数的定义域为{x|x≠0}.易证函数y=ln|x|为偶函数,当x>0时,y=ln x,设切点坐标为(x0, ln x0),∵y'=1,∴切线斜率k=y'|J0=10,故切线方程为y-ln x0=10(x-x0),又知切线过原点(0,0),∴-ln x0=-1,∴x0=e,故切线方程为y-1=1e(x-e),即y=1e x.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=-1e x,故过坐标原点的两条切线方程为y=1e x和y=-1e x.7.(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.答案(-∞,-4)∪(0,+∞)解析设f(x)=(x+a)e x,则f'(x)=(x+a+1)e x,设切点为(x0,(x0+a)e0),因此切线方程为y-(x0+a)e0=(x0+a+1)e0(x-x0),又∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)e0=(x0+a+1)·e0(-x0),整理得02+ax0-a=0,又切线有两条,∴关于x0的方程02+ax0-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.8.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x-2在点(0,1)处的切线方程为.答案x+2y-2=0解析本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.∵y=cos x-2,∴y'=-sin x-12,∴y'|x=0=-12,即曲线在(0,1)处的切线斜率为-12,∴切线方程为y-1=-12(x-0),即x+2y-2=0.方法总结求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:①求导函数;②把该点横坐标代入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;③用点斜式写出切线方程.9.(2018课标Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=2x解析本题主要考查导数的几何意义.因为y'=2r1,所以y'|x=0=2,又(0,0)为切点,所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.10.(2018课标Ⅱ文,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.答案2x-y-2=0解析本题主要考查导数的几何性质.由y=2ln x得y'=2.因为k=y'|x=1=2,点(1,0)为切点,所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.11.(2018课标Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案-3解析本题考查导数的综合应用.设f(x)=(ax+1)e x,则f'(x)=(ax+a+1)e x,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.12.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+1在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=0解析本题考查导数的几何意义.∵y=x2+1,∴y'=2x-12,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.13.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知f'(x)=a-1,所以f'(1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.易错警示不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.14.(2016课标Ⅱ理,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln2解析直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得y'=1,由y=ln(x+1)得y'=1r1,∴k=11=12+1,∴x1=1,x2=1-1,∴y1=-ln k+2,y2=-ln k.即−ln+2−1,−ln,∵A、B在直线y=kx+b上,∴2−ln=1+b,−ln=b1+b⇒=1−ln2, =2.评析解决本题的关键是知道切点既在曲线上,又在切线上.15.(2015课标Ⅰ文,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.答案1解析由题意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.16.(2015课标Ⅱ文,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案8解析令f(x)=x+ln x,求导得f'(x)=1+1,f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y'|J0=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-12,又a02+(a+2)x0+1=2x0-1,即a02+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x0=-12,此时a=8.评析本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键.17.(2015陕西理,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析∵函数y=e x的导函数为y'=e x,∴曲线y=e x在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=1的导函数为y'=-12,∴曲线y=1(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-102,则有k1k2=-1,即1·−解得02=1,又x0>0,∴x0=1.又∵点P在曲线y=1(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).18.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.答案y=4x-3解析y'=3ln x+1+x·3=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.19.(2020新高考Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=a e x-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.解析f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x-1-1.(1)当a=e时,f(x)=e x-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为−2e−1,2.因此所求三角形的面积为2e−1.(2)当0<a<1时,f(1)=a+ln a<1.当a=1时,f(x)=e x-1-ln x,f'(x)=e x-1-1.当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.当a>1时,f(x)=a e x-1-ln x+ln a≥e x-1-ln x≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞).名师点评:本题第(2)问中,由不等式成立求参数的取值范围,常规解法是分离参数转化为求函数的最值问题,而本题中参数分布范围较广,无法分离,所以要对参数进行分类讨论,怎样分类是本题的一个难点,特别是当a>1时,证明f(x)≥1需要用到a=1时的结论,思路很窄,技巧性较强.20.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解析解法一:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(13-x1)=(312-1)(x-x1),即y=(312-1)x-213①.因为曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以=(312−1)−213,=2+有且仅有一组解,即方程x2-(312-1)x+213+a=0有两个相等的实数根,从而Δ=(312-1)2-4(213+a)=0⇔4a=914−813−612+1.(1)若x1=-1,则4a=12⇔a=3.(2)4a=914−813−612+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h'(x)>0,得-13<x<0或x>1,令h'(x)<0,得x<-13或0<x<1,所以h(x)在−130和(1,+∞)上单调递增,在−∞,0,1)上单调递减,又h(1)=-4,h−=2027,所以h(x)≥-4,所以a≥-1.解法二:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(13-x1)=(312-1)(x-x1),即y=(312-1)x-213①,设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,22+a),又g'(x2)=2x2,则切线可表示为y-(22+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-22+a②,因为①②表示同一直线方程,所以312−1=22,−213=−22+s则(312-1)2-813=4⇔4=914−813−612+1.下面同解法一.易错警示:不能认为两曲线的公切线切点相同.21.(2022全国乙理,21,12分)已知函数f(x)=ln(1+x)+ax e-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=ln(1+x)+x e-x,其定义域为(-1,+∞),f'(x)=1r1+(1-x)e-x,又f(0)=0,f'(0)=2,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)f(x)=ln(1+x)+ax e-x有零点,即方程ln(x+1)=-ax e-x有根,设g(x)=ln(x+1),h(x)=-ax e-x,因为f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,所以g(x)和h(x)的图象在(-1,0),(0,+∞)上各恰有一个交点.易知g'(x)=1r1,h'(x)=-a(1-x)e-x,g(0)=h(0)=0.当x∈(-1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.①若a=0,显然不满足.②若a>0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,此时g(x)和h(x)在(-1,0)上无交点.③若a<0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)>0,h(x)在(-1,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减.(i)当x→+∞时,h(x)→0,g(x)→+∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(0,+∞)上有一个交点,需g'(0)<h'(0),解得a<-1;(ii)当x=-1时,h(-1)=a e,当x→-1时,g(x)→-∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(-1,0)上有一个交点,也需要g'(0)<h'(0),解得a<-1.综上所述,a的取值范围为(-∞,-1).。
导数的概念与导数运算考点及题型全归纳
第三章 导数及其应用第一节 导数的概念与运算基础知识1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim →Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim→Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0.2．导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线是指以P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim →Δ0xf (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．4．导数的运算(1)几种常见函数的导数①(C )′＝0(C 为常数)；②(x n )′＝nx n －1(n ∈Q *)； ③(sin x )′＝cos_x ；④(cos x )′＝－sin_x ；⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln_a (a >0，a ≠1)；⑦(ln x )′＝1x ；⑧(log a x )′＝1x ln a(a >0，a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )；③⎣⎡⎦⎤u (x )v (x )′＝u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )[v (x )]2(v (x )≠0)．熟记以下结论： (1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； (2)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )；(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．考点一 导数的运算[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝ln x ＋1x ；(2)y ＝(2x ＋1)·e x ； (3)y ＝1＋x 5x 2；(4)y ＝x －sin x 2cos x2.[解] (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (2)y ′＝[(2x ＋1)·e x ]′＝(2x ＋1)′·e x ＋(2x ＋1)·(e x )′＝2e x ＋(2x ＋1)·e x ＝(2x ＋3)·e x .(3)∵1＋x 5x2＝x 35＋x -25，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 5x 2′＝(x 35)′＋(x -25)′＝35x -25－25x -75.(4)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .[题组训练]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 2．求下列函数的导数．(1)y ＝cos x －sin x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln x x 2＋1.解：(1)y ′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x .(2)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x(x 2＋1)－2x ·ln x(x 2＋1)2＝x 2(1－2ln x )＋1x (x 2＋1)2.考点二 导数的几何意义考法(一) 求曲线的切线方程[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . [答案] D[解题技法]若已知曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线方程的方法(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 考法(二) 求切点坐标[典例] 曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)[解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. [答案] C[解题技法] 求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法(三) 求参数的值(范围)[典例] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x 在(0，＋∞)上有解，因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)[解题技法]1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[题组训练]1.曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( )A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B ∵y ′＝e x ，令e x ＝1，得x ＝0.当x ＝0时，y ＝1，∴点A 的坐标为(0,1)． 2.设曲线y ＝a (x －1)－ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝a (x －1)－ln x ，∴y ′＝a －1x ，∴y ′|x ＝1＝a －1.又∵曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2， ∴a －1＝2，解得a ＝3.3.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0 解析：选B 因为点(0，－1)不在曲线y ＝f (x )上，所以设切点坐标为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.所以切点坐标为(1,0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.[课时跟踪检测]A 级1．设f (x )＝x e x 的导函数为f ′(x )，则f ′(1)的值为( )A ．eB ．e ＋1C ．2eD ．e ＋2解析：选C 由题意知f (x )＝x e x ，所以f ′(x )＝e x ＋x e x ，所以f ′(1)＝e ＋e ＝2e. 2．曲线y ＝sin x ＋e x 在x ＝0处的切线方程是( )A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ′＝cos x ＋e x ，∴当x ＝0时，y ′＝2.又∵当x ＝0时，y ＝1，∴所求切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0.3．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.4．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上，所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.5．(2018·合肥第一次教学质量检测)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A.12 B ．1 C ．2D ．e解析：选B 由题意知y ′＝a e x ＋1，令a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.6．设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选D 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0＝－1.又因为切点P 的坐标为(x 0，－x 0)，所以x 30＋ax 20＝－x 0.联立两式得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋2ax 0＝－1，x 30＋ax 20＝－x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1.所以点P 的坐标为(－1,1)或(1，－1)．7．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e 0x ＝－1，∴ex ＝a ，又－1a·e 0x ＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 28．(2019·安徽名校联考)已知函数f (x )＝2x －ax 的图象在点(－1，f (－1))处的切线斜率是1，则此切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝－2x 2－a ，所以f ′(－1)＝－2－a ＝1，所以a ＝－3，所以f (x )＝2x ＋3x ，所以f (－1)＝－5，则所求切线的方程为y ＋5＝x ＋1，即x －y －4＝0. 答案：x －y －4＝09．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 解析：因为y ′＝－1－cos xsin 2x ，所以y ′|=2x π＝－1，由条件知1a ＝－1， 所以a ＝－1. 答案：－110．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．解析：由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x(x ＞0)，设点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝x 2－ln x 上到直线y ＝x －2的距离最小的点， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴点P 0的坐标为(1,1)．∴所求的最小距离为|1－1－2|2＝ 2.答案： 211．求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝cos x ex .解：(1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x -12－x 12，∴y ′＝(x-12)′－(x 12)′＝－12x -32－12x -12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x .12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53，∴斜率最小时的切点为⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. B 级1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知切线过点(0,2)，(3,1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎨⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e34＝－e-34.答案：－e-343．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得{ f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。
导数定义运算知识点总结
导数定义运算知识点总结一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。
具体来说，如果一个函数在某一点处的导数存在，那么这个导数就描述了函数在该点处的变化速率。
导数的定义可以通过极限的概念来给出，具体来说，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处函数f(x)的变化率为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增加量。
上面的定义是导数的一般形式，通过这个定义可以得到一些常用的导数计算方法。
比如对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数，我们可以通过导数的定义来计算它们在某一点处的导数。
另外，还可以通过导数的定义来证明某一函数在某一点处的导数的存在性和计算导数的值。
二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中的一个重要内容，它包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等方面的内容。
1. 导数的四则运算法则对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，它们的导数满足一些基本运算法则。
具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)分别在某一点x处的导数存在，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过以下公式求得：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2这些公式可以帮助我们在实际计算中求解复合函数的导数、隐函数的导数等问题。
2. 复合函数的导数复合函数是指一个函数中包含了另一个函数。
如果函数y=f(g(x))是一个复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来求解。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点处的变化速率。
导数公式和导数的运算法则是求导过程中常用的工具。
本文将详细介绍导数的公式及运算法则，包括常见的导数公式、基本运算法则、链式法则、求高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等。
一、导数公式1.常数的导数公式：若y=c（c为常数），则y'=0。
2.幂函数的导数公式：若y=x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：若y=a^x（a为常数且a>0），则y' =a^xlna。
4.对数函数的导数公式：若y=loga(x)（a为常数且a>0，且a≠1），则y' = 1/(xlna)。
5.三角函数的导数公式：若y=sin(x)，则y' = cos(x)；若y=cos(x)，则y' = -sin(x)；若y=tan(x)，则y' = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：若y=arcsinx，则y' = 1/sqrt(1-x^2)；若y=arccosx，则y' = -1/sqrt(1-x^2)；若y=arctanx，则y' =1/(1+x^2)。
二、导数的基本运算法则1.和差法则：若y=u±v，则y'=u'±v'。
2.数乘法则：若y = cu（c为常数），则y' = cu'。
3.乘积法则：若y = u·v，则y' = u'v + uv'。
4.商法则：若y = u/v，则y' = (u'v - uv')/v^2（v≠0）。
5.复合函数法则（链式法则）：若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)。
三、高阶导数高阶导数是指求得导函数后再对导函数求导的过程，常用的高阶导数符号有y''、y'''，分别表示二阶导数、三阶导数等。
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导数的概念及运算重点难点分析：1．导数的定义、意义与性质：（1）函数的导数：对于函数f(x)，当自变量x在x0处有增量Δx，则函数y相应地有改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，这两个增量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率，即。
如果当Δx→0时，有极限，我们说函数在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数（或变化率）。
记作f'(x0)或，即。
（2）导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，这时，对于开区间(a,b)内的每一个值x0，都对应着一个确定的导数f'(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在区间内的导函数，记作f'(x)或y'，即。
（3）可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续。
（4）导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即。
也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)。
2．求导数的方法：（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)②求平均变化率③取极限，得导数。
（2）几种常见函数的导数公式：①C'=0(C为常数)；②(x n)'=nx n-1 (n∈Q)；③(sinx)'=cosx；④(cosx)'=-sinx；⑤(e x)'=e x；⑥(a x)'=a x lna⑦；⑧（3）导数的四则运算法则：①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③（4）复合函数的导数复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。
说明：1．函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限。
2．求函数的导数要熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要学会合理地分析3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线，加速度等问题打下理论基础。
典型例题：例1．求下列函数的导数①y=(2x-3)5②③④y=sin32x解析：①设u=2x-3，则y=(2x-3)5分解为y=u5，u=2x-3由复合函数的求导法则得：y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u4＝10(2x-3)4②设u=3-x，则可分解为，。
③④y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x例2．已知曲线，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点切线方程。
解析：，令，即，得x=4，代入，得y=5，∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为，即x-2y+6=0。
例3．已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4。
①求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；②第①小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。
解析：①把x=1代入C的方程，求得y=-4，∴切点为(1,-4)，y'=12x3-6x2-18x∴切线斜率为k=12-6-18=-12，∴切线方程为y=-12x+8。
②由得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0，。
公共点为(1,-4)（切点），，除切点外，还有两个交点。
评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。
*例4．设，求f'(x)。
解析：当x>0时，，当x<0时，，由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知由于f'+(0)=f'-(0)=1，故有f'(0)=1于是：，即：。
例5．已知使函数的导数为0的x值也使y值为0，求常数a。
解析：y'=3x2+2ax，令y'=0，得x=0或，由题设x=0时，y'=y=0，此时，∴a=0；当时也解出a=0。
训练题：1．已知函数，且f'(1)=2，则a的值为______。
2．设f(x)=xlnx，则f'(2)=________。
3．给出下列命题：①；②(tanx)'=sec2x③函数y=|x-1|在x=1处可导；④函数y=|x-1|在x=1处连续。
其中正确的命题有：_____。
4．函数y=cosx在点处的切线方程为_______。
5．已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0，求函数y=f(x)的表达式。
参考答案：1. 22.3. ②，④4.又∵图象过点A(0，-1)，∴e=-1，∴f(x)=ax4+cx2-1，f'(x)=4ax3+2cx，当x=1时，f'(1)=4a+2c=-2......①对于2x+y-2=0，当x=1时，y=0。
∴点(1,0)在f(x)图象上，a+c-1=0........②由①，②解出a=-2，c=3，因此f(x)=-2x4+3x2-1。
在线测试选择题1．设函数f(x)在x0处可导，则等于（）。
A、f'(x0)B、f'(-x0)C、-f'(x0)D、-f(-x0)2．设f(x)在x0处可导，下列式子中与f'(x0)相等的是（）。
（1）（2）（3）（4）A、(1)(2)B、(1)(3)C、(2)(3)D、(1)(2)(3)(4)3．曲线在点（1，1）处的切线方程是（）。
A、B、C、x-2y+1=0D、x+2y+1=04．y=x3在点P（2，8）处的切线方程是（）。
A、12x+y-16=0B、12x-y-16=0C、12x-y+16=0D、12x+y+16=0 5．y=sinx(cosx+1)的导数是（）。
A、cos2x-cosxB、cos2x+sinxC、cos2x+cosxD、6．曲线y=x3-3x上切线平行于x轴的点的坐标是（）。
A、(-1，2)B、(1，-2)C、(1，2 )D、(-1，2) 或(1，-2) 7．的导数是（）。
A、B、C、D、8．已知函数且f'(1)= ，则正实数a的值为（）。
A、a=4B、a=2C、D、a>09．设f(x)=e sinx，则f'(π)为（）A、1B、-1C、π2D、-π210．设y=f(e-x)可导，则y'等于（）。
A、f'(e-x)B、e-x f'(e-x)C、-e-x f'(e-x)D、-f'(e-x)答案与解析答案：1. C 2. B 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. B 10. C解析：3.提示：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)）处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0)。
相应地，切线方程为。
解：y′= = =，，所以点（1，1）处的切线的斜率是；切线方程是，即。
4.解：，所以，在点P处的切线的斜率是12；切线方程是，即。
5.解：6.解：，又因为切线平行于x轴，所以，∴x=±1，当x=1时，y=-2；当x=-1时，y=2.7.解：设：8.解：设：，两边平方得：，整理得，解得。
9.解：设：。
例谈导数在解高考试题中的应用导数是研究函数性质中强有力的工具，特别在研究函数的单调性、最值方面有着独特的作用。
本文将依托近几年的高考试题，例谈导数在解高考试题中的应用。
一、导数在解高考选择题中的应用例1．（1993理第14题）如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么体积的最大值为（）。
A、B、C、D、解：设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r+2h=l,，∵V'=lπr-6πr2, 令V'=0，得r=0或，而r>0,∴是其唯一的极值点。
当时，V取得最大值，最大值为。
∴应选A。
例2．（1995年理第11题）已知函数y=log a(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围为（）。
A、（0，1）B、（1，2）C、（0，2）D、[2，+∞）解：，由题意可知：y'<0在x∈[0,1]上恒成立，∴，在x∈[0,1]上恒成立。
又a>0，∴，即，或在[0，1]上恒成立。
当时，由log a e>0得a>1.由上讨论可知1<a<2。
注：作为选择题即可选出答案B，可以用同样的方法得出另外一种情况不成立。
例3．（1996年理第14题）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角φ等于（）。
A、B、C、D、解：设母线与底面夹角为α，则底面半径r=cosα，h=sinα，,∴, ,令V'=0, 得，而，∴，而它是唯一的极值点。
∴当时，V取得最大值，此时，此时侧面展开图圆心角，应选D。
评：上述几个选择题是当年高考中难度最大，得分率最低的选择题，但用导数求解，可以大大降低试题的难度。
二、导数在解高考解答题中的应用例1．（1991年理第24题）根据函数单调性的定义，证明：f(x)=-x3+1在（-∞，+∞）上为减函数。
分析：如果去掉证明的要求，本题就成为一个“口答题”即f'(x)=-3x20, ∴f(x)=-x3+1在（-∞，+∞）上为减函数。
例2．（1997年理22题）甲，乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知：汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a。
（I）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？解：（I）（略解）。
（II），令y'=0，得。
∴当时，y取得最小值，即全程的运输成本最小。
当时，而v∈(0,c]，所以，此时y'<0，∴在v∈(0,c]为减函数，∴当v=c时全程运输成本最低。
综上所述，当时，全程的运输成本最小；当时，v=c全程运输成本最低。
例3．（2002年理第19题）设，求a的值使得f(x)为单调函数。
解：，要使f(x)在R上为单调函数，需使f'(x)>0或f'(x)<0在R上恒成立。