2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷(五)文科数学
2021届全国创优名校联盟新高三原创预测试卷(十八)文科数学
2021届全国创优名校联盟新高三原创预测试卷（十八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，3} B ．{1，3，5} C ．{1，2，3，4} D ．{0，1，2，3，4，5}2．复数z ＝的虚部为（ ）A ．﹣iB ．﹣C ．iD ．3．若直线x +（a ﹣1）y +1＝0与直线ax +2y ﹣1＝0互相垂直，则实数a ＝（ ） A ．B ．C ．﹣1D ．24.已知函数y ＝sin(ωx －6π)(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则该函数图象是由y ＝cos2x 的图象经过怎样的变换得到?（ ）A.向左平移3π个单位长度 B.向左平移6π个单位长度 C.向右平移3π个单位长度 D.向右平移6π个单位长度5．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝，S 3﹣a 1＝，则S 4＝（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题：（ ） ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若n ⊥α，m ⊥β，m ∥n ，则α∥β； ③若α⊥β，m ∥α，n ⊥β，则m ∥n ； ④若α∥β，m ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β． 其中，正确的命题个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．07． 函数在[2,2]-的图像大致为（ ）8．若，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．9.已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.4＋12π B.510122π++ C.5101224+++ D.1244++ 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝3，且满足（2a ﹣c ）cos B22||(2)sin x x y x e x=-＝b cos C，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣1 D．﹣311．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0＜a＜r），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率π的值为（）A．B．C．D．12．设F为拋物线C：y2＝4x的焦点，其准线l与x轴的交点为M，过点F且倾斜角为60°的直线交拋物线C于A，B两点，则△AMB的面积为（）A．B．C．8 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝3，a与b夹角为120°，则|a＋2b|＝。
2021届全国开卷教育联盟新高考原创预测试卷(二十)文科数学
2021届全国开卷教育联盟新高考原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}U 0,1,2,3,4,=，若{}A 0,2,3=,{}B 2,3,4=，则()()UU A B ⋂=( )A. ∅B. {}1C. {}0,2D. {}1,4【答案】B 【解析】因为全集{}U 0,1,2,3,4,=，所以{}14UA ，=，{}01UB =，，因此()(){}1UU A B ⋂=，选B.2.已知i 是虚数单位，a ，b R ∈，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算性质，分别判断“1a b ==” ⇒ “2(i)2i a b +=”与“1a b ==” ⇐ “2(i)2i a b +=”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论． 【详解】解：当“1a b ==”时，“22()(1)2a bi i i +=+=”成立， 故“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分条件；当“222()22a bi a b abi i +=-+=”时，“1a b ==”或“1a b ==-”， 故“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的不必要条件；综上所述，“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分不必要条件； 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．3.AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则AD =（ ）A. (2)4，B. (37)， C. (11)， D. (11)--， 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质、向量相等、向量的三角形法则和运算即可得出.【详解】由平行四边形的性质可得AD BC AC AB 1324()())1(1==----＝，，＝，. 故选：D【点睛】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了平面向量减法的坐标表示公式，考查了数学运算能力.4.一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.2，那么摸出黑球的概率是（ ）A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.95【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，从中摸出一个小球是黑色和是红或白色是互斥事件，根据互斥事件的概率公式即可求解【详解】解：根据题意可知，从中摸出1个球，摸出黑球与摸出红色和白色是互斥事件， 故其概率10.30.20.5P --＝＝. 故选：B【点睛】本题考查了互斥事件概率的计算公式，考查了数学运算能力. 5.设2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则（ ） A. a b c << B. b a c <<C. b c a <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出.【详解】解：∵22log 3log 1ln 2c e a b =＞＝＞＞＝. ∴b a c ＜＜. 故选：B【点睛】本题考查了对数式和指数式的比较，考查了指数函数对数函数的单调性，考查了数学运算能力.6.如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A. 4πB. 7πC. 16πD. 28π【答案】C 【解析】 【分析】几何体是一个三棱柱111ABC A B C -，该三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC ，侧棱长是2，求出球的半径，可得这个球的表面积.【详解】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱111ABC A B C -，该三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC ，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN 的中点O 与三棱柱的顶点A 的连线AO 就是外接球的半径，∵ABC 是边长为3的等边三角形，2MN ＝， ∴2333,13AM OM ⎛⎫=⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭， ∴这个球的半径312r +=＝， ∴这个球的表面积24216S ππ⨯＝＝， 故选：C【点睛】本题考查了由三视图还原空间图形，考查了三棱柱外接球表面积的计算，考查了空间想象能力和数学运算能力.7.已知4cos5α=-，()απ∈-，，则tan2α=（）A.247B.247- C.724D.724-【答案】A【解析】【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求出tanα的值，再利用二倍角公式的正切公式，求得tan2α的值.【详解】解：∵已知4cos5α-＝，0()απ∈-，，∴)2(παπ∈--，，∴23sin3sin1cos,tan5cos4ααααα=-=-==，则232tan242tan291tan7116ααα===--，故选：A【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的正切公式，考查了数学运算能力.8.中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知，这位古人共捕鱼（）A. 89条B. 113条C. 324条D. 445条【答案】A【解析】 【分析】利用进位制的定义可得答案.【详解】解：该图的五进制数为324，根据进位制的定义将五进制转换成十进制计算可得：324(5)＝4×50+2×51+3×52＝89， 故选：A【点睛】本题考查了进位制的性质，考查了数学运算能力.9.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若//,//,m n αα则//m n B. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n α D. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．10.将函数()cos 222y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移38π个单位长度单位后得函数()f x 图象，若()f x 为偶函数，则（ ）A. ()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减B. ()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦匀上单调递增C. ()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. ()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数平移关系求出()f x 的解析式，结合()f x 是偶函数求出ϕ，利用三角函数的单调性进行求解即可.【详解】解：将函数的图象()(=c s 22)o 2y x ππϕϕ+-＜＜向右平移38π个单位长度单位后得函数()f x 图象， 则33()cos 2cos 284f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若()f x 为偶函数，则3,4k k Z πϕπ-=∈， 即3,4k k Z πϕπ=+∈， ∵22ππϕ-<<，∴当1k -＝时，4πϕ-＝，即3()cos 2cos(2)cos 244f x x x x πππ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭， 当42x ππ-≤≤时，22x ππ-≤≤，此时()cos2f x x =-不具备单调性，故A ，B 错误，当42ππx ≤≤时，22x ππ≤≤，此时()cos2f x x =-为增函数，故D 正确， 故选：D【点睛】本题考查了余弦型函数的图象变换、性质，考查了数学运算能力.11.已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）A. 2B. 42C. 6D. 210【答案】C 【解析】试题分析：直线l过圆心，所以1a =-，所以切线长2(4)14(4)216AB =-+-⨯-++=，选C.考点：切线长12.函数()()32321f x x ax a x +-++=在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围为（ ）A. (3)-∞-，B. ()3-+∞，C. (3)-∞，D. (3)+∞，【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，()f x '的一个零点为11x ＝，另一个零点为2213ax =--，且12x x ＜，由此建立关于a 的不等式，解出即可.【详解】解：2()32(32)f x x ax a '=+-+，(1)0f =，()f x '的一个零点为11x =，由韦达定理可知，()f x '的另一个零点为2213a x =--， 因为()f x 在1x ＝处取得极大值，所以()f x '在1x ＝的左侧附近大于0，右侧附近小于0， 因为二次函数()f x '是开口向上的抛物线， 所以12x x ＜，即2113a<--，解得3a -＜. 故选：A【点睛】本题考查了函数极值的定义，考查了数学运算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.【答案】1800 【解析】试题分析：由题共有产品4800名，抽取样本为80，则抽取的概率为；801480060P ==，再由50件产品由甲设备生产，则乙设备生产有30件，则乙设备在总体中有；30601800⨯=． 考点：抽样方法的随机性.14.已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()()a b sinA sinB c b sinC +-+=，则A =_____.【答案】23π 【解析】 【分析】先利用正弦定理角化边得到222b c a bc +--＝，再利用余弦定理即可求出角A . 【详解】解：∵()()()a b sinA sinB c b sinC +-+＝，∴由正弦定理得：()()()a b a b c b c +-+＝，即222a b c bc -+＝， ∴222b c a bc +--＝，由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +-==-， 又0()A π∈，，∴23A π＝， 故答案为：23π. 【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理，考查了特殊角三角函数值，考查了数学运算能力.15.如果双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率是椭圆D ：22143x y +=离心率的倒数，那么C 的渐近线方程为_____【答案】y = 【解析】 【分析】由椭圆的方程可得椭圆的离心率，再由椭圆可得双曲线的离心率，进而可得a b ，的关系，再由双曲线的方程与渐近线方程的关系求出渐近线的方程.【详解】解：由椭圆的方程可得椭圆的离心率为：2＝12，所以由题意可得双曲线的离心率为：2，即c a 2，可得223b a ＝，即b a ，所以双曲线的渐近线的方程为：by x a=±=，故答案为：y ＝.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了双曲线和椭圆的离心率公式，考查了数学运算能力.16.定义在R 上的奇函数()f x 又是周期为4的周期函数，已知在区间200]2[)(-，，上，(),201,02ax b x f x ax x +-<⎧=⎨-<⎩，则()2020f ＝_____；b ＝_____.【答案】 (1). 0 (2). 1 【解析】 【分析】由定义在R 上的奇函数()f x 又是周期为4的周期函数，得()00f ＝，由()f x 是周期为4的周期函数，得()20200f ＝，由()()4f x f x +＝和奇函数性质，得()922)0f f -＝＝，由此能求出结果.【详解】解：∵定义在R 上的奇函数()f x 又是周期为4的周期函数， ∴()()00f f --＝，解得()00f ＝， ∵()f x 是周期为4的周期函数， ∴()20200f ＝，∵()f x 周期为4的周期函数， ∴()()4f x f x +＝， ∴()()422f f --＝，∴()()22f f -＝，∵定义在R 上的奇函数()f x ， ∴()()()222f f f --＝＝， ∴()()220f f -＝＝，∵在区间200]2[)(-，，上，(),201,02ax b x f x ax x +-<⎧⎨-<⎩＝，∴21020a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得12a ＝，1b ＝. 故答案为：0，1.【点睛】本题考查了函数的周期性和奇函数的性质，考查了数学运算能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分. 17.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在PD 上.（1）若E 为PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ； （2）若1PA ＝，322PD AB ==，三棱锥E ACD -的体积为38，证明：E 为PD 的中点. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接EO ，可得//EO PB ，再由线面平行的判定可得//PB 平面AEC ；（2）由题设33,2AD CD ==，求出ADC 的面积，结合棱锥E ACD -的体积为3求得E 到平面ABCD 的距离，再证明平面PAD ⊥平面ABCD ，过E 在平面内作EF AD ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面ABCD ，可得//EF PA ，结合PA 的长度可得E 为PD 的中点. 【详解】证明：（1）连接BD 交AC 于O ，连接EO ， ∵ABCD 为矩形， ∴O 为BD 的中点， 又E 为PD 的中点， ∴//EO PB ，∵EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ∴//PB 平面AEC ； （2）由题设33,2AD CD ==， ∴ADC 的面积为334. ∵棱锥E ACD -的体积为38， ∴E 到平面ABCD 的距离为12. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，过E 在平面内作EF AD ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面ABCD ， 而PA ⊂平面ABCD ，于是//EF PA . ∵1PA ＝， ∴E 为PD 的中点.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理，考查了棱锥的体积公式，考查了推理论证能力和数学运算能力.18.2014年，中央和国务院办公厅印发《关于引导农村土地经营权有序流转发展农业适度规模经营的意见》，要求大力发展土地流转和适度规模经营.某种粮大户2015年开始承包了一地区的大规模水田种植水稻，购买了一种水稻收割机若干台，这种水稻收割机随着使用年限的增加，每年的养护费也相应增加，这批水稻收割机自购买使用之日起，5年以来平均每台水稻收割机的养护费用数据统计如下： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 12345养护费用y(万元) 1.11.622.52.8（1）从这5年中随机抽取2年，求平均每台水稻收割机每年的养护费用至少有1年多于2万元的概率；（2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）若该水稻收割机的购买价格是每台16万元，由(2)中的回归方程，从每台水稻收割机的年平均费用角度，你认为一台该水稻收割机是使用满5年就淘汰，还是继续使用到满8年再淘汰？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ni ii nii x y n x yb xn x==-⋅⋅-⋅∑∑＝，a bx -y ＝.【答案】（1）0.7；（2）0.430.71y x =+；（3）建议使用到满8年再淘汰 【解析】 【分析】（1）利用古典概型判断即可；（2）根据线性回归方程公式1221ni ii nii x y n x yb xn x==-⋅⋅-⋅∑∑＝，求出b ，代入求出a ，求出线性回归方程；（3）根据(2)线性回归方程，估算满5年和满8年的平均费用，判断即可.【详解】（1）根据题意，从这5年中随机抽取2年，每台水稻收割机每年的养护费所有可能的结果有10种，1.11.6 1.12 1.()()()12.5 1.12.8 1.62()()，，，，，，，，，，1.62.5 1.6()()(2.82)2.5，，，，，，()(22.8 2.5.8)2，，，， 其中2年的养护费用不多于2万元的有3种，1.11.61.()()(12 1.62)，，，，，， 故所求概率为310.710-=； （2）根据表格的1(12345)35x =++++=，1(1.1 1.62 2.5 2.8)25y =++++=， 1221ni ii ni i x y n x yb x n x==-⋅⋅-⋅∑∑＝＝234.35320.435553-⨯⨯=-⨯，a 20.4330.71bx--⨯y ＝＝＝， 故线性回归方程为0.430.71y x +＝；（3）若满5年就淘汰，则每台水稻收割机年平均费用为10165.25+= (万元)， 若满8年淘汰，则每台水稻收割机的年平均费用为10160.43(678)30.7137.164.64588++⨯+++⨯=＝ (万元)，所以使用满8年的年平均费用低于使用满5年的年平均费用， 建议使用到满8年再淘汰.【点睛】本题考查了古典概型的计算公式，考查了线性回归方程的求法，考查了平均数的计算公式，考查了数学运算能力.19.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有的自然数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设18n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：213n T ≤＜. 【答案】（1）42n a n =-；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的中项性质可得22n a+n 换为1n +，相减变形后，运用等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得112121n b n n --+＝，运用数列的裂项相消求和，可得n T ，再由不等式的性质，即可得证.【详解】（1）{}n a 是正数组成的数列，即0n a ＞，其前n 项和为n S ，并且对于所有的自然数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，可得22n a+2448n n n a a S ++＝，则2111448n n n a a S +++++＝， 相减可得2211114())88(n n n n n n n a a a a S S a ++++-+--＝＝，即为114())0(n n n n a a a a ++---＝，由即0n a ＞，可得14n n a a +-＝， 又122a +12a ＝， 则数列{}n a 为首项为2，公差为4的等差数列，可得()24142n a n n +--＝＝； （2）证明：188211(42)(42)(21)(21)2121n n n b a a n n n n n n +====-+-+-+， 则前n 项和为11111111335212121n T n n n =-+-+⋯+-=--++，由*N n ∈，可得110213n <≤+，即有2111321n ≤-<+. 则213n T ≤<. 【点睛】本题考查了等比中项和等差中项的性质，考查了裂项相消法，考查了数学运算能力. 20.已知函数()ln f x x ax =-，0a >. （1）若12a =，求函数()()g x xf x =的单调区间； （2）证明：()21af x a +≤.【答案】（1）单调递减区间()0-∞，，没有递增区间；（2）见解析【解析】 【分析】（1）把12a ＝代入后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）原不等式可转化为()12f x a-，结合导数与单调性关系及(1)中结论ln x -x +1≤0可求. 【详解】（1）解：()212g x xlnx x -＝，()(01)ln h x x g x x x =+='-＞，， '1()x h x x -=，当01x ＜＜时()',0h x ＞，()g x '单调递增，当1x ＞时，()()'0x g h x '＜，单调递减， 故()()10g x g '≤'＝，故()g x 的单调递减区间()0-∞，，没有递增区间； （2）证明：1()axf x x-'=，0x ＞， 因为0a ＞， 所以当10x a ＜＜时()0f x '＞，函数()f x 单调递增，当1x a＞时，()0f x '＜，函数()f x 单调递减，故()()11f x f lna a≤--＝， 由(1)知ln 10x x -+≤，所以11ln10a a -+，即1ln 1a a-+， 所以1ln 12a a ---即()12f x a-， 因为0a ＞，所以()21af x a +≤.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了数学运算能力.21.经过抛物线C ：22(0)y px p =>焦点F 的直线与C 相交于点11()A x y ，，22()B x y ，.（1）证明：212y y p =-，2124p x x =（2）经过点A ，B 分别作C 的切线，两条切线相交于点M ，证明：()i MA MB ⊥；()ii 点M 在C 的准线上.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析，（ii ）见解析 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，联立方程组，根据韦达定理即可证明；（2）由题设AM BM ，的斜率存在，分别设为12k k ，，根据切线的性质可得11pk y ＝，同理22pk y =，(i )即可证明，(ii )分别可得直线MA MB ，的方程，根据12y y ＝，即可证明. 【详解】证明：（1） C 的焦点坐标为(02)p ，，由题设AB 不平行于x 轴，可是2p AB x my +：＝， 代入到22y px ＝可得2220y pmy p --＝， ∵222440m p p +＝＞，∴212y y p -＝，∴2221212224y y p x x p p =⋅=；（2）由题设AM BM ，的斜率存在，分别设为12k k ，，则MA 方程为2111y 2p y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x p =代入得211121022y y y p k y p k --+=， 由0∆=可得21110k y p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，11p k y =，同理22p k y =，(i )由(1)可得212121p k k y y ==-， ∴MA MB ⊥， (ii ) MA的方程为112y p y x y =+，MB 的方程为222y p y x y=+， 两方程联立可得()2121212p y y y y x y y --=由题设12y y =，所以1222x p y y p==-， 因此点M 在C 的准线上.【点睛】本题考查好直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，考查了数学运算能力.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ (其中t 为参数，0m >).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ＝，l 被C .（1）求实数m 的值；（2）设l 与C 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(m ，求PA PB +的值. 【答案】（1）3；（2）【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用垂径定理和点到直线的距离公式的应用求出结果.（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.【详解】（1）直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ (其中t 为参数，0m ＞).转换为直角坐标方程为：0x y m +-=.曲线C的极坐标方程为ρθ=，转换为直角坐标方程为22(5x y +=， 由于l 被C.所以：利用垂径定理圆心到直线的距离2d =＝， 解得3m ＝.（2）直线l的参数方程3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，转换为标准式为322x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入22(5x y +-=得到：240t -+=， 所以，124t t ＝，所以：12PA PB t t ++=＝.【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程化为普通直角坐标方程，考查了利用参数方程中参数的几何意义的应用，考查了数学运算能力. 23.设函数()13f x x a =-. （1）若2a =，解关于x 的()||113x f x -+≥不等式； （2）当1132x ≤≤时，()||13x f x x -+≤，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）2a ＝时，可得出411331211()233334123x x x x f x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪-+=+<<⎨⎪⎪-⎪⎩，然后根据1()13x f x -+即可得出x 的范围，即得出原不等式的解集；（2）根据条件即可得出1x a -≤，从而得出11a x a -≤≤+，根据1132x 即可得出113112a a ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解出a 的范围即可. 【详解】（1）2a ＝时，111()|2|333x f x x x -+=-+-＝4113321123334123x xx x x x ⎧-⎪⎪⎪+<<⎨⎪⎪-⎪⎩， ∴13x时，由4113x -得，0x ≤； 123x <<时，由21133x +≥得，12x ≤＜； 2x ≥时，由4113x-得，2x ≥， 综上得，原不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥； （2）∵1132x ， ∴111()||333x f x x x a x -+=-+-， ∴1x a -≤， ∴11a x a -≤≤+，∴113112aa⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得1423a-，∴实数a的取值范围为14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了求含绝对值不等式的解法，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围，考查了数学运算能力.。
2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷(八)文科数学
- 1 - 2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷（八） 文科数学 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、考试范围：高考范围。 2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。 3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。 4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。 6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。 8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合|1Axx，|3Bxx，则AB（ ） A. 1,3 B. ,3 C. 1, D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用集合交集的定义及其运算即可. 【详解】集合|1Axx，|3Bxx，则AB|13xx. 故选：A - 2 -
2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷(六)文科数学
2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一，选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.己知集合A={0，1，2），B={x∈N A}，则B=（）A. {0}B. {0，2}C. {0，12， 2} D. {0， 2，4}【答案】B【解析】【分析】12，，，根据x N，可得结果.【详解】由题可知：A={0，1，2），B={x∈N A}时，则0x N =∈，符合时，则12x N =∉，不符合时，则2x N =∈，符合 所以{}0,2B = 故选：B【点睛】本题考查集合元素的求法，审清题意，细心计算，属基础题. 2.在复平面内，复数1z =对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转23π，所得向量对应的复数是（ ）A. 122-+ B. 122i -+ C. 122-- D.122i -- 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数，可得点Z 坐标，进一步可得OZ 以及OZ ，然后根据三角函数的定义，可得旋转后所求复数的终点坐标，最后可得结果.【详解】由题可知：()1,0Z ，()1,0OZ =且1OZ = 设旋转后的所求复数的终点(),P x y则21cos32x OZ π==-，2sin 32y OZ π==所以12P ⎛- ⎝⎭，则所求的复数为12-+ 故选：A【点睛】本题考查复数的几何意义，掌握复数在复平面中点的表示以及向量的表示，同时识记三角函数的概念，审清题意，耐心计算，属基础题.3.一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A. 16B. 12C. 8D. 6【答案】B 【解析】 【分析】根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.【详解】由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2 所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形， 所以该正三棱柱的侧面积为32212⨯⨯= 故选：B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题. 4.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2233442,33,4,33881515===则按照以上规律，若m mm n n=m ，n 满足的关系式为（ ） A. n =2m -1 B. n =2(m -1)C. n =(m -1)2D. n =m 2 -1【答案】D 【解析】 【分析】根据不完全归纳法，以及根式中的分子和分母的关系，可得结果. 【详解】由题可知：22222223321==-，23333338831==-244444151541==-则可归纳：==， 所以21n m =- 故选：D【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，仔细观察，发现特点，对选择题以及填空题，常可采用特殊值以及不完全归纳法解决问题，化繁为简，属基础题.5.己知{a n }是等差数列，且a 3+a 4=-4，a 7+a 8=-8，则这个数列的前10项和等于（ ） A. -16 B. -30C. -32D. -60【答案】B 【解析】 【分析】计算3478a a a a +++，然后根据等差数列的性质，可得56a a +，最后根据等差数列的前n 项公式，计算10S ，并结合11056a a a a +=+，可得结果. 【详解】由题可知：数列{a n }是等差数列且34784,8a a a a +=-+=-则347812a a a a +++=-，又3754862,2a a a a a a +=+= 所以565622126a a a a +=-⇒+=- 由()11010102a a S +⨯=，且11056aa a a +=+所以()1101010302a a S +⨯==-故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质，在等差数列中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，熟练使用性质，以及对基本公式的记忆，属基础题.6.己知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，抛物线上一点的M 的纵坐标y 0，则y 0>2是|MF |>2的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】 【分析】根据点M 的纵坐标的范围，可得其横坐标的范围，然后根据抛物线的定义，可知MF 的范围，然后根据充分、必要条件的概念，可得结果. 【详解】由题可知：()1,0F ，设()00,M x y 由点M 的纵坐标02y >，则其横坐标01x > 由01MF x =+，所以2MF >可知02y >是2MF >的充分条件若2MF >，则00121MF x x =+>⇒>则20042y y >⇒<-或02y >所以02y >不是2MF >的必要条件故02y >是2MF >的充分不必要条件 故选：A【点睛】本题考查抛物线的定义以及充分、必要条件的概念，对抛物线问题经常要联想到焦点和准线，简单计算，属基础题.7.2013年至201 9年我国二氧化硫的年排放量（单位：万吨）如下表，则以下结论中错误的是（ ）A. 二氧化硫排放量逐年下降B. 2018年二氧化硫减排效果最为显著C. 2017年至2018年二氧化硫减排量比2013年至2016年二氧化硫减排量的总和大D. 2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所增加【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据数据的简单分析，可得结果. 【详解】A 正确根据数据可知，二氧化硫排放量逐年下降 B 正确从2017年到2018年，下降了756.24万吨， 是所有相邻年份二氧化硫减排量最大的， 所以2018年二氧化硫减排效果最为显著 C 正确2017年至2018年二氧化硫减排量为756.24万吨2013年至2016年二氧化硫减排量的总和为2217.9-1974.4=243.5万吨 所以243.5<756.24，故C 正确 D 错2017年至2018年二氧化硫减排量为756.24万吨2018年至2019年二氧化硫减排量为1102.86-1014.6=88.26万吨 故2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所减少. 故选：D.【点睛】本题考查对数据的分析，审清题意，简单计算，属基础题.8.已知双曲线C ： 2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 的直线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（ ）C. 2【答案】D 【解析】 【分析】假设已知直线的倾斜角为θ3πθ=，可得sin ,cos θθ，然后根据OF OA =，可得点A 坐标，最后代入双曲线方程化简并结合()1ce e a=>，可得结果. 【详解】设已知直线的倾斜角为θ 由题可知：tan 33πθθ=⇒=，所以31sin ,cos 2θθ== 又OA OF c ==，所以cos,sin33A c c ππ⎛⎫⎪⎝⎭，即3,2c c A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭所以222222223321144c c c c a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=⇒-= 又222b c a =-，所以()222223144c c a c a -=-，又c e a= 所以()22231441e e e -=- 化简可得：42840e e -+=，所以()222881642331e ±-==±=±所以31e =±，又1e >，所以31e =+ 故选：D【点睛】本题考查双曲线的离心率，关键在于得到点A 坐标，考验计算能力，属中档题.9.函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而ty e =是增函数 所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题. 10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若30,40,30,AE cm EF cm FC cm ===60AEF CFE ∠=∠=则该正方形的边长为（ ）A. 40cm 6cm2cm 14【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的方法，将AC 用,,AE EF FC 来进行表示，然后进行平方，可计算AC ，最后可得结果.【详解】由题可知：60AEF CFE ∠=∠=，所以AE //FC 由E C EF FC A A +=+则2222222AE EF FC AE EF A AC E FC EF FC +++=⋅+⋅+⋅cos120600AE EF AE EF ⋅==- cos0900AE FC AE FC ⋅== cos120600EF FC EF FC ⋅==-所以22223040301200180012002800AC =++-+-= 则207AC cm =，所以sin 451014AB AC cm =⋅= 故选：D【点睛】本题考查向量的线性表示以及数量积公式的应用，关键在于E C EF FC A A +=+，考验观察能力以及计算能力，属中档题. 11.己知x >y >0，x ≠1，y ≠1，则（ ）A. x a> y a(a ∈R ，a ≠0） B. yx e e y x> C. x y > y xD.1132x y -->【答案】B【解析】 【分析】采用逐一验证法，对,,a x y 取特殊值，进行比较可得,,A C D 错，通过构造函数()mf m me =，利用函数单调性进行比较，可得结果. 【详解】A 错误，当1a =-时，1111,x y x y--==， 由0x y >>，11x y< 所以A 错误 B 正确令()mf m me = ，则()'m m fm e me =+当0m >时，()'0fm >，所以函数()f m 在()0,∞+单调递增，且0x y >>，所以有()()f x f y >，即x yxye e xe ye y x>⇒>， C 错误当4,3x y ==时，34464,381==，3443<， 所以C 错误D 错误，当11,23x y ==时，21321111263611113,2327416--====由11662716>，所以1166112716<，故213232--<所以D 错误 故选B【点睛】本题考查式子比较大小，选择题可使用对未知数取特殊值，化繁为简，熟练掌握比较式子大小的常用方法，比如：作差法，函数单调性等，属基础题.12.如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A. 在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B. 在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC. 四面体EMAC 的体积为定值D. 四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 【答案】C 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD 而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF //BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥ 由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC 所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离， 所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离， 所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b =(1，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于__________ 【答案】1 【解析】【分析】利用向量的投影概念，计算出向量b 的模长，结合向量的数量积，可得结果. 【详解】a 在b 方向上的投影为12，所以有1cos 2a θ⋅=，且2b =， 所以1cos 212b a b a θ⋅=⋅⋅=⨯= 故答案为：1【点睛】本题考查向量的投影的概念，以及向量数量积公式的应用，属基础题. 14.已知函数31()f x x x=-，则''1(lg 2)(lg )2f f -=__【答案】0 【解析】 【分析】对函数求导后，利用对数的运算结合偶函数的性质可得结果. 【详解】由题可知：函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞ 由'221()3f x x x =+， 可知()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数， 且''''1(lg 2)(lg )(lg 2)(lg 2)2f f f f -=--， 又因为''(lg 2)(lg 2)f f =-， 则有''1(lg 2)(lg )02f f -= 故答案为：0.【点睛】本题考查函数的求导运算，偶函数的性质和对数的运算，属基础题. 15.己知1sin()43x π+=，则5cos()4x π-=_____【答案】13- 【解析】 【分析】利用特殊角配凑出题中已知角，再结合诱导公式可得结果. 【详解】553cos()cos()cos 444424x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即51cos()sin .443x x ππ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭ 故答案为：1.3-【点睛】本题考查诱导公式，角度的配凑法，属基础题.16.如图，一列圆C n ：x 2 +(y -a n )2=r n 2(a n >0，r n >0)逐个外切，且所有的圆均与直线y =22x ±相切，若r 1=1，则a 1=___，r n =______【答案】 (1). 3 (2). 12n - 【解析】 【分析】采用第n 个圆，并假设切点n A ，利用22221,n n nn A C n A C r k -==，可得3n n a r =，代值计算可得1a ，然后根据圆与圆相切，可得()122n n r r n -=≥，利用等比数列通项公式可得结果.【详解】设第n 个圆心为()0,n n C a，半径为n r ， 且与22y x =的切点为(),22n n n A x x 则直线n nA C 的斜率为22n n n nA C nx a k x -=所以22221922n nn n nx a x a x -⋅=-⇒=①又()222222n nn n nn A C x x a r =+-=②由①②可知：3n n a r =③， 所以当11r =时，则13a = 又113n n a r --=④由③-④可知：()113n n n n a a r r ---=- 又11n n n n a a r r ---=+， 所以()122n n r r n -=≥所以数列{}n r 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n r -=故答案为：3，12n -【点睛】本题考查直线与圆几何关系以及等比数列，本题难点在于找到3n n a r =，考验分析能力以及逻辑推理能力，属难题.三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.如图，D 是在△ABC 边AC 上的一点，△BCD 面积是△ABD 面积的2倍，∠CBD =2∠ABD =2θ．（Ⅰ）若θ=6π，求sin sin A C的值；（Ⅱ）若BC =4，AB ，求边AC 的长．【答案】（Ⅰ）sin sin A C =（Ⅱ）AC =【解析】 【分析】（Ⅰ）利用三角形面积公式以及2BCD ABD S S ∆∆=并结合正弦定理sin sin AB BCC A=，可得结果. （Ⅱ）根据2BCD ABD S S ∆∆=，可得θ，然后使用余弦定理2222sin AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，可得结果.【详解】（Ⅰ）23CBD ABD π∠=∠=，所以11sin 2sin 2326BC BD AB BD ππ⋅=⨯⋅所以sinsin 3BC A AB C =⇒==； （Ⅱ）11sin 22sin 22BC BD AB BD θθ⋅=⨯⋅，所以42sin cos 2cos 2θθθθ⨯=⨯⇒=， 所以4πθ=，334ABC πθ∠==，所以21682440AC ⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭，所以边AC =【点睛】本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.18.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A -BCB 1是棱长为2的正四面体.（Ⅰ）求证：AC ⊥CC 1； （Ⅱ）求三棱锥B -ACC 1的体积． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）223【解析】 【分析】（Ⅰ）取1BB 的中点E ，根据正四面体特点，可知AO ⊥平面11BCC B ，1BCB ∆为正三角形，然后根据11,BB AO BB CE ⊥⊥，可得1BB ⊥平面AEC ，最后可得结果.（Ⅱ）计算1BCC S △以及AO ，使用等体积法11B ACC A BCC V V --=，并结合锥体体积公式，可得结果.【详解】（Ⅰ）如图，取1BB 的中点E ，连接CE 交1BC 于点O ， 则点O 为1BCB △的重心，连接AO ，设1BC 交1B C 于点F ．依题意点A 在底面的投影为1BCB △的重心O ， 即AO ⊥平面11BCC B ，所以1AO BB ⊥．因为1BCB △是正三角形，所以1CE BB ⊥，,,AO CE O AO CE ⋂=⊂平面AEC则1BB ⊥平面AEC ，又AC ⊂平面AEC ，则1BB AC ⊥，由1BB //1CC 所以1CC AC ⊥．（Ⅱ）由1A BCB -是棱长为2的正四面体， 所以2233CO CE ==，2AC =， 2226AO AC CO =-=因为12BC CC ==，1120BCC ∠=︒， 得111113sin 22322BCC S BC CC BCC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△ 所以11126223333B ACC A BCC V V --==⨯⨯=． 【点睛】本题考查线面、线线位置关系，还考查等体积法的使用，熟练掌握线面垂直的判定定理以及性质定理，考验推理论证能力，属中档题.19.某市2013年至2019年新能源汽车y （单位：百台）的数据如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该市2021年新能源汽车台数；（Ⅱ）该市某公司计划投资600台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩．按要求，充电枪的总把数不少于该市2021年新能源汽车预测台数，若双枪同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为25元，10元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大日利润.77211140,364i i i i i x x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为717221ˆ,i ii ii x y nxybxnx ==-=-∑∑ˆa y bx=- 【答案】（Ⅰ）ˆy =23x +,2100台；（Ⅱ）双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时，每天的利润最大，最大利润为25500元． 【解析】 【分析】（Ⅰ）计算,x y ，根据7172217ˆ7i ii ii x y xybxx ==-=-∑∑，可得ˆb，进一步可得a ，然后可得方程，最后代值计算，可得结果.（Ⅱ）假设一拖四群充，双枪同充分别安装m 台，600m -台，根据42(600)2100m m +-≥，可得m 的范围，然后计算日利润4050(600)z m m =+-，依据不等式可得结果. 【详解】（Ⅰ）依题意知123456747x ++++++==，58810141517117y ++++++==，77211140,364ii i i i xx y ====∑∑，71722173647411ˆ21407167i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆ11243a y bx=-=-⨯=， 则y 关于x 的线性回归方程23y x =+．令9x =得：ˆ29321y=⨯+=， 故预测2021年该市新能源汽车大约有2100台．（Ⅱ）设一拖四群充，双枪同充分别安装m 台，600m -台， 每天的利润为z 元，则42(600)2100m m +-≥，即450m ≥4050(600)z m m =+-300001030000450025500z m =-≤-=所以当450m =时，z 取最大值25500．故当双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时， 每天的利润最大，最大利润为25500元．【点睛】本题考查线性回归方程，本题关键在于识记公式，考验计算能力，属基础题.20.已知函数，f (x )=33x -mx 2-m +ln (1-m )，(m <1)．（Ⅰ）当m =12时，求f (x )的极值； （Ⅱ）证明：函数f (x )有且只有一个零点． 【答案】（Ⅰ）函数极大值为1ln 22--，极小值为 2ln 23--；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用导数，通过'()f x 的符号，判断出函数的单调性，找到极值点，可得结果. （Ⅱ）计算'(())2x f x x m =-，采用分类讨论的方法，0m =，0m <以及01m <<，判断函数的单调性，可得结果.【详解】（Ⅰ）32111()ln 3222x f x x =--+'2()f x x x =-，则()f x 在(,0)-∞递增，在(0,1)递减，在(1,)+∞上递增， 所以函数极大值为1(0)ln 22f =--， 极小值为2(1)ln 23f =--． （Ⅱ）2'()2(2)x mx x x m f x =-=- ①当0m =时，()'20fx x =≥，3()3x f x =只有一个零点0，符合题意； ②当0m <时，()f x 在(,2)m -∞单调递增，在(2,0)m 单调递减，在(0,)+∞单调递增，(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)g m m m =-+-，(0)m <，显然()g m 单调递减，有()(0)0g m g >=，即(0)0f >，则()f x 只有一个零点，符合题意；③当01m <<时，()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,2)m 单调递减，在(2,)m +∞单调递增，(0)ln(1)f m m =-+-，(01)m <<，由②构造的函数知，(0)ln(1)0f m m =-+-<，则()f x 只有一个零点，符合题意．综上所述，1m <时，函数()f x 有且只有一个零点．【点睛】本题考查导数的应用，关键在于对含参数的函数单调性的判断，熟练使用分类讨论的思想以及学会构造函数，使问题化繁为简，属难题.21.定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆E 1，E 2，它们的长短半轴长分别为a 1，b 1和a 2，b 2，若满足a 2=a 1k ，b 2=b 1k （k ∈Z ，k ≥2），则称E 2为E 1的k 级相似椭圆，己知椭圆E 1: 22214x y b +=1，E 2为E 1的2级相似椭圆，且焦点共轴，E 1与E 2的离心率之比为2．（Ⅰ）求E 2的方程；（Ⅱ）已知P 为E 2上任意一点，过点P 作E 1的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．①证明：E 1在A (x 1，y 1)处的切线方程为11214x x y y b +=1； ②是否存在一定点到直线AB 的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）222:1169x y E +=（Ⅱ）①见解析；②存在一定点()0,0C 到直线AB 的距离为定值1．【解析】【分析】（Ⅰ）根据相似椭圆的概念，可得12a =，24a =，221b b =，然后根据212247e e =，并结合离心率c e a=，简单计算，可得结果. （Ⅱ）①联立方程1122143143x x y y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得关于x 的一元二次方程，然后使用∆，并根据221134120x y +-=，可得结果.②根据①的结论，可得在点B 的切线方程22143x x y y +=，根据10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得直线AB 的方程，假设定点，使用点到线的距离公式，根据式子为定值，可得结果.【详解】（Ⅰ）由题意知12a =，24a =，221b b =， 则222211112144a b b e a --==，22222222221616a b b e a --==， 而()221124221144441647b e e b b -===-+，解得213b =，23b =， 故椭圆221:143x y E +=，椭圆222:1169x y E +=． （Ⅱ）①联立椭圆与直线方程， 11221122143361240143x x y y x x x y x y ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩，点A 在椭圆221:143x y E +=上，有221134120x y +-=， 所以()()2222111136121241234120x y x y ∆=--=+-=，即直线与椭圆相切．所以过点A 的切线方程为11143x x y y +=． ②由①知，过点B 的切线方程为22143x x y y +=， 设()00,P x y ，则22001169x y +=，即2200916144x y +=， 两条切线都经过点P ，则满足方程组10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 那么点A 和点B 都在直线00143x y x y +=上， 则直线AB 的方程为00143x y x y +=，即003412x x y y += 假设存在一定点(),C C C x y 到直线AB 的距离为定值，即00341212C C x x y y d ⋅+⋅-==为定值， 则0C C x y ==，1d =，故存在一定点()0,0C 到直线AB 的距离为定值1．【点睛】本题考查椭圆的综合应用，考验分析能力以及计算能力，属难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第—题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C 1的普通方程为(x -1)2 +y 2=1，曲线C 2的参数方程为.x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（Ⅰ）求曲线C 1和C 2的极坐标方程：（Ⅱ）设射线θ=6π(ρ>0)分别与曲线C 1和C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 【答案】（Ⅰ）2cos 0ρθ-=，22222cos 3sin 60ρθρθ+-=;（Ⅱ）||AB = 【解析】【分析】（Ⅰ）根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可得曲线C 1的极坐标方程，然后先计算曲线C 2的普通方程，最后根据极坐标与直角坐标的转化公式，可得结果.（Ⅱ）将射线θ=6π分别与曲线C 1和C 2极坐标方程联立，可得A ，B 的极坐标，然后简单计算，可得结果.【详解】（Ⅰ）()22221120x y x y x -+=⇒+-=由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=，曲线2C 的普通方程为232360x y +-=则曲线2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-= （Ⅱ）令(0)6πθρ=>，则1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则2222222cos 3sin 6066ππρρ+-=，即22924ρ=，所以2||OB ρ==1||2cos 6OA πρ===，故||||||AB OA OB =-=-． 【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中ρ的几何意义，属基础题.选修4-5：不等式选讲23.已知a >0，b >0，a +b =2. （Ⅰ）求111a b ++的最小值； （Ⅱ）证明：2.a b b a ab+≥ 【答案】（Ⅰ）最小值为43；（Ⅱ）见解析 【解析】【分析】（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；（2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.【详解】（Ⅰ）11111[(1)]131a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭则1111421313b a a b a b +⎡⎤+=++≥⎢⎥++⎣⎦ 当且仅当21a b a b +=⎧⎨=+⎩，即32a =，12b =时， 所以111a b ++的最小值为43． （Ⅱ）要证明：2a b b a ab+≥， 只需证：20a b b a ab+-≥， 即证明：2220a b ab+-≥， 由0,0a b >>，也即证明：222a b +≥．因为2a b +≤所以当且仅当a b =1≥， 即222a b +≥，当1a b ==时等号成立． 所以2.a b b a ab+≥ 【点睛】本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.。
2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷(九)文科数学
2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷（九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{|24}A x x =-<<，{|2}B x x =≥，则()R A C B =（ ）A. (2,4)B. (2,4)-C. (2,2)-D. (2,2]-【答案】C 【解析】集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，R C B {}|2x x =< 则()()2,2R A C B ⋂=-. 故答案为C.2.已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ） A. 2i -- B. 2i - C. 2i -+ D. 2i +【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由(2)z |34|5i i -=+=， 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3.已知(1,),(,4)a k b k ==，那么“2k =-”是“,a b 共线”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 非充分非必要条件 D. 充要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求出,a b 共线时k 的值，再由充分必要条件的定义判断，即可得出结论.【详解】(1,),(,4)a k b k ==，当,a b 共线时得24,2k k ==±，所以“2k =-”是“,a b 共线”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，利用共线向量的坐标关系是解题的关键，属于基础题.4.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要 A. 7天 B. 8天 C. 9天 D. 10天【答案】C 【解析】设所需天数为n 天，第一天3为1a 尺，先由等比数列前n 项和公式求出1a ，在利用前n 项和n 50S ≥，便可求出天数n 的最小值．【详解】设该女子所需天数至少为n 天，第一天织布1a 尺， 由题意得：()5512512S -==- ，解得1531a =， ()512315012nn S -=≥- ，解得2311n ≥，982=512,2=256，所以要织布的总尺数不少于50尺，该女子所需天数至少为9天， 故选C.【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，直接两次利用等比数列前n 项和公式便可得到答案． 5.a 、，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. 23a π B. 26a πC. 212a πD. 224a π【答案】B 【解析】 【分析】由长方体的结构特征可得，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即可求解.a 、，=， 又长方体的顶点都在一个球面上，所求的球半径2R =， 所以表面积为2246R a ππ=.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，对于常见几何体与球的关系要熟练掌握，属于基础题.6.某班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是（ ）A. 70B. 75C. 66D. 68【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出各组的频率，按照平均数公式即可求解. 【详解】依题意该班历史平均数估计为300.1500.2700.4900.368⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查由频率分布直方图求样本的平均数，熟记公式即可，考查计算求解能力，属于基础题.7.已知tan 3α=，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.35B.310C.34D.310【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得222π22cos 2222? 1sin cos tan sin sin cos sin cos tan αααααααααα⎛⎫-==== ⎪++⎝⎭，结合条件可得所求结果． 【详解】由题意得2222π222363cos 2222? 1?31105sin cos tan sin sin cos sin cos tan αααααααααα⨯⎛⎫-======= ⎪+++⎝⎭， 故选A ．【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，解题的关键是合理利用“1”的代换，将所求值转化为齐次式的形式，然后再根据条件求解．8.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（ ）A. 2B. 1C. 12+D. 1+【答案】B 【解析】 【分析】先求得圆心到直线2x y -=的距离为d =再结合圆的性质，即可得到最大距离为1d +，即可求解，得到答案.【详解】由题意，圆222210x y x y +--+=，可得圆心坐标(1,1)O ，半径为1r =，则圆心(1,1)O 到直线2x y -=的距离为d ==所以圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是11d +=.故选：B .【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个x ，则sin x 的值介于12-与12之间的概率为 ( )A.2πB.13C.12D.23【答案】B 【解析】 【分析】求解正弦不等式sin 1122x <-<在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的解集，结合几何概型的概率计算公式即可容易求得.【详解】因为11ππππsin ,[,][,]222266x x x -<<∈-⇒∈-， 所以满足题意的概率P =ππ()166ππ3()22--=-- .故选：B .【点睛】本题考查几何概型长度型问题的概率计算，涉及正弦不等式的求解，属综合基础题. 10.设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A. 若//l α，l β//，则//αβ B. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥ D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】由l 是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A 选项中，若//l α，l β//，则α，β可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若//l α，l β⊥，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥，正确；C 选项中，若αβ⊥，l α⊥，由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂，错误；D 选项中，若αβ⊥，//l α，则l ，β可能平行也可能相交，错误. 故选：B.【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题. 11.函数3()2x y x x =-的图像大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C ；当时，，，故，故排除A 、D ， 故选B.考点：函数的图象.12.已M 为抛物线24y x =上一动点，F 为抛物线的焦点，定点(3,1)P ，则||||MP MF +的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B 【解析】 【分析】过M 点作抛物线的准线的垂线，垂足为N ， 可得||||MN MF =，转化为求||||MP MN +的最小值，数形结合即可求解.【详解】抛物线24y x =准线方程为1x =-， 过M 点作抛物线的准线的垂线，垂足为N ， 由抛物线的定义可得||||MN MF =，||||||||||4MP MF MP MN PN ∴+=+≥=，当且仅当,,P M N三点共线时等号成立.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设变量x,y满足约束条件121x yx yx y-≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则目标函数5z x y=+的最大值为 . 【答案】5【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下图所示：目标函数5z x y=+，可整理为5y x z=-+，与直线5y x=-平行.数形结合可知，当且仅当目标函数过点()1,0A时取得最大值.则5105max z =⨯+=. 故答案为：5.【点睛】本题考查简单线性规划问题的求解，涉及数形结合，属基础题.14.在等差数列{}n a 中，1231819203,87a a a a a a ++=++=，则该数列前20项的和为_____. 【答案】300 【解析】 【分析】根据已知条件结合等差数列的性质可得129,a a ，求出120a a +，即可求解. 【详解】在等差数列{}n a 中，12232133,a a a a a ++=∴==，181920191987,329a a a a a +=∴==+，1202021920()10()3002a a S a a +∴==+=.故答案为：300.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，利用等差数列的性质是解题的关键，属于基础题. 15.计算410.53log 505252724ln lg 200lg 2168e π-⎛⎫⎛⎫+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____. 【答案】2312【解析】 【分析】根据分数指数幂和对数的运算法则即可求解. 【详解】410.53log 505252724ln lg 200lg 2168e π-⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11323252200()()255lg 432⨯⨯=+-+-+ 52234312=+= 故答案为：2312. 【点睛】本题考查指数幂和对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题.16.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =______. 【答案】2-. 【解析】 【分析】对函数()f x 的解析式求导，得到其导函数，把1x =代入导函数中，列出关于'(1)f 的方程，进而得到'(1)f 的值，确定出函数()f x 的解析式，把1x =代入()f x 解析式，即可求出(1)f 的值【详解】解：求导得：''1()2(1)f x f x =+，令1x =，得''1(1)2(1)1f f =+，解得：'(1)1f =- ∴()2ln f x x x =-+，(1)202f ∴=-+=-，故答案为-2．【点睛】此题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，求出常数'(1)f 的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）（一）必考题（共60分）17.已知函数()4cos sin 6f x x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为2.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）在坐标系上作出()f x 在[]0,π上图像，要求标出关键点的坐标. 【答案】（1）1a =-，T π=；（2）图像和关键点坐标见详解.【解析】 【分析】（1）先根据两角和公式对函数进行化简整理得()f x ═2sin 214x a π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，再根据最大值确定a 值，结合正弦函数的性质求得函数的最小正周期； （2）依据图表，分别求得0，6π，512π，3π，23π，1112ππ，时的函数值，进而描点画出图象．【详解】（1）()4cos sin 6f x x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭214cos cos 2cos 2x x x a x x a ⎫=++=++⎪⎪⎝⎭,cos212sin 261x x a x a π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭,∵()f x 的最大值为2，即212a ++=， ∴1a =-，最小正周期22T ππ== （2）因为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 故可得其图像上关键点的坐标分别为：()0,1，,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,012π⎛⎫⎪⎝⎭，(),1π其图像如下所示：.【点睛】作函数()()sin f x A x ωϕ=+图象的方法（1）作三角函数图象的基本方法就是把x ωϕ+看作一个整体，利用五点法画图，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图像；（2）变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用x x ϕωϕωω⎛⎫+=+⎪⎝⎭来确定平移单位． 18.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查，若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析. （1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； （2）求抽取的6所学校中的2所学校均为小学的概率.【答案】（1）抽取的小学有3所，中学有2所，大学有1所.（2）15【解析】 【分析】（1）根据分层抽样每个个体抽取的概率相等，即可求出各层的抽取的个数；（2）将抽取的6所学校按所在组进行编号，列出从6所学校任取2所学校的所有情况，确定出2所学校均为小学的抽取个数，按照古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）因为共有学校2114742++=（所） 所以抽取学校的比例是61427= 所以抽取的小学有3所，中学有2所，大学有1所. （2）设抽取的小学为123,,a a a ，中学为12,b b ，大学为c ，则基本事件有：()()1213,,,a a a a ，()()()()()()()111212321222,,,,,,,,,,,,,a b a b a c a a a b a b a c ， ()()()()()()313231212,,,,,,,,,,,a b a b a c b b b c b c ，共15种.其中是2所小学的事件有：()()()121323,,,,,a a a a a a ，共3种. 所以抽取6所学校中的2所学校均为小学的概率31155P ==. 【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，古典概型的概率的计算方法，属于基础题. 19.已知椭圆的两焦点为()10,1-F 、()20,1F ，离心率为12. （1）求椭圆的标准方程；（2）设点P 在椭圆上，且121PF PF -=，求12cos F PF ∠的值【答案】（1）24y +23x 1=；（2）35. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标以及离心率，即可求得,,a b c 方程，求解方程，即可得到椭圆方程； （2）根据椭圆定义，结合已知条件，利用余弦定理解三角形即可.【详解】（1）设椭圆方程为22221y x a b+= (0)a b >>由题设知1c =,12c a = ∴2a =,2223b a c =-=∴所求椭圆方程为24y +23x 1=.（2）由椭圆定义知1224PF PF a +==，又121PF PF -= ∴152PF =，232PF =，又1222F F c == 由余弦定理222121212122594344cos 5325222PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⨯⨯.故12cos F PF ∠35=. 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的几何性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ABE △为等腰三角形，2AE BE ==，平面ABCD ⊥平面ABE .（1）求证：平面ADE ⊥平面BCE ； （2）求三棱锥D ACE -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】 【分析】（1）根据已知可证AD ⊥平面ABE ，得到AD BE ⊥，再由,,AE BE AB 长度关系，得到AE BE ⊥，进而有BE ⊥平面ADE ，即可证明结论；（2）取AB 中点O ，连接OE ，根据已知可证OE ⊥平面ABCD ，利用D ACE E ACD V V --=，即可求解 【详解】（1）四边形ABCD 是正方形，AD AB ∴⊥.又平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD平面ABE AB =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面ABE ，而BE ⊂平面ABE .∴AD BE ⊥.又2,AE BE ==2AB =，222,AB AE BE AE BE ∴=+∴⊥而AD AE A ⋂=，AD AE ⊂、平面ADE ，BE ∴⊥平面ADE ，而BE ⊂平面BCE ，∴平面ADE ⊥平面BCE .（2）如图，取AB 中点O ，连接OE .ABE 是等腰三角形，OE AB ∴⊥.又平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD平面ABE AB =，OE ⊂平面ABEOE ∴⊥平面ABCD ，即OE 是三棱锥D ACE -的高.又2,2AE BE AB ===1OE ∴=1233D ACE E ACD ACDV V OE S--∴==⋅⋅=.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直、求椎体的体积，空间垂直关系的相互转化是解题的关键，属于中档题. 21.设a实数，函数3211()(1)()32f x x a x ax x R =---∈. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在R 上的极大值与极小值.【答案】（1）单调区间有(,1),(1,),(1,1)-∞-+∞-；（2）当1a <-时，()f x 的极大值是321162a a --，极小值是1126a +；当1a =-时，()f x 无极值；当1a >-时，()f x 的极大值是1126a +，极小值是321162a a --. 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求出(),f x f x '()，求解0f x f x '()>0,'()<，即可得出结论；（2）求出()f x '，进而得到()0f x '=的根，按照根的大小对a 分类讨论，求出单调区间，即可求解.【详解】（1）当1a =时，31()3f x x x =- 2101f x x x =-'=)∴(=±当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增； 当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(1,1)-上单调递减. 所以()f x 的单调区间有(,1),(1,),(1,1)-∞-+∞-； （2）2(1)(1)()0x a x f x a x x a '()=---=+-=1x ∴=-或x a =，当1a =-时，2(1)0x f x =+'()所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 在R 上无极值.当1a <-时，随x 的变化,()f x f x '()变化如下：所以()f x 的极大值是321()612f a a a -=-， 极小值是11(1)26f a -=+； 当1a >-时，随x 的变化,()f x f x '()变化如下：所以()f x 的极小值是321()612f a a a -=-， 极大值是11(1)26f a -=+. 综上，当1a <-时，()f x 的极大值是321162a a --， 极小值是1126a +； 当1a =-时，()f x 无极值； 当1a >-时，()f x 的极大值是1126a +， 极小值是321162a a --. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值，考查分类讨论思想，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.在极坐标系中,过曲线2:sin 2cos (0)L a a 外的一点)A (其中tan 2θ=，θ为锐角)作平行于()4R πθρ=∈的直线l 与曲线分别交于,B C ．(Ⅰ) 写出曲线L 和直线l 的普通方程(以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建系)； （Ⅱ）若||,||,||AB BC AC 成等比数列,求a 的值．【答案】(Ⅰ) 曲线L 和直线l 的普通方程分别为22yax ，=2y x（Ⅱ）1a = 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程.（Ⅱ）写出直线l 的参数方程,代入曲线L 的普通方程得2)8(4)0t a t a -+++= ,利用韦达定理以及题设条件化简得到a 的值．【详解】(Ⅰ)由2sin 2cos a ρθθ=两边同乘以ρ得到2(sin )2(cos )a ρθρθ=所以曲线L 的普通方程为22yax由tan 2θ=，θ为锐角，得sin ,cos 55θθ==所以(25,)A 的直角坐标为25cos()2,25sin()4x y πθπθ=+=-=+=-，即(2,4)A --因为直线l 平行于直线()4πθρ=∈R ，所以直线l 的斜率为1即直线l 的方程为42=2y x y x +=+⇒- 所以曲线L 和直线l 的普通方程分别为22y ax ，=2y x（Ⅱ）直线的参数方程为222{24x y =-+=-+ (t 为参数),代入22y ax 得到222(4)8(4)0t a t a -+++= ,则有121222(4),8(4)t t a t t a +=+⋅=+因为2||BC AB AC = ,所以()()22121212124t t t t t t t t -=+-⋅=⋅ 即222(4)32(4)8(4)a a a ⎡⎤+-+=+⎣⎦ 解得1a =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题．23.设函数()|1||2|f x x x a =++-+. （1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(,2][3,)-∞-⋃+∞；（2）3a -. 【解析】 分析】（1）令|1||2|50x x ++--≥，在同一坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-和5y =的图象，结合图象可得，求得不等式的解集，即可求解；（2）由题意转化为|1||2|x x a ++-≥-，由（1）求得|1||2|3x x ++-≥，即可求解． 【详解】（1）由题意，令|1||2|50x x ++--≥，在同一坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-和5y =的图象，如图所示， 结合图象可得，不等式的解集为(,2][3,)-∞-⋃+∞， 函数()f x 的定义域为(,2][3,)-∞-⋃+∞.（2）由题设知，当x ∈R 时，恒有|1||2|0x x a ++-+≥，即|1||2|x x a ++-≥-， 又由（1）知|1||2|3x x ++-≥，∴3a -≤，即3a ≥-.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中合理转化，正确作出函数图象，结合函数点的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．。
2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷(十四)文科数学
2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷（十四）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
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7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}|2xA y y ==，{|B y y ==，则（ ）A. A B =B. A B ⊇C. A B ⊆D.A B =∅【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数性质确定集合,A B ，然后再由集合的关系判断．【详解】{}()|20,xA y y ===+∞，{[)|0,B y y ===+∞，∴A B ⊆，【点睛】本题考查集合的关系，考查指数函数和幂函数的性质．属于基础题． 2. 若复数243iz i-=-，则z =（ ） A. 1i -+ B. 1i --C. 1i -D. 1i +【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算求得z 后可得其共轭复数． 【详解】()()()()243241010133310i i i iz i i i i -+--====---+，1z i =+， 故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概率，属于基础题．3. 已知1512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1535b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，121log 3c =，则（ ） A. b a c <<B. c b a <<C. b c a <<D.a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质结合中间值0和1比较大小．【详解】15110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，15305⎛⎫-< ⎪⎝⎭，1221log log 313=>，∴b a c <<，故选：A ．【点睛】本题考查幂和对数的大小比较，解题关键是掌握指数函数与对数函数的性质，比较大小时对不同类型的数可借助中间值0，1等进行比较． 4. 若函数()13f x ax x=-的图象在1x =处的切线与直线04=+y x 垂直，则a =（ ） A. 1- B. 1 C. 712- D. 53-【答案】D 【解析】求出导数，由斜率乘积为1-可得a 值． 【详解】()13f x ax x =-，()213f x a x'=--，∴()1134f a '=--=，∴53a =-， 故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直的关系，函数()f x 在0x 处的导数0()f x '是其图象在00(,())x f x 处切线的斜率．5. 港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内，是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隊工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世.2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩矩．为了解实际通行所需时间，随机抽取了n 台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[35，50）内，按通行时间分为[35，38），[38，41），[41，44），[44，47），[47，50]五组，其中通行时间在[38，47）的车辆有182台，频率分布直方图如图所示，则n ＝（ ）A. 280B. 260C. 250D. 200【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图可知通行时间在[38，47）的频率为0.91，根据频率的概念即可求出结果. 【详解】由题意可知，通行时间在[38，47）的频率为()10.010.0230.91-+⨯=，所以1820.91n=，所以200n =. 故选：D .【点睛】本题主要考查了频率分布直方图和频率的概念，属于基础题.6. 已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若2a =，且满足()(222a c b ac +=+，则AB 边上的高为（ ）A. 1B.12C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理求得B 角后，易求得高．【详解】∵()(222a c b ac +=++，∴222a c b +-=，即：cos 2B =，6B π=，AB 边上的高为sin 1a B =，故选：A.【点睛】本题考查余弦定理，属于基础题．7. 勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛（1829—1905）首先发现的，所以以他的名字命名，其作法如下：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另外两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．若在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形外部的概率为（ ）D.【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式和三角形面积公式求得勒洛三角形的面积，再求得勒洛三角形在等边三角形外部的面积，然后可得概率．【详解】设等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的面积为2221223222344S ππ⎛⎫=⨯⨯-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭为2212223234ππ⎛⎫⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪-⎝⎭，∴P =， 故选：B.【点睛】本题考查几何概型，解题关键是求出勒洛三角形的面积．8. 已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=- ，(2)()f x f x +=- ，且当02x <<时，28l )2og (f x x x =-，则()47f = ( )A. ﹣1B. ﹣2C. 0D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知()f x 是以4为周期的奇函数，再根据()()()()47412111f f f f =⨯-=-=-，由此即可求出结果．【详解】因为定义域为R 的函数()f x 满足()()()(),2f x f x f x f x -=-+=-， 所以()()()42f x f x f x +=-+= ， 所以()f x 是以4为周期的奇函数，所以()()()()474121112f f f f =⨯-=-=-=-． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数的周期性、奇偶性以及函数值的求法，考查运算求解能力，是基础题．9. 古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除法．如图，若输入m ，n 的值分别为779，209，则输出的m ＝（ ）A. 17B. 18C. 19D. 20 【答案】C【解析】【分析】按照程序框图逐步计算.【详解】方法一：运行情况如下：执行次数m n r1 779 209 1522 209 152 573 152 57 384 57 38 195 38 19 0m .所以输出的19方法二：易知该程序是求两数的最大公约数，而779和209的最大公约数是19,.故选：C【点睛】本题考查程序框图，属于基础题.10. 在三棱锥P ﹣ABC 中，已知△ABC 是边长为6的等边三角形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝12，则AB 与平面PBC 所成角的余弦值为（ ）A.19B.C.19D.38【答案】C 【解析】 【分析】利用等体积法求出点A 到平面PBC 的距离，从而可以求出AB 与平面PBC 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的关系求出余弦值.【详解】解：因为P A ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥， 因为△ABC 是边长为6的等边三角形，P A ＝12，所以PB PC ===所以162PBCS=⨯= 设A 到平面PBC 的距离为d ， 因P ABC A PBC V V --=，所以1133ABCPBCSPA S d ⋅=⋅，36⨯，解得d =设AB 与平面PBC 所成角为θ，则sind AB θ===，所以cos θ====，故选：C【点睛】此题考查了线面角，利用了等体积法，属于基础题. 11. 如图是函数(x)Asin(x )f ωϕ=+0002A(，， )的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数2()12g x sin x =-﹣的图象（ ）A. 向左平移4π个单位长度 B. 向右平移4π个单位长度 C. 向左平移2π个单位长度 D. 向右平移2π个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】先由图用711234T ππ-=求出ω，由 ()03f π= 求出ϕ,由 (0)3f =3A =得到()3)3f x x π=+；运用二倍角公式和辅助角公式化简5()2sin(2)6g x x 利用三角函数图象平移性质得解. 【详解】如图知: ,711234T ππ-=，2T , 又0>ω 2ω∴=()()sin 2f x A x ϕ∴=+ ()03f π=,2sin()03A πϕ∴+=02πϕ<<解得：3πϕ=()sin(2)3f x A x π∴=+又(0)3f =sin33A π∴=2A ∴，()2sin(2)3f x x π∴=+2()1232=cos 2322cos(2)3g x sinxcosx sin x xsin x x=-﹣52sin(2+)=2sin(2)326xx 由三角函数图象平移性质得5552sin(2)=2sin[2()]2sin(2)2sin(2)()646263xx x x f x(技巧：由三角函数图象平移性质得5(2)(2)3624x x πππ+-+=- )所以()g x 函数向右平移4π个单位长度得到()f x . 故选：B【点睛】本题考查由图象求函数(=)+y Asin x ωϕ的解析式. 确定()=++(0)0y Asin x b A ，的步骤和方法:(1)求A b ， ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则 2M mA ，2M mb； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可2T得＝； (3)求ϕ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A b ，，已知)或代入图象与直线y b ＝的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．12. 已知双曲线()2222:10,0x y W a b a b-=>>的右焦点F ，过原点的直线l 与双曲线W 的左、右两支分别交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆过点F ，延长BF 交右支于C 点，若2CF FB =，则双曲线W 的渐近线方程是（ ）A.3y x =±B. 4y x =±C. y =±D. 3y x =±【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，设双曲线W 的左焦点为点F '，连接CF '、AF '，设BF m =，则2CF m =，利用双曲线的定义及勾股定理求得23am =，进而可得出23a BF =，83a BF '=，然后利用勾股定理可求得22c a 的值，进而可求得22b a的值，由此可求得双曲线W 的渐近线方程.【详解】如下图所示，设双曲线W 的左焦点为点F '，连接CF '、AF '，设BF m =，则2CF m =，由双曲线的定义可得2BF a m '=+，22CF a m '=+，由于以AB 为直径的圆经过点F ，且OA OB =、OF OF '=，则四边形AFBF '为矩形， 在Rt BCF '△中，有勾股定理得222CF BC BF ''=+，即()()2222292a m m a m +=++， 解得23m a =，23a BF ∴=，83aBF '=， 由勾股定理得222BF BF FF ''+=，即226849a c =，22179c a ∴=， 所以，2222222819b c a c a a a -==-=，则22b a =. 因此，双曲线W 的渐近线方程是23y x =±. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，考查了双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 抛物线2y ax =的准线方程为12x =，则a =______． 【答案】-2 【解析】【分析】根据抛物线的准线方程公式列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值. 【详解】∵抛物线2y ax =的准线方程为12x =， ∴142a x =-=，解得：2a =-， 故答案为：2-.【点睛】此题考查了抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的准线方程公式是解本题的关键，属于基础题.14. 已知(2,3)AB =，(1,4)AC =-，则AB BC ⋅=_____． 【答案】23- 【解析】 【分析】本题首先可根据题意得出()1,7BC =--，然后根据向量数量积的坐标表示即可得出结果. 【详解】因为(2,3)AB =，(1,4)AC =-， 所以()1,7BC AC AB =-=--， 则()127323AB BC ⋅=-⨯+-⨯=-， 故答案为：23-.【点睛】本题考查向量减法的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，若向量11(,)ax y ，22(,)b x y ，则1212a b x x y y ⋅=+，考查计算能力，是简单题.15. 若实数x ，y 满足约束条件3043030x y x y x y --⎧⎪-+≥⎨⎪+-⎩，则2z x y =-的最大值为_____．【答案】8 【解析】 【分析】根据题意先画出满足约束条件的平面区域，然后分析画出直线x ﹣2y =0，通过平移直线求出目标函数的最大值.【详解】解：不等式组表示的区域如图所示，由2z x y =-得1122y x z =-，作出直线12y x =，向下平移直线12y x =经过点A 时，截距最小而z 最大，由30430x y x y --=⎧⎨-+=⎩得25x y =-⎧⎨=-⎩，所以(2,5)A --， 所以2z x y =-的最大值为22(5)8--⨯-= 故答案为：8【点睛】此题考查了线性规划的应用，利用了数形结合，通过图像平移求出目标函数的最值，属于基础题.16. 如图，将一个圆柱2n （n ∈N *）等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当n 越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为_____，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为_____．【答案】 (1). 8π (2). 323π【解析】 【分析】（1）由题知，表面积增加的部分为新“长方体”的左右两个侧面，设原圆柱的底面半径为r ，高为h ，则可得28rh =，由公式可得圆柱的侧面积；（2）设圆柱的外接球的半径为R ，依题得()()22222R r h =+，由基本不等式可知外接球表面积最小时2R =，从而可求出外接球的体积.【详解】（1）由题知，表面积增加的部分为新“长方体”的左右两个侧面，设原圆柱的底面半径为r ，高为h ，则可得28rh =，所以圆柱的侧面积为28rh ππ=；（2）设圆柱的外接球的半径为R ，依题得()()22222R r h =+，所以外接球的表面积()22244416S R r h rh πππππ==+≥⋅==，当且仅当2r h =时，S 最小，此时2R =，外接球的体积343233V R ππ==. 故答案为：（1）8π；（2）323π【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积，基本不等式的应用，球的表面积与体积的计算，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，考查了学生的直观想象与运算求解能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n n S a =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()213n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 【答案】（1）132n n a -=⋅；（2）()1224n n T n +=-+．【解析】 【分析】（1）利用11n n n a S S ++=-可得数列的递推式，得其为等比数列，易得通项公式； （2）由（1）得n b ，用错位相减法求和．【详解】（1）∵23n n S a =-，∴1123n n S a ++=-，∴11122n n n n n a S S a a +++=-=-，即：12n n a a +=，又∵1123S a =-，∴13a =，∴{}n a 是以3为首项，2为公比的等比数列，∴132n n a -=⋅；（2）()()21123n n n n b a n -==-． ()()12310212222212n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅-+-，()()234120212222212n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，两式相减得：()2311222212n nn n S n -+-=++⋅⋅⋅++--()()2111221242212n n n n n +++-=--=-+--，∴()1224n n S n +=-+．【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求和，在已知前n 项和n S 与n a 关系时常常利用1(2)n n n a S S n -=-≥求得n a 的递推式，然后再判断求解．数列求和除必须掌握等差数列和等比数列的前n 项和公式外，还应掌握一些特殊的方法：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等．18. 某校2011年到2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数（每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试）可以通过以下表格反映出来．（为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推）（1）求这九年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差； （2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程，并依此预测该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数．（最终结果精确至个位）参考数据：回归直线的方程是y bx a =+，其中()()()1221121niii nnin i i ii ii x y nx y b n x x x xy x xy ====-=---=-∑∑∑∑，a y bx =-．95293i i i x y ==∑，925255i i x ==∑．【答案】（1）6；689；（2） 1.3 1.1y x =-，12人．【解析】 【分析】（1）由表格中的数据，利用平均数和方差的公式，即可求解；（2）由表中近五年的数据，利用公式，求得ˆˆ,ba ，求得回归直线方程，代入10x =，即可作出结论．【详解】（1）由表格中的数据，利用平均数的计算公式，可得2354578101069++++++++=．由方差的公式，可得()()()2222168263610699s ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦．（2）由表中近五年的数据知，7x =，8y =，95293i ii x y==∑，925255i i x ==∑，9592255293578ˆ 1.32555495i ii i i x y xybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，又a y bx =-，所以8 1.37 1.1a =-⨯=-， 故y 与x 的线性回归方程为 1.3 1.1y x =-， 当10x =时， 1.310 1.111.912y =⨯-=≈，故估计该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生有12人．【点睛】本题主要考查了平均数与方差的计算，以及回归直线方程的求解及应用，其中解答中认真审题，根据公式准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.19. 如图，在棱长为8的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为11A B ，11B C ，1BB 的中点，点P 是正方形11CC D D 的中心．（1）证明：//AP 平面EFG ； （2）求F 到平面1AD E 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）6 【解析】 【分析】（1）由正方体的性质可证得平面1//ACD 平面EFG ，从而得线面平行； （2）利用体积法求得点面距离．即由11A D EF F AD E V V --=求解．【详解】（1）连结1D C ，AC ，∵点E 、F 、G 分别为11A B ，11B C ，1BB 的中点，∴1//EG D C ，∵1D C ⊆/平面EFG ，∴1//D C 平面EFG ，同理：//AC 平面EFG ，∴平面1//ACD 平面EFG ，∵点P 是正方形11CC D D 的中心，即1P CD ∈，∴AP 平面1ACD ，∴//AP 平面EFG ；（2）连结1D F ，AF ，设F 到平面1AD E 的距离为h ，11116484844424222D EF S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△，145DE AE ==，182AD =∴1AD E △的边1AD 上的高43d =1182431662AD E S =⨯=△∵11A D EFF AD E V V --=，∴1111833D EF AD E S S h ⨯=⨯△△，∴11826D EF AD ES h S ==△△．【点睛】本题考查证明线面平行，考查用体积法求点到平面的距离．证明线面平行基本有两种方法：一是用线面平行的判定定理，二是用面面平行的性质定理．等体积法求求点面距的常用方法．但要注意三棱锥换底后体积易求才能使用． 20. 已知函数()ln 2f x x ax =-+． （1）求()f x 在(]0,1上的最大值；（2）当1a =时，证明：对任意0x >，()0xf x e x -+<恒成立．【答案】（1）()max 1ln f x a =-；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导，利用()f x 单调性求在(]0,1上的最大值（2）构造函数()()ln 2xxg x f x e x x e =-+=-+，证明()g x 最大值小于0即可【详解】（1）∵()ln 2f x x ax =-+，∴()11'axf x a x x-=-=， ①当1a ≤时，∴()1'0axf x x-=≥在(]0,1上恒成立，∴()f x 在(]0,1上递增，∴()()max 12f x f a ==-； ②当1a >时，∴当10x a <<时，()'0f x >，当11x a <≤时，()'0f x <，∴()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，在1,1a ⎛⎤⎥⎝⎦上递减，∴()max 11ln f x f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；（2）当1a =时，令()()ln 2xxg x f x e x x e =-+=-+，()1'xg x e x=-，()'g x 在()0,∞+上递减， ()'110g e =-<，1'202g ⎛⎫=>⎪⎝⎭，存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()0'0g x =，即：001x e x =，当00x x <<时，()'0f x >，当0x x >时，()'0f x <，∴()g x 在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减，()()000001ln 22x g x g x x e x x ⎛⎫≤=-+=-+ ⎪⎝⎭()20010x x -=-<，∴()0xf x e x -+<．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值以及不等式恒成立问题，属于中档题.21. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 2作一条直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，过P ，Q 作直线2a x c=的垂线，垂足为S ，T ．试问：直线PT 与QS 是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质以及题意可列出方程组，求出椭圆方程；（2）设直线PQ 的方程，将直线PQ 的方程与椭圆方程联立，得到韦达定理，然后再设直线PT 的方程，令0y =，化简可得直线PT 必过5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理可证直线QS 恒过5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此即可证明结果. ,【详解】（1）由题意可知，222122c a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=；（2）设直线PQ 的方程为：1x my =+，()()1122,,,P x y Q x y ，则()()124,,4,S y T y ，联立方程2234121x y x my ⎧+=⎨=+⎩可得：()2234690m y my ++-=，所以12122269,3434m y y y y m m +=-=-++， 所以()121223my y y y =+ ，又直线PT 的方程为：()()()()211244y y x x y y --=--， 令0y =， 则()()112212121212121241482242y my y y x y y y my y x y y y y y y -+---=+==---()()()()121212121282355222y y y y y y y y y y --+-===--，所以直线PT 恒过5,02⎛⎫⎪⎝⎭，同理，直线QS 恒过5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，即直线PT 与QS 交于定点5,02⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，属于中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为1cos 811sin 88x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）直线l 过原点且倾斜角为02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，与曲线1C 、2C 分别交于A 、B 两个不同点（均异于原点），且22512OA OBOA OB ，求直线l 的斜率． 【答案】（1）1ρsin θ4，28y x =（2）1或4. 【解析】 【分析】（1）本题首先根据1cos α8x以及11sin α88y 求出曲线1C 的直角坐标方程，然后根据cos x ρθ=以及sin y ρθ=即可求出曲线1C 的极坐标方程，最后根据极坐标方程与直角坐标方程的转化即可求出曲线2C 的直角坐标方程； （2）首先可根据题意计算出2OA OB 或12，然后结合曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程得出2ρρtan φA B，最后根据22tan φ或12即可得出结果. 【详解】（1）因为1cos α8x，11sin α88y ， 所以11sin α88y，曲线1C 的直角坐标方程为2211864x y ， 化简得22104xy y ， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以曲线1C 的极坐标方程为：21ρρsin θ04，即1ρsin θ4， 因为曲线2C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=，即22sin 8cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为28y x =,（2）因为22512OA OB OA OB ，即25102OA OB OA OB ， 所以2OA OB 或12， 因为直线l 倾斜角为ϕ，与曲线1C 、2C 分别交于A 、B 两个不同点，所以218cos φcos φ2ρρsin φ24sin φsin φtan φA B ， 故22tan φ或12，tan 1ϕ=或4，直线l 的斜率为1或4. 【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程以及极坐标方程的相互转化，考查极坐标方程的灵活应用，可通过cos x ρθ=以及sin y ρθ=进行直角坐标方程与极坐标方程的相互转化，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题.23. 已知215f x x x ．（1）解不等式()9f x <；（2）若a 、b 、c 均为正数，且24f af b f c ，证明：2222b c a a b c ++≥ 【答案】（1）()5,1-（2）证明解析 【解析】 【分析】（1）首先可根据绝对值的相关性质将215f x x x 分为21x ≥-、152x -<<-以及5x ≤-三种情况依次进行讨论，然后分别求解()9f x <，即可得出结果； （2）本题首先可以根据24f a f b f c 得出2a b c ++=，然后根据基本不等式对2222b c a a b c 进行化简，即可证得2222b c a a b c ++≥. 【详解】（1）由题意可知，215f xx x ， 当21x ≥-时，21536f x x x x ，()9f x <，即369x ，解得112x -≤<；当152x -<<-，2154f x x x x ，()9f x <，即49x ，解得152x -<<-； 当5x ≤-，21536f x x x x ，()9f x <，即369x ，无解，综上所述，()5,1x ∈-，（2）因为a 、b 、c 均为正数，所以36f a a ，36f b b ，36f c c ，因为24f a f b f c ， 所以36363624a b c ，化简得2a b c ++=， 因为2222222b c a b c a a b c a b c a b c 222222222b c a b c a a b c a b c a b c a b c2224b c a ，当且仅当a b c ==时取“=”号，所以2222b c a a b c++≥成立. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，可通过应用绝对值的性质对绝对值不等式进行去绝对值，从而求解绝对值不等式，考查基本不等式的灵活应用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.。
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(二十七)文科数学
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷（二十七）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,2,3,4}A =，{}2|6B x x =<，则A B =（ ）A. {}1B. {1,2}C. {1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】B 【解析】 【分析】根据先求出B ，再用集合交集的定义列举出集合,A B 的全部元素组成集合，即可得答案. 【详解】{}2|6B x x =<，{B x x ∴=<<且{1,2,3,4}A =，因此AB ={1,2}.故选：B .【点睛】本题考查集合的交集的运算，写出集合的交集时注意集合中元素的相同性，是基础题. 2.复数121ii-+在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则化简复数，得到对应点的坐标，从而确定象限.【详解】()()()()121121313111222i i i i i i i i -----===--++- 对应的点的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数的除法运算和几何意义，属于基础题. 3.设等差数列{}n a 的前n 项为n S ，若537,3a S ==，则6a =( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质得出11473(31)332a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩，解出1,a d ，即可求出6a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d11473(31)332a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯-+=⎪⎩ 解得11,2a d =-=61259a ∴=-+⨯=故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.4.命题“00x ∃>，020 x e x <”的否定为（ ） A. 00x ∃>，020 x e x ≥ B. 0x ∀≤，2x e x < C. 00x ∃≤，020 x e x ≥D. 0x ∀>，2x e x ≥【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可.【详解】命题“00x ∃>，020 x e x <”的否定为:0x ∀>，2x e x ≥.故选：D .【点睛】本题主要考查的是命题及其关系，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题. 5.已知1tan()2πα-=-，则sin cos αα=（ ） A. 25-B. 25C. 45D. 25±【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将()tan πα-化简，再把分母看做22sin cos αα+，分子分母同时除以2cos α，即可求得. 【详解】1tan()tan 2παα-=-=-，得1tan 2α=，2221sin cos tan 22sin cos 1sin cos tan 1514αααααααα====+++. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是诱导公式的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键，是基础题. 6.设0.302a =.，3log 0.2b =，0.23c =，则（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b ac <<【答案】D 【解析】 【分析】利用中间值0、1比较大小，即先确定三个数的正负，再将正数与1比较大小，可得出三个数的大小关系.【详解】由0.300020.21a <=<=.，33log 0.2log 10b =<=， 0.20331c =>=，因此b a c <<. 故选：D .【点睛】本题考查对数值和指数值大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数性质的灵活运用， 是基础题.7.执行如图所示的程序框图，输出结果为（ ）A. 9B. 11C. 13D. 36【答案】B 【解析】 【分析】执行程序，直到30S >时，求出输出的结果. 【详解】0,1S i ==011,3S i =+== 134,5S i =+== 459,7S i =+== 9716,9S i =+== 16925,11S i =+==251136S =+=，30S >所以输出结果为11 故选：B【点睛】本题主要考查了由程序框图求输出值，属于基础题.8.函数2cos ()xxx xf x e e -=-图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，再根据102x <<，时()0f x >即可得到正确的图像. 【详解】2cos ()x x x x f x e e -=-，()()22cos cos ()()x x x x x x x x f x f x e e e e-----==-=---∴， 因此函数()f x 为奇函数，图像关于原点对称，排除,C D ， 又当102x <<时，cos 0,0x xx e e ->->，()0f x ∴>，排除B . 故选：A .【点睛】本题主要考查的是函数图像，考查利用函数的奇偶性看图形，排除法的应用，考查学生的分析问题的能力，是中档题.9.记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()23()()g x x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（ ）A. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】先对函数()f x 求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间. 【详解】()cos2f x x =，()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， 令2222232k x k πππππ-+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C .【点睛】本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题. 10.已知在锐角ABC 中，3A π=，||2CA CB -=,则CA CB ⋅的取值范围是（ ）A. 1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. (0,)+∞D. (0,12)【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得出c ，再利用余弦定理以及三角形为锐角三角形的条件，得出b 的范围，然后利用向量数量积和余弦定理转化为b 的二次函数，即可得到CA CB ⋅的取值范围. 【详解】由题2BA c ==，由余弦定理2242a b b =-+，①又锐角ABC 中，224a b +>且224a b +>，联立①解得14b <<，2224cos 2a b CA CB ab C b b +-⋅===-，由14b <<可得2(01),2b b -=. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是余弦定理的应用，以及向量数量积的应用，考查学生分析问题，解决问题的能力以及计算能力，是中档题.11.若函数(),01,(1),0.x e x f x af x x ⎧<≤=⎨+≤⎩是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. (0,1)【答案】B 【解析】 【分析】 当()*(,1],x n n n N ∈--+∈时，()*(0,1],x n n N +∈∈，由2()(1)(2)()n f x af x a f x a f x n =+=+==+得出0x ≤时的解析式，根据函数()f x 的单调性即可求出实数a 的取值范围.【详解】由题知，当()*(,1],x n n n N∈--+∈时，()*(0,1],x n n N +∈∈2()(1)(2)()e n n x n f x af x a f x a f x n a +∴=+=+==+=要使单调递增，只需0n a >且0(0)e e n n f a =≤，则0n a >且1e nna ≤即0a >且1e a ≤，故10ea <≤． 故选：B【点睛】本题主要考查了已知分段函数的单调性求参数的取值，属于中档题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．12.已知向量,a b 满足：()1,1,2,a b a b ==⊥，则2a b +=__________． 【答案】3 【解析】分析：首先根据题中让求的是向量的模，可以想到先平方，利用向量的平方和向量的模的平方是相等的，之后借助于向量垂直，得到其数量积等于零，而模的平方和向量的平方相等，再者就是向量的模与坐标的关系，最后求得结果. 详解：根据题意，有2222(2)44a b a b a a b b +=+=+⋅+3==.点睛：该题考查的是向量的模的求解问题，在解题的过程中，需要明确的就是向量的模的平方和向量的平方是相等的，再者用到的解题思想就是见模就平方，最后借助于向量垂直，其数量积等于零，求得结果.13.曲线()2ln 2f x x x =-在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为____________. 【答案】16【解析】 【分析】利用导数求出切线方程，即可得到切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【详解】()2ln 2f x x x =-，()()'14,0f x x x x∴=->， ()'13f ∴=-，12f ，∴切线方程为：()231y x +=--即31y x =-+，当0x =，时1y =，当0y =，时13x =， ∴三角形面积为：1111236⨯⨯=.故答案为：16.【点睛】本题主要考查的是利用导数求切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，是基础题.14.已知()2:log 12p a +<，0]1,2[q x ∃∈:，200210x ax --<，若()p q ⌝∨为假命题，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(]1,1- 【解析】 【分析】分别解出命题,p q 成立时的x 的取值范围，根据()p q ⌝∨为假命题即可得出实数a 的取值范围. 【详解】()2:log 12p a +<，014a ∴<+<，即13a -<<，因此:1p a ⌝≥-或3a ≥，0]1,2[q x ∃∈:，200210x ax --<，即0[1,2]x ∃∈，0012a x x >-，因此[]000min 12,1,2a x x x ⎛⎫>-∈ ⎪⎝⎭，易知[]00012,1,2y x x x =-∈上单调递增， 1a ∴>，()p q ⌝∨为假命题，p ∴⌝假，q 假，11a ∴-<≤.故答案为：(]1,1-.【点睛】本题主要考查的是复合命题的真假，本题解题的关键是正确求出命题,p q 成立时的x 的取值范围，考查学生的计算能力，是中档题.15.已知数列{}n a 的前n 项为n S ，若(1)n n S na n n =--，且21(1)n S n a >+，则1a 的取值范围是__________. 【答案】1102a <<. 【解析】 【分析】由1n n n S S a --=化简结合等差数列的定义得出数列{}n a 为等差数列，将21(1)n S n a >+化为221111a n a a n ->-+，求出函数函数21()a f n n n=-的最小值，解不等式2211111a a a ->-+，即可得出1a 的取值范围.【详解】由题知(1)n n S na n n =--，11(1) (1)(2)n n S n a n n --=----，两式相减得1(1) 2(1)n n n a na n a n -=----，即12n n a a -=+，故{}n a 为等差数列，1(1)n S na n n =+-，由21(1)n S n a >+得()22211110n a a n a +--->，即221111a n a a n->-+，显然21()a f n n n=-单调递增，故只需211(1)1f a a >-+，即2211111a a a ->-+，解得1102a <<. 故选：1102a <<【点睛】本题主要考查了n a 与n S 的关系，涉及等差数列的通项公式以及一元二次不等式的解法，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22．23为选考题，考生根据要求作答． （—）必考题：共60分．16.已知等比数列{}n a 单调递减，52a =，且35a a ，372a a ，481a a -成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求23123nS S S S n++++的最大值及取最大值时n 的值.【答案】（1）62nn a -=；（2）552，当10n =或11时取到最大值. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出关于1,a q 的关系式，解方程即可，再利用等比数列通项公式即可得； （2）求出n b ，再求出n S 并表示出nS n，然后利用等差数列前n 项和公式表示出23123nS S S S n++++，利用二次函数思想求其最大值及取最大值时n 的值. 【详解】（1）由题知35483714a a a a a a +-=，即22246514a a a +-=，即2222555214a a q a q+-=， 即224417q q +=，解得11(22q q ==-舍去）， 51432a a q ∴==， 故1612n nn a a q --==；（2）62log 26nn b n -==-，可知{}n b 为等差数列，∴(56)(11)22n n n n n S +--==，故112n S n n -=，可知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 223211(1011)112121(21)232244216n SS S n n S n n n n +-⎛⎫∴++++=⋅=-=--+⎪⎝⎭ ∴当10n =或11时取到最大值552. 【点睛】本题主要考查的是等比数列的通项公式求法，求基本量法，等差数列的前n 项和公式，以及利用二次函数求最值，注意*n N ∈，是基础题. 17.已知函数()()21()xf x x e ax a R =--∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减；（2）1(,)2+∞.【解析】 【分析】(1)将1a =代入，求出函数解析式，进而利用导数法，可求出函数的单调区间； (2)求导后对a 讨论，判定单调性结合0x =是()f x 的极大值点，可得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()()21xf x x e x =--，()()2xf x x e '=-，()'0f x >得0x <或ln 2x > ，()'0f x <得0ln 2x <<，()f x ∴在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减； （2）()()2xf x x e a '=-，当0a ≤时，20x e a ->，故()00f x x '>⇒>，()f x ∴在()0-∞，上单减， 在上(0,)+∞单增，0x =为极小值点，不合题意； 当0a >时，由()0f x '=得0x =或ln2x a =，0x =是极大值点，ln20a ∴>，即12a >， 故1(,)2a ∈+∞.【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调区间，利用导数研究函数极大值，掌握利用导函数研究函数的性质是解题的关键，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题. 18.已知函数()()(sin 0,0,()f x x ωϕωϕπ=+>∈满足：()()6f x f x π-=，()06f π-=，且()f x 在(,)612ππ-上单调.（1）求()f x 的解析式； （2）若(,)612ππα∈-，1()3f α=，求sin 4α.【答案】（1）()sin(2)3f x x π=+；（2）.【解析】 【分析】(1)根据题意知对称轴以及相邻的平衡位置得出周期即可得ω，再由对称轴得出ϕ，可得解析式.(2)由题意知1sin(2)33πα+=，利用二倍角得出2cos(4)3πα+，根据角的范围得出2sin(4)3πα∴+，再利用224433ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即可求得sin 4α. 【详解】（1）由()()6f x f x π-=知12x π=是对称轴，又()06f π-=，且()f x 在(,)612ππ-上单调，1()41264T πππ∴=--=，即2T ππω==， 2ω∴=，由12x π=是对称轴得，2,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，又(0,)ϕπ∈，故3πϕ=，()sin(2)3f x x π∴=+；（2）1()sin(2)33f παα=+=，227cos(4)12sin (2)339ππαα∴+=-+= ， (,)612ππα∈-，24(0,)3παπ∴+∈242sin(4)39πα∴+=， 22224273sin 4sin 4cos cos 4sin 3333ππππααα+⎛⎫⎛⎫=+-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的应用，余弦的二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系是的应用，两角差的正弦公式的应用，根据三角函数的对称性和单调性是解决本题的关键，是中档题.19.如图，半圆O 的直径2AB =，点C ，P 均在半圆周上运动，点P 位于C ，B 两点之间，且6CAP π∠=.（1）当12PAB π∠=时，求APC △的面积.（2）求四边形ABPC 的面积的最大值. 【答案】（1）314；（2）334. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出,AC AP ，再利用面积公式即可；（2）将四边形拆成三个三角形，将面积转化为三角函数求再求最值. 【详解】（1）由题知4CAB π∠=，cos 2AC AB CAB ∴=∠=62cos2cos 2cos cos 2sin sin 12343434AP AB πππππππ+⎛⎫==-=+=⎪⎝⎭， 131sin 26APCSAC AP π+∴=⋅⋅=；（2）由题知6CAP π∠=，根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可得3COP π∠=，设半径1r =，AOC θ∠=，则23POB πθ∠=-， 212sin sin sin 233ABPC AOCPOB POCS S S Sr ππθθ⎡⎤⎛⎫=++=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 11sin sin 226πθθθθ⎛⎛⎫=++=+≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 当3AOC πθ∠==时等号成立.【点睛】本题主要考查的是解三角形的应用，三角形面积公式的应用，以及两角差的正弦公式的应用，正弦函数图像和性质的应用，是中档题.20.已知函数()2ln 4f x x ax x =+-存在两个极值点12,x x ，且12x x <，（1）求实数a 的取值范围； （2）证明：当12a ≥时，对任意不相等的正实数m 、n ，有()()2f m f n m n ->--． 【答案】（1）(0,2)a ∈；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导，函数()f x 有两个不同的极值点，则方程22410ax x -+=有两个正根，根据判别式大于0以及对称轴大于0，即可得出实数a 的取值范围；（2）将原不等式等价于()2()2f m m f n n +>+，构造函数()()2g x f x x =+，利用导数证明函数()g x 的单调性，利用单调性得出()()g m g n >，即可证明原不等式成立.【详解】（1）21241()24ax x f x ax x x-+'=+-=∴方程22410ax x -+=有两个正根，即1680(0,2)10a a a =->⎧⎪⇒∈⎨>⎪⎩（2）不妨设0m n >>，原不等式等价于()()22f m f n m n ->-+， 等价于()2()2f m m f n n +>+设2()()2ln 2g x f x x x ax x =+=+-，2221()ax x g x x-+'=由12a ≥知2221(1)()0x x x g x x x-+-'≥=≥()g x ∴在(0,)+∞上单调递增()()g m g n ∴>，即()2()2f m m f n n +>+，原不等式得证.【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用单调性比较函数值的大小，属于中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]21.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程： （2）若射线(0)3πθαα=<<与直线l 交于点A ，与曲线C 交于O ，B 两点，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）1y =+， 2220x y x +-=；（2）(3,3. 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （2）设()(),,,A B A B ραρα，则A ρ=2 B cos ρα=，由此能得出OA OB ⋅的取值范围.【详解】（1）直线l的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=--⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得，直线:1l y =+， 又曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，且222,cos x y x ρρθ=+=，∴曲线22:20C x y x +-=；（2）直线l 的极坐标方程为ρ=由题知A ρ=2 B cos ρα=，∴||||A B OA OB ρρ⋅===，∵03a π<<，||||OA OB ∴⋅∈. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，同角三角函数基本关系式的应用，正切函数图像和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.[选修4-5：不等式选讲]22.已知函数()221f x x x =-++. （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求+a b 的最小值. 【答案】（1）[3,3]-；（2）7. 【解析】 【分析】（1）利用零点分段去绝对值，即可求解不等式()9f x ≤的解集；（2）根据题意可知a x b +是偶函数且0x =时取最小值b ，可得b 的范围，再当2x ≥时得到a 的范围，可得出,a b 各自的最小值，再验证即可.【详解】（1）3,2()4,123,1x x f x x x x x ⎧⎪=+-⎨⎪--⎩，∴当2x ≥时，39x ≤解得23x ≤≤， 当–12x ≤≤时，49x +≤解得12x -≤≤， 当–1x ≤时，39x -≤解得31x -≤≤-， 综上，不等式解集为[3,3]-；（2）由题知，当0x =时()04f b =≤，当2x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立，则3a ≥，而当3a =，4b =时，()22122234f x x x x x x =-++≤+++≤+， 故+a b 的最小值为7.【点睛】本题主要考查的是绝对值不等式的解法以及恒成立的问题，分类讨论思想的应用，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及计算能力，是中档题.。
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(十一)文科数学
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（十一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一．选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}|1A x x =>，{}2B x x =<，则AB =（ ）.A ()1,+∞.B ()1,2.C ()2,+∞.D (),2-∞2.已知向量(1,2)a =-， (,1)b m =.若向量a与b 垂直，则m =（ ）.A 2- .B 3- .C 1 .D 23.在复平面内，复数121iz i+=+对应的点位于（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限4.双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ） .A 20x y ±= .B 20y x ±= .C 40x y ±= .D 40y x ±= 5.若实数,x y 满足43600x y x y y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =-的最小值是（ ）.A 2- .B 4- .C 2 .D 66.已知等差数列{}n a 满足1510a a +=，383a a =，则数列{}n a 的前10项的和等于（ ）.A 10 .B 11 .C 100 .D 1107.设2132,2ln ,2log ===c b a 则（ ）.A a b c << .B b a c <<.C c a b << .D c b a <<8.若某位同学5次数学成绩和8次语文成绩的茎叶图如图，则该同学的数学成绩平均分与语文成绩的中位数分别为( ).A 107,112 .B 5.106,113.C 5.106,112 .D 108,1129.已知函数()sin 2cos2f x x x =-，则（ ）.A ()f x 的最小正周期为2π .B 曲线()y f x =关于3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 .C ()f x 的最大值为2 .D 曲线()y f x =关于38x π=对称 10.四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，四棱锥S ABCD -的五个顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为（ ）.A 3π.B 6π.C 9π.D 12π11.若函数3()32f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）.A []1,1-.B (1,1)-.C ()2,1- .D ()1,2-12.设12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，若113MF F N =,且24cos 5MNF ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）.A 2 .B 3.C 21- .D 21-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13.已知抛物线的方程22y x =，其准线方程为 ；14.若命题“2000,2210x R x ax ∃∈++<”是假命题，则实数a 的取值范围是 ；15.已知各项都为正数的等比数列{}n a ，若812105+=14a a a ⋅，则212223219log log log +log a a a a +++= ；16.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点K 在棱11A B 上运动，过,,A C K 三点作正方体的截面，若K 与1B 重合，此时截面把正方体分成体积之比为）（10<<λλ的两部分，则=λ ；若K 为棱11A B 的中点，则截面面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos a C b c A =-． （1）求角A 的大小； （2）若7a =2b =，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了止损，某地一水果店老板利用抖音直播卖货，经过一段时间对一种水果的销售情况进行统计，得到5天的数据如下：（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该水果店开展促销活动，当该水果销售单价为6元/kg 时，其销售量达到1800kg ，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过50kg ，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该水果成本是5元/kg ，销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/kg ），该水果店利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 参考数据：5135200i ii x y==∑，521407.5i i x ==∑．19.（本小题满分12分）已知正ABC ∆边长为3，点M ，N 分别是AB ，AC 边上的点，1AN BM ==，如图1所示.将AMN ∆沿MN 折起到PMN ∆的位置，使线段PC 长为5，连接PB ，如图2所示. （Ⅰ）求证:直线PN ⊥平面BCNM ； （Ⅱ）求四棱锥BCNM P -的体积.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的长轴长为4，且其离心率12e =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若过椭圆E 右焦点的直线l 交椭圆于,M N 两点，求MON ∆面积的最大值. （其中O 为坐标原点）21.（本小题满分12分）已知函数()(ln )f x a x x =+，()xg x xe =.（1）求函数()g x 在0x =处的切线方程；（2）设()()().h x f x g x =-①当a e =时，求函数()h x 的单调区间； ②当1a =时，求函数()h x 的极大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. （1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1P ，直线1C 交曲线2C 于,A B 两点，求22PA PB +的值.23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 函数()212f x x x =-++. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若()f x 的最小值为M ，()220,0a b M a b +=>>，求证：1141217a b +≥++．文科数学答案二、填空题 13.81-14.[]2,2- 15.19 16.2951； 17.（1）由正弦定理得：sin sinsin sin 2A CA B A +=， ┈2分 又因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=， 又因为在∆中所以2A C B +=或+=2A CB π+ ┈4分 解得=3B π┈6分（2）因为2a =，b =3B π=，22222cos3c c π=+-⨯⨯，即2230c c --=. ┈8分又0c >，所以3c =. ┈10分故ABC 的面积为11sin 23sin 2232ABCSac B π==⨯⨯⨯=. ┈12分 18.（Ⅰ）9,800x y ==,回归方程为ˆ3203680yx =-+ ┈4分（Ⅱ）当6x =时，ˆ320636801760y=-⨯+=，则176018004050-=<， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的． ┈8分 （Ⅲ）设销售利润为M ，则()()()53203680511M x x x =--+<≤2320528019400M x x =-+-，所以8.25x =时，M 取最大值，所以该产品单价定为8.25元时，公司才能获得最大利润． ┈12分 19.解：（Ⅰ）依题意得，在AMN 中，2AM =，1AN =，3A π∠=由余弦定理得22221221cos33MN π=+-⨯⨯⨯=，即3MN =222MN AN AM ∴+=，AN MN ∴⊥，即PN MN ⊥在图2PNC △中，1PN =，2NC =，5PC =222PC PN NC ∴=+，PN NC ∴⊥又MN NC N =，,MN NC ⊂平面BCNM ，PN ∴⊥平面BCNM ┈6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知PN ⊥平面BCNM 所以PN 为四棱锥BCNM P -的高，4372321213432=⋅⋅⋅-⋅=-=∆∆AMN ABC BCNM S S S 所以312731=⋅=-PN S V BCNM BCNM P ┈12分 20.（1）（Ⅰ）由已知得2,13a c b ===，，则E 的方程为22143x y +=； ┈4分（Ⅱ）由已知直线l 斜率不为0，)0,1(F ，所以设直线l 方程为：1+=my x ，),(),,(2211y x N y x M ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x my x 得：()0964322=-++my y m ()011442>+=∆m 439,436221221+-=+-=+m y y m m y y ┈6分 ()4316412121222122121++=-+⋅⋅=-⋅=∆m m y y y y y y OM S MON ┈8分 设()112≥+=t m t ，则tt t t S MON 1361362+=+=∆，又因为t t y 13+=在[)∞+，1上单调增， 所以当1=t 时，MON ∆面积有最大值23，此时0=m . ┈12分 21.（1） ()(1xg x x e '=+），∴切线斜率()00(011k g e '==+=） 又 0)0(=g ∴切线方程为=y x ┈3分（2）当e a =时，()()xxe x x e x h -+=ln 由()(1)1()1(1)(0)x x x e xe h x e x e x x x +-⎛⎫'=+-+=> ⎪⎝⎭， 设x xe e x k -=)(，()01)(<+-='x e x x k ，即xxe e x k -=)(在()∞+，0上单调递减，又因为01)1(1=⋅-=e e k所以10<<x 时，0)(>x k ，即0)(>'x h ，此时函数)(x h 单调递增，1>x 时，0)(<x k ，即0)(<'x h ，此时函数)(x h 单调递减，所以当e a =时，函数()x h 的单调增区间为()10，，单调减区间为()∞+，1 ┈7分 ②当1a =时，()()ln 0x h x x x x xe =+->，()(1)11()1(1)x x x xe h x x e x x+-'=+-+=， 令()1x M x xe =-，()(1)0xM x x e '=-+<，则()M x 在[0,)+∞单调递减， 又()0010M =->，(1)10M e =-<， ∴()00,1x ∃∈使得000()10x M x x e =-=，故当()00,x x ∈，()0M x >即()0h x '>，此时()h x 单调递增；当()0,x x ∈+∞，()0M x <即()0h x '<，此时()h x 单调递减；且0()=0h x '∴()h x 极大值()00000ln x h x x x x e ==+-又001x x e =，∴00ln )ln1=0x x e =（，所以0000+ln n 0ln l x x e x x =+=故()h x 极大值()00000ln 01=1x h x x x x e ==+-=--. ┈12分22.(1)由已知得21,C C 的直角坐标方程分别为y x C x y C =+-=221:,12: ┈5分（2）将直线1C 的参数方程代入2C 直角方程得：05522=--t t ，不妨设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则 0>∆恒成立，5,522121-==+t t t t ，又因为)1,0(P ，所以由参数t 的几何意义得：()30221221222122=-+=+=+t t t t t t PB PA ∴3022=+PB PA ┈10分 23.（1）31,2,1()2123,2,2131,,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩当2x -≤时，()5f x ≥；当122x -<<时，5()52f x <<； 当12x ≥时，5()2f x ≥．所以()f x 的最小值为52． ┈5分 （2）由（1）知52M =，即25a b +=， 又因为0,0a b >>， 所以11121a b +++111[(1)(21)]7121a b a b ⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭ 121127121b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭127⎛≥+ ⎝47=． 当且仅当2a b =，即55,24a b ==时，等号成立， 所以1141217a b +≥++． ┈10分。
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- 1 - 2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷（五） 文科数学 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、考试范围：高考范围。 2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。 3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。 4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。 6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。 8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合2560Axxx，20Bxx，则AB( ) A. 32xx B. 22xx C. 62xx D. 12xx 【答案】D 【解析】 【分析】 利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【详解】由题意知,集合16Axx,2Bxx, - 2 -
由集合的交运算可得,12ABxx. 故选:D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题. 2.设(1)1izi，则复数z的模等于( ) A. 2 B. 2 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可. 【详解】因为(1)1izi,
所以211111iiziiii, 由复数模的定义知,211z. 故选:C 【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题. 3.已知是第二象限的角，3tan()4，则sin2( )
A. 1225 B. 1225 C. 2425 D. 2425 【答案】D 【解析】 【分析】 利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【详解】因为3tan()4,
由诱导公式可得,sin3tancos4, - 3 -
即3sincos4, 因为22sincos1, 所以216cos25, 由二倍角的正弦公式可得, 23sin22sincoscos2,
所以31624sin222525. 故选:D 【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题. 4.设3log0.5a，0.2log0.3b，0.32c，则,,abc的大小关系是( ) A. abc B. acb C. cab D. cba 【答案】A 【解析】 【分析】 选取中间值0和1，利用对数函数3logyx，0.2logyx和指数函数2xy的单调性即可求解. 【详解】因为对数函数3logyx在0,上单调递增, 所以33log0.5log10, 因为对数函数0.2logyx在0,上单调递减, 所以0.20.20.20log1log0.3log0.21， 因为指数函数2xy在R上单调递增, 所以0.30221, 综上可知,abc. 故选:A 【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综 - 4 -
合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 5.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）
A. 1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个 B. 第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了 C. 8月是空气质量最好的一个月 D. 6月份的空气质量最差. 【答案】D 【解析】 由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差．故本题答案选D． 6.阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24，则该圆柱的内切球体积为( ) A. 43 B. 16 C. 163 D. 323 【答案】D 【解析】 【分析】 设圆柱的底面半径为r,则其母线长为2lr,由圆柱的表面积求出r,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【详解】设圆柱的底面半径为r,则其母线长为2lr, - 5 -
因为圆柱的表面积公式为2=22Srrl圆柱表， 所以222224rrr,解得2r, 因为圆柱的体积公式为2=2VShrr圆柱, 所以3=22=16V圆柱, 由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23， 所以所求圆柱内切球的体积为 2232=16=333VV圆柱.
故选:D 【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题. 7.设等比数列na的前n项和为nS， 则“1322aaa”是“10a”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等比数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断; 【详解】因为22131,aaqaaq, 所以若1322aaa成立，即21112aqqaa成立, 整理可得,2110aq成立, 因为1q时,1322aaa, 所以1q,即210q, 所以可得10a, 即“1322aaa”是“10a”的充分条件； 若10a成立,因为210q, - 6 -
所以可得2110aq,即1322aaa成立, 即由10a不能推出1322aaa, 故“1322aaa”不是“10a”的必要条件； 综上可知,“1322aaa”是“10a”的充分不必要条件. 故选: A 【点睛】本题考查等比数列通项公式和充分条件与必要条件的判断;考查逻辑推理能力和运算求解能力;根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的通项公式是求解本题的关键;属于中档题.
8.设x，y满足24122xyxyxy，则zxy的最小值是( ) A. 5 B. 2 C. 3 D. 没有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式组表示的平面区域,作出直线0:0lxy,根据目标函数z的几何意义平移直线
0l,当直线:lzxy经过平面区域内的点A时目标函数z有最小值,联立方程求出点A 坐标，
代入目标函数求解即可. 【详解】根据题意,作出不等式组表示的平面区域如图所示： - 7 -
作出直线0:0lxy,因为目标函数z的几何意义为直线yxz的纵截距， 所以平移直线0l,当直线:lzxy经过平面区域内的点A时目标函数z有最小值,
联立方程24220xyxy,解得20xy,所以点A坐标为2,0, 把点A的坐标代入目标函数zxy可得目标函数z的最小值为2. 故选:B 【点睛】本题考查简单的线性规划问题;考查数形结合思想和运算求解能力;理解目标函数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
9.设函数22sin()1xxfxx，则()yfx，,x的大致图象大致是的( )
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点,2ff的函数值符