求数列极限的几种常用方法
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
求极限的12种方法
求极限的方法
1、利用极限的四则运算和幂指数的运算法则
2、利用函数的连续性
3、利用变量替换
4、利用等价无穷小
5、利用洛必达法则
6、分别求左右极限
7、把数列极限转化为函数极限
8、利用夹逼定理（极限存在两定理之一）
1）利用简单的放大、缩小函数法
2）利用不等式的性质进行放大或缩小【根据定义不等式求极限】
3）对积分的极限可以利用积分的性质进行放大缩小
9、利用递归数列先证明极限的存在（常用单调数列必有界），
再利用递归关系求出极限。
10、利用定积分求和式求极限
11、利用泰勒公式
12、利用导数定义求极限
附加：
1、 利用函数极限求数列极限 Example:
(1) n n
n ln lim +∞
→ 解：记：x x
n n x n ln ln lim lim +∞→+∞→= =0。
求数列极限的几种方法
求数列极限的几种方法姻文/杨海珍1张晓峰21.河北张家口教育学院数学系075000；2.北京市大峪中学102300摘要：本文介绍了计算极限的几种方法，讨论如何利用定积分、幂级数、微分中值定理、公式，泰勒展开式等方法计算极限。
关键词：极限；定积分；幂级数；泰勒展式1．引言极限思想是许多科学领域的重要思想之一。
因为极限的重要性，从而求极限显得尤其重要。
对于一些复杂的极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果。
为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法（见【1】-【4】）。
本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献【1】-【4】的结论进行了推广，讨论如何利用定积分、幂级数、O-Stolz 公式，泰勒展式、微分中值定理计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴含的数学思想。
2．利用定积分求极限通项中含有!n 的数列的极限，由于!n 的特殊性，直接求非常困难，而转化为定积分来求就相对容易了。
例1 求arctan (2)arctan 21arctan 1[1lim 2222n nn n n n n n n n +++¥®分析与解： 将n 1提出，则原和式可改写为]arctan ...2arctan 21arctan 1[1n nn n n n n n n x n +++=它可以看作是是函数x x arctan 在区间]1,0[上的积分和，所采用的是n 等分]1,0[区间，并且在每个小区间均取右端的函数值。
因此21412101|arctan 2arctan lim 1022102-=+-===òò¥®p dx x x x x xdx x x I n n例2 求nn n n n n 11])!2()![(lim --¥®解 原式=n n n n n n n nn n n n n )2)...(2)(1(lim !)!2(lim ++=¥®¥®=nn n n n n 1)]12111[(lim +++¥®=))1ln(1lim exp(1ni n ni n +å=¥® =ò+10))1ln(exp(dx x=)12ln 2exp(-注1：把乘积转化为和的形式，对数函数是一个有利的工具。
求极限的13种方法
求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。
本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。
一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。
常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。
例1、求极限 )1...()1)(1(22lim na a a n +++∞→ ，其中1<a分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。
解 因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim naa a n +++∞→=a-11 二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。
常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。
例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。
分析 这是含根式的（00）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。
解 令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解 原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。
常用的几种求极限的方法
常用的几种求极限的方法极限是高等数学中最重要、最基本的概念之一，是其他知识点的基础，高等数学中一些重要概念,如导数、微分、积分、级数都是在极限概念基础上建立的。
极限是高等数学中的重要“工具”，是学好高等数学的关键。
求极限的方法是灵活多变、多种多样的，以下就一些常用的、典型的方法进行讨论、分析。
一 以下四种方法为基本的求极限方法：1、直接利用四则运算法则2、利用洛必达法则求极限3、利用等量无穷小求极限4、利用两个准则求极限(1)夹逼准则(2)单调有界准则例1求453lim 21+++→x x x x 解：594lim 53lim 4x 53x lim 12121=+++=+++→→→x x x x x x x 例2求24lim 22--→x x x解：原式=412lim2=→x x 例3求xx x x x cos sin 2lim +-∞→ 解：原式=212cos 1sin 2lim ==+-∞→xx x x x 例4求极限)n 2211(lim 222nn n n n n n n +++++++++∞→Λ 解：记n n n n n n n n G +++++++++=2222211Λ则132132122++++++〈〈++++++n n n G n n n n ΛΛ 又21)1(2)1(lim )n 21(lim 22=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n n （） 从而21lim =∞→G n 二 下面介绍几种常用且有效的求极限方法1.利用定积分求和式积分例5求)21(lim 222nn n n n +++∞→Λ 解：原式=)2n 11lim nn n n n +++∞→Λ（ 在上式中，取n i f n x i i ==∆)(,1ξ，则由定积分的定义有： 原式=21)(lim 101==∆⎰∑=∞→xdx x f i n i i n ξ 利用定积分求和式的极限首先选好恰当的可积函数f(x)，把所求极限的和式表示成f(x)在某区间[]b a,上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。
求数列极限的各种方法
求数列极限的各种方法说实话求数列极限这事，我一开始也是瞎摸索。
我试过很多方法，现在就跟你唠唠。
首先就是直接代入法。
有时候数列那表达式特简单，就像有个数列An = n + 1，当n趋向于某个数，比如n趋向于3的时候，直接把3代进去就行，得到极限是4。
这就相当于你找东西，东西就在明面儿上，直接拿就行。
但这个我也犯过错，有一次看见数列表达式带个分母，我也没想就直接代，结果分母为0了，那肯定不对啊，所以代之前还得看看分母会不会出现0这种情况。
然后就是很重要的一种方法，叫极限的四则运算法则。
我就感觉这像是搭积木一样，一块一块垒起来。
比如说有两个数列An和Bn，它们极限都存在，那An + Bn的极限就等于An的极限加上Bn的极限。
像An = 2n，Bn = 3n，它们极限是正无穷，那2n + 3n 的极限也是正无穷，这就符合四则运算法则。
但是这里得小心哦，要是分母的极限为0的时候，就不能直接用法则了，这方面我可吃过亏呢。
我之前做题，看到两个式子就直接用法则，没注意分母极限，算出来结果完全错了。
还有一种我觉得挺神奇的方法是夹逼准则。
想象有三个人挤在一个小过道里，中间那个人只能在两边人固定的空间里活动。
比如说数列An，Bn，Cn，满足Bn <= An <= Cn，当n趋向于无穷的时候，Bn和Cn的极限都是A，那An的极限也是A。
我曾经做过一个题，数列An = sin n / n，我当时就想找到它两边能夹住它的数列。
我发现-1/n <= sin n / n <= 1/n，而-1/n和1/n当n趋向于无穷的时候极限都是0，所以sin n / n 的极限就是0。
另外，单调有界准则也很有用。
就好比一个数列是一条永远在一定范围内波动，而且还是单调变化的线，那它肯定是有极限的。
比如数列An+1 = √(An + 2)，A1 = 0，要先证明这个数列是单调递增的，再证明它有上界，就能得出极限存在了。
不过证明单调和有界有时候挺麻烦的。
高中数学数列极限的计算方法及解题技巧
高中数学数列极限的计算方法及解题技巧数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。
在高中数学中，我们经常会遇到需要计算数列极限的题目。
本文将介绍数列极限的计算方法及解题技巧，并通过具体的题目进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用。
一、数列极限的定义在开始讨论数列极限的计算方法之前，首先需要了解数列极限的定义。
数列极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于的一个确定的值。
数列极限常用符号"lim"表示，例如lim(n→∞)an = L，表示当n趋于无穷大时，数列an的极限为L。
二、数列极限的计算方法1. 常见数列的极限计算方法常见的数列包括等差数列、等比数列、阶乘数列等。
对于这些数列，我们可以利用其特殊的性质来计算极限。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
当n趋于无穷大时，数列的极限为无穷大，即lim(n→∞)an = +∞。
对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
当|r| > 1时，数列的极限为无穷大，即lim(n→∞)an = +∞；当|r| < 1时，数列的极限为0，即lim(n→∞)an = 0。
2. 利用数列的递推关系计算极限有些数列的递推关系可以帮助我们计算极限。
例如，对于递推数列an = an-1 + 1/n，其中a1 = 1。
我们可以通过递推关系计算数列的前几项，发现数列逐渐趋近于ln2。
因此，当n趋于无穷大时，数列的极限为ln2，即lim(n→∞)an = ln2。
三、数列极限的解题技巧1. 注意数列的特殊性质在解题过程中，我们需要注意数列的特殊性质，例如等差数列和等比数列的性质。
通过分析数列的特点，可以更好地确定数列的极限。
2. 利用数列的性质进行变形有时候，我们可以通过对数列进行变形来简化计算。
例如，对于数列an =(n+1)/(n-1)，我们可以将分子和分母同除以n，得到an = (1+1/n)/(1-1/n)。
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求数列极限的几种常用方法
一、运用极限的定义来求极限
定义：设{an}为数列，a为常数，若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当nN时，有|an-a|ε，则称数列{an}收敛于a，常数a称为数列{an}的极限.
二、利用极限四则运算法则及重要公式和初等变形求极限
（1）四则运算法则：若limn→∞an=a，limn→∞bn=b.
limn→∞（an±bn）=a±b，limn→∞（anbn）=ab，
limn→∞anbn=ab（b≠0）.
（2）limn→∞alnl+al-1nl-1+…+a0bknk+bk-1nk-1+…+b0=limn→∞alnlbknk.
当l=k时，原式=albk;当lk时，原式=+∞.
（3）limn→∞qn=0（|q|=0）.
（4）limn→∞na=1（a0）.
（5）limn→∞an=a.
则① limn→∞a1+a2+…+ann=a.
② 若an0，limn→∞na1a2…an=a.
（6）若{an}是等比数列，其前n项和为Sn，公比q满足|q|=1，则limn→∞Sn=a11-q.
三、利用重要极限求数列的极限
（1）limn→∞sinxx=1.
变形limn→∞sinφ（n）φ（n）=1（n→∞，φ（n）→0）.
（2）limn→∞ax-1x=lna（a0）.
变形limn→∞aφ（n）-1φ（n）=lna（a0）（n→∞，φ（n）→0）.
（3）limn→∞1+1nn=e.
變形limn→∞（1+φ（n））1φ（n）=e（n→∞，φ（n）→0）.
推广：（1）n→∞.若φ（n）→0，f（n）→∞且φ（n）·f（n）→A，
则limn→∞（1+φ（n））f（n）=limn→∞ef（n）ln（1+φ（n））=limn→∞ef·φ=eA.
（2）n→∞.若φ（n）→1，f（n）→∞且（φ（n）-1）f（n）→B，
则limn→∞φ（n）f（n）=limn→∞ef（ln（φ（n））-1）=eB.
四、单调有界数列法、单调有界数列必收敛（即存在极限）
（1）利用“单调数列必收敛”证明极限存在;
（2）令limn→∞an=a，对an+1=f（an）两边取极限，转化为关于a的方程，求出a的值.
五、利用迫敛性准则求数列极限
如果数列{xn}，{yn}，{zn}满足下列条件：
（1）从某项起，均有yn≤xn≤zn;
（2）limn→∞yn=a，limn→∞zn=a，则limn→∞xn=a.
六、利用柯西收敛准则证明极限的存在性
例证明an=b112+b222+b332+…+bnn2（|bn|≤M，n=1，2，…）收敛.
证明ε0，N0，使得当nN，P∈N+，有1n2≤1n（n-1）=1n-1-1n，|an+p-an|=M1n+p-1-1n+p+1n+p-2-1n+p-1+…+1n-1-1n≤M1nε.
七、利用等价无穷小代换求极限
重要的近似公式：当x→0时
（1）sinx～x;（2）tanx～x;（3）ex-1～x;
（4）1-cosx～12x2;（5）arcsinx～x;（6）arctanx～x;
（7）ln（1+x）～x;（8）ax-1～xlna（a0且a≠1）.
八、利用定积分求数列极限（此类方法主要是处理无限项求和或求积的形式）
定积分的定义的数学形式：实际使用中[a，b]→[0，1]比较常
见.
∫baf（x）dx=limn→∞∑ni=1fa+i（b-a）nb-an（取右端点定义，x0=a），
∫baf（x）dx=limn→∞∑n-1i=0fa+i（b-a）nb-an（取左端点定义，xn=b）.
以上方法是数学分析中常用的求解数列极限的重要方法.除了以上的常用的方法外，还有许多求数列极限的方法等着我们不断去探索和挖掘，每一种方法的产生都源于多样的表达方式和细心地发现，所以在求解极限的过程中要巧妙地运用技巧，找到合适的方法，使问题迎刃而解.。