高中数学复习全套知识点

高中数学总复习资料（文）

第一章 集合

一 定义

集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。 二 集合的抽象表示形式

用大写字母A ，B ，C……表示集合；用小写字母a ，b ，c……表示元素。 三 元素与集合的关系

有属于，不属于关系两种。元素a 属于集合A ，记作a A ∈；元素a 不属于集合A ，记作a A ?。

四 几种集合的命名

有限集：含有有限个元素的集合； 无限集：含有无限个元素的集合；

空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用?表示； 自然数集：N ；正整数集：N *或N +；整数集：Z ； 有理数集：Q ；实数集：R 。 五 集合的表示方法

(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，

例如：{a,b,c}。

注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。 (二) 描述法：有以下两种描述方式

1．代号描述：【例】方程2

x 3x+2=0-的所有解组成的集合，可表示为{x|x 2-3x+2=0}。x 是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。

2．文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】{大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。

(三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。

1．子集：如果属于A 的所有元素都属于B ，那么A 就叫做B 的

子集，记作：A B ?，如图1-1所示。 图1-1 子集有两种极限情况：(1)当A 成为空集时，A 仍为B 的子集； (2)当A 和B 相等时，A 仍为B 的子集。

真子集：如果所有属于A 的元素都属于B ，而且Ｂ中至少有一个元素不属于A ，那么A 叫做B 的真子集，记作A B ?或A B ?。

真子集也是子集，和子集的区别之处在于A B ≠。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。

(1)求子集或真子集的个数，由n 各元素组成的集合， 有2n 个子集，有2n -1个真子集；

(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，A B ?的等价形式主要有：B B A A B A == ，。

2．交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作B A ，

读作A 交B ，如图1-2所示。

图1-2 图1-3 图1-4

3．并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作B A ，读作A 并B ，如图1-3所示。

4．补集：由所有不属于Ａ的元素组成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ中的补集，记作U C A ，读作A 补，如图1-4所示。 德摩根公式 ：

();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.

(四) 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，[2,3]，(2,3]，[2，3]．．．

第二章 函数

一 映射与函数的基本概念

(一) 映 射

A 集合中的每个元素按照某种对应法则在

B 集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A 集合到B 集合的映射。A 中的元素叫做原象，B 中的相应元素叫做象。

在A 到B 的映射中，从A 中元素到B 中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。

图2-1是映射 图2-2是一一映射 图2-3不是映射 (Ⅰ)求映射(或一一映射)的个数，m 个元素的集合到n 个元素的集合的映射的个数是n m 。 (Ⅱ)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。

(二) 函数的概念

定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x 按照对

应法则f 对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。

函数三要素：定义域A ：x 取值范围组成的集合。值域B ：y 取值范围组成的集合。

对应法则f ：y 与x 的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式

函数与普通映射的区别在于： (1)两个集合必须是数集； (2)不能有剩余的象，即每个函数值y 都能找到相应的自变量x

与其对应。

图2-4

二 定义域题型

(一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式

()0f x ≥；在

()

()

g x f x 中，()0f x ≠；在log ()a f x 中，()0f x >；在tan ()f x 中，()2

f x k π

π≠+；在0

()f x 中， ()0f x ≠；

在

x a 与log a x 中0a >且1a ≠，列不等式求解。

(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。

三 值域题型

(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。

常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。 (二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。 解题步骤：(1)换元变形；

(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。

(三) 分式函数求值域 ：四种题型

(1)cx d y ax b +=+(0)a ≠ ：则c y a

≠且y R ∈。

(2)(2)cx d

y x ax b

+=

≥+：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的范围解不等式求

y 的范围。

(3)2223261

x x y x x +-=--：

(21)(2)21

()(21)(31)312x x x y x x x x -++=

=≠-++ ， 则

1y 13

y ≠≠且且y R ∈。 (4)求221

1

x

y x x -=++的值域，当x R ∈时，用判别式法

求值域。2211

x y x x -=

++?

2

(2)10yx y x y +-++=， 2

(2)4(1)0y y y ?=--+≥?值域 (四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。 判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。

(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。

(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。

四 函数运算法则

（一） 指数运算法则

①m

n m n a

a a +?= ②m n m n a a a -÷= ③()m n mn a a = ④()m m m

a b ab =

运用指数运算法则，一般从右往左变形。

（二） 对数运算法则 同底公式：①log a b

a

b =

②log log log ()a a a M N MN +=

③log log log a a a M M N N

-=

④log log n a

a M n M =

运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。 不同底公式：①log log log m a m N

N a =

②log log m n

a a n

b b m =

③1

log log a b b a

=

运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。

五 函数解析式

(一) 换元法：如f(2x + 3)=x 2

+ 3x + 5，求f(3-7x)，

。

(二22

1

x

x +

=，求f(x)。 (三y=Asin(ωx +?) + C 中系数

(四 (五x 、y 互换。

六 常规函数的图像

常规函数图像主要有：

指数函数：逆时针旋转， 对数函数：逆时针旋转， 底数越来越大 底数越来越小

幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。

七 函数的单调性

(一) 定义：在给定区间范围内，如果x 越大y 越大，那么原函数为增函数；如果x 越大y 越小，那么原函数为减函数。

(二) 单调性题型：

1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。 复合函数法：

2

11x

-- ：

当0 < x <1时，x ↑，x 2↑，- x 2↓，

↓，

1

↑，

1

-↓

2.判断单调性

(1).求导函数：()0f x '≥为增函数，()0f x '≤为减函数

(2).利用定义：设x 1

调性。

3.利用函数单调性：

(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。 (2).比较函数值的大小：画图看

(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。 增函数1212()()x x f x f x >?>或1212()()f x f x x x >?>

减函数1212()()x x f x f x >?<或1212()()f x f x x x >?<

(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。 八 函数的奇偶性

(一)定义：如果()()f x f x -=,则()f x 为偶函数；如果()()f x f x -=-,则()f x 为奇

函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。

(二)奇偶性题型： 1.判断奇偶性 ：

(1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负 (2).看图像对称性：关于y 轴对称为偶，关于原点对称为奇

(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。 2.利用奇偶性：

(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式 (2).利用复合函数奇偶性结论：

F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇

F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x 得：

F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。 3.奇偶函数图像的对称性

偶函数：关于y 轴对称?若()()f a x f b x +=-?，

则f(x)关于2

b

a x +=

对称 奇函数：关于原点对称?若()()2f a x f b x m ++-=，

则f(x)关于点(2

b

a +，m)?对称

九 函数的周期性 (一) 定义：

若()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数，T 为()f x 周期 (二) 周期性考点：

1.求周期：

(1).利用f(x)=f(T?+?x)列出方程解出T?=

(2).把所给函数化为y=Asin(ωx +ф) + C 标准形式，直接读出周期ω

π

2=T

2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T?+?x)

(1).求解析式 (2).求函数值

十 函数图像的对称性

(一) 一个图关于点对称：

(Ⅰ)奇函数关于原点对称

(Ⅱ)若f(a+x) + f(b-x)=2m ，则f(x)关于(2

b

a +，m)对称 (二) 一个图关于直线对称：

(Ⅰ)偶函数关于y 轴对称

(Ⅱ)?()()f a x f b x +=-，则()f x 关于2

b

a x +=

对称 (三) 两个图关于点对称

(Ⅰ)()y f x =关于原点对称的函数：x→-x ，y→-y ，

即-y=f(-x)

(Ⅱ)()y f x =关于(,)a b 对称的函数：

2,2x a x y b y →-→-即2(2)b y f a x -=-

(四) 两个图关于线对称

(Ⅰ)原函数与反函数：关于y=x 对称

(Ⅱ)y=?f(x)关于y=x?+?c 对称的函数:x→y-c ，y →x +c ，

即x+c=?f(y-c )

(Ⅲ)y=?f(x)关于y=-x+c 对称的函数:?x→-y+c,y →-x+c ，

即-x+c=?f(-y+c )

????????

(Ⅳ)f(x)与f(-x )关于y 轴对?f(a+x)与f(b -x )关于

2

a

b x -=

对称??? ?????????????(Ⅴ)f(x)与-f(x )关于x 轴对称

十一 原函数与反函数

反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关系解题。

（一） 求反函数：先反表示，再,x y 互换；或先,x y 互换再反表示。一个函数有反函数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。

（二） 利用原函数反函数的关系解题：已知原函数或反函数情况求反函数或原函数情况时，往往不用求反函数可依据以下结论解题。

1．定义域、值域：

原函数自变量等价于反函数函数值， 原函数函数值等价于反函数自变量； 原函数定义域等价于反函数值域， 原函数值域等价于反函数定义域。

2．单调性：原函数与反函数具有相同的单调性

3．奇偶性：奇函数反函数是奇函数，偶函数没有反函数。 4．对称性：原函数与反函数图像关于y x =对称，原函数与反函数交点一定在y x =上。

第三章 数列

第一部分 等差数列

一 定义式： 1n n a a d --= 二 通项公式：n a 1()(1)m a n m d

a n d

=+-??

=+-?

一个数列是等差数列的等价条件：b an a n +=(a ，b 为常数)，即n a 是关于n 的一次函数，因为n Z ∈，所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前n 项和公式：

1()2

n n n a a S += ………… ①

na =中间项 ………… ②

1(1)

2

n n na d -=+

…… ③ 按照序号顺序，使用公式。即首选①公式解题，再选②、③

一个数列是等差数列的另一个充要条件：bn an S n +=2

(a ，b 为常数，a ≠0)，即n S 是关于

n 的二次函数，因为n Z ∈，所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 性质结论

(一)3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置， 如：3个数a-d,a,a+d ； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d (二)a 与b 的等差中项2

a b A +=；

在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则

m n p q a a a a +=+；若2m n p +=，则2m n p a a a +=；

(三)若等差数列的项数为2()

+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-

1

+=n n

a a S S 偶

奇； 若等差数列的项数为()

+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=

-，且n a S S =-偶奇，1

-=

n n S S 偶

奇 (四)凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设12,n A a a a =++?+，

122n n n B a a a ++=++?+，

21223n n n C a a a ++=++?+，则有C A B +=2；

(五)10a >,m n S S =,则前2

m n S +(m+n 为偶数)或12

m n S +±(m+n 为奇数)最大

第二部分 等比数列

一 定义：1

(2,0,0){}n

n n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列。 二 通项公式：11-=n n

q a a ，n m n m a a q -=

数列{a n }是等比数列的一个等价条件是：

(1),(0,01n n S a b a b =-≠≠，）当0q >且0q ≠时，

n a 关于n 的图像是指数函数图像的分点表示形式。

三 前n 项和：1

111(1)(1)(1)11n

n n na q S a a q a q q q q +=??=--?=≠?--?

；

(注意对公比的讨论)

四 性质结论：

(一)a 与b 的等比中项

G 2

G ab G ?=?=(,a b 同号)； (二)在等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=?；

若2m n p +=，则2

m n p a a a ?=；

(三)设12,n A a a a =++?+，122n n n B a a a ++=++?+，

21223n n n C a a a ++=++?+， 则有2B A C =?

第三部分 求杂数列通项公式n a

一 构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式。

第一类：

11132503(5)2(5)

52

{5}53

n n n n n n n a a a a a a a -----=?-=--?=?-- 是公比为32的等比数列1

1)3

2)(5(5--=-?n n a a ，从而求出n a 。

第二类：

11134802(1)53(25)2(1)5

3

25

n n n n n n a a n a n a n a n a n +++---=?+++=+++++?

=++

}52{++?n a n

是公比为3的等比数列113)7(52-?+=++?

n n a n a .

第三类：n a a n n 31=--，系数之比为1的时候用叠加法。

第四类：既有n S 又有n a 利用n n n a S S =--1，将所有S 换成a ，或者将所有a 换成S 。 第五类：关于n a 与1-n a 的二次式，或者n S 与1-n S 的二次式，先因式分解成一次式，再构造等比数列。

二 构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。

第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，

例如：

11

21

11-=----n n n a a a ，

两边取倒数}1

1

{112111-?-=+-?-n n n a a a 是公差为2的等差数列

)1(21

1

111-+-=-?

n a a n ，从而求出n a 。 第二类：

221(1)(1)n n n a n a n n ---=-?

1111n n n n a a n n -+-=?-1n n a n +??

????

是公差为1的等差数列 1111211

n n n n

a a a n n ++?=?=

+ 三 递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。

例如()12

11n n n n n a n a a n n a a n a --=?=-?????=!

【注: !(1)(2)

1n n n n =--】

求通项公式n a 的题，不能够利用构造等比或者构造等差求n a 的时候，一般通过递推来求n a 。

第四部分 求前n 项和n S

一 裂项分组法：

1111122334111111111

()()()()1223341

11111

n n n n n n n ++++=???+-+-+-++-+=-=

+

+（）、11111,2,3,4,n 39278111111234392781+的前和是：

（++++）+（+++）

二 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，

求：

23n-2n-1

n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)

++++++≠23n-2n-1n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)++++++≠① 234n-1n n+1n xS =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)+++++≠②

①减②得：

()()()()23n-1n n+1n 2n-1n+1

(1x)S =x 2x

2x 2x 2x 2n 1x 2x 1x x 2n 1x

1x

-+++++---=+

---

从而求出n S 。

错位相减法的步骤：

(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式 (2)将①式左右两边都乘以公比q ，得到②式 (3)用①-②，错位相减 (4)化简计算

三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法

1：等差数列求和：

n 123n 2n 1n

n n n 1n 2321

S =a a a a a a S =a a a a a a ----+++

++++++

+++

两式相加可得：

()()()

()

()()()n

1n 2n 13n 23n 22n 11n 1n n

2S =a a a a a a a a a a a a n a a S ----++++++++++++=+?

2：设

()f x =

.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 (5)(4)......(0)......(5)(6)f f f f f -+-++++的值为_________. (5)(4)(5)(6)n S f f f f =-+-+++ ① (6)(5)(4)(5)n S f f f f =++

+-+-

②

①+②得

[][]

[]

[]

2(5)(6)(4)(5)(5)(4)(6)(5)n S f f f f f f f f =-++-++++-++-

()(1)2f n f n -++=+=,

∴n

S =

第四章 三角函数

一 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1、角概念的推广：

在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。 2、特殊命名的角的定义：

(1)正角，负角，零角 ：见上文。

(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等

(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角

终边在x 轴上的角的集合： {}

Z k k ∈?=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合： {}

Z k k ∈+?=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}

Z k k ∈?=,90| ββ (4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+ (5)与α终边反向的角： (21)x k απ=++

终边在y =x 轴上的角的集合：{}

Z k k ∈+?=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}

Z k k ∈-?=,45180| ββ

(6)若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 (7)成特殊关系的两角

若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 注：(1)角的集合表示形式不唯一.

(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 3、本节主要题型：

1.表示终边位于指定区间的角.

1:写出在720-?到720?之间与1050-?的终边相同的角.

2:若α是第二象限的角,则2,

2

αα是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.

3:①写出终边在y 轴上的集合.

②写出终边和函数y x =-的图像重合,试写出角α 的集合. ③α在第二象限角,试确定2,

,23

αα

α所在的象限. ④θ角终边与168?角终边相同,求在[0,360)??内与

3

θ

终边相同的角.

（二）弧度制

1、弧度制的定义：l R

α=

2、角度与弧度的换算公式：

360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 一个式子中不能角度,弧度混用. 3、题型

（1）角度与弧度的互化 例:74315,330,,63

ππ?? （2）L R α=

，2

11,22

l r s lr r αα===的应用问题

1:已知扇形周长10cm ,面积2

4cm ,求中心角.

2:已知扇形弧度数为72?,半径等于20cm ,求扇形的面积.

3:已知扇形周长40cm ,半径和圆心角取多大时,面积最大.

4:121237570,750,,53

ααβπβπ=-?=?==- a.求出12,αα弧度,象限.

b.12,ββ用角度表示出,并在720~0-??之间找出，他们有相同终边的所有角. 二 任意角三角函数

（一）三角函数的定义 1、任意角的三角函数定义

sin ,cos ,tan ,cot y x y x

r r x y

αααα=

===正弦余弦正切余切2、三角函数的定义域：

（二）单位圆与三角函数线

1、单位圆的三角函数线定义

如图(1)PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线。OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线。 如图(2)AT 表示α角的正切值，叫做正切线。AT '表示α角的余切值，叫做余切线。 注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负

（三）同角三角函数的基本关系式

同角三角函数关系式

(1)1csc sin =?αα，1sec cos =?αα，1cot tan =?αα

(2)商数关系：

αααtan cos sin = αα

αc o t s i n c o s

= (3)平方关系：1cos sin 2

2

=+αα，αα2

2

sec tan 1=+，αα2

2

csc cot 1=+ （四）诱导公式

x

x k x x k x

x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x x

x x x c o t )c o t (t a n )t a n

(c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=-=--=-

x

x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x c o t )2c o t

(t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ

x

x x x x x x

x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ

三 三角函数的图像与性质 （一）基本图像： 1．正弦函数

2．余弦函数

3．正切函数

α

απsin )21

cos(-=+α

απcos )21

sin(=+α

απcot )2

1

tan(-=+ααπsin )2

1cos(=-α

απcos )21

sin(=-ααπcot )2

1

tan(=-

4.余切函数

（二）、函数图像的性质

（三）、常见结论：

1.x y sin =与x y cos =的周期是π.

2.)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y (0≠ω)的周期ω

π

2=

T .

3.2

tan

x

y =的周期为2π. 4.)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2

π

π+

=k x (Z k ∈)，对称中心(0,πk )；

)cos(?ω+=x y 的对称轴方程是πk x =(Z k ∈)，对称中心(0,2

1ππ+k )；

)tan(?ω+=x y 的对称中心(

0,2

π

k ). 5.当αtan ·

,1tan =β)(2

Z k k ∈+=+π

πβα；

αt a n

·tan 1,β=-()2

k k Z π

αβπ-=+∈

6.函数

x y tan =在R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，

x y tan =为增函数，同样也是错误的.

7.奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .(x ?0的定义域，则无此性质)

8. x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数(π=T )；

x y cos =是周期函数(如图)；x y cos =为周期函数(π=T )；

2

1

2cos +

=x y 的周期为π(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

y=cos |x|图象

y=|cos2x +1/2|图象

四 和角公式

两角和与差的公式

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-

β

αβαβαsin cos cos sin )sin(+=+

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

五 倍角公式和半角公式

（一）倍角与半角公式：

αααcos sin 22sin =

2

cos 12

sin

α

α

-±

= α

αααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=

2

cos 12

cos

α

α

+±

= α

αα2tan 1tan 22tan -=

sin 1cos tan

2

1cos sin α

αα

αα

-===+

（二）万能公式：

2tan 12

tan

2sin 2αα

α+=

2tan 12tan 1cos 22

αα

α+-= 2

tan 12tan

2tan 2αα

α-=

六 三角函数的积化和差与和差化积 公式

()()()()()()()()1

sin cos sin sin 21

cos sin sin sin 21

cos cos cos cos 2

1

sin sin cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=

++-????=+--????=++-????=-+--????

sin sin 2sin

cos

2

2

αβ

αβ

αβ+-+=

sin sin 2cos

sin

2

2

αβ

αβ

αβ+--=cos cos 2sin

sin

2

2

αβ

αβ

αβ+--=-

42675cos 15sin -=

= , 4

2615cos 75sin +==

, 3275cot 15tan -== , 3215cot 75tan +==

第五章 平面向量

一 向量的概念 向量的常识性概念

1．向量：既有大小又有方向的量

2．向量的表示：图形表示，箭头的方向表示向量的方向，线段的长短表示向量的

大小；字母表示，向量可以写成AB ,a (手写版)或 a (印刷版)

3．零向量：大小为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。

4．向量共线或平行：两个向量方向相同或相反时，都可以称作两个向量共线或平行。a 与b 平行或共线的等价条件是：=k a b

图9-1

二 向量的加减法运算

（一）几何运算：五大运算工具，凡是加减法几何运算，先从加法角

度来理解，再利用加法交换律算减法

1.平行四边形法则(如图9-1)：两个向量的和等于以

这两个向量的临边的平行四边形的对角线表示的向量

AB AD AC += 图9-1

2.三角形法则(如图9-2)： 首位相连的两个向量之和

等于另一个向量(与前两个不首尾相连) AB BC AC += ，

AC AB BC -= 图9-2

3.多边形法则(如图9-3)：首尾相连的若干个向量之和等于另一个

向量AB BC CD DF AF +++=

4.中线法则(如图9-4)：三角形底边中线所表示的向量等于两临边

向量之和的一半。在向量图形中提到中点，一定用中线 图9-3

法则解题。 图中 D 为 BC 中点。

2AB AC AD +=

图9-4

(五)终边在一条直线上的多向量运算(如图9-5)：起始点相同，终点落在同一条直线上的三个向量，其中任何一个可以用其他两个乘以系数加和表示。两个系数之和一定为1。凡在同一个图中出现以下形式的三个向量，

一定用此结论解题。证明过程如下：

图9-5

()

k k k 1

1k k 1k 1k

1k 1

k k

BC AC AB CD AD AC BC CD BC CD

AC AB AD AC AB AC AD AC AD AB AD AC AB =-=-∴=∴-=-∴=-=

+=

-与共线

（+）+++

结论：11111AB m AC n AD m n =++=

22221AC m AB n AD m n =++= 33331AD m AB n AC

m n =++=

（二）坐标运算：基本运算法则

已知1122(,),(,)a x y b x y ==，1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=--

11(,)ka kx ky =11(,)a x y -=--，表示与a 大小相等方向相反的向量，叫a 的相反向量。

三 向量的乘法运算

（一）坐标运算：

已知1122(,),

(,)a x y b x y == 1212a b x x y y ?=+

注：向量的加减法结果得到的是向量，向量的乘法得到是数。 （二）向量的公式运算：

1．乘法公式： cos a b a b θ?=?? θ是a 与b 的夹角，θ[]0,π∈ 2．混合运算公式：

(1)()()

a b c d a c a d b c b d ++=?+?+?+? (2)a b b a ?=?

(3) a b c c b a ??≠??即多个向量相乘除不能改变运算顺序。

四 向量运算的应用

（一）求向量的模：根据向量的乘法公式2

=2

a a =2

2

x y +

（二）求向量的夹角：根据向量的乘法公式cos a b a b

θ?=?，凡是提到向量夹角，一律列向量乘法

公式解题。

（三）投影问题(如图9-6 )：a 在b 上的投影就是cos a

θ

，只有

乘法运算中才能出现这种形式，凡是提到一个向量在另一个向量上的投影，一定要列这两个向量的 乘法公式解决问题。

图9-6

（四）向量垂直：

o 12129000a b a b x x y y θ⊥?=??=?+=夹角

（五）向量平行：12

21//a b a kb x y x y ?=?=

第六章 不等式

一 不等式的证明

证明不等式选择方法的程序：

①做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差后能否因式分解；

②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1； ③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n 次方； 平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、

b 为正数)：

2112a b a b

+≥≥≥

+(当a = b 时取等)

3

a b c ++≤

，

123123

a a a a a a ++≤++，

(0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等

④等价变形：不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明，后面的方法都是特殊的等价变形方法；

⑤逆代：把数换成字母；

⑥换元：均值换元或三角换元；

⑦放缩：放大或缩小成一个恰好可以化简的形式；

⑧反证：条件比较复杂，结论比较简洁时，把结论的相反情况当成条件反证； ⑨函数求值域：共有四种方法：见函数值域部分；

⑩几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法:适合数列不等式。