概率论与数理统计总结讲解

第一章 随机事件与概率

第一节 随机事件及其运算

1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象

2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω

表示基本结果，又称为样本点。

3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表

示，Ω表示必然事件，

?表示不可能事件。

4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。

5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示

6、事件的关系

（1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事

件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B;

（2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 （3）互不相容：如果A ∩B=

?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容

7、事件运算

（1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。 （2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。

（3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以

表示为B A B A =-。

（4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。

对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。

8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA

（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC

（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB

∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=?

9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ

称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足：

（1）Ω∈ξ;

(2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并

∞

=1

n n

A ∈ξ 。

10、两个常用的事件域：

（1）离散样本空间Ω（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域；

（2）连续样本空间Ω（如R 、R 2

等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步

扩展而成的事件域。

第二节 概率的定义及其确定方法

1、概率的公理化定义：定义在事件域ξ上的一个实值函数P （A ）满足： （1）非负性公理：若A ∈ξ，则P(A)≥0； （2）正则性公理：P(Ω)＝1

（3）可列可加性公理：若A ,，A 2，···，A 3互不相容，则有

∑∞

=∞==???? ??11)(i i i i A P A P ，

即 ++++=????)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ，则称P （A ）

为时间A 的概率，称三元素（Ω，ξ，P ）为概率空间

2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）

它的基本思想是：

（1）与考察事件A 有关的随机现象可大量重复进行；

（2） 在n 次重复试验中，记n(A)为事件A 出现的次数，称 f n (A)=

n

n ）

（A ， 为事件A 出现的频率； （3） 频率的稳定值就是概率；

（4） 当重复次数n 较大时，可用频率作为概率的估计值。 3、确定概率的古典方法：

它的基本思想是：

（1） 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n 个； （2） 每个样本点发生的可能性相等（等可能性）； （3） 若事件A 含有k 个样本点，则事件A 的概率为

P （A ）基本事件总数

所包含的基本事件数A =

=n k

。 4、确定概率的几何方法：

它的基本思想是：

（1） 如果一个随机现象的样本空间Ω充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）

大小可用S n 表示；

（2） 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；

（3） 若事件A 为Ω中某个子区域，且其度量为S A ,则事件A 的概率为

P （A ）=

Ω

S S A

. 5、确定概率的主观方法：一个事件A 的概率P （A ）使人们根据经验，对该事件发生的可能

性大小所做出的个人信念。

6、概率是定义在事件域ξ上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。

第三节 概率的性质：

1、 P(Φ)＝0

2、 有限可加性：若有限个事件A ,，A 2，···，A 3互不相容，则有

∑∞

=∞==???? ??11)(i i i i A P A P ，

3、 对立事件的概率：对任一事件A ，有)(1)(A P A P -=

4、 减法公式（特定场合）：若A ?B,则P(A －B)＝P(A)－P(B)

5、 单调性：若A ?B ，则P （A ）≥ P （B ）

6、 减法公式（一般场合）：对任意两个事件A 、B ，有P(A －B)＝P(A)－P(AB)

7、 加法公式：对任意两个事件A 、B ，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

对任意n 个事件A 1，A 2，···，A n ，有

∑∑

∑=≤<≤≤<<≤-=-+++

-

=n

i a

j i a

k j i n n k

j

i

j i i A A A P A A A P A A P A P A P 1

11211

n 1

i i )

()

1()()()()(

8、 半可加性：对任意两个事件A 、B ，有)()(B P A P B A P +≤?）（. 9、 事件序列的极限：

（1） 对ξ 中任一单调不减的事件序列 ????n 21F F F ，称为可列并

∞

=1

n n

F

为极限{F n }的极限事件，记为

∞

=∞

→=1

n n n n lim F F 。

（2） 对ξ 中任一单调不增的事件序列 ????n 21E E E ，称为可列交

∞

=1

n n

E

为极限{E n }的极限事件，记为=

∞

→n n lim E ∞

=1

n n

E

。

若)lim ()(lim n n n n E P E P ∞

→∞

→=,则称概率P 是上连续的

10、 概率的连续性：若P 为事件域ξ 上的概率，则P 既是上连续的，又是下连续的 11、 若P 是ξ上满足P （Ω）=1的非负集合函数，则P 是可列可加性的充要条件是P

具有有限可加性和下连续性。

第四节 条件概率

1、条件概率：设A 、B 是两个事件，若P(A)>0，则称P(A|B)=)

()

(B P AB P 为事件B 发生条件下，事件A 发生的条件概率。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 2、乘法公式：

（1）若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A|B) （2）若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有

21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。

3、全概率公式：设事件n B B B ,,,21 互不相容，且

n

1i i

=Ω=B

，

如果),,2,1(0)(n i B P i =>，则对任一事件A 有)|()()(n

1

i j

i

B A P B P A P ∑==

，i=1,2,·

··，n 。 )|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。

4、贝叶斯共公式：设事件1B ，2B ，…，n B 互不相容，且

n

1

i i

=Ω=B

，如果P （A ）>0，

),,2,1(0)(n i B P i =>,则

∑==

n

1

j j

j

i i i )

|()()

|()(|B A P B P B A P B P A B P ）（，i=1，2，…n 。

此公式即为贝叶斯公式。)(i B P ，（1=i ，2，…，n ），通常叫B i 的先验概率。)/(A B P i ，

（1=i ，2，…，n ），通常称为B i 的后验概率。

第五节 独立性

1、两个事件的独立性：如果满足)()()(B P A P AB P =，则称事件A 、B 是相互独立的，

简称A 与B 独立。否则称A 与B 不独立或相依。

若事件A 、B 相互独立，且0)(>A P ，则有

)()()

()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===

2、若事件A 、B 相互独立，则可得到A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立。

必然事件Ω和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。

3、多个事件的独立性：设有n 个事件A 1，A 2，···，A n ，如果对任意的1≤

I

??

??

??

?===)

()()()()()()()()()()()(j i j i j i j i j i j i n k n k k k A P A P A P A P A A A A P A P A P A P A A A P A P A P A A P 则称此n 个事件A 1，A 2，···，A n 相互独立。

4、若n 个事件相互独立，则其任一部分与另一部分也相互独立。特别把其中部分换为对立事件后，所得诸事件亦相互独立。

5、试验的独立性：假如实验E 1的任一结果（事件）与试验E 2的任一结果（事件）都是相互

独立的事件，则称这两个试验相互独立。

6、n 重独立重复试验：假如一个试验重复进行n 次，并各次试验间相互独立，则称其为n

次独立重复试验。假如一个试验只可能有两个结果：A 与A ，则称其为伯努利试验。假如一个伯努利试验重复进行n 次，并各次试验间相互独立，则称其为n 重伯努利试验。

第二章 随机变量及其分布

第一节 随机变量及其分布

1、 随机变量：定义在样本空间Ω上的实值函数X=X(ω)称为随机变量。

（1） 离散随机变量：仅取有限个或可列个值的随机变量

（2） 连续随机变量:取值充满某个空间（a ，b ）的随机变量。这里a 可为-∞，b 可为

+∞。 2、分布函数：设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称函数}{)(x X P x F ≤=为X 的分布函数，记为X~F(x)。分布函数具有如下三条基本性质：

（1） 单调性：F （x ）是单调非减函数，即对任意的x 1

（2） 右连续性：F （x ）是x 的右连续函数，即对任意的x 0，有)x (x lim 0x x 0

F F =+→）

（，即F(x 0+0)=F(x 0)；

（3） 有界性:对任意的x ，有0≤F(x) ≤1，且F(-∞)=)(lim -x x F ∞

→=0，

F(+∞)=）（x lim x F +∞

→=1

可以证明：具有上述三条性质的函数F （x ）一定是某一个随机变量的分布函数。

如果将X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示X 落在区间

],(x -∞内的概率

3、离散型随机变量的概率分布列: 若离散型随机变量X 的可能取值为x n (n=1,2,…)则

称X 取x i 的概率为P i =P(x i=)P(X=x i )，i=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X 的概率分布列，简称分布列。有时也用列表的形式给出：

,,,,,,,,|

)(2121k k k p p p x x x x X P X =。

分布列具有两条基本性质：

（1） 非负性; ，，）（2,1i 0x p i =≥， （2）正则性:

∑+∞

==1

i i

1x p ）（。

离散随机变量X 的分布函数∑≤=

x

x i

i x p )x (）

（F ，它是有限级或可列有限级阶梯函数。离散随机变量X 取值于区间（a ，b ]上的概率为P(a

4、连续随机变量的概率密度函数: 记连续随机变量X 的分布函数是F(x)，若存在非负可积

函数p （x ），对任意实数x ，有?∞

=

x

-dt t p x ）（）（F ，则称X 为连续型随机变量。

p （x ）称为X 的概率密度函数，简称密度函数。

密度函数p （x ）具有下面2个基本性质： （1） 非负性:0x p ≥）（;

（2） 正则性：

?+∞

∞

=-1)(p dx x 。

5、离散分布：分布在离散场合可以是分布列或分布函数；连续分布：分布在连续场合可以

是密度函数或分布函数。存在既非离散又非连续的分布。 6、设随机变量X 的分布函数F(x)，则可用F(x)表示下列概率： （1）P(X ≤a)= F(a)； （2）P(X

（3）P(X>a)=1-P(X ≤a) =1-F(a)；

(4) P(X=a)= P(X ≤a)- P(X

(6) P(|X|

1、 数学期望：设随机变量X 的分布列p （x i ）或用密度函数p （x ）表示，若

?????+∞<+∞

+∞

-i

i i dx x xp x p |x |为连续随机变量，当）（为离散随机变量，当）（X X ， 则称E(X)=??????∑∞+∞

-i

i i dx x xp x p x 为连续随机变量，当）（为离散随机变量

，当）（X X 为X 的数学期望，简称期

望或均值，且称X 的数学期望存在。否则数学期望不存在。

数学期望是有分布决定的，它是分布的位置特征。如果两个随机变量同分布，则其数学期望（存在的话）是相等的。期望相当于重心。 2、 数学期望的性质：假设数学期望存在， （1） X

的

某

一

函

数

g

（

X

）

的

数

学

期

望

为

???

??=?∑∞

+∞

-i i i dx x p x g x p x g ]g [，在离散场合）（）（），在离散场合（）（）（X E （2） 若C 为常数，则E(C)=C

（3） 对任意常数C ，有E(CX)=CE(X) （4） 对任意的两个函数g 1（x ）和g 2（x ），E[g 1（x ）±g 2（x ）] = E[g 1（x ）]±E[g 2（x ）] （5） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，∑∑===n i n

i i

i

i

i

X E C X C E 1

1

)()(

（6） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和Y 独立； 充要条件：X 和Y 不相关。 第三节 随机变量的方差与标准差

1、 方差：随机变量X 对其期望E （X ）的偏差平方的数学期望（设其存在）Var （X ）=E[X-E(X)]

2

称为X 的方差，方差的正平方根σ（X ）=σX =）X （Var 称为X 的标准差。 方差是由分布决定的，它是分布的散布象征，方差越大，分布就越散；方差越小，分布

就越集中。标准差与方差的功能相似，只是量纲不同。 2、 方差的性质：假设方差存在，

（1） Var （X ）=E(X 2)-[E(X)]2

（2） 若c 是常数，则Var （c ）=0

（3） Var （aX+b ）= a 2

Var （X ）

（4） 若随机变量X 的方差存在，则Var （X ）=0的充要条件是X 几乎处处为某个常数

a ，即P （X=a ）=1

（5） 若 X ,Y 相互独立，则D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y )

3、 切比雪夫不等式:设X 的数学期望和方差都存在，则对任意常数ε>0,有

2

ar )|)((|εε）

（X V X E X P ≤

≥-,或2

)

(1)|)((|εεX Var X E X P -

≥<-。切比雪夫不等

式给出随机变量取值的大偏差（指事件{|X-E(X)| ≥ε}）发生的概率的上限，该上限于分布的方差成正比。

4、 随机变量的标准化：对任意随机变量X ，如果X 的数学期望和方差存在，则称

）

（X V X E X X ar )

(*-=

为X 的标准化随机变量，此时有E(X *)=0，Var （X *

）=1。

第四节 常用离散分布

1、 二项分布：

设随机变量X 的概率分布列为， k

n k k

n n q p C k P k X P -===)()(，其中

n k p p q ,,2,1,0,10,1 =<<-=，则称随机变量X 服从参数为n ，p 的二

项分布。记为),(~p n B X 。

（1） 背景： n 重贝努里试验中成功的次数X 服从参数为n ，p 的二项分布。记为

),(~p n B X ，其中p 为一次伯努利试验中成功发生的概率。

（2） n=1时的二项分布B （1，p ）称为二点分布，或0-1分布，（0-1）分布是二项分布的

特例。当X ～B （1，p ）时，X 可表示一次伯努利试验中成功的次数，它只能取0或1。

（3） 二项分布B （1，p ）的数学期望和方差分别是：E(X)=np ，Var （X ）=np （1-p ）。 （4） 若),(~p n B X ，则Y=n-X ～B （n ，1-p ），其中Y=n-X 是n 重伯努利试验中失败的

次数。

2、 泊松分布：

（1） 设随机变量X 的概率分布列为λλ-=

=e k k X P k

!

)(，k=0,1,2，

···，则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为X ～P(λ)，其中参数0>λ。

（2） 背景：单位时间（或单位面积、单位产品等）上某稀有事件（这里的稀有事件

是指不经常发生的事件）发生的次数服从泊松分布P(λ)，其中λ为该稀有事件发生的强度。

（3） 泊松分布P(λ)的数学期望和方差分别是：E(X)= λ,Var （X ）=λ。 （4） 二项分布的泊松近似（泊松定理）：在n 重伯努利试验中，记事件A 在一次试验

中发生的概率为p n （与试验次数n 有关），如果当n →+∞时，有np n →λ，则

λλ-k k -n n k n n e k!p 1p k n lim =???

? ??+∞→）—（。 3、 超几何分布

（1） 若X 的概率分布列为???

? ??????

??-???? ??==n k -n k )k (N M N M X P ，k=0,1，

···，r 。则称X 服从

超几何分布，记为X ～h （n ，N,M ）,其中r=min{M ，n}，且M ≤N ，n ≤N 。n ，N,M 均为正整数。

（2） 背景：设有N 个产品，其中有M 个不合格品。若从中不放回的随机抽取n 个，

则其中含有的不合格品的个数X 服从超几何分布h （n ，N,M ）。 （3） 超几何分布h （n ，N,M ）的数学期望和方差分别是:E （X ）=N

M

n

,Var （X ）=

)

1()

n )((n 2

---N N N M N M 。 （4） 超几何分布的二项近似：当n<

（n ，M/N ）近似，即k

-n k p -1p k n n k -n k ）（???? ??≈?

??

? ?????? ??-???? ??N M N M ，其中p=M/N 。 （5） 实际应用中，再不返回抽样时，常用超几何分布描述抽搐样哦泥中不合格品数

的分布；在返回抽样时，常用二项分布b （n ，p ）描述抽出样品中不合格聘书的分布；当批量N 较大，而抽出样品数n 较小时，不返回抽样可近似看成返回抽样。 4、 几何分布：

（1） 若X 的概率分布列为P （X=k ）=（1-p ）k-1

p ，k=1,2，···，则称为X 服从几何分

布，记为X ～Ge （p ），其中0

（2） 背景：在伯努利试验序列中，成功事件A 首次出现时的试验次数X 服从几何分

布Ge （p ），其中p 为每次试验中事件A 发生的概率。 （3） 几何分布Ge （p ）的数学期望和方差分别是;E(X)=

p 1,Var(X)=2p

p

1-。 （4） 几何分布的无记忆性：若X ～Ge （p ），则对任意正整数m 与n 有

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)。 5、 负二项分布：

（1） 若X 的概率分布列为r

-k r p -1p 1-r 1-k )k (）（???

?

??==X P ，k=r ，r+1，···。则称X 服从负二项分布或巴斯卡分布，记为X ～Nb （r ，p ），其中r 为正整数，0

（4） 负二项分布Nb （r ，p ）的数学期望和方差分别是:E(X)=r/p,Var(X)=r(1-p)/p 2

。 （5）

负二项分布的随机变量可以表示成r 个独立同分布的几何分布随机变量之和，即若X ～Nb （r ，p ），则X=X 1+X 2+···+X r ，其中X 1，X 2，···，X r 是相互独立、服从几何分布Ge （p ）的随机变量。

6、 常用离散分布表

分布列p k

期望 方差

0-1分布),1(p B

p k =p k

（1-p ）1-k

，k=0,1

p

)1(p p -

二项分布),(p n B

p k =

k n k k

n n q p C k P k X P -===)()(k

=0,1，···，n

np

)1(p np -

泊松分布)(λP

p k =

λλ-=

=e k k X P k

!

)(k =0,1，···

λ λ

几何分布)(p G

p k = P （X=k ）=（1-p ）k-1

p ，

k=1,2，···，

p 1

2

1p p

- 超几何分布

),,(N M n H

p k =

???

? ?????? ??-???? ??=

=n k -n k )k (N M N M X P

k=0,1，···，r 。r=min{M ，n}

N

nM

??

?

??--??? ??-11N n N N M N nM 负二项分布 Nb （r ，p ）

p k =

r

-k r p -1p 1-r 1-k )k (）（

???

? ??==X P k=r ，r+1，···。

r/p r(1-p)/p 2

第五节 常用连续分布

1、 正态分布

(1) 若X 的密度函数和分布函数分别为

2

2

2-x -e 21x p σμσ

）（π）（=

，-∞

x x

-2-t -2

2

?∞

=

σμσ

）（π）（F ,-∞

称X 服从正态分布，记作X ～N （μ，σ2

），其中参数-∞<μ<+∞，σ>0。

（2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量（服从正态分布的变量）。测量误差就是量具偏差、测量环境的影响、测量技术的的影响等因素随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。 （3） 关于参数μ：

● μ是正态分布的数学期望，即E （X ）=μ，称μ为正态分布的位置参数。 ● μ是正态分布的对称中心，在μ的左侧和p （x ）下的面积为0.5；在μ的右

侧和p （x ）下的面积为0.5；所以μ也是正态分布的中位数

● 若X ～N （μ，σ2

），则X 在离μ越近取值的可能性越大，离μ越远取值的可

能性越小

关于参数σ：

● σ2

是正态分布的方差，即Var （X ）=σ2

；

● σ是正态分布的标准差，σ越小，正太分布越集中；σ越大，正态分布越分

散；σ又称为正态分布的尺度参数

● 若X ～N （μ，σ2

），则其密度函数p （x ）在μ±σ处有两个拐点

（4） 标准正态分布：称μ=0，σ=1时的正态分布N （0,1）；

记U 为标准正态变量，φ(u)和Φ(u)为标准正态分布的密度函数和分布函数。φ(u)和Φ(u)满足：

● φ(-u)= φ(u)

● Φ(-u)=1- Φ(u)。对u>0, Φ(u)的值有表可查

（5） 标准化变换：若X ～N （μ，σ2

），则U=（X-μ）/σ～N （0,1），其中U=（X-μ）/σ

称为X 的标准化变换 （6） 若X ～N （μ，σ2

），则对任意实数a 与b ，有P （X ≤b ）=???

??Φσμ-b ，P （a

?

??Φσμ-a ,

P （a

??Φσμ-b -??

?

??Φσμ-a 。 （7） 正态分布的3σ原则：设X ～N （μ，σ2

），则P （|X-μ|

Φ(-k)=??

?

??===3k 9973.02k 9545

.01k 6826

.0，，， 2、 均匀分布

（1） 若X 的密度函数和分布函数分别为??

???<<-=其他，，

,0,1

)(p b x a a b x

??

???

≥<≤--<,,1,,,,0)(b x b x a a

b a x a x x F 则称X 服从区间（a ，b ）上的均匀分布，记作X ～U

（a ，b ）。

（2） 背景：向区间（a ，b ）随机投点，落点坐标X 一定服从均匀分布U （a ，b ）。“随

即投点”指：点落在任意相等长度的小区间上的可能性是相等的。

（3） 均匀分布U （a ，b ）的数学期望和方差分别是E （X ）=2b a +，Var （X ）=12

)(2

a b -。

（4） 称区间（0,1）上的均匀分布U （0,1）为标准均匀分布，它是导出其他分布随

机数的桥梁 3、 指数分布

（1）

若X 的密度函数和分布函数分别为???<≥=-,0,0,

0,)(p x x e x x λλ

??

?<≥-=-,

0,0,

0,1)x (x x e F x λ则称为X 服从指数分布，记作X ～Exp （λ），其中参数λ>0。

（2）

背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失效，则首次冲击来到的时间X （寿命）服从指数分布。 （3） 指数分布Exp （λ）的数学期望和方差分别是E(X)=

λ

1

,Var(X)=

21λ

。 （4）

指数分布的无记忆性：若X ～Exp （λ），则对任意s>0,t>0,有P （X>s+t|X>s ）=P(X>t)。

4、 伽玛分布

（1） 伽玛函数：称Γ（α）=

?

+∞

--0

1dx e x x α为伽玛函数，其中参数α>0。伽玛函数

具有如下性质：

① Γ（1）=1； ② Γ（1/2）=

π；

③ Γ（α+1）=αΓ（α）； ④ Γ（n+1）=n Γ（n ）=n ！（n 为自然数）。

（2） 伽玛分布：若X 的密度函数为??

???<≥Γ=--,0,0,

0,)()(p 1x x e x x x

λαααλ即称X 服从伽玛分

布，记作X ～Ga （α，λ），其中α>0为形状参数，λ>0为尺度参数。

（3） 背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇

到第k 次冲击时即告失效，则第k 次冲击来到的时间X （寿命）服从形状参数为k 的伽玛分布Ga （k ，λ）。 （4） 伽玛分布Ga （α，λ）的数学期望和方差分别为E （X ）=

λα，Var （X ）=2λ

α

。 （5） 伽玛分布的两个特例:

① α=1时的伽玛分布就是指数分布，即Ga （1，λ）= Exp （λ）。

② 称α=n/2，λ=1/2时的伽玛分布为自由度为n 的χ2（卡方）分布，记为χ

2

（n ），其密度函数为???

????≤>Γ=--,0,0,0,)2(21)(p 1222x x x e n x n x n ，χ2

（n ）分布的期

望和方差分别是E(X)=n ，Var （X ）=2n 。

（6） 若形状参数为整数k ，则伽玛变量可以表示成k 个独立同分布的指数变量之和，

即若X ～Ga （k ，λ），则X=X 1+X 2+···+X k 是相互独立且都服从指数分布Exp （λ），的随机变量。 5、 贝塔分布

(1) 贝塔函数:称B （a ，b ）=

?

---1

11)1(dx x x b a 为贝塔函数，其中参数a>0,b>0。贝塔

函数具有如下性质：①B （a ，b ）= B （b ，a ）；②B （a ，b ）=

)

()

()(b a b a +ΓΓΓ。

(2) 贝塔分布：若X 的密度函数为??

?

??<<-ΓΓ+Γ=--其他，,010,)1()()()()(11

x x x b a b a x p b a ， 则称X

服从贝塔分布，记作X ～Be （a ，b ），其中a>0,b>0都是形状参数。

(3) 背景：很多比率，如产品的不合格率、机器的维修率、射击的命中率等都是在区间

（0，1）上取值的随机变量，贝塔分布Be （a ，b ）可供描述这些随机变量之用。 (4) 贝塔分布Be （a ，b ）的数学期望和方差分别是b

a a

X E +=

)(，

)

1()()(ar 2

+++=

b a b a ab

X V (5) a=b=1时的贝塔分布就是区间（0,1）上的均匀分布，即Be （1,1）=U （0,1）。 6、常见连续分布表

密度函数p （x ）

期望

方差

正态分布),(2

σμN

2

2

2-x -e

21x p σμσ

）（π）（=

，

-∞

μ

2σ

均匀分布U （a ，b ）

??

???<<-=其他，，,0,1

)(p b x a a b x 2b

a + 12)(2

a b - 指数分布Exp （λ）

??

?<≥=-,

0,0,

0,)(p x x e x x λλ λ

1

2

1λ 伽玛分布Ga （α，λ）

??

???<≥Γ=--,0,0,0,)

()(p 1x x e x x x λαααλ λα

2λ

α χ2

（n ）分布

???

????≤>Γ=--,0,0,0,)

2(21)(p 1222x x x e n

x n

x n

n 2n

贝塔分布Be （a ，b ）

???

??<<-ΓΓ+Γ=--其他，,010,)1()()()()(11x x x b a b a x p b a b

a a

X E +=)(

)

1()()(ar 2

+++=

b a b a ab

X V 对数正态分布LN(μ，σ2

)

0,2)(ln exp 21

22>???

???--x x x σμσπx>0

22σμ+e

)1(2

2

2-+σσμe e

柯西分布Cau(μ, λ)

2

2

)

(1

μλλ

π-+x ,-∞

∞

不存在 不存在

韦布尔分布Wei （m ，η）

P （x ）

=F ’(x),

??

?

????

????

???

??--=m

x x F ηexp 1)(,x>0

??? ??

+Γm 11η

????????? ??+Γ-??? ?

?+Γm m 112122η

第六节 随机变量函数的分布

1、 设连续随机变量X 的密度函数为P X （x ），Y=g （X ）。

（1） 若y=g(x)严格单调，其反函数h （y ）有连续导函数，则Y=g （X ）的密度函数为

()[]()?

??<<=其他，,0,

,)y ('b y a y h y h P P X Y ，

其中a=min{g(-∞), g(+∞)},b=max{g(-∞), g(+∞)}。

（2） 若y=g(x)在不重叠的区间I 1,I 2，···上逐段严格单调，其反函数h 1（y ），h 2

（y ），···有连续导函数，则Y=g （X ）的密度函数为

∑=i

i i X Y y h y h P y P )())(()('。

2、 正态变量的线性变换仍为正态变量：若X 正态分布),(2σμN ，则当a ≠0时，有Y=aX+b ～N(a μ+b,a 2

σ2

)。

3、 对数正态分布

（1） 若X 的密度函数为??

???≤>??????--=,0,0,0,2)(ln exp 21)(22x x x x x P X σμσπ 则称X 服从对数正态分布，记为X ～LN(μ，σ2

)，其中-∞<μ<+∞，σ>0。

（2） 若X ～LN(μ，σ2

)，则E(X)=

2

2

σ

μ+

e

,Var （X ）=

)1(2

2

2-+σσμe e

（3） 若X ～LN(μ，σ2)，则 Y=ln X ～N(μ，σ2

)

4、 若X ～Ga （α，λ），则当k>0时，有Y= kX ～Ga （α，λ/k ）。

5、 若X 的分布函数F X (x)为严格单调增的连续函数，其反函数F -1

X (x)存在，则Y= F X (X)服

从（0,1）上的均匀分布U （0,1）。 第七节 分布的其他特征数 1、 k 阶矩

（1） 称μk =E(X k

)为X 的k 阶原点矩。一阶原点矩就是数学期望

（2） 称υk =E(X-E(X))k

为X 的k 阶中心矩。二阶中心距就是方差 （3） 前k 阶中心矩可用原点表示，如

υ1=0；υ2=μ2-μ12；υ3=μ3-3μ2μ1+2μ13；υ4=μ4-4μ3μ1+6μ2μ12-3μ14。

2、 变异系数：称比值()

X E X Var X C )

()(=

υ为X 的变异系数。变异系数是一个无量纲的量。

3、 分位数：设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），密度函数为p(x)。对任意p ∈（0.1），

（1） 称满足条件?

∞

-==

p

x p p dx x p x F )()(的p x 为此分布的p 分位数，又称下侧p 分

位数，它把密度函数下的面积一分为二，左侧面积恰好为p ；

（2） 称满足条件?

+∞

==

')()(-1'

p

x p

p dx x p x F 的'p x 为此分布的上侧p 分位数。

（3） 分位数与上侧分位数的转换公式：'p x =p x -1,p x ='

1p x -。

（4） 中位数：称p=0.5时的p 分位数5.0x 为此分布的中位数。即5.0x 满足

5.0)()(5

.05.0==?

∞

-x dx x p x F ；

（5） 若随机变量X 的密度函数p （x ）是偶函数，则此分布的p 分位数p x 满足：

p x =p x -1。

（6） 记标准正态分布的p 分位数p u 。因为标准正态分布函数是偶函数，所以

p u =-p u -1。

（7） 一般正态分布),(2σμN 的p 分位数p x 满足：p x =μ+σ×p u 。

（8） 分布的矩有可能不存在，但连续分布的分位数总存在。p 分位数p x 总是p 的增

函数。

4、 偏度系数

（1）称比值