高考数学总复习解题策略：立体几何新题型(2021)

第六讲立体几何新题型【考点透视】

(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.

(B)版.

①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.

②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.

③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.

④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念.

⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.

⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式.

⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图.

空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题.

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.

求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。

【例题解析】

考点1 点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.

典型例题

例1如图，正三棱柱11

1

ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1

CC 中点．

（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1

A BD ；

（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；

（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的

大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维

能力和运算能力．

解答过程：解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．

A

B

C

D

1

A

1

C

1

B

ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

正三棱柱11

1

ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC

B ，

AO ∴⊥平面11BCC B ．

连结1B O ，在正方形1

1

BB C C 中，O D ，分别为

1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．

在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1

A BD ．

（Ⅱ）设1

AB 与1A B 交于点G ，在平面1

A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连

结AF ，由（Ⅰ）得1

AB ⊥平面1A BD ．

1AF A D ∴⊥， AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．

在1AA D △中，由等面积法可求得455

AF =，

又

11

22AG AB =

=， 210sin 4

455

AG AFG AF ∴===∠．

A

B C D

1

A

1

C

1

B

O

F

所以二面角1A A D B --的大小为10arcsin 4

．

（Ⅲ）1

A BD △中，1115226A BD BD A D A

B S ==

=∴=△，，，1BCD S =△．

在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B 的距离为3．

设点C 到平面1

A BD 的距离为d ．

由11A BCD

C A B

D V

V --=，得11

1

333

BCD

A BD S S d =△△，

1322

BCD A BD S d S ∴=

=

△△．

∴点C 到平面1A BD 的距离为2

2

．

解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．

ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

在正三棱柱11

1

ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，

AD ∴⊥平面11BCC B ．

取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ，

，，1(120)B ，，，

1(123)AB ∴=-，，，(210)BD =-，，，1(1

23)BA =-，，．

12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=，

1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．

1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）设平面1

A AD 的法向量为()x y z =，，n ．

(113)AD =--，，，1(020)AA =，，．

AD ⊥n ，1AA ⊥n ，

100AD AA ?=?∴?

=??，，n n 3020x y z y ?

-+-=?∴?=?

?，，03y x z =??∴?=-??，．

令1z =得(301)=-，，n 为平面1A AD 的一个法向量．

由（Ⅰ）知1

AB ⊥平面1A BD ，

x

z

A

B C

D

1

A

1

C

1

B

O F

y

1AB ∴为平面1A BD 的法向量．

cos

1

336

4222AB AB AB -->===-n n ．

∴二面角1A A D B --的大小为6arccos 4

．

（Ⅲ）由（Ⅱ），1

AB 为平面1

A BD 法向量，

1(200)(123)BC AB =-=-，，，，，．

∴点C 到平面1A BD 的距离11

222

22

BC AB d AB -===．

小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B 点到平面1AMB 的距离转化为容易求的点K 到平面1AMB 的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.

例2.如图,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

命题目的：本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离

和角的一般方法.

解答过程：

方法一（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM. 因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，

所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM. Q

B

C P

A

D

O M

又?PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD .

同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD .

（Ⅱ）连结AC 、BD 设O BD AC = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面.取OC 的中点N ，连接PN .

因为21,21===OC NO OA NO OQ PO ，所以OA

NO

OQ PO =，

从而AQ ∥PN ，∠BPN （或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角.

因

为

2222(22)13

PB OB OP =+=+=，

222(2)1 3.PN ON OP =+=+=

10)2()22(22

22=+==ON OB BN

所以933

3210392cos 222=

??-+=?-∠PN PB BN PN PB BPN ＋＝.

从而异面直线AQ 与PB 所成的角是9

3

arccos

.

(Ⅲ)连结OM ，则112.22

OM AB OQ ===

所以∠MQP ＝45°.

由（Ⅰ）知AD ⊥平面PMQ ，所以平面PMQ ⊥平面QAD . 过P 作PH ⊥QM 于H ，PH ⊥平面QAD .从而PH 的长是点P 到平面QAD 的距离.

又032

3,sin 45.2

PQ PO QO PH PQ =+=∴==.

即点P 到平面QAD 的距离是32

2

.

方法二

（Ⅰ）连结AC 、BD ，设O BD AC = .

由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD .

从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD .

Q

B

C

P

A

D

z y

x

O