培优讲义4(导数问题中的几种处理技巧)

导数问题中的几种处理技巧

一．处理技巧总结：

1. 找导函数)(x f '的零点的方法：解方程找零点，求值域找零点，试根法找零点。

2. 多次求导： 方程)(x f '=0不可解时，需要再次求导，直到方程可解为止。

3. 减少求导次数或简化问题的方法：分离x x ln 与， x e x 与等处理技巧。 二．针对训练：

1. x x f ln )(=，x x x g 4)(2+-= 求证:对任意0>x ，3)()(2-≥x g x xf

2. 2

1

)(x x e x f x --=，求f(x)的单调区间。 3. 求证：对任意,*∈N n 都有3)1

1(<+n n

三．链接高考：

1．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.

（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .

2．已知函数f (x )=ln 2

(1+x )-2

1x x

+. (I)求函数f (x ) 的单调区间; （Ⅱ）若不等式e n

n ≤+

+α)11(对任意的N*n ∈都成立，.求α的最大值.

针对训练:

1. 证明：对任意0>x ，?-≥3)()(2x g x xf 0]3)([)(2≥--x g x xf ， 记34ln 2]3)([)(2)(2+-+=--=x x x x x g x xf x F ， 则)1(ln 2)(-+='x x x F

试根）（也可用函数图象法）

当10<

故函数F (x )在区间（0，1）上为减函数， 在区间（1，+∞）上为增函数，∴F (x )≥F(1)=0

所以对任意0>x ，3)()(2-≥x g x xf .

2.解：f(x)的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），3

422

2)1(2)1()(x

x e xe x x e x e x x f x x x x ++-=----=' 记22)(++-=x e xe x g x x ,则1)1()(+-='x e x x g ； 记1)1()(+-=x e x x h , 则x xe x h =')( x>0时，0)(>='x xe x h ；x<0时，0)(<='x xe x h

∴)(x h 在(0，+∞)上为增函数，0)0()(=>h x h 即0)(>'x g ，)(x g 在(0，+∞)上为增函数，

0)0()()(=>='g x g x f ；

)(x h 在（-∞，0）上为减函数，0)0()(=>h x h 即0)(>'x g ，)(x g 在（-∞，0）上为增函数，0)0()()(=<='g x g x f .

∴f (x )的增区间为 (0，+∞)，减区间为（-∞，0）.

3.?<+3ln )1

1ln(n n ?<+3ln 1)11ln(n n 03ln 1)11ln(<-+n

n

设3ln )1ln()(x x x f -+=，]1,0(∈x 则

13ln ,111><+x ∴03ln 11)(<-+='x

x f ∴f(x)在(0,1]上为减函数, ∴f(x)

∈∈*

n N n ，∴0)1

(

f ，故原不等式成立。

链接高考:

1. （10河南20)解：（Ⅰ）x

x x x x x f 1

ln 1ln 1)(+=-++=

', 故2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤. 令()ln g x x x =-，则1

()1g x x

'=

- 当01x ＜＜，'()0g x ＞；当1x ≥时，'()0g x ≤。 ∴()g x 的最大值为g (1)=-1 综上，a 的取值范围是[)1,-+∞.

(Ⅱ)证明方法一（利用（Ⅰ）的结论）：由（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤.

当01x ＜＜

时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤； 当1x ≥时，()ln (ln 1)f x x x x x =+-+1ln (ln 1)x x x x =++-11

ln (ln 1)x x x x =--+0≥ 所以(x-1)f(x)≥0

证明方法二（多次求导）： 由已知得x>0， x

x x x x x f 1

ln 11ln )(+=-++

=' 当x>1时，0(>'x f ，f(x)在（1，+∞）上为增函数，0)1()(=>f x f ，0)()1(>-x f x ； 当0

='=，则01

11)(22<-=-='x

x x x x g ，g(x)在(0，1)上为减函数， ∴01)1()()(>=>='g x g x f ， 于是f(x)在（0，1）上为增函数，0)1()(=-x f x ；

当x =1时，0)()1(=-x f x 。 综上，(x-1)f (x)≥0成立。

证明方法三（分离1+x 与x ln ，可简化问题）： 由已知得x>0， x+1>0，∴原不等式

0)11)(ln 1(≥+---?x x x x 记11ln )(+--=x x x x g ，则0)1(1

)1(21)(2

22>++=+-='x x x x x x g ，

∴①当0-x g x ；

②当x>1时，g(x)>g(1)=0，0)()1(>-x g x ；③当x=1时，0)()1(=-x g x .

综上， 0)()1(≥-x g x ，故原不等式成立。

2.（08湖南21）解 ： （Ⅰ）函数f (x )的定义域是(1,)-+∞，

2222

2ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1)

x x x x x x x

f x x x x ++++--=-=+++′ 解法一:设2()2(1)ln(1)2,

g x x x x x =++-- 则()2ln(1)2.g x x x =+-′ 令()2ln(1)2,

h x x x =+- 则22()2.11x

h x x x

-=-=++′

当01<<-x 时，0)(>'x h ，h(x)在（-1，0）上为增函数；当x ＞0时，0)(<'x h ，h(x)在(0,)+∞上为减函数. 所以h (x )在x =0处取得极大值，而h (0)=0,所以)0(0)(≠<'x x g ，

当01<<-x 时，0)0()(=>g x g ，0)(>'x f ； 当x ＞0时，0)0()(=

解法二：（分离（1+x ）ln(1+x),少求一次导） )(x f '=

x

x x

x x +++-

+112)1ln(22

记x x x x x g ++-+=12)1ln(2)(2，则0)

1()1()2()1)(1(212)(2

2

22≤+-=++-++-+='x x x x x x x x x g 仅0)0(='g ，故

（Ⅱ）不等式1(1)

n a

e n

++≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n ++≤由11

1>+n

知，1.1

ln(1)

a n n

≤

-+

设(]11(),0,1,ln(1)G x x x x =-∈+ 则=++++-=+++-=')1(ln )

1(ln 11)1(ln 11)(222222x x x x x x x x x G )

1(ln )

(22x x x f +

由（Ⅰ）知，0)0()(=≤f x f ，所以]1,0(,0)(∈<'x x G .

∴G (x )在(]0,1上为减函数，故函数G （x ）在(]0,1上的最小值为1(1) 1.ln 2G =

-故a 的最大值为1

1.ln 2

-