指数函数典型例题

指数函数典型例题分析

指数函数是中学数学中基本初等函数之一，是学习函数、不等式等内容的重要工具， 指数函数的性质是指数函数的核心内容,也是学习其他数学知识的基础内容.本文就指数函数的典型例题进行分析.

1. 利用指数函数的单调性比较大小

例1．比较下列各题中两个值的大小：

（1）1.72.5，1.73；

（2）2.3-0.28，0.67-3.1．

分析：构造指数函数，利用其单调性和值域比较大小．

解：（1）（单调法）由于1.72.5与1.73的底数是1.7,

故构造函数y=1.7x ，

则函数y=1.7x 在R 上足增函数．

又2.5＜3，

所以1.72.5<1.73.

(2）（中间量法）由指数函数的性质，知

2.3-0.28＜2.30=1，0.67-

3.1＞0.670＝1，

所以2.3-0.28<0.67-3.1.

点评: 比较指数式大小的方法：

(1).单调法：比较同底数幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数图象和性质来判断．

(2).中间量法：比较不同底数幕的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小．

2.研究指数函数的性质

1) 定义域和单调区间

例2.求函数x x x f 22)3

1()(-=的定义域和单调区间. 分析：使函数的解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；函数f(x)是复合函数，分解为y=f(u)， u=g(x),通过讨论y= f(u)和u=g(x)的单调性，来

讨论函数f(x)的单调性．

解：由题意，得函数f(x)的定义域为R.

令x x u y u 2,)3

1(2-==, ∵x x u 22-=是二次函数，其对称轴为x=1且开口向上，

∴二次函数x x u 22-=在(-∞,1]上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数．

又∵u y )3

1(=在定义域内是减函数， ∴函数x x x f 22)3

1()(-=的单调递增区间是(-∞,1]，单调递减区间是[1，＋∞）. 点评: 关于指数函数的单调性问题，要注意其单调性与底数a 的取值紧密相关．当a>1时，函数y=x a 是增函数；当o

x x x f 22)31()(-=是指数函数u y )3

1(=与二次函数x x u 22-=复合而成的，可通过逐层讨论它的单调性，利用“同增异减”得出结果.

2) 单调性和最值

例3.若函数f(x)=1

21+x ，则该函数在(-∞,+∞)上是 （ ） A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增

无最大值 D.单调递增有最大值

解析: 利用换元法转化为求常见函数的值域，由图象法判断单调

性和最值，函数的定义域是R.

设x 2=t,由x ∈R,得t>o.则11)(+=

t t f ，画出函数1

1)(+=t t f (t>0)的图象，如图所示，

观察函数f(t)的图象得函数单调递减无最小值．答案：A.

点评: 求函数f(x a )的单调区间、值城、最值时，常用换元法，设x a =t,转化为讨论常见函数的性质，有时结合常见函数的图象来解决．

3) 函数的图象

例4.若函数3)(1+=-x a x f (a>0，且a≠1）的图象恒过定点P ，试求点P 的坐标．

分析：通过讨论函数y=x a 与函数3)(1+=-x a x f (a>0，且a≠1）的关系确定

点P 的坐标．

解：将函数y=x a (a>0，且a≠1）的图象沿x 轴向右平移1个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，可以得到函数3)(1+=-x a x f 的图象，

因为函数y=x a (a>0，且a≠1）的图象恒过定点(0，1），

所以相应的函数3)(1+=-x a x f 的图象恒过定点(1，4）．

点评: 一般较复杂函数的图象可由基本初等函数的图象经过平移、对称变换得到，注意转化思想的应用．

3. 利用指数函数的单调性求参数的取值范围

例5． 如果752+->x x x a a （其中a>0，a≠1)，求x 的取值范围．

分析: 由指数函数的单调性进行解答，解答时要注意分a>1和0

解：(1)当a ＞1时，∵752+->x x x a a ，

∴x 2-5x>x+7，即x 2-6x-7>0.

解之得x<-1，或x>7.

(2)当0x x x a a ，∴ x 2-5x

综上x 的取值范围是：当a>1时,x ＜-1或x>7；当0＜a ＜1时，-1

点评: 本题在下结论时，容易取a>1和01和0

4. 建立指数函数模型解决实际应用问题

例6. 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．

（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）

（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）