高中数学 教学设计 建立概率模型

教学设计建立概率模型

教学分析

本节教科书通过例2的四种模型的所有可能结果数越来越少，调动起学生思考探究的兴趣；教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析和解决问题的能力．

三维目标

1．使学生能建立概率模型来解决简单的实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力．

2．通过学习建立概率模型，培养学生的应用能力．

重点难点

教学重点：建立古典概型．

教学难点：建立古典概型．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路 1.计算事件发生概率的大小时，要建立概率模型，把什么看成一个基本事件是人为规定的．今天我们学习如何建立概率模型，教师点出课题．思路2.解决实际应用问题时，要转化为数学问题来解决，即建立数学模型，这是高中数学的重点内容之一，也是高考的必考内容，同样解决概率问题也要建立概率模型，教师点出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

1．回顾解应用题的步骤？

2．什么样的概率属于古典概型？

讨论结果：1.解应用题的一般程序：

(1)读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础．

(2)建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关．

(3)解：求解数学模型，得到数学结论．一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程．

(4)答：将数学结论还原给实际问题的结果．

2．同时满足以下两个条件的概率属于古典概型：

(1)试验的所有基本事件只有有限个，每次试验只出现其中一个基本事件；

(2)每一次试验中，每个基本事件出现的可能性相等．

应用示例

思路1

例口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球．试计算第二个人摸到白球的概率．

分析：我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数．为此考虑用列举法列出所有可能结果．

解法一：用A 表示事件“第二个人摸到白球”．把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来(如图1)．

图1

树状图是进行列举的一种常用方法．从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此，这24种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型．在这24种结果中，第二个人摸到白球

的结果有12种，因此“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝1224＝12

，这与第一节的模拟结果是一致的．

还可以建立另外的模型来计算“第二个人摸到白球”的概率．如果建立的模型能使得试验的所有可能结果数变少，那么我们计算起来就更简便．

解法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们可以只考虑前两人摸球的情况．前两人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图2)．

图2

从上面的树状图可以看出，这个模型的所有可能结果数为12，因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此，这12种结果的出现是等可能的，这个模型也是古典概型．在上面12种结果中，第二个人摸到白球的结果有6种，因此“第

二个人摸到白球”的概率P (A )＝612＝12

. 这里，我们是根据事件“第二个人摸到白球”的特点，利用试验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，从而简化了模型．

还可以从另外一个角度来考虑这个问题．因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此，可以对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，这样建立的模型的所有可能结果数就会更少，由此得到另一种解法．

解法三：只考虑球的颜色，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图3)．

图3

试验的所有可能结果数为6，并且这6种结果的出现是等可能的，这个模型是古典概型．在这6种结果中，第二个人摸到白球的结果有3种，因此“第二个

人摸到白球”的概率P (A )＝36＝12

. 下面再给出一种更为简单的解法．

解法四：只考虑第二个人摸出的球的情况，他可能摸到这4个球中的任何一个，这4种结果出现的可能性是相同的．第二个人摸到白球的结果有2种，因此

“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝24＝12

. 点评：画树状图进行列举是计算结果个数的基本方法之一．

解法一利用树状图列出了4个人依次从袋中摸出一球的所有可能结果，共有24种，其中第二个人摸到白球的结果有12种，因此算得“第二个人摸到白球”

的概率为12

. 解法二利用试验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，所有可能结果减少为12种，简化了模型．

解法三只考虑球的颜色，对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，所有可能结果只有6种．

解法四只考虑第二个人摸出的球的情况，所有可能结果变为4种，这个模型最简单．

尽管解法二、三、四建立的模型在解决该问题时比解法一简便，但解法一也有它的优势，利用解法一可以计算出4个人顺次摸球的任何一个事件的概率，而解法二、三、四却不能做到．教师要提醒学生，本章古典概率的计算，解法一是最基本的方法．

对于一个实际问题，有时从不同的角度考虑，可以建立不同的古典概型来解决.

变式训练

小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子，当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分．这个游戏公平吗？

分析：计算双方获胜的概率，来判断游戏是否公平．

解：设(x，y)表示小明抛掷骰子点数是x，小刚抛掷骰子点数是y，则该概率属于古典概型．所有的基本事件是：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3), (4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3), (6,4)，(6,5)，(6,6)，

即有36种基本事件．

其中点数之和为奇数的基本事件有：

(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)．

即有18种．

所以小刚得1分的概率是18

36

＝

1

2

.

则小明得1分的概率是1－1

2

＝

1

2

.

则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平.

思路2

例在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )．

A.

3

10

B.

1

5

C.

1

10

D.

1

12

解析：用(x，y)(x≠y)表示从这5个球中随机取出2个小球上数字的结果，其结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，即共有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果有：(1,2)，

(1,5)，(2,4)，共有3种，所以取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为

3 10 .

答案：A

点评：求古典概型的概率的步骤：①利用枚举法计算基本事件的总数；②利用枚举法计算所求事件所含基本事件的个数；③代入古典概型的概率计算公式求得.

变式训练

1．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(

．分析：观察表格可得在497.5～501.5 g之间的食盐有：498,501,500,501,499

共5袋，则食盐质量在497.5～501.5 g之间的概率

5

20

＝0.25.

答案：0.25

2.某校要从高一、高二、高三共2 007名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先用分层抽样的方法从2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按简单随机抽样的方法进行，则每人入选的概率( )．

A.不全相等B．均不相等

C.都相等且为

50

2 007

D．都相等且为

1

40

分析：按分层抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于50

2 007

.

答案：C

知能训练

1．袋中有4个红球，5个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，________不是基本事件．( )．

A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球}

C．{正好2个白球} D．{至少一个红球}

解析：至少一个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以{至少一个红球}不是基本事件，其他事件都是基本事件．

答案：D

2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷10 000次，那么第9 999次出现正面朝上的概率是( )．

A.

1

9 999

B.

1

10 000

C.

9 999

10 000

D.

1

2

答案：D

3．有4条线段，长度分别为1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能够成一个三角形的概率是( )．

A.1

4

B.

1

3

C.

1

2

D.

2

5

答案：A

4．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为________．

解析：按简单随机抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等

于5

100，即

1

20

.

答案：

1 20

5．某小组有5名女生，3名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是________．

答案：1 8

6．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：

(1)事件A：取出的两球都是白球；

(2)事件B：取出一个是白球，另一个是红球．

分析：首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A的个

数和事件B的个数，运用公式求解即可．

解：设4个白球的编号为1,2,3,4，两个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的基本事件有：

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个．

(1)取出的全是白球的基本事件，共有6个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4), (2,3)，(2,4)，(3,4)，

故取出的两个球都是白球的概率为P(A)＝

6

15

＝

2

5

.

(2)取出一个是白球，而另一个为红球的基本事件，共有8个，即为(1,5)，(1,6), (2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，

故取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)＝

8 15

.

拓展提升

1．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P(m，n)的坐标，设圆Q 的方程为x2＋y2＝17.

(1)求点P在圆Q上的概率；

(2)求点P在圆Q外部的概率．

解：m的值的所有可能是1,2,3,4,5,6，

n的值的所有可能是1,2,3,4,5,6，

所以，点P(m，n)的所有可能情况有6×6＝36种，且每一种可能出现的可能性相等，本问题属古典概型问题．

(1)点P在圆Q上只有P(1,4)，P(4,1)两种情况，

根据古典概型公式，点P在圆Q上的概率为

2

36

＝

1

18

.

(2)点P在圆Q内的坐标是：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共有8个点，所以点P在圆Q外部的概率为

1－2＋8

36

＝

13

18

.

2．将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次，求以下事件的概率：

(1)3次正面向上；

(2)2次正面向上，1次反面向上．

解：(1)将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次的基本事件总数为8，又事件“3次正面向上”共有基本事件数为1，

设事件“3次正面向上”为A，

∴P(A)＝1 8 .

∴事件“3次正面向上”发生的概率为1

8 .

(2)又事件“2次正面向上，1次反面向上”共有基本事件数为3，设事件“2次正面向上，1次反面向上”为B，

∴P(B)＝3 8 .

∴事件“2次正面向上，一次反面向上”发生的概率为3 8 .

课堂小结

本节课学习了同一个古典概型的概率计算问题，可以建立不同的概率模型来解决．

作业

习题3—2 A组7,8.

设计感想

本节教学设计过程中，注重培养学生的应用能力，以及古典概型的计算方法．在实际教学过程中，教师要根据学生的实际，重点指导学生如何建立古典概型．

备课资料

不同背景的实际问题归为同一模型

对于一个实际问题，我们有时可以通过建立不同的模型来解决；另一方面，有很多不同的问题，我们还可以把它们归为同一个模型来解决．

复习题三的A组第7题的一般情形就是研究r个球随机放入n个盒子中的可能分布，这是一个很重要的概率模型．有许多实际问题，尽管它们的直观背景很不相同，但都可以抽象为r个球随机地分布于n个盒子中的模型．例如，6个盒子分别代表数字1,2,3,4,5,6，掷一粒骰子，若向上的点数为3，则这个结果对应于把一个球放入代表数字3的盒子中，因此，掷r粒骰子的可能结果就相当于把r个球随机地放入这6个盒子中(n＝6)；两个盒子分别代表正面朝上和反面朝上，掷一枚硬币，若出现正面朝上，则这个结果对应于把一个球放入代表正面朝上的盒子中，掷r枚硬币的可能结果就相当于把r个球随机地放入这两个盒子中(n＝2)；类似地，r个人的生日的可能情形相当于r个球随机地放入n＝365个盒子中的可能结果(假定一年是365天)；一部电梯，开始有r个乘客，它在n 层楼中的每一层都停，乘客走出电梯的各种可能情形相当于r个球随机地放入n 个盒子中的可能结果；等等．