2015年陕西省商洛市高一下学期期末数学试卷与解析答案
陕西省商洛市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含解析
事件A为：（3，4），（3，5)，（4,5)，
事件B为：（4，3），(5，3),
事件A与事件不能同时发生,但能同时不发生，
∴事件A与事件B是互斥但不对立事件．
故选：A．
【点睛】本题考查两个事件的关系的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
所以由题得不用现金支付的概率 。
故选：C.
【点睛】本题考查互斥事件的概率，属于基础题。
3。 现要完成下列3项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查;②从2000名学生中抽取100名进行课后阅读情况调查;③从某社区100户高收人家庭，270户中等收人家庭,80户低收人家庭中选出45户进行消费水平调查。较为合理的抽样方法是（ ）
【分析】
先用 表示 ，再用 表示 ，即可得到答案.
【详解】
，
所以 .
故答案为: .
【点睛】本题主要考查向量的分解、线性运算.
15。 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
用诱导公式、降次公式、两角和与差的正余弦公式化简求值，得到答案.
【详解】原式 。
故答案为： 。
【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值,诱导公式转化角,两角和与差公式，二倍角公式，属于中档题.
【详解】由题可知, ，
则 ， ，
所以 ，
故选:D。
【点睛】本题主要考查了两角和的余弦以及二倍角公式的应用，通过恒成立求出 是解题的关键，属于中档题。
10. 计算 ，执行如图所示的程序根图，若输入的 ，则图中①②应分别填入（ ）
A. ， B. ，
C。 ， D. ，
【答案】C
2021-2022学年陕西省商洛市高一下学期期末数学(理)试题【含答案】
2021-2022学年陕西省商洛市高一下学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知等差数列中首项，公差，则（ ）{}n a 12a =2d =5a=A ．4B ．6C ．8D ．10D【分析】由等差数列通项公式直接求解即可.【详解】因为等差数列的首项，公差，{}n a 12a =2d =所以.51(51)24210a a d =+-=+⨯=故选：D.2．不等式的解集为2601x x x ---＞A ．B ．{}|2,3x x x -＜或＞{}|213x x x -＜，或＜＜C ．D ．{}|213x x x ＜＜，或＞-{}|2113x x x -＜＜，或＜＜C【详解】试题分析：因为 2601x x x ---即，利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C ．分式不等式的解法.3．若点、、在同一直线上，则（ ）()1,3A --()2,B a ()3,1C =a A ．B ．C ．D ．0121-A【分析】利用结合斜率公式可求得实数的值.AB AC k k =a 【详解】因为、、在同一直线上，则，即，()1,3A --()2,B a ()3,1C ABAC k k =3132131a ++=++解得.0a =故选：A.4．已知直线：和直线：互相垂直，则实数1l ()110a x y -+-=2l ()110x a y +-+=的值为（ ）aA ．－1B ．1C ．0D ．2B【分析】利用两直线垂直的充要条件即得.【详解】∵直线：和直线：互相垂直，1l ()110a x y -+-=2l ()110x a y +-+=∴，即.()()11110a a -⨯+⨯-=1a =故选：B.5．使平面α∥平面β的一个条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，，a ∥βa α⊆C ．存在两条平行直线a ，b ，，，a ∥β，b ∥αa α⊆b β⊆D ．α内存在两条相交直线a ，b 分别平行于β内的两条直线D【详解】由题意知，中的条件都不一定使，反例分别为图①②③(图中,,A B C //αβ；D 正确，因为，又相交，从而，故选D.//,//a l b l //,//a b ββ,a b //αβ6．在等比数列中，，，则等于（ ）．{}n a 1232a a a ++=4564a a a ++=101112a a a ++A ．32B ．16C ．12D ．8B【分析】利用等比数列的性质求解．【详解】∵是等比数列，，{}n a 1232a a a ++=∴，，，仍成等比数列，123a a a ++456a a a ++789a a a ++101112a a a ++由已知，∴．4561232a a a a a a ++=++31011122216a a a ++=⨯=故选：B ．本题考查等比数列的性质．掌握等比数列片断和的性质是解题关键．7．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为18π（ ）AB ．2C ．3D ．C【分析】利用圆台的侧面积公式，列出关于母线长的方程，求解即可．【详解】解：设圆台的母线长为，上、下底面半径分别为，，则，l r R ()12l r R =+因为圆台的侧面积是，18π所以，218()2r R l l πππ=+=解得，所以．29l =3l =故选：C ．8．在中，角A ，B ，C的对边为a ，b ，c ，若，则角ABC 3,60a b B ===︒（ ）A =A ．B ．45︒135︒C ．或D ．或45︒135︒60︒120︒A【分析】直接由正弦定理计算可得；【详解】解：因为，，a =3b =60B =︒由正弦定理，即sin sin a b A B ==sin A 因为，所以或，0180A <<︒︒45A =︒135A =︒又，所以，所以.b a >B A >45A =︒故选：A9．若变量满足约束条件，,x y 2{11y x x y y ≤+≤≥-2x y +则的最大值是A ．B ．C ．D ．5-25352C【详解】试题分析：作出表示的平面区域如图所示：2{11y x x y y ≤+≤≥-由图可知，直线过点时，取最大值.2z x y =+2z x y =+线性规划.10．直线被圆截得的弦长为（ ）y kx =222x y +=A ．B ．2C D ．与k 的取值有关A【分析】先判定直线和圆的位置关系，然后求出弦长【详解】由于圆的圆心在直线上，222x y +=y kx =所以截得弦为圆的直径，222x y +=故选：A11．如下图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．22383163113A【分析】先把三视图还原，再求几何体的体积.【详解】把三视图还原后得到的几何体为正方体切去一个三棱锥，如图所示：D ABC -其体积为.1122222122323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=故选：A12．对于，有如下①若，则为等腰三角形；②若ABC sin 2sin 2A B =ABC ，则为直角三角形；③若，则为钝sin cos A B =ABC 222sin sin cos 1A B C ++<ABC 角三角形．其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．③D ．②③C【分析】对于①，由可得为等腰三角形或直角三角形, 故错误；sin 2sin 2A B =ABC 对于②，取特殊角验证即可；对于③，由可得，，即，再222sin sin cos 1A B C ++<222sin sin sin A B C +<222a b c +<由余弦定理判断<0即可判断．cos C 【详解】解:对于①，由可得或，所以或sin 2sin 2A B =22A B =22πA B +=A B =，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；π2A B +=ABC 对于②，取，满足，但不是直角三角形，故错误；120,30A B =︒=︒sin cos A B =ABC 对于③，由可得，，所以222sin sin cos 1A B C ++<2222sin sin 1cos sin A B C C +<-=，222a b c +<即，所以，所以，所以为钝角三2220a b c +-<222cos 02a b c C ab +-=<π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABC 角形，故正确.故选：C.二、填空题13．不等式的解集是________．2280x x +-≤[4,2]-【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】解：因为，即，2280x x +-≤()()420x x +-≤解得，所以原不等式的解集为；42x -≤≤[]4,2-故[]4,2-14．在中，，则________．ABC 1,1,120a b C ===︒c =【分析】由余弦定理直接计算即可.【详解】在中，由余弦定理得，ABC 2222212cos 11211()32c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=所以c =故答案为15．已知正数x 、y 满足，则的最小值是___________811x y +=2x y +18【详解】试题分析：()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭均值不等式求最值16．词语“鳖膈”等出现自我国数学名著《九章算术·商功》，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖膳”，如图，三棱锥是一个鳖，其中A BCD -，三棱锥的接球的表面积为12，，则三,,AB CD AB BC BC CD ⊥⊥⊥A BCD -2AB =棱锥的体积的最大值为__________．A BCD -43【分析】先求出三棱锥的外接球的半径为再证明为三棱锥A BCD -R =AD的外接球的直径，由题意得到，利用基本不等式得到A BCD -228BC CD +=，即可求出三棱锥的体积的最大值.4BC CD ⋅ A BCD -【详解】由题意，三棱锥的外接球的表面积为，即，则三棱A BCD -12π2412R ππ=锥的外接球的半径为A BCD -R =因为,所以面BCD ，所以 BD.,,AB CD AB BC BC CD C ⊥⊥= AB ⊥AB ⊥同理可证.AC CD⊥所以为三棱锥的外接球的直径.所以AD A BCD -AD =2228AB AD BC CD ===∴+=∵，，当且仅当时等号成立，22C 2,4B CD BC CD BC CD +⋅∴⋅ 2BC CD ==所以三棱锥的体积的最大值为A BCD -1132BC ⨯⨯⨯43CD AB ⨯=故43三、解答题17．已知是等比数列，是等差数列，且．{}n a {}n b 11141331,9,a b a a b b a ==+=+=(1)求与的通项公式；{}n a {}n b (2)记数列的前n 项和为，求．{}n n a b +nTn T (1)12,n n n a b n -==(2)， .22122n n n nT =++-*N n ∈【分析】(1)设公差为,公比为,再根据题中条件列方程求解即可.{}n b d {}n a q (2)分组求和,分别求等差等比数列的前项和即可.n 【详解】(1)设公差为,公比为，由题意得 {}n b d {}n a q 314119a a a a q +=+=因为，所以 ，所以 ，.11a =38q =2q =()1*2n n a n -∴=∈N 又 ， ，因为 ，所以 ，1334b b a +==1124b b d ∴++=11b =1d =()n b n n ∴=∈*N 故与的通项公式为，{}n a {}n b ()1*2n n a n -=∈N ()n b nn =∈*N (2)由(1)知： .12n n n a b n -+=+故()()11122...12...122n n n n T a b a b a b n -=++++++=+++++++()()211212121222n n n n n n -+=+=++--故()2*21N 22n n n nT n =++-∈，18．如图，四棱柱的底面为菱形，底面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥ABCD ，，，分别为的中点．120BAD ∠=︒2AB =E F 1,CD AA(1)求证：平面；//DF 1B AE (2)求证：平面平面．1B AE ⊥11A B BA (1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）取的中点，易得是平行四边形，则有，再由线面1AB G GEDF //DF EG 平行的判定即可证结论.（2）连接，由已知可得，根据线面垂直的性质有，最后利用AC AE AB ⊥1AA AE ⊥线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证结论.【详解】(1)取的中点，连接又，分别为的中点，1AB G ,,FG GE E F 1,CD AA所以，，，，即，，1112FG A B =11//FG A B 1112DE A B =11//DE A BFG DE =//FG DE所以四边形是平行四边形，即，又平面，平面，GEDF //DF EG DF ⊄1B AE EG ⊂1B AE所以平面．//DF 1B AE (2)连接，在菱形中，则．AC ABCD 120BAD ∠=︒60ADC ∠=︒所以△是等边三角形，故，即．ACD AE CD ⊥AE AB ⊥又面，而面，1AA ⊥ABCD AE ⊂ABCD 所以，又，面，1AA AE ⊥1AB AA A ⋂=1,AB AA ⊂11A B BA 所以平面，面，AE ⊥11A B BA AE ⊂1B AE 所以平面平面．1B AE ⊥11A B BA19．已知分别为三个内角的对边，，.,,a b c ABC ∆,,A B C 2sin cos b B b A =+4c =（1）求；A（2）若是的中点，的面积.D BC AD =ABC ∆(1);(2) 3A π=【详解】试题分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的边的关系化为角的关系，约去可得的三角sin B A 函数式，上两角和的正弦公式化简后可求得；A （2）已知为中点，因此设，在应用余弦定理得出的一个D BC BD DC x ==ABC ∆,x b 方程，在和中利用，即分ABD ∆CDA ∆180ADB ADC ∠+∠=︒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=别应用余弦定理把这两个余弦用表示又得一个方程，联立后可解得，选用公式,b x ,b x 可求得面积．1sin 2bc A 试题解析：（1）由可得，2sin cos b B b A =+2cos A A =+即有，sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，0A π<<∴，7666A πππ<+<∴，62A ππ+=∴.3A π=（2）设，则，BD CD x ==2BC x =由，()221621cos 82b x A b+-==可推出 ①，224416x b b =-+因为，所以，180ADB ADC ∠=-∠cos cos 0ADB ADC ∠+∠=可推出 ②，0=2222x b =+联立①②得，故，24120b b +-=2b =因此11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=20．如图，是直角斜边上一点，.D ABCBC AC =（1）若，求角的大小；30DAC ∠=︒B （2）若，且的长.2BD DC ==AD DC （1）；（2）3.60B ∠=︒【分析】（1）利用正弦定理求出的值，进而求出的度数，即可求出sin ADC ∠ADC ∠的度数；B Ð（2）设，表示出，，以及，利用同角三角函数间的基本关系及余DC x =BD BC AC 弦定理求出的值，确定出的长即可.x DC 【详解】解：（1）在中，由正弦定理得：，ABC sin sin DC ACDAC ADC =∠∠由题意得：，sin ADC DAC ∠=∠=∵，6060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+︒>︒∴，120ADC =∠︒∴；60B ∠=︒（2）设，则，，，DC x =2BD x =3BC x=AC =在中，，，Rt ABCsin AC B BC ==AB =∴cos B 在中，由余弦定理得：ABD △(2226422x x x =+-⨯解得：，3x =则.3DC =本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．21．等差数列的前n 项和为，且，，数列满足{}n a n S 24a =530S ={}n b 122n nb b nb a ++⋯+=Ⅰ求；()n a Ⅱ设，求数列的前n 项和．()1n n n c b b +=⋅{}n c n T （1）；（2）.()2122,n a n n n N *=+-⨯=∈41n nc n =+【详解】试题分析：（1）利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出；n （2）利用递推关系与裂项求和即可得出前项和.n n T 试题解析：（1）设等差数列的公差为，由,{}n a d 254,30a S ==得,解得,114{545302a d a d +=⨯+=12,2a d ==所以 .()2122,n a n n n N *=+-⨯=∈（2）由（1）得,, ① 所以时,122...2n b b nb n +++=2n ≥, ②()()1212...121n b b n b n -+++-=-①-②得, 又 也符合式 ,所以,()22,.n n nb b n ==*112b a ==()*2,n b n N n *=∈所以,()1411·411n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭所以.111111441...41223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭1.数列求和；2.等差数列的通项公式.22．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，设圆的半径为，圆心xOy O ()0,3A C 1在直线上.(),C a b :24=-l y x (1)若圆心也在直线上，求圆的方程；C 5y x =-+C (2)在（1）的条件下，过点A 作圆的切线，求切线的方程；(3)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.C M MA MO =C a (1)22(3)(2)1x y -+-=(2)或3y =34120x y +-=(3)913[,]44【分析】（1）联立直线与直线，求出方程组的解得到圆心坐标，可得圆l 5y x =-+C 的方程；（2）根据坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列C A 出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出切线方程即可；（3）设，k k (,)M x y 由，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点的轨迹为以2MA MO =M 为圆心，2为半径的圆，可记为圆，由在圆上，得到圆与圆相交或(0,1)-D M C C D 相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围．a 【详解】(1)（1）由得圆心为，243,25b a a b b a =-⎧⇒==⎨=-+⎩C (3,2)圆的半径为1，圆的方程为： C ∴C 22(3)(2)1x y -+-=(2)由题意知切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即C 3y kx =+30kx y -+=1=∴|31|2(43)0k k k +=+=或者0k ∴=34k =-所求圆的切线方程为：或者∴C 3y =334y x =-+即或者3y =34120x y +-=(3)设为M (,)x y 整理得直线3:2m y =点应该既在圆上又在直线上，即：圆和直线有公共点∴M C m C m 又，∴3|24|12a -- ∴91344a 终上所述，的取值范围为：a 913[,44。
商洛市2015——2016学年第一学期期末高中教学质量测试试题高一数学试题
商洛市2015-2016学年度第一学期期末教学质量测试试题高一数学镇安中学 陈怀茂 考生须知：1、本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2、答题前请考生务必将答题纸上装订线内的项目填写清楚。
3、考生用0.5mm 黑色签字笔将答案写在答题纸上，在草纸和试题卷上作答无效，考生考试结束时只交答题纸。
4、答题要书写工整，笔迹清晰，保持答题纸清洁，不折叠。
第I 卷 选择题（共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分）1、设集合A={x ｜0<x <2}，B=｛x ｜x-1≥0｝，则A ∩B= （ ）A.（0，1）B.（0，1]C. (1，2)D.[1，2）2、函数)1lg(1)(x x x f ++-=的定义域是 （ ）A.（-1，1）B.[-1，1]C.[-1,1)D.(-1，1]3、直线l 1:ax+2y+1=0和直线l 2:6x+2(a+1)y+3=0，若l 1//l 2，则a 的值是 （ ）A.2B.-3C.2或-3D.-2或34、已知直线m 和直线n 是异面直线，直线l 平行直线m ，则直线l 和直线n 的关系是（ ）A.异面B.一定相交C.不可能平行D.不可能相交5、设函数⎪⎩⎪⎨⎧+=xx x f 51)(2 11>≤x x 若f(a)=5，则a 的值为 （ ） A.±2 B. ±2或1 C.-2 D.26、直线)(1R k kx y ∈+=与圆122=+y x 的位置关系是（ ）A.相交B.相交或相切C.相切D.相离7、用若干个相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体个数是（ ）A.5个B.6个C.7个D.8个8、设5.054,2log ,3ln -===C b a ，则a 、b 、c）A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a9、已知A(-3,4,0),B(2,-1,5)，点P 在z 轴上，且|PA|=|PB|，则点P 的坐标为（ ）A.(0,0,21)B. (0,0,31)C. (0,0,41) D.(0，0，1) 10、若圆C ：034222=+-++y x y x 关于直线2ax-by-4=0对称,则22b a +的最小值是A.2B.1C.2D.311、方程01|log |2=-+x x 的解的个数为（ ）A.0B.1C.2D.312、定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在（0，2）上是单调递增的，且f(2m+3)>-f(m)，则m 的取值范围是 A.]21,2(-- B. ]21,1(-- C. ),1(+∞- D. )1,2(-- 第Ⅱ卷二、填空题（把答案填写在答题纸相应的题号后的横线上，共4小题，每题5分，共20分）13、计算：=⋅--⋅+8log 5log 01.0)412(2)532(525.0210 左视图14、一个圆锥的侧面展开图恰为一个圆心角为90°的扇形，若其面积为2cm π，则此圆锥的体积是15、已知圆25:22=+y x O ，过点)3,4(-M 的圆O 的切线l 1与直线l 2:ax+3y+2a=0垂直，则a=16、下列说法中：①若f(x)为奇函数，则f(x)的图像一定经过原点。
西安市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学试卷 Word版含解析
陕西省西安市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48B.24C.12D.6【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则=A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m 的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是.【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b= (),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得 m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距 m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为.【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，,于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。
2015年陕西高考数学(理科)试题与答案
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .）1. 1.设集合M { x | x2x} ，N{ x | lg x0}，则 M N（）A ．[0,1]B．(0,1]C．[0,1) D ．(,1]【答案】 A试题分析：x x 2x0,1，x lg x 0x 0x 1 ，所以0,1，故选．A考点： 1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【分析及点评】本题主要考察了集合的表示及其相关运算，并结合一元二次方程以及对数运算，属于基础题型，难度不大。
2.某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．167B．137C．123D．93【答案】 B考点：扇形图．【分析及点评】本题主要考察了统计以及统计图表的相关知识，难度系数很小，属于基础题型。
3. 如图，某港口一天6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin( x) k ，据此函数6可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A ．5B．6C．8D．10【答案】 C试题分析：由图象知：y min 2 ，因为y min3k ，所以3 k2 ，解得：k5 ，所以这段时间水深的最大值是y max 3 k358 ，故选C．考点：三角函数的图象与性质．【分析及点评】本题重在转化，将实际问题转化成三角函数问题，对三角函数的图像、性质有较高要求，但作为基础题型，难度不大。
4. 二项式(x 1)n(n N ) 的展开式中x2的系数为15，则n（）A ．4B ．5C．6 D ．7【答案】 C考点：二项式定理．【分析及点评】本题主要考察了学生对二项式定理的理解，以及二项式系数的计算，难度不大，属于基础题型。
5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．3B ．4C．24D．34【答案】 D试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为 2 ，所以该几何体的表面积是121 1 2 2 2 34，故选 D．2考点： 1、三视图；2、空间几何体的表面积．【分析及点评】三视图以及体积、面积求值几乎每年必考，今年也不例外，题目设置与往年没有改变，难度不大，变化也不大。
陕西省渭南市澄城县2015-2016学年高一下学期期末数学试卷 含解析
2015—2016学年陕西省渭南市澄城县高一（下）期末数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题4分，共48分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．下列角中终边与330°相同的角是（)A．30°B．﹣30°C．630°D．﹣630°2．下列命题中的真命题是（)A．三角形的内角必是第一象限或第二象限的角B．钝角是第二象限的角C．终边相同的角必相等D．第一象限的角是正角3．已知向量=（3,4），=（sinα，cosα），且,则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣4．下列说法正确的是（)A．长度相等的向量叫做相等向量B．共线向量是在同一条直线上的向量C．零向量的长度等于0D．∥就是所在的直线平行于所在的直线5．已知向量=(3，4），则与方向相同的单位向量是（）A．（，）B．（，) C．（﹣﹣，）D．（4,3）6．函数的定义域是（）A．。
B．.C．。
D．.7．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（)A．4 B．2 C．8 D．18．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C),则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形9．若α的终边过点P（2sin30°，﹣2cos30°）,则sinα的值为(）A．B．﹣C．﹣D．﹣10．已知,则等于（）A．B．7 C． D．﹣711．设D为△ABC所在平面内一点，=3，则(）A．=﹣+ B．=﹣C．=+D．=+12．函数f（x）=Asin(ωx+φ）+b的图象如图,则f（x）的解析式和S=f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f的值分别为（）A．f（x）=sin x+1,S=2016 B．f（x）=cos x+1,S=2016C．f(x)=sin x+1，S=2016。
5 D．f（x)=cos x+1，S=2016.5二、填空题:本大题共4题，每小题6分，共24分13．已知，则cos（α﹣β）=．14．已知向量⊥，｜|=3，则•=．15．已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合终边在直线3x﹣y=0上，则=．16．关于平面向量，,，有下列三个命题：①若•=•，则=；②若｜•｜=｜｜•|｜,则∥；③=（﹣1，1）在=（3,4）方向上的投影为；④非零向量和满足｜|=||=|﹣|，则与+的夹角为60°．其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共5小题,共48分。
2015陕西高考数学(理科)试题解析版
2015·陕西卷(理数)1．A1[2015·陕西卷] 设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0，1] B ．(0，1] C ．[0，1) D ．(－∞，1]1．A [解析] 由题得集合M ＝{0，1}，N ＝(0，1]，所以M ∪N ＝[0，1]． 2．I5[2015·陕西卷] 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图1-1所示，则该校女教师的人数为( )图1-1A ．93B ．123C ．137D ．1672．C [解析] 女教师的人数是110×70%＋150×40%＝137. 3．C4[2015·陕西卷] 如图1-2，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1-2A ．5B ．6C ．8D ．103．C [解析] 据图可知，－3＋k ＝2，得k ＝5，所以y max ＝3＋5＝8. 4．J3[2015·陕西卷] 二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．44．B [解析] 根据二项展开式的通项公式可得x 2的系数为C n －2n ＝C 2n＝n （n －1）2＝15，解得n ＝6.5．G2[2015·陕西卷] 一个几何体的三视图如图1-3所示，则该几何体的表面积为( )图1-3A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4 5．D [解析] 该几何体是底面半径为1、母线长为2的圆柱被其轴截面截开的半个圆柱，其表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4.6．A2、C6[2015·陕西卷] “sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．A [解析] sin α＝cos α时，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0，反之cos 2α＝0时，sin α＝±cos α，故“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．7．F3[2015·陕西卷] 对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b|≤|a||b| B ．|a －b|≤||a|－|b|| C ．(a ＋b )2＝|a ＋b|2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 27．B [解析] 根据数量积的定义a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉，所以|a·b|＝||a||b|cos 〈a ，b 〉|≤|a||b |，选项A 中的关系式一定成立；如果选项B 中的关系式成立，则|a －b|2≤||a|－|b||2，可得a·b ≥|a||b|，此式只在a ，b 共线且同向时成立；根据向量的运算法则可知选项C ，D 中的关系式是恒成立的．8．L1[2015·陕西卷] 根据下面框图1-4，当输入x 为2006时，输出的y ＝( )图1-4A ．2B ．4C ．10D ．288．C [解析] 输入x 值后循环结构的功能是把输入值逐次减去2.由于2006为偶数，所以最后一次执行循环体后x ＝－2，故输出的y ＝32＋1＝10.9．B7、E6[2015·陕西卷] 设f (x )＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q9．B [解析] r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln(ab )＝ln ab ＝p .因为b >a >0，所以a ＋b 2>ab ，又函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以q >p ＝r ，故选B.10．E5[2015·陕西卷] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元10．D [解析] 设该企业每天生产甲种产品x 吨、乙种产品y 吨，则x ，y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0， 利润z ＝3x ＋4y .约束条件表示的平面区域是以(0，0)，(4，0)，(2，3)，(0，4)为顶点的四边形及其内部，把各点坐标代入目标函数检验可知，目标函数在点(2，3)处取得最大值3×2＋4×3＝18，即该企业每天的最大利润为18万元．11．K3、L4[2015·陕西卷] 设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π D.14－12π11．D [解析] 由|z |≤1得(x －1)2＋y 2≤1，其表示圆心为(1，0)，半径为1的圆及其内部．在此区域内y ≥x 表示的区域为图中的阴影部分，其面积为圆(x －1)2＋y 2＝1面积的四分之一减去一个等腰直角三角形的面积，即π4－12，故y ≥x 的概率为π4－12π＝14－12π.12．B5[2015·陕西卷] 对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上12．A [解析] 若前三个选项中的结论正确，则a －b ＋c ＝0，－b2a＝1，a ＋b ＋c ＝3，解得a ＝－34，与a 为非零整数矛盾，故错误的结论一定在前三个选项，选项D 中的结论一定正确；若选项A ，B 正确，则有a －b ＋c ＝0，－b 2a ＝1，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝－83，与a为非零整数矛盾，故错误结论一定在选项A ，B 中，即选项C ，D 的结论正确；若选项A 正确，则a －b ＋c ＝0，4ac －b 24a ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，整理得a 无实数解，与a 为非零整数矛盾，故错误的只能是选项A 中的结论．13．D2[2015·陕西卷] 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．13．5 [解析] 设首项为a 1，则a 1＋2015＝2×1010，解得a 1＝5. 14．H6、H7[2015·陕西卷] 若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________．14．22 [解析] 双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p2＝－2，故p ＝2 2.15．B12、H2[2015·陕西卷] 设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．15．(1，1) [解析] 对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．16．B10、B13[2015·陕西卷] 如图1-5，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．图1-516．1.2 [解析] 以梯形的底边为x 轴，底边的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，根据已知点(5，2)在该抛物线上，代入抛物线方程得a ＝225，即抛物线方程为y ＝225x 2，故抛物线与直线y ＝2所围成的图形的面积为2⎠⎛052－225x 2d x ＝⎪⎪22x －275x 350＝403，梯形的面积为10＋62×2＝16.最大流量之比等于其截面面积之比，故比值为16403＝4840＝1.2.17．C8[2015·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．17．解：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3， 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)方法一：由余弦定理得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.方法二：由正弦定理得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217， 又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin B ＋π3＝ sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.18．G5、G10、G11[2015·陕西卷] 如图1-6(1)所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE折起到△A 1BE 的位置，如图1-6(2)所示．(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．图1-618．解：(1)证明：在图(1)中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点， ∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，BE ∥CD .即在图(2)中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，又OA 1∩OC ＝O ，OA 1⊂平面A 1OC ，OC ⊂平面A 1OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC . 又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1BE C 的平面角， 所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ， 所以B22，0，0，E －22，0，0，A 10，0，22，C 0，22，0， 得BC →＝－22，22，0，A 1C →＝0，22，－22，CD →＝BE →＝(－2，0，0)．设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1，1，1)；⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63， 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63. 19．K5、K6、K8[2015·陕西卷] 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T 的分布列与数学期望ET ；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．19．解：(1)由统计结果可得T 的频率分布为以频率估计概率得从而ET ＝25×0.2＋30(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同． 设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0．4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09. 故P (A )＝1－P (A )＝0.91.20．H5、H8[2015·陕西卷] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图1-7，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．图1-720．解：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)方法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝ 52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 方法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝ 52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 21．B9、B12、D2、D3[2015·陕西卷] 设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x >0，n ∈N ，n ≥2.(1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在12，1内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12＋12x n ＋1n； (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和g n (x )的大小，并加以证明．21．解：(1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －2，则F n (1)＝n －1>0，F n 12＝1＋12＋122＋…＋12n －2＝1－12n ＋11－12－2＝－12n <0， 所以F n (x )在12，1内至少存在一个零点． 又F n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1>0，故F n (x )在12，1内单调递增， 所以F n (x )在12，1内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0，即1－x n ＋1n 1－x n －2＝0，故x n ＝12＋12x n ＋1n . (2)方法一：由题设，g n (x )＝（n ＋1）（1＋x n ）2. 设h (x )＝f n (x )－g n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －（n ＋1）（1＋x n ）2，x >0. 当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )．当x ≠1时，h ′(x )＝1＋2x ＋…＋nxn －1－n （n ＋1）x n －12. 若0<x <1，h ′(x )>x n －1＋2x n －1＋…＋nx n －1－n （n ＋1）2x n －1＝n （n ＋1）2x n －1－n （n ＋1）2x n －1＝0.若x >1，h ′(x )<x n －1＋2x n －1＋…＋nx n －1－n （n ＋1）2x n －1＝n （n ＋1）2x n －1－n （n ＋1）2x n －1＝0.所以h (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以h (x )<h (1)＝0，即f n (x )<g n (x )．综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )<g n (x )．方法二：由题设，f n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n ，g n (x )＝（n ＋1）（x n ＋1）2，x >0. 当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )．当x ≠1时，用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x )．①当n ＝2时，f 2(x )－g 2(x )＝－12(1－x )2<0，所以f 2(x )<g 2(x )成立． ②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即f k (x )<g k (x )．那么，当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x )＝f k (x )＋x k ＋1<g k (x )＋x k ＋1＝（k ＋1）（1＋x k ）2＋x k ＋1＝2x k ＋1＋（k ＋1）x k ＋k ＋12. 又g k ＋1(x )－2x k ＋1＋（k ＋1）x k ＋k ＋12＝ kx k ＋1－（k ＋1）x k ＋12，令h k (x )＝kx k ＋1－(k ＋1)x k ＋1(x >0)，则h k ′(x )＝k (k ＋1)x k －k (k ＋1)x k －1＝k (k ＋1)x k －1(x －1)．所以当0<x <1时，h k ′(x )<0，h k (x )在(0，1)上递减；当x >1时，h k ′(x )>0，h k (x )在(1，＋∞)上递增．所以h k (x )>h k (1)＝0，从而g k ＋1(x )>2x k ＋1＋（k ＋1）x k ＋k ＋12. 故f k ＋1(x )<g k ＋1(x )，即n ＝k ＋1时不等式也成立．由①和②知，当x ≠1时，对一切n ≥2，n ∈N ，都有f n (x )<g n (x )．综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )<g n (x )．方法三：由已知，记等差数列为{a k }，等比数列为{b k }，k ＝1，2，…，n ＋1. 则a 1＝b 1＝1，a n ＋1＝b n ＋1＝x n ，所以a k ＝1＋(k －1)·x n －1n(2≤k ≤n )， b k ＝x k －1(2≤k ≤n )，令m k (x )＝a k －b k ＝1＋（k －1）（x n －1）n－x k －1，x >0(2≤k ≤n )， 当x ＝1时，a k ＝b k ，所以f n (x )＝g n (x )．当x ≠1时，m k ′(x )＝k －1n·nx n －1－(k －1)x k －2＝ (k －1)x k －2(x n －k ＋1－1)．而2≤k ≤n ，所以k －1>0，n －k ＋1≥1.若0<x <1，则x n －k ＋1<1，m k ′(x )<0；若x >1，x n －k ＋1>1，则m k ′(x )>0，从而m k (x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以m k (x )>m k (1)＝0，所以当x >0且x ≠1时，a k >b k (2≤k ≤n )，又a 1＝b 1，a n ＋1＝b n ＋1，故f n (x )<g n (x )．综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )<g n (x )．22．N1[2015·陕西卷] 选修4-1：几何证明选讲如图1-8，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．图1-822．N3解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°，又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED .又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3，又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6， 故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.23．N4[2015·陕西卷] 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．23．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以⊙C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P 3＋12t ，32t ，又C (0，3)， 则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3，0)．24．[2015·陕西卷] 选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．24．解：(1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋ t ＝3·4－t ＋t ≤ [（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋ t )max ＝4.。
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2014-2015学年陕西省商洛市高一（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．） 1．（5分）已知点P（sinα，tanα）在第二象限，则角α在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名．现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（5分）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）
A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92 4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16 5．（5分）下列说法： ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位； ③线性回归方程y=bx+a必过点； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系． 其中错误的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（5分）函数是（ ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 7．（5分）向边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形的内切圆的概率是（ ） A． B． C． D． 8．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A．“至少有一个红球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是黑球” C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球” D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球” 9．（5分）已知向量，，向量满足，，
则等于（ ） A．（1，0） B．（2，1） C．（0，﹣1） D． 10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ϕ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位 11．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（ ） A． B． C． D． 12．（5分）已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=（ ） A． B． C． D．或
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）圆的半径为6cm，则圆心角为15°的圆弧与半径围成的扇形的面积为 cm2． 14．（5分）同时抛掷两枚正方体骰子，所得点数之和为7的概率是 ． 15．（5分）已知，则向量与向量的夹角是 ． 16．（5分）关于函数f（x）=4sin（x∈R），有下列命题： ①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍； ②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos；
③y=f（x）的图象关于点对称； ④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称． 其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题（本大题6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）第17题图 17．（10分）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12． （1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ （2）规定次数在110以上（含110次）为达标，该校高一共有1050名学生，试估计该学校全体高一学生达标的人数有多少？ 18．（12分）已知f（α）=． （1）化简f（α）； （2）已知角α为锐角，，求f（α）的值．
19．（12分）已知向量，． （1）求||的最大值； （2）当与共线时，求2cos2x﹣sin2x的值． 20．（12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A、B两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分为：5，8，9，9，9；B班5名学生得分为：6，7，8，9，10． （Ⅰ）请你估计A、B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些； （Ⅱ）如果把B班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率． 21．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所
示，该图象与y轴交于点，与x轴交于点B，C，M为最高点，且△MBC的面积为π． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若，求的值．
22．（12分）设函数f（x）=，其中向量，，，x∈R （1）求函数f（x）的单调减区间； （2）当时，方程f（x）+m﹣2=0有且仅有一个根，求实数m的 取值范围． 2014-2015学年陕西省商洛市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．） 1．（5分）已知点P（sinα，tanα）在第二象限，则角α在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】点P（sinα，tanα）在第二象限，得到，即可得出． 【解答】解：∵点P（sinα，tanα）在第二象限， ∴， ∴α在第三象限． 故选：C．
2．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名．现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数． 【解答】解：∵高一年级有50名， 在高一年级的学生中抽取了10名， 故每个个体被抽到的概率是= ∵高二年级有30名， ∴要抽取30×=6， 故选：A．
3．（5分）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ） A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92 【分析】根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果． 【解答】解：由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96， 所以其中位数为=91.5，
平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5， 故选：A．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16 【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：第1次判断后S=1，k=1， 第2次判断后S=2，k=2， 第3次判断后S=8，k=3， 第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8． 故选：C．
5．（5分）下列说法： ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位； ③线性回归方程y=bx+a必过点； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系． 其中错误的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；一个回归方程 y=3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位；线性回归方程必过样本中心点．曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系，得到结果． 【解答】解：方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；故①正确； 一个回归方程 y=3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位；故②不正确； 线性回归方程，y=bx+a必过样本中心点，故③正确； 曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系，故④不正确 综上，其中错误的个数是2个， 故选：B．
6．（5分）函数是（ ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 【分析】函数解析式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，求出函数的最小正周期，根据正弦函数为奇函数，即可得到正确的选项． 【解答】解：y=﹣sin2xcos2x=﹣sin4x， ∵ω=4，∴T==， 又正弦函数为奇函数， 则函数为周期是的奇函数． 故选：C． 7．（5分）向边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形的内切圆的概率是（ ） A． B． C． D． 【分析】由题意，本题是几何概型的考查，只要利用面积比可求概率． 【解答】解：由题意，正方形的面积为4，其内切圆的面积为π，由几何概型的概率公式得到豆子落在正方形的内切圆的概率是：； 故选：D．
8．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A．“至少有一个红球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是黑球” C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球” D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球” 【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可 【解答】解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确 对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确 对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确 对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件， 又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球， 得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件， ∴D正确 故选：D．
9．（5分）已知向量，，向量满足，，