2018届二轮 圆锥曲线中的定点定值与存在性问题 专题卷(全国通用)5
[推荐学习]2018年高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题课时规范练理
![[推荐学习]2018年高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题课时规范练理](https://img.taocdn.com/s3/m/fa8e1920844769eae009ed8f.png)
第3讲 圆锥曲线的综合问题一、选择题1．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A ．－2B ．1C ．2D ．4解析：设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，因为－2≤x ≤2，所以－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→·PF 2→的最大值是1.答案：B2．(2017·衡水中学质检)已知椭圆x 225＋y 216＝1内有两点A (1，3)，B (3，0)，P 为椭圆上一点，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．15解析：在椭圆中，由a ＝5，b ＝4，得c ＝3，故焦点为(－3，0)和 (3，0)，点B 是右焦点，记左焦点为C (－3，0)．由椭圆的定义得|PB |＋|PC |＝10， 所以|PA |＋|PB |＝10＋|PA |－|PC |，因为||PA |－|PC ||≤|AC |＝5，所以当点P ，A ，C 三点共线时，|PA |＋|PB |取得最大值15.答案：D3．(2017·北京西城区调研)过抛物线y 2＝43x 的焦点的直线l 与双曲线C ：x 22－y 2＝1的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1·x 2＞0，则k 的取值范围是( )(导学号 54850132)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析：易知双曲线两渐近线y ＝±22x ，当k ＞22或k ＜－22时，l 与双曲线的右支有两个交点，满足x 1x 2＞0.答案：D4．(2017·全国卷Ⅰ改编)椭圆C ：x 23＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，点A ，B 是长轴的两端点，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[1，3)C ．(0，3)D ．(0，1]解析：依题意，当0＜m ＜3时，焦距在x 轴上，要在曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°，即3m≥ 3.解得0＜m ≤1.答案：D5．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过的点的坐标为( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(2，0)D ．(1，0)解析：设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得y ＝－12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝－12x 2x －y 2，又点Q (t ，－2)的坐标适合这两个方程， 代入得－2＝－12x 1t －y 1，－2＝－12x 2t －y 2，这说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程 －2＝－12xt －y ，则直线AB 的方程为y －2＝－12tx ，直线AB 恒过点(0，2)．答案：B 二、填空题6．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0＞1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________．解析：双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝b a x 消去y ，得b 2a 2x 2＝x .由x 0＞1，知b 2a2＜1，b 2＜a 2.所以e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＜2，因此1＜e ＜ 2.答案：(1，2)7．已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ →的最小值为________．解析：如图，FP →·FQ →＝|FP →|2＝|FQ →|2－1.由抛物线的定义知：|FQ →|＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，所以|FQ →|min ＝2，所以FP →·FQ →的最小值为3.答案：38．(2017·济南模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：不妨设A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)(y 2＜0)． 则|AC |＋|BD |＝x 2＋y 1＝y 224＋y 1.又y 1y 2＝－p 2＝－4.所以|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2＜0)．利用导数易知y ＝y 224－4y 2在(－∞，－2)上递减，在(－2，0)上递增．所以当y 2＝－2时，|AC |＋|BD |的最小值为3.答案：3 三、解答题9．(2017·西安调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于点Q (x Q ，y Q )(点Q 异于点P )，若0＜x Q ＜1，求直线l 斜率k 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y －32＝k (x －1)，代入方程x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋(43k －8k 2)x ＋(4k 2－43k －1)＝0， 所以x Q ·1＝4k 2－43k －11＋4k 2. 因为0＜x Q ＜1，所以0＜4k 2－43k －11＋4k 2＜1， 即⎩⎪⎨⎪⎧4k 2－43k －11＋4k2＞0，4k 2－43k －11＋4k2＜1.解得－36＜k ＜3－22或k ＞3＋22，经检验，满足题意． 所以直线l 斜率k 的取值范围是－36＜k ＜3－22或k ＞3＋22. 10．(2017·新乡三模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(导学号 54850133)(1)D 是抛物线C 上的动点，点E (－1，3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值；(2)是否存在实数p ，使|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为直线2x －y ＋2＝0与y 轴的交点为(0，2)， 所以F (0，2)，则抛物线C 的方程为x 2＝8y ，准线l ：y ＝－2. 设过D 作DG ⊥l 于G ，则|DF |＋|DE |＝|DG |＋|DE |， 当E ，D ，G 三点共线时，|DF |＋|DE |取最小值为2＋3＝5.(2)假设存在实数p ，满足条件等式成立． 联立x 2＝2py 与2x －y ＋2＝0， 消去y ，得x 2－4px －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4p ，x 1x 2＝－4p ，所以Q (2p ，2p )． 因为|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|， 所以QA ⊥QB ，则QA →·QB →＝0.因此(x 1－2p )(x 2－2p )＋(y 1－2p )(y 2－2p )＝0. (x 1－2p )(x 2－2p )＋(2x 1＋2－2p )·(2x 2＋2－2p )＝0， 5x 1x 2＋(4－6p )(x 1＋x 2)＋8p 2－8p ＋4＝0，把x 1＋x 2＝4p ，x 1x 2＝－4p 代入得4p 2＋3p －1＝0，解得p ＝14或p ＝－1(舍去)．因此存在实数p ＝14，使得|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|成立．11．(2017·唐山一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，a b 在椭圆上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值．解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，得a 2＝2b 2，①又点Q ⎝⎛⎭⎪⎫b ，a b 在椭圆C 上，所以b 2a 2＋a 2b4＝1，②联立①、②得a 2＝8，且b 2＝4. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 的方程为x ＝2或x ＝－2，从而有|PN |＝23，S ＝12|PN |·|OM |＝12×23×22＝26；当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)；将PN 的方程代入C 整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k2. 由OM →＝OP →＋ON →， 得M ⎝⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 2，2m 1＋2k 2.将M 点坐标代入椭圆C 方程得m 2＝1＋2k 2. 又点O 到直线PN 的距离为d ＝|m |1＋k2，|PN |＝1＋k 2|x 1－x 2|，S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·|x 1－x 2|＝16k 2－8m 2＋32＝2 6.综上可知，平行四边形OPMN 的面积S 为定值2 6.[典例] (本小题满分12分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．规范解答：(1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而圆心A (－1，0)，|AD |＝4. 所以|EA |＋|EB |＝4.(2分) 又因为B (1，0)，所以|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(4分)(2)解：当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3.(6分) 过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1.(8分) 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN || PQ |＝121＋14k 2＋3.(9分) 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)．(10分) 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8， 故四边形MPNQ 的面积为12.综上可知，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83)．(12分)1．正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线定义判断曲线类型，如本题第(1)问就涉及椭圆的定义．2．注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中的得分10分，导致失2分.3．写全得分关键：在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚．解题程序 第一步：利用条件与几何性质，求|EA |＋|EB |＝4. 第二步：由定义，求点E 的轨迹方程x 24＋y 23＝1(y ≠0)．第三步：联立方程，用斜率k 表示|MN |.第四步：用k 表示出|PQ |，并得出四边形的面积． 第五步：结合函数性质，求出当k 存在时S 的取值范围． 第六步：求出斜率不存在时面积S 的值，正确得出结论．[跟踪训练] (2017·衡水质检)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点O 是坐标原点，点P 是椭圆C 上任意一点，且点M 满足OM →＝λOP →(λ＞1，λ是常数)．当点P 在椭圆C 上运动时，点M形成的曲线为C λ.(导学号 54850057)(1)求曲线C λ的轨迹方程；(2)直线l 是椭圆C 在点P 处的切线，与曲线C λ的交点为A ，B 两点，探究△OAB 的面积是否为定值．若是，求△OAB 的面积，若不是，请说明理由．解：(1)设点M 的坐标为(x ，y )，对应的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x λ，y λ. 由于点P 在椭圆C 上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x λ24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y λ2＝1， 即曲线C λ的轨迹是椭圆，标准方程为x 24λ2＋y 2λ2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，这时直线l 的方程为x ＝±2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，x 24＋y 2＝λ2，y ＝±λ2－1，得|AB |＝2λ2－1. 得S △OAB ＝12|OP |·|AB |＝2λ2－1，当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 由Δ＝0，可得m 2＝4k 2＋1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝λ2，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2－λ2)＝0.所以x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4（m 2－λ2）4k 2＋1. 则|AB |＝1＋k 2·16（4k 2＋1）（λ2－1）4k 2＋1＝ 41＋k 2·λ2－14k 2＋1.原点到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k2＝4k 2＋1k 2＋1， 所以S △OAB ＝12|AB |d ＝2λ2－1.综上所述，△OAB 的面积为定值2λ2－1.。
圆锥曲线中的定值问题-(解析版)
专题3 圆锥曲线中的定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。
题型1、与面积有关的定值问题 经典例题：1．（2021·四川成都市·高三三模（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为，其离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的方程；（2）将椭圆C 上每一点的横坐标扩大为原来倍，纵坐标不变，得到曲线1C ，若直线:l y kx t =+与曲线1C 交于P 、Q 两个不同的点，O 为坐标原点，M 是曲线1C 上的一点，且四边形OPMQ 是平行四边形，求四边形OPMQ 的面积.【答案】（1）2212x y +=；（2 【分析】（1）根据已知条件求出a 、b 、c 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）求出曲线1C 的方程，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，将直线l 的方程与曲线1C 的方程联立，列出韦达定理，求出点M 的坐标，代入曲线1C 的方程，可得出22414t k =+，求得PQ 以及点O 到直线PQ 的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】（1）由已知，2a =，所以a =221x y -=，可知，椭圆C 的离心率为c a =即a =，故1c =，进而1b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）将椭圆C倍，纵坐标不变，得到曲线1C 的方程为2214x y +=，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，由()2222214844044y kx tk x ktx t x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩， 由韦达定理可得122814kt x x k -+=+，21224414t x x k-=+， 且()()()2228414440∆=-+->kt kt，即2214<+t k ，由四边形OPMQ 是平行四边形，所以OM OP OQ =+， 则0122814kt x x x k -=+=+，()0121222214t y y y k x x t k =+=++=+， 因为点M 在椭圆上，所以222282141414-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭kt t k k ，整理可得22414t k =+， 所以21222441114-==-+t x x k t ， 则PQ ===，O 到直线l 的距离d =OPMQ 的面积为PQ d ⋅=.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．（2021·安徽高三其他模拟（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点P ⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，M 、N 为椭圆C 上异于A 、B 的两点，满足//AM BN ，求证：OMN 面积为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析．【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，结合这三个量的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设直线AM 的方程为()2y k x =+，设直线BN 的方程为1y kx =+，将这两条直线分别与椭圆C 的方程联立，求出点M 、N 的坐标，求出OM 以及点N 到直线OM 的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】（1）由已知条件可得2222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即椭圆C 的标准方程为2214x y +=； （2）设()11,M x y 、()22,N x y ，由题意直线AM 、BN 的斜率存在，设直线AM 的方程为()2y k x =+①，设直线BN 的方程为1y kx =+②，由（1）椭圆22:14x C y +=③，联立①③得()222241161640k x k x k +++-=，解得2122841k x k -=+，即222284,4141k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 联立②③，得()224180k x kx ++=，所以，22841kx k =-+，即222148,4141k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭-，易知OM =直线OM 的方程为110y x x y -=，点N 到直线OM的距离为d =所以211222222211841222414121411844OMNx y x y k k S OM d k k k k k k --=⋅==⋅-⋅=++++--△， 故OMN 面积为定值1．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．3.（2021年北京高考模拟）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：四边形ABNM 的面积为定值．【解析】（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab ac 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .因为AN ⊥BM ，所以12ABNM S AN BM =⋅⋅ 1°当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M.直线PB 的方程为1100+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以0000211212212ABNM x y S AN BM y x =⋅⋅=⋅+⋅+-- 2200000000000000000044484448811222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+==--+--+2=. 2°当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以四边形ABNM 的面积为定值。
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)
专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
解得。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN的长为. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）；由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值. 【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+-- ()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k xk x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x kk x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=-()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ； （2）求证： OA OB ⋅是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =-()()1122,,,OA x y OB x y ==，∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-，∴OA OB ⋅是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的,右焦点为求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 的距离为定值2. 【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB的距离d==，当AB的斜率不存在时, 11x y= ,可得,1x d==依然成立.所以点O 到直线点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x yb aa b-=>>渐近线方程为y=，O为坐标原点，点(M在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求2211OP OQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y-=；（Ⅱ）221113OP OQ+=.【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ⊥，可设出直线,OP OQ的方程，代入双曲线方程求得点,P Q的坐标可求得221113OP OQ+=。
2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题2.11圆锥曲线中的综合问题(讲)含解析
2018年高考数学（理）二轮复习讲练测热点十一圆锥曲线的综合问题纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1.求轨迹方程求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等.（1）求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.（2）讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.例1【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P 满足。
(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。
证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1) 。
(2)证明略。
【解析】（2）由题意知。
设,则，。
由得，又由（1）知，故。
所以，即。
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.例2【2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】如图，一张坐标纸上一已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若直线与轨迹交于两个不同的点，且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围.【答案】 (1) ；(2) .试题解析：（1）折痕为的垂直平分线，则，由题意知圆的半径为，∴，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，∴，∴的轨迹的方程为.（2）与以为直径的圆相切，则到即直线的距离：，即，由，消去，得，∵直线与椭圆交于两个不同点，∴，，设，，则，，，又，∴，∴，设，则，∴，，∵关于在单调递增，∴，∴的面积的取值范围是.2. 圆锥曲线与圆相结合的问题处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆心角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.例3【2017课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.【答案】(1)证明略；(2)直线的方程为，圆的方程为 .或直线的方程为，圆的方程为 .【解析】所以，解得或 .当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为 .3.定值定点问题（1）求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.（2）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.例4【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知抛物线：的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.(1)求的取值范围；(2)设线段的中点分别为点，证明：直线过定点.【答案】(1) {k|k＜－2或0＜k＜} (2)见解析【解析】试题分析：（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立方程组，利用判别式求出的一个范围，另外直线的方程为与抛物线方程联立同样又得出的一个范围，两者求交集即得；（2）设，利用韦达定理可得即点坐标，用代替可得点坐标，计算出，得证结论．试题解析：（1）由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，整理得ky2－4y＋8＝0，①由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜．直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立，整理得y2＋4ky－8k＝0，由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2．所以故k的取值范围为{k|k＜－2或0＜k＜}．（2）设A(x 1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．由①得，y1＋y2＝，则y0＝，x0＝－，则M(－，)．同理可得N(2k2＋2k，－2k)．直线MQ的斜率k MQ＝＝，直线NQ的斜率k NQ＝＝＝k MQ，所以直线MN过定点Q(2，0)．例5【2018届河南省商丘市高三上学期期末】在平面直角坐标系中，已知两点，，动点满足，线段的中垂线交线段于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹相交于两点，设点，直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义求出点的轨迹的方程；（2）讨论直线的斜率，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程得，利用根与系数关系表示，即可得到定值.试题解析：（Ⅰ）以题意可得：,，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，且所以，所以轨迹的方程为.（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由，解得，设，.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入整理化简，得，依题意，直线与轨迹必相交于两点，设，则，，又，，所以综上得：为定值2.（说明：若假设直线为，按相应步骤给分）4.最值、范围问题求解范围、最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,然后通过解不等式、求函数值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线上点的坐标范围等.例6【2018届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联考】已知椭圆的短轴长为，离心率为，点，是上的动点，为的左焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .试题解析：（Ⅰ）依题意得解得∴椭圆的方程是（Ⅱ）设设线段中点为∵∴中点，直线斜率为由是以为底边的等腰三角形∴∴直线的垂直平分线方程为令得∵∴由∴四边形面积当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.5.探索性问题解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确. 其解题步骤为:(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在;若无解则不存在.(3)得出结论.例7【2018届河北省石家庄市高三上学期期末】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.（1）若以为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（1）设的中点为，可得 ,当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即，所以，椭圆长轴长为；（2）先求得椭圆方程为，设直线AB方程为：，联立可得，设根据韦达定理及平面向量数量积公式可得，当即时为定值.试题解析：（Ⅰ）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即所以，椭圆长轴长为6.（Ⅱ）由已知，，所以椭圆方程为当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：设由得恒成立设当即时为定值当直线AB斜率不存在时，不妨设当时，为定值综上：在X轴上存在定点，使得为定值【反思提升】1.高考涉及考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不在重复）确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”.在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归.2.涉及求取值范围的问题时,首先要找到产生范围的几个因素:(1)直线与曲线相交(判别式);(2)曲线上点的坐标的范围;(3)题目中给出的限制条件.其次要建立结论中的量与这些范围中的因素的关系;最后利用函数或不等式求变量的取值范围.3.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,通过平面几何和解析几何的知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数,通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决.4.存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.注意以下几点:(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.。
2018高考数学文二轮复习课时规范练：第二部分 专题五
专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题一、选择题1．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A ．－2B ．1C ．2D ．4解析：设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，因为－2≤x ≤2，所以－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→·PF 2→的最大值是1.答案：B2．(2017·沈阳二模)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( )A ．2 B.12 C.14D.18解析：根据题意，点P 在抛物线y ＝2x 2上，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ，抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d有最小值18，即|PF |min ＝18.答案：D3．(2017·北京西城区调研)过抛物线y 2＝43x 的焦点的直线l 与双曲线C ：x 22－y 2＝1的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1·x 2＞0，则k 的取值范围是( )(导学号 55410132)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析：易知双曲线两渐近线y ＝±22x ，当k ＞22或k ＜－22时，l 与双曲线的右支有两个交点，满足x 1x 2＞0.答案：D4．(2017·全国卷Ⅰ改编)椭圆C ：x 23＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，点A ，B 是长轴的两端点，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[1，3)C ．(0，3)D ．(0，1]解析：依题意，当0＜m ＜3时，焦距在x 轴上，要在曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°，即3m≥ 3.解得0＜m ≤1.答案：D5．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过的点的坐标为( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(2，0)D ．(1，0)解析：设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得y ＝－12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝－12x 2x －y 2，又点Q (t ，－2)的坐标适合这两个方程， 代入得－2＝－12x 1t －y 1，－2＝－12x 2t －y 2，这说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程 －2＝－12xt －y ，则直线AB 的方程为y －2＝－12tx ，直线AB 恒过点(0，2)．答案：B二、填空题6．设双曲线C ：x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0＞1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________．解析：双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝b a x 消去y ，得b 2a 2x 2＝x .由x 0＞1，知b 2a2＜1，b 2＜a 2.所以e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＜2，因此1＜e ＜ 2.答案：(1，2)7．已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ →的最小值为________．解析：如图，FP →·FQ →＝|FP →|2＝|FQ →|2－1.由抛物线的定义知：|FQ →|＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，所以|FQ →|min ＝2，所以FP →·FQ →的最小值为3.答案：38．(2017·济南模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：不妨设A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)(y 2＜0)． 则|AC |＋|BD |＝x 2＋y 1＝y 224＋y 1.又y 1y 2＝－p 2＝－4.所以|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2＜0)．利用导数易知y ＝y 224－4y 2在(－∞，－2)上递减，在(－2，0)上递增．所以当y 2＝－2时，|AC |＋|BD |的最小值为3.答案：3 三、解答题9．(2017·西安调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于点Q (x Q ，y Q )(点Q 异于点P )，若0＜x Q ＜1，求直线l 斜率k 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3， 故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y －32＝k (x －1)，代入方程x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋(43k －8k 2)x ＋(4k 2－43k －1)＝0， 所以x Q ·1＝4k 2－43k －11＋4k 2. 因为0＜x Q ＜1，所以0＜4k 2－43k －11＋4k 2＜1， 即⎩⎪⎨⎪⎧4k 2－43k －11＋4k2＞0，4k 2－43k －11＋4k2＜1.解得－36＜k ＜3－22或k ＞3＋22，经检验，满足题意． 所以直线l 斜率k 的取值范围是－36＜k ＜3－22或k ＞3＋22. 10．(2017·新乡三模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(导学号 55410133)(1)D 是抛物线C 上的动点，点E (－1，3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值；(2)是否存在实数p ，使|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为直线2x －y ＋2＝0与y 轴的交点为(0，2)， 所以F (0，2)，则抛物线C 的方程为x 2＝8y ，准线l ：y ＝－2. 设过D 作DG ⊥l 于G ，则|DF |＋|DE |＝|DG |＋|DE |， 当E ，D ，G 三点共线时，|DF |＋|DE |取最小值为2＋3＝5.(2)假设存在实数p ，满足条件等式成立． 联立x 2＝2py 与2x －y ＋2＝0， 消去y ，得x 2－4px －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4p ，x 1x 2＝－4p ，所以Q (2p ，2p )． 因为|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|， 所以QA ⊥QB ，则QA →·QB →＝0.因此(x 1－2p )(x 2－2p )＋(y 1－2p )(y 2－2p )＝0. (x 1－2p )(x 2－2p )＋(2x 1＋2－2p )·(2x 2＋2－2p )＝0， 5x 1x 2＋(4－6p )(x 1＋x 2)＋8p 2－8p ＋4＝0，把x 1＋x 2＝4p ，x 1x 2＝－4p 代入得4p 2＋3p －1＝0，解得p ＝14或p ＝－1(舍去)．因此存在实数p ＝14，使得|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|成立．11．(2017·唐山一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，a b 在椭圆上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值．解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，得a 2＝2b 2，①又点Q ⎝⎛⎭⎪⎫b ，a b 在椭圆C 上，所以b 2a 2＋a 2b4＝1，②联立①、②得a 2＝8，且b 2＝4. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 的方程为x ＝2或x ＝－2，从而有|PN |＝23，S ＝12|PN |·|OM |＝12×23×22＝26；当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)；将PN 的方程代入C 整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k2. 由OM →＝OP →＋ON →，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 2，2m 1＋2k 2. 将M 点坐标代入椭圆C 方程得m 2＝1＋2k 2. 又点O 到直线PN 的距离为d ＝|m |1＋k2，|PN |＝1＋k 2|x 1－x 2|，S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·|x 1－x 2|＝16k 2－8m 2＋32＝2 6.综上可知，平行四边形OPMN 的面积S 为定值2 6.[典例] (本小题满分12分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．规范解答：(1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而圆心A (－1，0)，|AD |＝4. 所以|EA |＋|EB |＝4.(2分) 又因为B (1，0)，所以|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(4分)(2)解：当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3.(6分) 过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1.(8分) 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN || PQ |＝121＋14k 2＋3.(9分) 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)．(10分) 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8， 故四边形MPNQ 的面积为12.综上可知，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83)．(12分)1．正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线定义判断曲线类型，如本题第(1)问就涉及椭圆的定义．2．注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中的得分10分，导致失2分.3．写全得分关键：在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚．解题程序 第一步：利用条件与几何性质，求|EA |＋|EB |＝4. 第二步：由定义，求点E 的轨迹方程x 24＋y 23＝1(y ≠0)．第三步：联立方程，用斜率k 表示|MN |.第四步：用k 表示出|PQ |，并得出四边形的面积． 第五步：结合函数性质，求出当k 存在时S 的取值范围． 第六步：求出斜率不存在时面积S 的值，正确得出结论．[跟踪训练] (2017·郴州三模)已知抛物线E ：y 2＝8x ，圆M ：(x －2)2＋y 2＝4，点N 为抛物线E 上的动点，O 为坐标原点，线段ON 的中点P 的轨迹为曲线C .(导学号 55410057)(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(x 0≥5)是曲线C 上的点，过点Q 作圆M 的两条切线，分别与x 轴交于A ，B 两点，求△QAB 的面积的最小值．解：(1)设P (x ，y )，则点N (2x ，2y )在抛物线E ：y 2＝8x 上，所以4y 2＝16x ，所以曲线C 的方程为y 2＝4x ；(2)设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 令y ＝0，得x ＝x 0－y 0k. 圆心(2，0)到切线的距离d ＝|2k ＋y 0－kx 0|k 2＋1＝2，整理得(x 20－4x 0)k 2＋(4y 0－2x 0y 0)k ＋y 20－4＝0. 设两条切线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1＋k 2＝2x 0y 0－4y 0x 20－4x 0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4x 0.所以△QAB 面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－y 0k 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－y 0k 2y 0＝2·x 20x 0－1.设t ＝x 0－1∈[4，＋∞)，则f (t )＝2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t＋2在[4，＋∞)上单调递增， 所以f (t )≥252，即△QAB 面积的最小值为252.。
2018届高考数学高考复习指导大二轮专题复习课件：专题6 第3讲定点、定值、存在性问题
2k2＋4 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝ k2 ，x1x2＝1，
所以|AB|＝ 1＋k2· |x1－x2|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
2 2 2 k ＋ 4 4 1 ＋ k 2 2 ＝ 1＋k · k2 －4＝ k2 ．
1．(2017· 全国卷Ⅰ，10)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相 垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于点A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则 |AB|＋|DE|的最小值为 导学号 52134754 ( A ) A．16 C．12 B．14 D．10
[ 解析] 因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)． 由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜 1 率为k，则l2的斜率为－ k ，故直线l1，l2的方程分别为y＝ 1 k(x－1)，y＝－k(x－1)．
• 3．圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合 适的变量建立目标函数和不等关系．该问 题主要有以下三种情况： • (1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆 锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解； 若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可 设出与已知直线平行的直线方程，再代入 圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切 点坐标，这个切点就是距离取得最值的点， 若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参 数形式设出，转化为三角函数的最值求
[ 解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1． 由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝ 3(x－1)．
y＝ 3x－1， 联立得方程组 2 y ＝4x，
1 x＝3， x＝3， 解得 或 y＝2 3. y＝－2 3 3 ∵点M在x轴的上方， ∴M(3,2 3)．
2018届二轮(理科数学) 圆锥曲线与方程(选择与填空) 专题卷(全国通用)
圆锥曲线与方程01一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线192522=-y x 的渐近线方程为( )A ．3x ±4y =0B ． 4x ±3y =0C ． 3x ±5y =0D ．5x ±3y =0【答案】C2．在同一坐标系中，方程22221ax b y +=与20ax by +=（a ＞ｂ＞０）的曲线大致是( )【答案】D3．知F 是椭圆12222=+by a x (a >b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF ⊥x 轴, OP ∥AB(O 为原点),则该椭圆的离心率是( )A ．22 B ．42 C ．21 D ．23 【答案】A4．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△F 1PF 2的面积等于( ) A ．3316 B ．)32(4- C ．)32(16+ D ． 16【答案】B5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -=【答案】B6．已知F 是椭圆12222=+by a x (a >b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF ⊥x 轴, OP ∥AB(O 为原点), 则该椭圆的离心率是( )A ．22 B ．42 C ．21 D ．23 【答案】A7．经过原点且与抛物线23(1)4y x =+-只有一个公共点的直线有多少条？( ) A ． 0 B ． 1C ． 2D ． 3【答案】D8．已知 21、F F 分别为双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点.若||||221PF PF 的最小值为a 8，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．()2,1B ．(]3,1 C ．[]3,2D ．[)+∞,3【答案】B9．若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，线段1F 2F 被抛物线22y bx=的焦点分成7:5的两段，则此双曲线的离心率为( )A ．98B C D 【答案】C10．已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b +=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是( ) A ． 11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B ． 11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ． K ⎡∈⎢⎣D ． 2,,K ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎭【答案】A11．若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )A ． 2<k<5B ． k>5C ． k<2或k>5D ． 以上答案均不对【答案】C12．若抛物线px y 22=的焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则p 的值为( )A ． -4B ． 4C ． -2D ． 2【答案】A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知P 为椭圆221259x y += 上一点，F 1,F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=900,则△F 1PF 2的面积为___________; 【答案】914．已知P 是双曲线)0(1y 4x 222>=-b b 上一点，F 1、F 2是左右焦点，⊿PF 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120°，则双曲线的离心率等于 【答案】2715．抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。
难点2-10 解析几何中的定值、定点和定线问题 测试卷-
（一）选择题（12*5=60分）1．已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 【答案】A2．如图，12 A A ，为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点， S Q T ，，为椭圆上不同于12 A A ，的三点，直线12 QA QA OS ，，，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A ．5 B．3 C.9 D ．14 【答案】D【解析】设1122 (x,y) (,) (x ,y )Q T x y S ，，，12 QA QA ，斜率为12,k k ，则,OT OS 斜率为12,k k ，且 212253399y y y k k x x x =⋅==-+--，所以22222221111112145(1)59k OT x y x k x k +=+=+=+，同理2222245(1)59k OS k +=+，因此22OS OT +=2222221211111222222121111212545(1)45(1)45(1)45(1)8145(1)812512670+++142559595959595959k k k k k k k k k k k k k k +++++++====+++++++，选D.3．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共焦点，则22m n =（ ） A ．8 B ．2 C ．18 D ．25【答案】A【解析】由椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共焦点，得22223253n m n m +=-， 即228n m =，则822=nm ，故选A.4．已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使2112sin sin PF F e PF F ∠=∠，则221F P F F 的值为（ ）A ．3B ．2C ．3-D ．2- 【答案】B5．若m ，n 满足210m n +-=，则直线30mx y n ++=过定点（ ）A ．11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,26⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】210,21m n m n +-=∴+=，30,()30mx y n mx n y ++=∴++=,当12x =时,1122m n +=， 113,26y y ∴=-∴=-,故直线过定点11(,)26-.故选B.6．已知P 是双曲线1322=-y x 上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为B A ,，则⋅的值是（ ）A ．83-B ．163C ．83- D ．不能确定 【答案】A7．以抛物线28y x =上的任意一点为圆心作圆与直线20x +=相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是A. ()0,2B. （2，0）C. （4，0）D. ()0,4 【答案】B【解析】∵抛物线y 2=8x 的准线方程为x=-2，∴由题可知动圆的圆心在y 2=8x 上，且恒与抛物线的准线相切，由定义可知，动圆恒过抛物线的焦点（2，0），故选B ．8．【浙江省台州中学2018届第三次统练】已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A. 48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B. 24,99⎛⎫⎪⎝⎭C. ()2,0 D ． ()9,0 【答案】A【解析】设()92,P m m - ，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则,OA PA OB PB ⊥⊥ ，AB 是以OP 为直径的圆D 与圆C 的公共弦，求得圆D 的方程为()22229292224m m m m x y -+-⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，又知圆C 的方程为224x y += ②，②-①可得公共弦AB 所在直线的方程为()()2490m x y x -+-= ，令20{ 490x y x -=-= 可得49{89x y ==，所以直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 9．已知直线12y x =与双曲线22194x y -=交于A ，B 两点，P 为双曲线上不同于A ，B 的点，当直线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k 存在时，PA PB k k ⋅= ．【答案】9410．【江苏省如皋市2018届教学质调（三）】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:9O x y +=，圆()222:616O x y +-=，在圆2O 内存在一定点M ，过M 的直线l 被圆1O ，圆2O 截得的弦分别为AB ，CD ，且34AB CD =，则定点M 的坐标为_______. 【答案】1807⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】34AB CD =总成立，且知，过两圆的圆心直线截两圆弦长比是63,84=∴点M 在两圆心连线上，因为圆心连线方程为0x =，可设()00,M y ，设直线l 的方程为0y kx y =+，因为34AB CD =，所以91616=-，解得0187y =或018y =-（此时点M 在圆2O 外，舍去），故答案为1807⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 11．【江苏省泰州中学2018届12月月考】已知点()30A -，和圆O ： 229x y +=， AB 是圆O 的直径，M 和N 是线段AB 的三等分点， P （异于A ， B ）是圆O 上的动点， PD AB ⊥于D ， PE EDλ=（0λ>），直线PA 与BE 交于C ，则当λ=__________时， CM CN +为定值． 【答案】1812．已知圆222:(0)O x y r r +=>与直线34150x y -+=相切. （1）若直线225l y x =-+与圆O 交于,M N 两点，求MN ；（2）设圆O 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交圆O 于,B C 两点，且12,-3k k =，试证明直线BC 恒过一定点，并求出该定点的坐标.【解析】（1）由题意知，圆心O 到直线34150x y -+=的距离3d r ===，所以圆229O x y +=：.又圆心O 到直线:25l y x =-+的距离1d ==，所以4MN ==.（2）易知()30A -，,设()()1122,,,B x y C x y ，则直线()1:3AB y k x =+，由()2223{9y k x x y =++=，得()222211116990k x k x k +++-=，所以211219931k x k --=+，即21121331k x k -+=+，所以2112211336,11k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.由123k k =-得213k k =-，将13k -代替上面的1k ，同理可得211221132718,99k k C k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，所以11111222111221161819433327319BCk k k k k k k k k k k +++==----++，从而直线21112221116433:131k k k BC y x k k k ⎛⎫--=- ⎪+-+⎝⎭.即()22111222111433933121k k k y x k k k ⎛⎫-- ⎪=-+ ⎪-++⎝⎭，化简得1214332k y x k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.所以直线BC 恒过一定点，该定点为3,02-（）.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>M40y ++=的距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过点()4,2-且与椭圆C 相交于,A B 两点， l 不经过点M ，证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值.()()1212221621641,1414k k k k x x x x kk+++==++，因为()()1221121212444422MA MB kx k x kx k x y y k k x x x x --+----+=+=，所以()1212244MA MB x x k k k k x x ++=-+ ()()()()16212412211641k k k k k k k k +=-+=-+=-+（为定值）.14.如图所示，已知圆A 的圆心在直线2y x =-上，且该圆存在两点关于直线10x y +-=对称，又圆A 与直线1l ：270x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P ．（1）求圆A 的方程；（2）当||MN =l 的方程；（3）()BM BN BP +⋅是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．||AQ =1=，得34k =，∴直线l 的方程为3460x y -+=，∴所求直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=．（3）∵AQ BP ⊥，∴0AQ BQ ⋅=，∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅2()BA AQ BP =+⋅2BA BP =⋅， 当直线l 与x 轴垂直时，得5(2,)2P --，则5(0,)2BP =-，又(1,2)BA =，∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅210BA BP =⋅=-，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =+，由(2),270y k x x y =+⎧⎨++=⎩，解得475(,)1212k k P k k ---++，∴55(,)1212kBP k k --=++，∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅ 2BA BP =⋅5102()101212k k k-=-=-++，综上所述，()BM BN BP +⋅为定值10-． 15．【2018届年12月期末联考】已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的长轴长是短轴长的2倍，且过点12⎫⎪⎭． ⑴求椭圆C 的方程；⑵若在椭圆上有相异的两点,A B （,,A O B 三点不共线），O 为坐标原点，且直线AB ，直线OA ，直线OB 的斜率满足2•(0)AB OA OB AB k k k k =>. （ⅰ）求证： 22OA OB +是定值；（ⅱ）设AOB ∆的面积为S ，当S 取得最大值时，求直线AB 的方程．16．【吉林省榆树市2018届第三次模拟】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点1(20C 2A ，），（两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程及离心率；(Ⅱ)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，椭圆C 与y 轴正半轴交于B 点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【解析】（Ⅰ）由题意得： 2,1a b ==. 所以椭圆C 的方程为： 2214x y +=.又∵c =∴离心率c e a ==. (Ⅱ)设()00,x y P （00x <， 00y <），则220044x y +=．又∵()2,0A ， ()0,1B ，∴直线PA 的方程为()0022y y x x =--．令0x =，得0022y y x M=--，从而002112y y x M BM =-=+-．直线PB 的方程为0011y y x x -=+．令0y =，得001x x y N =--，从而00221xx y N AN =-=+-． ∴四边形ABNM 的面积12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+ 00000000224422x y x y x y x y --+=--+ 2=．∴四边形ABNM 的面积为定值．17. 【江苏省丹阳2018届期中】如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ： 2214x y +=的左顶点A 作直线l ，与椭圆C和y 轴正半轴分别交于点P ， Q ．（1）若AP PQ =，求直线l 的斜率；（2）过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M N ，，求证：2AP AQMN⋅为定值．由②③得， 22414N x k =+． 从而()()22222p N x AP AQ MN x +⋅= 22282214142414k k k⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==⨯+，即证． 18．【黑龙江省齐齐哈尔市2018届第二次模拟】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，倾斜角为45︒的直线l 过点F 与拋物线C 交于,A B 两点， O 为坐标原点， OAB ∆的面积为（1）求p ；（2）设点E 为直线2p x =与拋物线C 在第一象限的交点，过点E 作C 的斜率分别为12,k k 的两条弦,EM EN ，如果121k k +=-，证明直线MN 过定点，并求出定点坐标.()343444,461y y t y y t +=--=+，代入MN 的方程得16111t y x t t +=--++，整理得()()610t y x y ++++=，若上式对任意变化的t 恒成立，则10{60x y y ++=+=，解得5,{ 6.x y ==- 故直线MN经过定点()5,6-. 19．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，圆22127x y +=与直线1x y a b +=相切，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)Q -任作一直线l 交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=，若在线段MN 上取一点R ,使得MR RN λ=-，试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．。
2018高考数学二轮复习难点2.10解析几何中的定值定点和定线问题测试卷文
解析几何中的定值、定点和定线问题（一）选择题（12*5=60分）1．已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 【答案】A2．如图，12 A A ，为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点， S Q T ，，为椭圆上不同于12 A A ，的三点，直线12 QA QA OS ，，，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A ．5 B．3．14 【答案】D【解析】设1122 (x,y) (,) (x ,y )Q T x y S ，，，12 QA QA ，斜率为12,k k ，则,OT OS 斜率为12,k k ，且 212253399y y y k k x x x =⋅==-+--，所以22222221111112145(1)59k OT x y x k x k +=+=+=+，同理2222245(1)59k OS k +=+，因此22OS OT +=22222221211111222222121111212545(1)45(1)45(1)45(1)8145(1)812512670+++142559595959595959k k k k k k k k k k k k k k +++++++====+++++++，选D.3．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共焦点，则22m n=（ ） A ．8 B ．2 C ．18 D ．25【答案】A【解析】由椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共焦点，得22223253n m n m +=-， 即228n m =，则822=nm ，故选A.4．已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使2112sin sin PF F e PF F ∠=∠，则221F P F F 的值为（ ）A ．3B ．2C ．3-D ．2- 【答案】B5．若m ，n 满足210m n +-=，则直线30mx y n ++=过定点（ ）A ．11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,26⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】210,21m n m n +-=∴+=，30,()30mx y n mx n y ++=∴++=,当12x =时,1122m n +=， 113,26y y ∴=-∴=-,故直线过定点11(,)26-.故选B.6．已知P 是双曲线1322=-y x 上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是（ ）A ．83-B ．163C ．83-D ．不能确定【答案】A7．以抛物线28y x =上的任意一点为圆心作圆与直线20x +=相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是A. ()0,2B. （2，0）C. （4，0）D. ()0,4 【答案】B【解析】∵抛物线y 2=8x 的准线方程为x=-2，∴由题可知动圆的圆心在y 2=8x 上，且恒与抛物线的准线相切，由定义可知，动圆恒过抛物线的焦点（2，0），故选B ．8．【浙江省台州中学2018届第三次统练】已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A. 48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B. 24,99⎛⎫⎪⎝⎭C. ()2,0 D ． ()9,0 【答案】A【解析】设()92,P m m - ，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则,OA PA OB PB ⊥⊥ ， AB 是以OP 为直径的圆D 与圆C 的公共弦，求得圆D 的方程为()22229292224m m m m x y -+-⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ①，又知圆C 的方程为224x y += ②，②-①可得公共弦AB 所在直线的方程为()()2490m x y x -+-= ，令20{ 490x y x -=-= 可得49{ 89x y ==，所以直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 9．已知直线12y x =与双曲线22194x y -=交于A ，B 两点，P 为双曲线上不同于A ，B 的点，当直线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k 存在时，PA PB k k ⋅= ．【答案】9410．【江苏省如皋市2018届教学质调（三）】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:9O x y +=，圆()222:616O x y +-=，在圆2O 内存在一定点M ，过M 的直线l 被圆1O ，圆2O 截得的弦分别为AB ，CD ，且34AB CD =，则定点M 的坐标为_______. 【答案】1807⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】34AB CD =总成立，且知，过两圆的圆心直线截两圆弦长比是63,84=∴点M 在两圆心连线上，因为圆心连线方程为0x =，可设()00,M y ，设直线l 的方程为0y kx y =+，因为34AB CD =，所以91616=-，解得0187y =或018y =-（此时点M 在圆2O 外，舍去），故答案为1807⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 11．【江苏省泰州中学2018届12月月考】已知点()30A -，和圆O ： 229x y +=， AB 是圆O 的直径，M 和N 是线段AB 的三等分点， P （异于A ， B ）是圆O 上的动点， PD AB ⊥于D ， PE EDλ=（0λ>），直线PA 与BE 交于C ，则当λ=__________时， CM CN +为定值． 【答案】1812．已知圆222:(0)O x y r r +=>与直线34150x y -+=相切.（1）若直线225l y x =-+与圆O 交于,M N 两点，求MN ；（2）设圆O 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交圆O 于,B C 两点，且12,-3k k =，试证明直线BC 恒过一定点，并求出该定点的坐标.【解析】（1）由题意知，圆心O 到直线34150x y -+=的距离3d r ===，所以圆229O x y +=：.又圆心O 到直线:25l y x =-+的距离1d ==4MN ==.（2）易知()30A -，,设()()1122,,,B x y C x y ，则直线()1:3AB y k x =+，由()2223{9y k x x y =++=，得()222211116990k x k x k +++-=，所以211219931k x k --=+，即21121331k x k -+=+，所以2112211336,11k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.由123k k =-得213k k =-，将13k -代替上面的1k ，同理可得211221132718,99k k C k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，所以1122111222111221161819433327319BCk k k k k k k k k k k +++==----++，从而直线21112221116433:131k k k BC y x k k k ⎛⎫--=- ⎪+-+⎝⎭.即()22111222111433933121k k k y x k k k ⎛⎫-- ⎪=-+ ⎪-++⎝⎭，化简得1214332k y x k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.所以直线BC 恒过一定点，该定点为3,02-（）. 13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>M40y ++=的距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过点()4,2-且与椭圆C 相交于,A B 两点， l 不经过点M ，证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值.()()1212221621641,1414k k k k x x x x kk+++==++，因为()()1221121212444422MA MB kx k x kx k x y y k k x x x x --+----+=+=，所以()1212244MA MB x x k k k k x x ++=-+ ()()()()16212412211641k k k k k k k k +=-+=-+=-+（为定值）.14.如图所示，已知圆A 的圆心在直线2y x =-上，且该圆存在两点关于直线10x y +-=对称，又圆A 与直线1l ：270x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P ．（1）求圆A 的方程；（2）当||MN =l 的方程；（3）()BM BN BP +⋅是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．(2)y k x =+，即20kx y k -+=，连接AQ ，则AQ MN ⊥，∵||2MN =∴||1AQ ==．由||AQ =1=，得34k =，∴直线l 的方程为3460x y -+=，∴所求直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=．（3）∵AQ BP ⊥，∴0AQ BQ ⋅=，∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅2()BA AQ BP =+⋅2BA BP =⋅， 当直线l 与x 轴垂直时，得5(2,)2P --，则5(0,)2BP =-，又(1,2)BA =，∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅210BA BP =⋅=-，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =+，由(2),270y k x x y =+⎧⎨++=⎩，解得475(,)1212k k P k k ---++，∴55(,)1212k BP k k --=++，∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅ 2BA BP =⋅5102()101212k k k-=-=-++，综上所述，()BM BN BP +⋅为定值10-． 15．【2018届年12月期末联考】已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的长轴长是短轴长的2倍，且过点12⎫⎪⎭． ⑴求椭圆C 的方程；⑵若在椭圆上有相异的两点,A B （,,A O B 三点不共线），O 为坐标原点，且直线AB ，直线OA ，直线OB 的斜率满足2•(0)ABOA OB AB kk k k =>.（ⅰ）求证： 22OA OB +是定值；（ⅱ）设AOB ∆的面积为S ，当S 取得最大值时，求直线AB 的方程．∴()()122121212kx m kx m y y k x x x x ++==，化简得： ()2120km x x m ++=，∵A 、O 、B 三点不共线 ∴0m ≠ 则()120k x x m ++= ①由22{ 44y kx mx y =++=可得: ()()222148410k x kmx m +++-=,由韦达定理可得()1222122814{4114km x x k m x x k +=-+-=+ ② 且()2216140k m ∆=+-> ③将②代入①式得： ()280014km k m k k ⎛⎫-+=> ⎪+⎝⎭，解得12k =，则()122122{ 21x x m x x m +=-=- ④ (ⅰ) 22OA OB +=22221122x y x y +++=()222121212333222444x x x x x x ⎡⎤++=+-+⎣⎦，将④代入得22OA OB +=()223422124m m ⎡⎤⨯-⨯-+⎣⎦=5 ， (ⅱ) AOB S=1212AB d x ⋅=-=，由 ③ ④可得：()(m ∈⋃，则AOBS1≤，当且仅当1m =±时，直线方程为112y x =±. 16．【吉林省榆树市2018届第三次模拟】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点1(20C 2A ，），（两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程及离心率；(Ⅱ)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，椭圆C 与y 轴正半轴交于B 点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．(Ⅱ)设()00,x y P （00x <， 00y <），则220044x y +=．又∵()2,0A ， ()0,1B ，∴直线PA 的方程为()0022y y x x =--．令0x =，得0022y y x M =--，从而002112yy x M BM =-=+-．直线PB 的方程为0011y y x x -=+．令0y =，得001x x y N =--，从而00221xx y N AN =-=+-． ∴四边形ABNM 的面积12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ ()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+ 00000000224422x y x y x y x y --+=--+ 2=．∴四边形ABNM 的面积为定值．17. 【江苏省丹阳2018届期中】如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ： 2214x y +=的左顶点A 作直线l ，与椭圆C和y 轴正半轴分别交于点P ， Q ．（1）若AP PQ =，求直线l 的斜率；（2）过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M N ，，求证：2AP AQMN⋅为定值．（2）设点N 的横坐标为N x ．结合（1）知，直线MN 的方程为y kx =．③由②③得， 22414N x k =+． 从而()()22222p N x AP AQ MN x +⋅= 222282214142414k k k ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==⨯+，即证． 18．【黑龙江省齐齐哈尔市2018届第二次模拟】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，倾斜角为45︒的直线l 过点F 与拋物线C 交于,A B 两点， O 为坐标原点， OAB ∆的面积为（1）求p ；（2）设点E 为直线2p x =与拋物线C 在第一象限的交点，过点E 作C 的斜率分别为12,k k 的两条弦,EM EN ，如果121k k +=-，证明直线MN 过定点，并求出定点坐标.123412124444k k y y k k k k +-+=⨯-=-，()12341212122464141k k y y k k k k k k ⎡⎤+⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.令121t k k =，则()343444,461y y t y y t +=--=+，代入MN 的方程得16111t y x t t +=--++，整理得()()610t y x y ++++=，若上式对任意变化的t 恒成立，则10{ 60x y y ++=+=，解得5,{ 6.x y ==- 故直线MN 经过定点()5,6-.19．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，圆22127x y +=与直线1x y a b+=相切，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)Q -任作一直线l 交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=，若在线段MN 上取一点R ,使得MR RN λ=-，试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．。
【中小学资料】2018版高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题5 解析几何 第13讲 圆锥曲线中的综合问题
第13讲 圆锥曲线中的综合问题题型1 圆锥曲线中的定值问题(对应学生用书第43页)■核心知识储备………………………………………………………………………·解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． [解] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． [类题通法] 定值问题的常见方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． ■对点即时训练………………………………………………………………………·已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－6，0)，e ＝22.图131(1)求椭圆C 的方程；(2)如图131，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．[解] (1)由题意得，c ＝6，e ＝22，解得a ＝23， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(2)由已知，直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，且与圆R 相切， ∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2，化简得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0， 同理，可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，∴k 1，k 2是方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0的两个不相等的实数根，∴x 20－4≠0，Δ＞0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4.∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 2012＋y 206＝1，即y 20＝6－12x 20，∴k 1k 2＝2－12x 20x 20－4＝－12.(3)|OP |2＋|OQ |2是定值18.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x x 212＋y26＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝121＋2k 21y 21＝12k211＋2k21，∴x 21＋y 21＝＋k 211＋2k 21， 同理，可得x 22＋y 22＝＋k 221＋2k 22. 由k 1k 2＝－12，得|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝＋k 211＋2k 21＋＋k 221＋2k 22＝＋k 211＋2k 21＋12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫－12k 121＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 12＝18＋36k 211＋2k 21＝18.综上：|OP |2＋|OQ |2＝18.■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 3)题型2 圆锥曲线中的最值、范围问题(对应学生用书第44页)■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．解决圆、圆锥曲线范围问题的方法(1)圆、圆锥曲线自身范围的应用，运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围． (2)参数转化：利用引入参数法转化为三角函数来解决．(3)构造函数法：运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识． 2．求最值的方法(1)代数法：设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值．注意灵活运用配方法、导数法、基本不等式法等．(2)几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何性质来解决．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】 如图132，已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．图132(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).【导学号：07804094】[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0. ①设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2. ②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.[类题通法]在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程，再根据根与系数的关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解.易错警示：在设直线方程时，若要设成y ＝kx ＋m 的形式，注意先讨论斜率是否存在；若要设成x ＝ty ＋n 的形式，注意先讨论斜率是否为0.■对点即时训练………………………………………………………………………·如图133，点F 1为圆(x ＋1)2＋y 2＝16的圆心，N 为圆F 1上一动点，且F 2(1,0)，M ，P 分别是线段F 1N ，F 2N 上的点，且满足MP →·F 2N →＝0，F 2N →＝2F 2P →.图133(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过点F 2的直线l (与x 轴不重合)与轨迹E 交于A ，C 两点，线段AC 的中点为G ，连接OG 并延长交轨迹E 于点B (O 为坐标原点)，求四边形OABC 的面积S 的最小值． [解] (1)由题意，知MP 垂直平分F 2N ， 所以|MF 1|＋|MF 2|＝4.所以动点M 的轨迹是以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点的椭圆， 且长轴长为2a ＝4，焦距2c ＝2， 所以a ＝2，c ＝1，b 2＝3. 轨迹E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，G (x 0，y 0)． 设直线AC 的方程为x ＝my ＋1，与椭圆方程联立， 可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，所以y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2.由弦长公式可得|AC |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝＋m24＋3m2，又y 0＝－3m 4＋3m 2，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋3m 2，－3m 4＋3m 2.直线OG 的方程为y ＝－3m 4x ，与椭圆方程联立得x 2＝164＋3m2，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋3m 2，－3m 4＋3m 2.点B 到直线AC 的距离d 1＝4＋3m 2－11＋m2， 点O 到直线AC 的距离d 2＝11＋m2. 所以S 四边形OABC ＝12|AC |(d 1＋d 2)＝613－1＋3m2≥3，当且仅当m ＝0时取得最小值3.■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 1、T 4)题型3 圆锥曲线中的探索性问题(答题模板)(对应学生用书第45页)圆锥曲线中的存在性(探索性)问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否存在．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．(2015·全国Ⅰ卷T20、2015·全国Ⅱ卷T20) ■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题】 (本小题满分12分)(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a a ＞交于M ，N 两点.①(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程②；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ③？说明理由． [审题指导]或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).2分又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，④C 在点(2a ，a )处的切线方程为 y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.4分y ＝x 24在＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0或ax ＋y ＋a ＝0.⑤6分(2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0.8分故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2⑥＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x2＝k a ＋ba.[阅卷者说][1．定点问题的解法：(1)直线过定点：化为y －y 0＝k (x －x 0)， 当x －x 0＝0时与k 无关．(2)曲线过定点：利用方程f (x ，y )＝0对任意参数恒成立得出关于x ，y 的方程组，进而求出定点． 2．存在性问题的解题步骤：一设：设满足条件的元素(点、直线等)存在；二列：用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组；三解：解方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线等)存在；否则，元素(点、直线等)不存在．■对点即时训练………………………………………………………………………·已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.【导学号：07804095】[解] (1)由e ＝63，得c a ＝63，即c ＝63a ， ① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且该圆与直线2x －2y ＋6＝0相切， 所以a ＝|6|22＋－22＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k x －，得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k 2.根据题意，假设x 轴上存在定点E (m,0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝(EA →＋AB →)·EA →＝EA →·EB →为定值，则EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝m 2－12m ＋k 2＋m 2－1＋3k2，要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，解得m ＝73，此时，EA →2＋EA →·AB →＝m 2－6＝－59，所以在x 轴上存在定点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59.■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 2) 三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第46页)1．(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程．(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.∴动圆圆心M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．2．(2016·全国Ⅰ卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A中小学最新教育资料中小学最新教育资料 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．[解] (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3. 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN || PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
专题对点练24 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题
1.(2017吉林白山二模,理22)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,
准线方程为x=-1,直线l与抛物线相交于不同的A,B两点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)如果直线l过抛物线的焦点,求的值;
(3)如果=-4,直线l是否过一定点,若过一定点,求出该定点;若不过一定
点,试说明理由.
解 (1)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为x=-1,
∴
=1,p=2.
∴抛物线的标准方程为y2=4x.
(2)设l:my=x-1,与y2=4x联立,得y2-4my-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4m,y1y2=-4,
∴=x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=-3.
(3)假设直线l过定点,设l:my=x+n,
联立得y2-4my+4n=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4m,y1y2=4n.
由=-4=(m2+1)y1y2-mn(y1+y2)+n2=n2+4n,解得n=-2,
∴l:my=x-2过定点(2,0).
2.(2017吉林三模,理20)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=nx(n>0)在第一象限内
的点P(2,t)到焦点的距离为,曲线C在点P处的切线交x轴于点Q,直线l1经过
点Q且垂直于x轴.
(1)求线段OQ的长;
(2)设不经过点P和Q的动直线l2:x=my+b交曲线C于点A和B,交l1于点E,若直
线PA,PE,PB的斜率依次成等差数列,试问:l2是否过定点?请说明理由.
解 (1)由抛物线上的点P(2,t)到焦点的距离为,得2+,所以n=2,
则抛物线方程为y2=2x,所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为
y=,则y'=.故曲线C在点P处的切线斜率k=
,切线方程为
y-2=(x-2).
令y=0得x=-2,所以点Q(-2,0),故线段OQ=2.
2
(2)由题意知l1:x=-2,因为l2与l1相交,所以m≠0.
设l2:x=my+b,令x=-2,得y=-,故E,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x得y2-2my-2b=0,则y1+y2=2m,y1y2=-2b,直线PA的斜率为
,
同理直线PB的斜率为,直线PE的斜率为.
因为直线PA,PE,PB的斜率依次成等差数列,
所以=2,即,
因为l2不经过点Q,所以b≠-2.
所以2m-b+2=2m,即b=2.
故l2:x=my+2,即l2恒过定点(2,0).
3.(2017江西九江二模,理20)
已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,F1,F2为椭
圆的左、右焦点.M为椭圆上任意一点,△MF1F2面积的最大值为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C上的任意一点N(x0,y0),从原点O向圆N:(x-x0)2+(y-y0)2=3作两条切
线,分别交椭圆于A,B两点.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出其值;若不
是,请说明理由.
解 (1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),由题意可得c=2,
△MF1F2面积的最大值为4,可得当M位于椭圆短轴端点处时取得最大值.
即有b·2c=4,解得b=2,a2=b2+c2=4+8=12,
3
则椭圆方程为=1;
(2)证明:设直线OA:y=k1x,OB:y=k2x,A(x1,y1),B(x2,y2),
设圆N:(x-x0)2+(y-y0)2=3的切线方程为y=kx,
则有,整理得
(-3)k2-2x0y0k+-3=0,k1+k2=,k1k2=≠3),
又因为=1,所以可求得k1k2==-,
将y=k1x代入椭圆方程x2+3y2=12,
得,则,同理可得,所以
|OA|2+|OB|2==16.
所
以|OA|2+|OB|2的值为定值16.
4.(2017辽宁沈阳三模,理20)已知定直线l:y=x+3,定点A(2,1),以坐标轴为对
称轴的椭圆C过点A且与l相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)椭圆的弦AP,AQ的中点分别为M,N,若MN平行于l,则OM,ON斜率之和是否为
定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.
解 (1)设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
椭圆C过点A,所以4m+n=1,①
将y=x+3代入椭圆方程化简得(m+n)x2+6nx+9n-1=0,
因为直线l与椭圆C相切,
所以Δ=(6n)2-4(m+n)(9n-1)=0,②
解①②可得m=,n=,所以椭圆方程为=1.
(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
则有M,N,
4
由题意可知l∥MN,所以kl=kMN=1,设直线MN的方程为y=x+t,
代入椭圆方程并化简得3x2+4tx+2t2-6=0,
由题意可知③
kOM+kON=
,
通分后可变形得到kOM+kON
=
,
将③式代入分子kOM+kON
=
==
0,
所以OM,ON斜率之和为定值0.
5.(2017陕西渭南二模,理20)已知P,Q是椭圆E:=1(a>b>0)上关于原点
O
对称的任意两点,且点P,Q都不在x轴上.
(1)若D(a,0),求证:直线PD和QD的斜率之积为定值;
(2)若椭圆长轴长为4,点A(0,1)在椭圆E上,设M,N是椭圆上异于点A的任意两
点,且AM⊥AN,问直线MN是否过一个定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定
点,请说明理由.
解 (1)由题意可知P(m,n),则Q(-m,-n),
由=1,则n2=b2,由D(a,0),则
kPD·kQD==-
,
故直线PD和QD的斜率之积为定值.
(2)直线MN过定点,理由如下:
由2a=4,a=2,b=1,则椭圆方程为+y2=1,
5
当直线MN的斜率k=0时,则M,N,直线MN的方程为y=-,
当直线斜率存在,且k≠0,则直线MN的方程:y=kx+t,M(x1,y1),N(x2,y2),
则整理得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,x1+x2=-,x1x2=,
由AM⊥AN,则=0,(1+k2)x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=0,
则(1+k2)×+k(t-1)+(t-1)2=0,
整理得5t2-2t-3=0,解得t=-或t=1(舍去),
则直线MN的方程为y=kx-,且直线MN恒过点,
综上可知:直线MN过定点.
6.(2017河北邯郸二模,理20)已知F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆
G:=1(0
|PF1|-|PF2|=a.
(1)求椭圆G的方程;
(2)设直线l与椭圆G相交于A,B两点,若,其中O为坐标原点,判断O到
直线l的距离是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
解 (1)由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a.
由|PF1|-|PF2|=a,
∴|PF1|=a=3|PF2|
,
则=3,化简得c2-5c+6=0,
由c
6
故椭圆的标准方程为=1;
(2)由题意可知,直线l不过原点,设A(x1,y1),B(x2,y2),
①当直线l⊥x轴,直线l的方程为x=m(m≠0),且-2
则x1=m,y1=,x2=m,y2=-,
由,∴x1x2+y1y2=0,
即m2-=0,解得m=±,
∴直线l的方程为x=±
,
故原点O到直线l的距离d=.
②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+n
,
则消去y整理得(1+2k2)x2+4knx+2n2-8=0,x1+x2=-,x1x2=,
则y1y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2x1x2+kn(x1+x2)+n2=.
由,∴x1x2+y1y2=0,∴=0,
整理得3n2-8k2-8=0,即3n2=8k2+8,①
则原点O到直线l的距离d=,
∴d2=,②
将①代入②,则d2=,∴d=,
综上可知:点O到直线l的距离为定值.