北师大版数学九年级下册 3.3 垂径定理1 教案

*3.3 垂径定理
1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点) 2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点) 一、情境导入 如图①某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图②所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你能算出大石头的半径吗？ 二、合作探究 探究点一：垂径定理 【类型一】 利用垂径定理求直径或弦的长度 如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( ) A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm 解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝3.∴OD＝23，∴AB＝43.故选D. 方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 垂径定理的实际应用

如图，一条公路的转弯处是一段圆弧
(图中的AB︵)，点O是这段弧的圆心，C是AB︵上
一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝
50m，则这段弯路的半径是________m.
解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB
＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股
定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.
故答案为250.
方法总结：将实际问题转化为数学问题，
再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识
进行解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
堂达标训练”第8题
【类型三】 垂径定理的综合应用
如图，已知圆O的直径AB垂直于弦
CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且
CF⊥AD.(1)请证明：点E是OB的中点；(2)若
AB＝8，求CD的长．

解析：(1)要证明E是OB的中点，只要求
证OE＝12OB＝12OC，即∠OCE＝30°；(2)在直
角△OCE中，根据勾股定理可以解得CE的长，
进而求出CD的长．
(1)证明：连接AC，如图，∵直径AB垂直

于弦CD于点E，∴AC︵＝AD︵，∴AC＝AD.∵过
圆心O的直线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是
AD的垂直平分线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝
CD，即△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°.
在Rt△COE中，OE＝12OC，∴OE＝12OB，∴
点E为OB的中点； (2)解：在Rt△OCE中，AB＝8，∴OC＝OB＝12AB＝4.又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝OC2－OE2＝16－4＝23，∴CD＝2CE＝43. 方法总结：解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题 探究点二：垂径定理的推论 【类型一】 利用垂径定理的推论求角的度数 如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是AB︵、AC︵的中点，则∠MON的度数是( ) A．100° B．110° C．120° D．130° 解析：已知M、N分别是AB︵、AC︵的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题． 【类型二】 利用垂径定理的推论求边的长度 如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．
解析：运用垂径定理先证出EF是△ABP
的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求
的EF与AB建立关系，从而解决问题．
解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴
AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，

∴EF＝12AB＝12×10＝5(cm)．
方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也
不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决
问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问
题时才能得心应手．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
后巩固提升”第2题
【类型三】 动点问题
如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝
8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度
范围．

解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最
长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP
最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP
的长．
解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，

由垂径定理，得AD＝DB＝12AB＝4cm.又∵⊙O
的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt
△AOD中，由勾股定理，得OD＝OA2－AD2＝
3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范
围是3cm≤OP≤5cm.
方法总结：解题的关键是明确OP最长、
最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易
出错的地方是不能确定最值时的情况．
三、板书设计
垂径定理
1．垂径定理
2．垂径定理的推论

垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，
由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混
淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学
方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，
课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，
并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环
环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收
到了很好的教学效果.