2017-2018学年广东省深圳市高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

2017-2018学年广东省深圳市高二下学期期中试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数Z=在复平面上（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数函数f （x ）=（x ﹣3）e x 的单调递增区间是（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（0，3）C ．（1，4）D ．（2，+∞）3．下列各式中值为1的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在以下的类比推理中结论正确的是（ ） A ．若a •3=b •3，则a=b 类比推出 若a •0=b •0，则a=bB ．若（a+b ）c=ac+bc 类比推出（c ≠0）C ．若（a+b ）c=ac+bc 类比推出 （a •b ）c=ac •bcD ．若（ab ）n =a n b n 类比推出 （a+b ）n =a n +b n5．设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是，则点P 横坐标的取值范围是（ ）A ．B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[，1]6．用0，1，2，3，4，5 组成没有重复的三位数，其中偶数共有（ ） A ．24个 B ．30个 C ．52个D ．60个7．设函数，则f （x ）（ ） A ．有最小值B ．有最大值C ．是增函数D ．是减函数8．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（ ） A ．三个内角都不大于60° B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°9．曲线y=x2与直线y=2x所围成图形的面积为（）A．B．C．D．10．设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．11．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．19912．设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知当m≤2时，在（﹣1，2）上是“凸函数”．则f（x）在（﹣1，2）上（）A．既有极大值，也有极小值B．既有极大值，也有最小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．计算：（e x﹣）dx= ．14．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种．（用数字作答）15．如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n ≥2）第2个数是．16．对于定义在区间[a，b]上的函数f（x），给出下列命题：（1）若f（x）在多处取得极大值，那么f（x）的最大值一定是所有极大值中最大的一个值；（2）若函数f（x）的极大值为m，极小值为n，那么m＞n；（3）若x0∈（a，b），在x左侧附近f′（x）＜0，且f′（x）=0，则x是f（x）的极大值点；（4）若f′（x）在[a，b]上恒为正，则f（x）在[a，b]上为增函数，其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）已知x+y+z=m，证明：x2+y2+z2≥．18．（12分）已知m∈R，复数z=+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，（1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？19．（12分）已知数列{an }的前n项和Sn满足Sn+an=2n+1，（1）写出a1，a2，a3并猜想an的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．20．（12分）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．21．（12分）已知点A（﹣1，2）是抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x=a（a≠﹣1）交抛物线C于点B，交直线l1于点D．（1）求直线l1的方程；（2）设△BAD的面积为S1，求|BD|及S1的值；（3）设由抛物线C，直线l1，l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1：S2的值为与a无关的常数．22．（12分）已知函数．（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，设函数，若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x0）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．2017-2018学年广东省深圳市高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数Z=在复平面上（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，得到对应点的坐标，判断即可．【解答】解：复数Z===，复数的对应点为（）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查．2．函数函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）=（x﹣3）e x求导，可得f′（x）=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x＞2．故选：D．【点评】本题考查导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系．3．下列各式中值为1的是（）A． B．C． D．【考点】定积分．【分析】分别利用定积分求出各项的值，选择值为1的即可．【解答】解：A 选项∫01xdx=x 2|01=；B 选项∫01（x+1）dx=（x 2+x ）|01=；D 选项=x|01=而C 选项．故选C【点评】此题是一道基础题，要求学生会求定积分的值．4．在以下的类比推理中结论正确的是（ ） A ．若a •3=b •3，则a=b 类比推出 若a •0=b •0，则a=bB ．若（a+b ）c=ac+bc 类比推出（c ≠0）C ．若（a+b ）c=ac+bc 类比推出 （a •b ）c=ac •bcD ．若（ab ）n =a n b n 类比推出 （a+b ）n =a n +b n 【考点】类比推理．【分析】根据等式的基本性质，可以分析①中结论的真假； 根据等式的基本性质，可以分析②中结论的真假； 根据指数的运算性质，可以分析③中结论的真假； 根据对数的运算性质，可以分析④中结论的真假．【解答】解：A 中“若a •3=b •3，则a=b”类推出“若a •0=b •0，则a=b”，结论不正确；B 中“若（a+b ）c=ac+bc 类比推出（c ≠0）结论正确；C 中若（a+b ）c=ac+bc”类比出“（a •b ）c=ac •bc”，结论不正确；D 中“（ab ）n =a n b n ”类推出“（a+b ）n =a n +b n ”，结论不正确． 故选：B ．【点评】本题考查类比推理，其中熟练掌握各种运算性质，是解答本题的关键．5．设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是，则点P 横坐标的取值范围是（ ）A ．B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[，1]【考点】导数的几何意义．【分析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．，【解答】解：设点P的横坐标为x∵y=x2+2x+3，+2，∴y′=2x+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），利用导数的几何意义得2x又∵，∴0≤2x+2≤1，∴．故选：A．【点评】本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．6．用0，1，2，3，4，5 组成没有重复的三位数，其中偶数共有（）A．24个B．30个C．52个D．60个【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，按照个位数字的不同，分2种情况讨论：①、个位数字为0，在1、2、3、4、5 这5个数中任取2个，安排在十位、百位，由排列数公式可得其情况数目，②、个位数字为2或4，分析百位、十位数字的取法数目，由乘法原理可得此时的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求组成三位偶数，其个位数字为0、2、4，则分2种情况讨论：2=20①、个位数字为0，在1、2、3、4、5 这5个数中任取2个，安排在十位、百位，有A5种情况，②、个位数字为2或4，有2种情况，由于0不能在百位，百位数字在其余4个数字中任取1个，有4种情况，十位数字在剩下的4个数字中任取1个，有4种情况，则有2×4×4=32种情况，则有20+32=52种情况，即其中偶数有52个；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，需要注意特殊数位上的数，比如，最高位不能是0，偶数的个位必须是，0、2、4这些数，再根据乘法原理解答即可7．设函数，则f（x）（）A．有最小值B．有最大值C．是增函数D．是减函数【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴函数f（x）=2x+﹣1≥2﹣1=2﹣1，当且仅当x=时取等号，∴f（x）有最小值，无最大值，故选：A【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．8．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（）A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°【考点】反证法的应用．【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．【解答】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．故选：B．【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．9．曲线y=x2与直线y=2x所围成图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】联立解方程组，得到曲线y=x2及直线y=2x的交点是（0，0）和A（2，4），由此可得两个图象围成的面积等于函数y=2x﹣x2在[0，2]上的积分值，根据定积分计算公式加以计算，即可得到所求面积．【解答】解：由，解得曲线y=x2与直线y=2x的图象交点为（0，0），（2，4）因此，曲线y=x2及直线y=2x所围成的封闭图形的面积是S=（2x﹣x2）dx=（x2﹣x3）=；故选C．【点评】本题考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识．10．设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据解析式判断y的取值范围，再结合四个选项中的图象位置即可得出正确答案．【解答】解：由题，=（x﹣a）2的值大于等于0，故当x＞b时，y＞0，x＜b时，y≤0．对照四个选项，C选项中的图符合故选C．【点评】本题考查了高次函数的图象问题，利用特殊情况x＞b，x＜b时y的符号变化确定比较简单．11．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．199【考点】归纳推理．【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故选C．【点评】本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．12．设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知当m≤2时，在（﹣1，2）上是“凸函数”．则f（x）在（﹣1，2）上（）A．既有极大值，也有极小值B．既有极大值，也有最小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据函数恒成立，得出m的值，利用函数单调性得出结果．【解答】解：因，f″（x）=x﹣m＜0对于x∈（﹣1，2）恒成立．=2，又当m=2时也成立，有m≥2．而m≤2，∴m=2．∴m＞（x）max于是，由f′（x）=0x=或x=2+（舍去），f（x）（﹣1，2﹣）上递增，在（2﹣，2）上递减，只有C正确．故选C【点评】本题主要考查导数和函数知识及利用导数判断函数单调性，属于基础知识，基本运算的考查．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．计算：（e x﹣）dx= e2﹣e﹣ln2 ．【考点】定积分．【分析】根据定积分的法则计算即可【解答】解：（e x﹣）dx=（e x﹣lnx）=e2﹣e﹣ln2，故答案为：e2﹣e﹣ln2．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．14．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有96 种．（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先给最左边一块涂色，有24种结果，再给左边第二块涂色，最后涂第三块，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）=96种．故答案为：96．【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是注意条件中所给的相同的区域不能用相同的颜色，因此在涂第二块时，要不和第一块同色．15．如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是．【考点】归纳推理．【分析】依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有an+1=an+n（n≥2），再由累加法求解即可．【解答】解：依题意an+1=an+n（n≥2），a2=2所以a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，…，an﹣an﹣1=n累加得 an ﹣a2=2+3+…+（n﹣1）=∴故答案为：【点评】本题考查学生的读图能力，通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，属于中档题．16．对于定义在区间[a，b]上的函数f（x），给出下列命题：（1）若f（x）在多处取得极大值，那么f（x）的最大值一定是所有极大值中最大的一个值；（2）若函数f（x）的极大值为m，极小值为n，那么m＞n；（3）若x0∈（a，b），在x左侧附近f′（x）＜0，且f′（x）=0，则x是f（x）的极大值点；（4）若f′（x）在[a，b]上恒为正，则f（x）在[a，b]上为增函数，其中正确命题的序号是（4）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】对于定义在区间[a，b]上的函数f（x），给出下列命题：（1）若f（x）在多处取得极大值，那么f（x）的最大值不一定是所有极大值中最大的一个值，也可能是区间端点处的函数值；（2）若函数f（x）的极大值为m，极小值为n，那么m＞n，m=n，m＜n都有可能；（3）若x0∈（a，b），在x左侧附近f′（x）＜0，且f′（x）=0，还必须要求在x右侧附近f′（x）＞0则x是f（x）的极大值点；（4）利用闭区间上的导数与函数的单调性的关系即可得出．【解答】解：对于定义在区间[a，b]上的函数f（x），给出下列命题：（1）若f（x）在多处取得极大值，那么f（x）的最大值不一定是所有极大值中最大的一个值，也可能是区间端点处的函数值，因此不正确；（2）若函数f（x）的极大值为m，极小值为n，那么m＞n，m=n，m＜n都有可能，因此不正确；（3）若x0∈（a，b），在x左侧附近f′（x）＜0，且f′（x）=0，还必须要求在x右侧附近f′（x）＞0则x是f（x）的极大值点，因此不正确；（4）若f′（x）在[a，b]上恒为正，则f（x）在[a，b]上为增函数，正确．综上可得：只有（4）正确．故答案为：（4）．【点评】本题考查了闭区间上的导数与函数的单调性的关系极值与最值的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）（2016春•宝安区校级期中）已知x+y+z=m，证明：x2+y2+z2≥．【考点】不等式的证明．【分析】运用重要不等式a2+b2≥2ab，和累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证．【解答】证明：由于x2+y2≥2xy，y2+z2≥2yz，z2+x2≥2zx，相加可得，2x2+2y2+2z2≥2xy+2yz+2zx，再同时加x2+y2+z2，即有3（x2+y2+z2）≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx，即为3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2，即x2+y2+z2≥（当且仅当x=y=z取得等号）．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查重要不等式的运用，由累加法和完全平方公式是解题的关键．18．（12分）（2015春•海南校级期末）已知m ∈R ，复数z=+（m 2+2m ﹣3）i ，当m 为何值时， （1）z 为实数？ （2）z 为虚数？ （3）z 为纯虚数？【考点】复数的基本概念．【分析】（1）利用“z 为实数等价于z 的虚部为0”计算即得结论； （2）利用“z 为虚数等价于z 的实部为0”计算即得结论；（3）利用“z 为纯虚数等价于z 的实部为0且虚部不为0”计算即得结论． 【解答】解：（1）z 为实数⇔m 2+2m ﹣3=0且m ﹣1≠0， 解得：m=﹣3；（2）z 为虚数⇔m （m+2）=0且m ﹣1≠0， 解得：m=0或m=﹣2；（3）z 为纯虚数⇔m （m+2）=0、m ﹣1≠0且m 2+2m ﹣3≠0， 解得：m=0或m=﹣2．【点评】本题考查复数的基本概念，注意解题方法的积累，属于基础题．19．（12分）（2016春•宝安区校级期中）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +a n =2n+1， （1）写出a 1，a 2，a 3并猜想a n 的表达式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想． 【考点】数学归纳法；归纳推理．【分析】（1）利用S n +a n =2n+1，代入计算，可得结论，猜想a n =2﹣（n ∈N *）．（2）用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．【解答】解：（1）由S n +a n =2n+1得a 1=，a 2=，a 3=，故猜想a n ==2﹣（n ∈N *）．（2）证明①当n=1时a 1=，结论成立，②假设当n=k 时结论成立，即a k =2﹣，则当n=k+1时，a k+1=S k+1﹣S k =2（k+1）+1﹣a k+1﹣（2k+1﹣a （2k+1﹣a k ））∴2a k+1=a k +2=4﹣，∴a k+1=2﹣，即当n=k+1时结论成立．由①②知对于任何正整数n ，结论成立．【点评】此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k 成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而得证，这是数列的通项一种常用求解的方法20．（12分）（2008•四川）已知x=3是函数f （x ）=aln （1+x ）+x 2﹣10x 的一个极值点． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b 与函数y=f （x ）的图象有3个交点，求b 的取值范围． 【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求导，再由x=3是函数f （x ）=aln （1+x ）+x 2﹣10x 的一个极值点即求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）确定f （x ）=16ln （1+x ）+x 2﹣10x ，x ∈（﹣1，+∞）再由f′（x ）＞0和f′（x ）＜0求得单调区间．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f （x ）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x ）=0，可得f （x ）的极大值为f （1），极小值为f （3）一，再由直线y=b 与函数y=f （x ）的图象有3个交点则须有f （3）＜b ＜f （1）求解，因此，b 的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．【解答】解：（Ⅰ）因为所以因此a=16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=16ln （1+x ）+x 2﹣10x ，x ∈（﹣1，+∞）当x ∈（﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x ）＞0 当x ∈（1，3）时，f′（x ）＜0所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的单调减区间是（1，3）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2﹣9，极小值为f（3）=32ln2﹣21因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣2﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1）因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．【点评】此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；，熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围．21．（12分）（2016春•宝安区校级期中）已知点A（﹣1，2）是抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x=a（a≠﹣1）交抛物线C于点B，交直线l1于点D．（1）求直线l1的方程；（2）设△BAD的面积为S1，求|BD|及S1的值；（3）设由抛物线C，直线l1，l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1：S2的值为与a无关的常数．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．【分析】（1）由y=2x2，得y′=4x．当x=﹣1时，y'=﹣4．由此能求出l1的方程．（2）由，得：B点坐标为（a，2a2）．由，得D点坐标（a，﹣4a﹣2）．点A 到直线BD 的距离为|a+1|．由此能求出|BD|及S 1的值．（3）当a ＞﹣1时，S 1=（a+1）3，S 2=∫﹣1a [2x 2﹣（﹣4x ﹣2）]dx=∫﹣1a（2x 2+4x+2）dx=．S 1：S 2=．当a ＜﹣1时，S 1=﹣（a+1）3，S 2=∫a ﹣1[2x 2﹣（﹣4x ﹣2）]dx=∫a ﹣1（2x 2+4x+2）dx=．S 1：S 2=，综上可知S 1：S 2的值为与a 无关的常数，这常数是．【解答】解：（1）由y=2x 2，得y′=4x．当x=﹣1时，y'=﹣4．（2分） ∴l 1的方程为y ﹣2=﹣4（x+1），即y=﹣4x ﹣2．（3分）（2）由，得：B 点坐标为（a ，2a 2）．（4分）由，得D 点坐标（a ，﹣4a ﹣2）．∴点A 到直线BD 的距离为|a+1|．（6分） |BD|=2a 2+4a+2=2（a+1）2 ∴S 1=|a+1|3．（7分）（3）当a ＞﹣1时，S 1=（a+1）3，（8分） S 2=∫﹣1a [2x 2﹣（﹣4x ﹣2）]dx =∫﹣1a （2x 2+4x+2）dx==．（9分）∴S 1：S 2=．（11分） 当a ＜﹣1时，S 1=﹣（a+1）3 S 2=∫a ﹣1[2x 2﹣（﹣4x ﹣2）]dx =∫a ﹣1（2x 2+4x+2）dx=．（13分）∴S 1：S 2=，综上可知S 1：S 2的值为与a 无关的常数，这常数是．（14分）【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意双曲线的性质、导数、定积分的灵活运用，合理地进行等价转化．22．（12分）（2016春•宝安区校级期中）已知函数．（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，设函数，若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x0）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数在x=1处的值，求出导函数，求出导函数在x=1处的值即切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．（2）通过g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，通过对p的讨论，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范围．【解答】解：（1）当p=2时，函数，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2．从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即y=2x﹣2．（2）．令h（x）=px2﹣2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．∵在[1，e]上是减函数，∴x=e时，g（x）min =2；x=1时，g（x）max=2e，即g（x）∈[2，2e]，当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max ＞g（x）min，x∈[1，e]，而，g（x）min=2，即，解得，而，所以实数p的取值范围是．【点评】解决曲线的切线问题，常利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切线方程；解决函数单调性已知求参数范围问题，常令导函数大于等于0（小于等于0）恒成立，求出参数的范围．。