2019-2020年高三数学总复习专题一第3讲基本初等函数、函数与方程及函数应用(2)教学案

2019-2020年高三数学总复习专题一第3讲基本初等函数、函数与方程及函数应
用（2）教学案

教学内容：基本初等函数、函数与方程及函数应用（2）
教学目标
掌握基本初等函数的图象及性质。理解函数与方程的关系，掌握函数的应用。
教学重点：
二次函数、指数函数、对数函数及简单的复合函数。
教学难点：
单调性、奇偶性、周期性等综合应用．

教学过程：
一、基础训练：

1．设函数f(x)＝ 21－x，x≤1，1－log2x，x>1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．
答案 [0，＋∞)
解析 当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；

当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥12，所以x>1.综上可知x≥0.

2．已知函数f(x)＝ －＋5，x≤1，2ax，x>1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取
值范围是________．
答案 (0,2]

解析 由题意，得 a－3<0，a>0，a－3＋5≥2a，解得03．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，
f(x)＝ ＋x＋4，，－x，， 则f(x)的值域是______________________．
答案 [－94，0]∪(2，＋∞)
解析 由x2；

由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.∴f(x)＝ x2＋x＋2，x<－1或x>2，x2－x－2，－1≤x≤2.

复备栏
即f(x)＝ ＋12＋74，x<－1或x>2，－12－94，－1≤x≤2.
当x<－1时，f(x)>2；当x>2时，f(x)>8.
∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．

当－1≤x≤2时，－94≤f(x)≤0.

∴当x∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．
综上可知，f(x)的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．

4．已知f(x)＝ －2x －，x ， 则下列函数的图象错误的是________．

解析 先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1
个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此①正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴
的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此②正确；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y
＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，③正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个
偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝x，相应这部分图象不是一条线段，因此④不正确．

二、例题教学：
例1 (2014·常州信息卷)某商场分别投入x万元，经销甲、乙两种商品，可分别获得
利润y1、y2万元，利润曲线分别为C1：y1＝max＋b，C2：y2＝cx，其中m，a，b，
c都为常数．如图所示：
(1)分别求函数y1、y2的解析式；
(2)若该商场一共投资12万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最小值．(可
能要用的数ln 2≈0.7)

[解] (1)由函数y1＝m·ax＋b过点(0,0)，(2，516)，(4，2516)可得




m＋b＝0
m·a2＋b＝
5
16

m·a4＋b＝
25
16

，

可得 a＝2b＝－548m＝548
∴y1＝548·2x－548.
由函数y2＝cx过点(3，74)可得c＝712，∴y2＝712x.
(2)设该商场经销甲商品投入x万元，乙商品投入12－x万元，该商场所获利润为y
万元，

则y＝y1＋y2＝548·2x－548＋712(12－x)

＝548·2x－712x＋33148，
y′＝548·2xln 2－712＝548·7102x－712＝796·2x－712，
令y′＝0可得x＝3，y′在(0,3)单调递增，
∴当x∈(0,3)，y′<0，y在(0,3)单调递减，当x∈(3，＋∞)，y′>0，y在(3，＋∞)单调递
增，

当x＝3时，利润y有最小值28748.

所以该商场所获利润的最小值为28748.
[方法归纳] 应用函数模型解决实际问题的一般程序是：
读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈
检验作答

与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、
面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，
然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．

例2 (2014·连云港高考最后一讲)经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满
载)到相距400 km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100 km所消耗
的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)的关系近似地满足u＝




100
v
＋23，0＜v≤50，

v2
500
＋20，v＞50.

除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300

元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．
(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；
(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？解：(1)由题意，当0

＜v≤50时，y＝7.5·400100u＋300·400v＝30·100v＋23＋300·400v＝123 000v＋690，

当v＞50时，y＝7.5·400100u＋300·400v＝30·v2500＋20＋300·400v＝3v250＋120 000v＋600，

所以y＝ 123 000v＋690，0＜v≤50，3v250＋120 000v＋600，v＞50.
(2)当0＜v≤50时，y＝123 000v＋690是单调减函数，
故v＝50时，y取得最小值ymin＝123 00050＋690＝3 150；
当v＞50时，y＝3v250＋120 000v＋600(v＞50)，
由y′＝3v25－120 000v2＝－25v2＝0，得v＝100.
当50＜v＜100时，y′＜0，函数y＝3v250＋120 000v＋600单调递减；
当v>100时，y′>0，函数y＝3v250＋120 000v＋600单调递增．
所以当v＝100时，y取得最小值ymin＝3×100250＋120 000100＋600＝2 400.
由于3 150＞2 400，所以当v＝100时，y取得最小值．
即当卡车以100 km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．
课后反思：

巩固练习：
1．设函数f(x)＝ log12x，x>0，－，x<0.若f(m)>f(－m)，则实数m的取值范围是
________．
答案 (－∞，－1)∪(0,1)

解析 若m>0，则－m<0，f(m)＝12logm＝－log2m，f(－m)＝log2m，由f(m)>f(－m)，
得－log2m>log2m，即log2m<0,00，f(－m)＝log12 (－m)＝－
log2(－m)，f(m)＝log2(－m)，由f(m)>f(－m)得log2(－m)>－log2(－m)，解得m<－1.

2．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝ a，a－b≤1，b，a－b>1.设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，
x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是
____________________．

答案 (－∞，－2]∪(－1，－34)

解析 f(x)＝ x2－2，x2－2－－，x－x2，x2－2－－，

即f(x)＝ x2－2，－1≤x≤32，x－x2，x<－1或x>32，
f(x)的图象如图所示，由图象可知c的取值范围为
(－∞，－2]∪(－1，－34)．

7．已知函数f(x)＝ log2x，x>0，＋＋1，x≤0，则f(－3)的值为________．
答案 2
解析 f(－3)＝f(－1)＋1＝f(1)＋2＝2.

8．已知函数f(x)＝ x2＋2ax，x≥2，2x＋1，x<2，若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
答案 －1解析 由分段函数可得f(f(1))＝f(3)＝6a＋9，
故f(f(1))>3a2⇔6a＋9>3a2，解得－1