相似三角形---射影定理的运用

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相似三角形------射影定理的推广及应用

射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中
应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三
角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其
它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，
“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。
一、射影定理
射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边
上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，
则有ＣD２＝ＢＤ•AD、
ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或
ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）
二、变式推广
１．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•
ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢ
Ｃ为直角三角形。
（证明略）
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后
文简称：射影定理变式（2））
如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠
ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△Ａ
ＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，
可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
（证明略）
三、应用
例１ 如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，
求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２
分析： 易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可
得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）
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例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，
求ＤＣ。
分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，
故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８
(解略)
例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交
ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，
求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，
∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，
∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，
∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，
∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，
∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共，
∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦCＦ，

∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
射影定理练习
【选择题】
1、已知直角三角形ABCV中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，DEAB交AB于E，且AD=3.2cm，
则DE= （ ）
A、1.24cm B、1.26cm C、1.28cm D、1.3cm
2、如图1-1，在RtABCV中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段
的长，就可以求其他线段的长
A、1 B、2 C、3 D、4
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3、在RtABCV中，90BACo，ADBC于点D，若34ACAB，则BDCD（ ）

A、34 B、43 C、169 D、916
4、如图1-2，在矩形ABCD中，1,3DEACADECDE，则EDB（ ）
A、22.5o B、30o C、45o D、60o
【填空题】
5、ABCV中，90Ao，ADBC于点D，AD=6，BD=12，则CD= ，AC=

，22:ABAC= 。
6、如图2-1，在RtABCV中，90ACBo，CDAB，AC=6，AD=3.6，则BC= ．

【解答题】
7、已知CD是ABCV的高，,DECADFCB，如图3-1，求证：CEFCBAVV∽

8、已知90CABo，ADCB，ACEV，ABFV是
正三角

形，求证：DEDF

9、如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中
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点，DEAM，E是垂足，求证：2224abDEab

10、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求
证：
（1）△AED∽△CBM；
（2）AE•CM=AC•CD．

11、已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，过点B做射线BG，交AD、AC于E、F两点，与
过点C平行于AB的直线交于点G。
求证： （1）BE2=EF•EG
（2）若过点B的射线交AD\AC 的射线ＡＤ、ＡＣ的延长线分别于Ｅ、Ｆ两点，与过C平行于
ＡＢ的直线交于点Ｇ，则（）的结论是否成立，若成立，请说明理由。

参考答案
1、C 2、B 3、C 4、C
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5、3,35,4:1
6、 8
7、证明：在RtADCV中，由射影定律得，

2CDCEACg，在RtBCDV中，2
CDCFBCg

,CEBCCEACCFBCCFACgg
又ECFBCAQ，CEFCBAV:V
8、证明：如图所示，在RtBACV中，22,ACCDCBABBDBCgg

22
2
ACCDCDCDCDAD

ABBDCDBDADADBDg

,,AEADACAEABAFBFBDQ
60,60,FBDABDEADCADABDCADoo又
FBDEAD
，,EADFBDBDFADEV:V

90FDEFDAADEFDABDF
o
DEDF

9、证明：在RtAMBV和RtADEV中，AMBDAE，90ABMAEDo
所以RtAMBV～RtADEV

所以ABAMDEAD，因为AB=a，BC=b，
所以2222244ABADababDEAMbabagg

10、证明：（1）∵△ABC是直角三角形，
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∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
即∠MCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠MCB，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠DMB=90°，
∵DH⊥BM，
∴∠1+∠DMB=90°，
∴∠1=∠2，
又∵∠ADE=90°+∠1，∠CMB=90°+∠2，
∴∠ADE=∠CMB，
∴△AED∽△CBM；

（2）∵△AED∽△CBM，
∴AE：AD=CB：CM，
∴AE•CM=AD•CB，
∵△ABC是直角三角形，CD是AB上的高，
∴△ACD∽△CBD，
∴AC：AD=CB：CD，
∴AC•CD=AD•CB，
∴AE•CM=AC•CD．
11、连结EC。证明先BE=EC。再证△ CEF∽△ GEC