二次函数的概念PPT课件
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二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
二次函数的概念 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
知识回顾
1、一元二次方程的一般形式是什么？ 2、函数定义是什么？ （在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于 x在某一范围内的每一个确定的值，变量y都有 一个唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x 的函数，其中x是自变量，y是x的函数．）
3、一次函数，正比例函数的一般形式是 什么？
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？
合作学习，探索新知 :
上述几个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
（1）关系式都是整式， （2）自变量的最高次数是二次， （3）二次项系数不等于零
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2
知识运用
2、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (5)y=x-2+x
(4) y -2x2 +2
(6)y=x2-x(1+x)
(7) y x2 +2x 3
(8) y (x 2)(x 3)
解：(1) y x(20 2x)
2x2 + 20x (o<x<10)
(2) y 2 32 + 20 3 42m
• P41 1 2
作业
结束寄语
• 生活是数学的源泉.
• 探索是数学的生命线.
解: （1）由题意得： S 6a2 (a 0) 其中S是a的二次函数
；
x2
（2）由题意得:y Fra bibliotek(x 0)4
1、一元二次方程的一般形式是什么？ 2、函数定义是什么？ （在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于 x在某一范围内的每一个确定的值，变量y都有 一个唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x 的函数，其中x是自变量，y是x的函数．）
3、一次函数，正比例函数的一般形式是 什么？
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？
合作学习，探索新知 :
上述几个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
（1）关系式都是整式， （2）自变量的最高次数是二次， （3）二次项系数不等于零
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2
知识运用
2、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (5)y=x-2+x
(4) y -2x2 +2
(6)y=x2-x(1+x)
(7) y x2 +2x 3
(8) y (x 2)(x 3)
解：(1) y x(20 2x)
2x2 + 20x (o<x<10)
(2) y 2 32 + 20 3 42m
• P41 1 2
作业
结束寄语
• 生活是数学的源泉.
• 探索是数学的生命线.
解: （1）由题意得： S 6a2 (a 0) 其中S是a的二次函数
；
x2
（2）由题意得:y Fra bibliotek(x 0)4
二次函数(复习课)课件
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
《二次函数》中考总复习PPT课件
y
o
x
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：
01
x
02
y
03
o
04
快速回答：
03
y
02
x
01
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：
04
o
快速回答：
典型例题1. 如图,是抛物线y=ax2+bx+c的图像，则①a 0;②b 0;c 0;a+b+c 0; a-b+c 0;b2-4ac 0;2a-b 0;
当 时，是二次函数；
当 时，是一次函数；
当 时，是正比例函数；
驶向胜利的彼岸
驶向胜利的彼岸
2，函数 当m取何值时，
A
4、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 ( ) A.(1，3) B.(1，0) C.;b+c
当x=-1时,y=a-b+c
a <0,b <0,c>0
- 与-1比较
与x轴交点个数
令x=1，看纵坐标
令x=-1，看纵坐标
令x=2，看纵坐标
令x=-2，看纵坐标
A
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：
B
x
C
o
D
y
快速回答：
A
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：
B
二次函数ppt课件
22.1.1 二次函数
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
《二次函数》PPT优秀课件
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是 函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1 （是）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式 ，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数是否是 二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1
正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面 积为y,显然对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的 具体关系可以表示为
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些 是常数、自变量和函数．
函数解析式 y=6x2
自变量 x
函数 y
这些函数有什么 共同点？
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫做二 次函数.
y =-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）.
xm
xm
y m2
（40-2x ）m
方法点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数 学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等.
巩固练习
做一做: ①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式； ②王先生存入银行2万元,先y=存πx一2 个(x一>0年) 定期，一年后银行将本息自动转存为 又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万 元,写出y与x之间的函数关系式； ③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
二次函数ppt课件
y=(100+x)(600-5x) =-5x²+100x+60000.
根据函数的
定义判断.
(4)关系式y==-5x²+100x+60000中，y是x的函数吗？
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
二、自主合作，探究新知
问题2：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是
说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银
一元二次方程 ＋＋＝（ ≠ ）有什么联系和区别？
二、自主合作，探究新知
知识要点
二次函数的一般式 = ＋＋（ ≠ ）与一元二次方程
＋＋＝（ ≠ ）的联系和区别：
联系：(1)等式一边都是＋＋且 ≠ ；
(2)方程＋＋ = 可以看成是函数 = ＋＋中 = 时得到的.
又∵x+1<2x≤12，
∴1<x≤6，
即y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)，
∴y是x的二次函数.
三、即学即练，应用知识
1．下列函数中，是的二次函数的是 (
A．y＝2x＋1
C． ＝3x＋1
B
)
B． = +
D． =
+
2.函数 = ( − ) + + 是二次函数的条件是(
子的个数、橙子的质量等；
自变量：橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；
因变量：橙子的个数、橙子的质量等．
二、自主合作，探究新知
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树
结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
根据函数的
定义判断.
(4)关系式y==-5x²+100x+60000中，y是x的函数吗？
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
二、自主合作，探究新知
问题2：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是
说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银
一元二次方程 ＋＋＝（ ≠ ）有什么联系和区别？
二、自主合作，探究新知
知识要点
二次函数的一般式 = ＋＋（ ≠ ）与一元二次方程
＋＋＝（ ≠ ）的联系和区别：
联系：(1)等式一边都是＋＋且 ≠ ；
(2)方程＋＋ = 可以看成是函数 = ＋＋中 = 时得到的.
又∵x+1<2x≤12，
∴1<x≤6，
即y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)，
∴y是x的二次函数.
三、即学即练，应用知识
1．下列函数中，是的二次函数的是 (
A．y＝2x＋1
C． ＝3x＋1
B
)
B． = +
D． =
+
2.函数 = ( − ) + + 是二次函数的条件是(
子的个数、橙子的质量等；
自变量：橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；
因变量：橙子的个数、橙子的质量等．
二、自主合作，探究新知
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树
结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
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第1课 二次函数的概念
温故知新
一次函数的概念：函数y=_k_x__＋__b_(k、b为常数， k__≠_０___)叫做一次函数。特别的当b__=_０__时，函数 y=_k_x__(k_≠_０__)叫做正比例函数。
★理解一次函数概念应注意下面3点： （1）、解析式两边是整式 （2）、解析式中自变量x的次数是__1_次， （3）、系数K__≠_0__。
2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的 一边为x,矩形的面积为y,求： (1)写出y关于x的函数表达式和自变
量的取值范围. (2)当x=3时,矩形的面积为多少?
3.当k=_______时,函数y=(k-1)xk2+1+3x 是二次函数.
4.说出二次函数y=-x2+8x-1的一次 项系数，二次项系数和常数项.
注意:当二次函 数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.
例3: 如图，一张正方形纸板的边长为2cm,将它 剪去4个全等的直角三角形 (图中阴影部分 ) ， 设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形 EFGH的面积为 y(cm2)
(l)求y关于 x的函数表达式和自变量x的取值范围；
｛1 p q 4 4 2 p q 5
解 得 ， p12,q15.
所 求 的 二 次 函 数 是 y x 2 1 2 x 1 5
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y (cm2 )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
课堂收获与小结： 1、理解二次函数的概念
2、会确定二次函数的二次项系数、一次项系
数、常数项.
3、会求简单的二次函数表达试 4、会运用简单二次函数表达式解决的简单应用
作业
1.下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (3)y=3x3+2x2 (5)y=
(2)y=3x2 (4)y=2x2-2x+1 (6)y=x2-x(1+x)
第1课 二次函数的概念
第22章 二次函数
授课老师：曹志洋老师
授课课时：10节课
第1课 二次函数的相关概念
学习目标 1、理解二次函数的概念
2、会确定二次函数的二次项系数、一次项系
数、常数项.
3、会求简单的二次函数表达试 4、会运用简单二次函数表达式解决的简单应用
请用适当的函数表达式表示下列问题情境中的两个 变量 y 与 x 之间的关系：
(2)当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75 时 ，求对应的 四边形EFGH的 面积y，并列表表示.
D
2–X
GX C
X
x 0.25 0.5 1 1.5 1.75
H
2–X
y
2
2–X
F
X
AX E
2–X
B
填表
x 0.25 0.5 1 1.5 1.75
y
25 8
5 2
2
5 25 28
请大家分析上表，分组讨论一下：
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常
数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项.
下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2
是
1 (2)y
x2 (3 ) y x (1 x )
不是 是
( 4 ) y ( x 1 ) 2 x 2 不是
则
m 2 m 2， (1) m 2 1 0.(2)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得： m 1且m 1
所以m=2
例2：已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的表达式.
解 ： 把 x=1,y=4和 x=2,y=-5分 别 代 入 函 数 yx2pxq,得 ：
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
互动学习
例1、已知函数 y=（2k k+3)x+17
-29）x +（
(1) 当k为何值时该函数为一次函数?
并求此函数的解释式 . （2）当k为何值时该函数为二次函数
展示才智考考你
若函数 y (m 2 1)xm2m为二次函数，求m 的值。
解：因为该函数为二次函数，
1
y = (60-x-4)(x-2) 1
1
x(1+x)2 =2x2+4x+2
3.y= (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112
上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征? 经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (其中a,b,c是常数, a≠0)
(1)圆的面积 y ( cm 2)与圆的半径 x ( cm )
y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月 增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的 利润为y
y = 2(1+x)2
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是 一个矩形，周长为120m , 室内通道的尺寸如图,设一 条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。
2.二次函数y=(2x-1)2+2的二次项系数 是________,常数项是______.
3.对于任意实数k,下列函数一定是二次函数的是( )
A、y=(k-1)2x2
B、y= (k+1)2x2
C、 y=(k2+1)x2
D、 y=(k2-1)x2
4、已知二次函数y=ax²+bx+3, 当x=2时,函数值为3, 当x= - 2时, 函数值为2, 求这个二次函数的表达试.
(1)随着x的取值的增大，y的值有怎样的变化？ (2)当x为多少时，四边形EFGH的面积最小？
1、 函y数 a2xbxc其 ( a中 b ,c,是常 )， 数 当 ab ,c,满足什么条件时
(1)它是二次函数?
(2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解：（1）a 0
(2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0, c 0
(5)y=3x-1 不是
特别提醒：先化简后判断
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项. （1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c.
（1） y=-3x2-x-1 （2）y=x2+x （3）y=5x2-6
请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数 的例子 （1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
温故知新
一次函数的概念：函数y=_k_x__＋__b_(k、b为常数， k__≠_０___)叫做一次函数。特别的当b__=_０__时，函数 y=_k_x__(k_≠_０__)叫做正比例函数。
★理解一次函数概念应注意下面3点： （1）、解析式两边是整式 （2）、解析式中自变量x的次数是__1_次， （3）、系数K__≠_0__。
2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的 一边为x,矩形的面积为y,求： (1)写出y关于x的函数表达式和自变
量的取值范围. (2)当x=3时,矩形的面积为多少?
3.当k=_______时,函数y=(k-1)xk2+1+3x 是二次函数.
4.说出二次函数y=-x2+8x-1的一次 项系数，二次项系数和常数项.
注意:当二次函 数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.
例3: 如图，一张正方形纸板的边长为2cm,将它 剪去4个全等的直角三角形 (图中阴影部分 ) ， 设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形 EFGH的面积为 y(cm2)
(l)求y关于 x的函数表达式和自变量x的取值范围；
｛1 p q 4 4 2 p q 5
解 得 ， p12,q15.
所 求 的 二 次 函 数 是 y x 2 1 2 x 1 5
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y (cm2 )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
课堂收获与小结： 1、理解二次函数的概念
2、会确定二次函数的二次项系数、一次项系
数、常数项.
3、会求简单的二次函数表达试 4、会运用简单二次函数表达式解决的简单应用
作业
1.下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (3)y=3x3+2x2 (5)y=
(2)y=3x2 (4)y=2x2-2x+1 (6)y=x2-x(1+x)
第1课 二次函数的概念
第22章 二次函数
授课老师：曹志洋老师
授课课时：10节课
第1课 二次函数的相关概念
学习目标 1、理解二次函数的概念
2、会确定二次函数的二次项系数、一次项系
数、常数项.
3、会求简单的二次函数表达试 4、会运用简单二次函数表达式解决的简单应用
请用适当的函数表达式表示下列问题情境中的两个 变量 y 与 x 之间的关系：
(2)当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75 时 ，求对应的 四边形EFGH的 面积y，并列表表示.
D
2–X
GX C
X
x 0.25 0.5 1 1.5 1.75
H
2–X
y
2
2–X
F
X
AX E
2–X
B
填表
x 0.25 0.5 1 1.5 1.75
y
25 8
5 2
2
5 25 28
请大家分析上表，分组讨论一下：
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常
数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项.
下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2
是
1 (2)y
x2 (3 ) y x (1 x )
不是 是
( 4 ) y ( x 1 ) 2 x 2 不是
则
m 2 m 2， (1) m 2 1 0.(2)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得： m 1且m 1
所以m=2
例2：已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的表达式.
解 ： 把 x=1,y=4和 x=2,y=-5分 别 代 入 函 数 yx2pxq,得 ：
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
互动学习
例1、已知函数 y=（2k k+3)x+17
-29）x +（
(1) 当k为何值时该函数为一次函数?
并求此函数的解释式 . （2）当k为何值时该函数为二次函数
展示才智考考你
若函数 y (m 2 1)xm2m为二次函数，求m 的值。
解：因为该函数为二次函数，
1
y = (60-x-4)(x-2) 1
1
x(1+x)2 =2x2+4x+2
3.y= (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112
上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征? 经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (其中a,b,c是常数, a≠0)
(1)圆的面积 y ( cm 2)与圆的半径 x ( cm )
y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月 增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的 利润为y
y = 2(1+x)2
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是 一个矩形，周长为120m , 室内通道的尺寸如图,设一 条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。
2.二次函数y=(2x-1)2+2的二次项系数 是________,常数项是______.
3.对于任意实数k,下列函数一定是二次函数的是( )
A、y=(k-1)2x2
B、y= (k+1)2x2
C、 y=(k2+1)x2
D、 y=(k2-1)x2
4、已知二次函数y=ax²+bx+3, 当x=2时,函数值为3, 当x= - 2时, 函数值为2, 求这个二次函数的表达试.
(1)随着x的取值的增大，y的值有怎样的变化？ (2)当x为多少时，四边形EFGH的面积最小？
1、 函y数 a2xbxc其 ( a中 b ,c,是常 )， 数 当 ab ,c,满足什么条件时
(1)它是二次函数?
(2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解：（1）a 0
(2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0, c 0
(5)y=3x-1 不是
特别提醒：先化简后判断
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项. （1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c.
（1） y=-3x2-x-1 （2）y=x2+x （3）y=5x2-6
请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数 的例子 （1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。