【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修1-2)练习：3.2.2 复数代数形式的乘除运算 课时作业
2014-2015学年高二下学期数学(人教版选修1-2)第三章3.2.2课时作业含答案
星课时作业»往h 生摊特曲*匕内容单歿曲册酋 ［学业水平训练］1. (2013高考浙江卷)已知i 是虚数单位，则(2 + i)(3 + i)=() A . 5 -5i B . 7 — 5iC . 5 + 5iD . 7 + 5i 解析：选 C.(2 + i)(3 + i) = 6 + 2i + 3i — 1 = 5 + 5i.1 + 2i 1 + 2i 1 + 2i i1 解析：选 B. = ==— 1 + 1i. 1 — i 2 — 2i 22 3.若复数z 满足总=2i ，则z 对应的点位于（）A .第一象限 C .第三象限解析：选B. •亠=2i ,1 + iz = 2i(1 + i) =— 2+ 2i ，故选 B.1 1 — i+ i = + i1+ i1 — i2 1 1 1 1=2— 2i + i = 2+， 件一诂2+新=于.「•z = 2 + i.— 55 .•.Z + = 2+ i + = 2+ i + 2+ i = 4+ 2i.z2 — i)T 2l ( 1 — i 2 ) B . 1 —1 +_ D . 1 1 — 2i 2. (2013高考课标全国卷I1.A . — 1 —歹1C . 1 +』B .第二象限D .第四象限 4. (2014 1A.2C至^>. 2 高考课标全国卷I ）设2 2 B. 古 + i ，则 |z|=( 选 B.z = 解析: 5. （2014郑州质检）若复数z = 2— i , 2 — i 4 + 2iA . C . 解析：选 C. -.z = 2 — i ,则7+5等于(B . 2 + i D . 6 + 3i 6.已知i 是虚数单位，则i 3 i + 1i — 1星课时作业»往h生摊特曲*匕内容单歿曲册酋解析：〔二^ = —i 1 + i = 1 —i =—1.i —1 i—1 —1 —i答案：—17.已知z= (2 —i)3,贝V z^z = __________ .解析：z-7 = |z|2= 1(2—i)32 = ( .5)6= 125.答案：1252&若—=a+ bi(i 为虚数单位，a, b€ R)，贝V a + b= ____________1 —i2解析：’•-- =a+ bi,1 —i2 1 + i= a+ bi,1 —i 1 + i即 1 + i = a+ bi,••a= 1, b = 1,••a+ b= 2.答案：2i —2 i —1 —3—2i9. (2014 廊坊高二检测)计算：1 + i i — 1 + i+ 2—3i .i —2 i —1解：因为1 + i i —1 + ii —2 i—1i2— 1 + ii —2 i—1—2+ i=i —1,—3 —2i —3—2i 2+ 3i2—3i 2 —3i 2+ 3i—13i=13=—i,i —2 i —1 —3 —2i所以+ ——1 + i i —1 + i2 —3i=i —1+ (—i) = — 1.10. 已知复数z= 1 + i，求实数a, b,使得az+ 2b z = (a + 2z)2.解: '-z= 1+ i,• z = 1 —i,•'az+ 2b z = (a + 2b)+ (a —2b)i,(a+ 2z)2= [(a + 2) + 2i]2=(a+ 2)2—4 + 4(a+ 2)i =(a2+ 4a)+ 4(a+ 2)i. ••a, b都是实数.•••由az+ 2b z = (a+ 2z)2,a + 2b = a2+ 4a,得a —2b = 4 a+ 2 ,a i=—2 a2=—4,解得或b i=—1 b2= 2.故所求实数为a i=—2, b i=—1 或a2= —4, b2= 2.［高考水平训练］1.设z1= i4+ i5+ i6+…+ i12, z2= i4i5 i6…• 1 2，则下列正确的是()A . Z1 = Z2 C. Z1 = 1 + z2B . z1=—Z2 D . Z2= 1 + Z1解析：选A.巾= i4 1 —i9i41—i=i4= 11 —iZ2= i4+ 5+ 6+ 7+…+ 12= i72= 1-Z1 = Z2.2.已知x= 1 + 2i 是方程x2—mx+ 2n= 0 的一个根(m, n € R)，贝卩m+ n = 解析：把x= 1 + 2i代入x2—mx+ 2n= 0中，得(1 + 2i)2—m(1 + 2i) + 2n = 0,即1 —4 + 4i —m—2mi + 2n=0,-■(2 n—m—3)+ (4 —2m)i =0,根据复数相等的充要条件，—3 —m+ 2n= 0,得4 —2m= 0,5n = 2,即2m = 2,5 c 9-m + n= 2 + 2 =g 答案：g3.已知复数z= 3 + bi(b € R),且(1 + 3i) z•为纯虚数.(1)求复数Z；⑵若3=化，求复数3的模|必2+ i解：(1)(1 + 3i) (3 + bi) = (3 —3b) + (9+ b)i.因为(1 + 3i) z•为纯虚数，所以3—3b = 0,且9+ 0,所以b= 1,所以z= 3 + i.7 —i 7 15 = 5—5i,所以7 2+ -5=2.4.设i为虚数单位，复数z和3满足z w+ 2iz—2i w+ 5 = 0.⑴若z和3满足二—z= 2i，求z和3；(2)求证：如果|z|= ,3，那么|3—4i|的值是一个常数.并求这个常数. 解：⑴因为W—z= 2i,所以z= 3 —2i.代入z 3+ 2iz —2i 3 + 5 = 0,得(~ —2i)( 3+ 2i) —2i 3+ 1= 0,所以3 3 —4i 3+ 2i 3 + 5 = 0.设3= x+ yi(x, y 駅),则上式可变为(x+ yi)(x—yi) —4i(x+ yi) + 2i( x—yi) + 5= 0.所以x2+ y2+ 6y+ 5—2xi = 0.x2+ +6y+ 5= 0,所2x= 0,x = 0 x= 0,所以或y =—1 y=—5.所以3=—i,z=—i 或3= —5i, z= 3i.⑵由z 3+2iz—2i 3+ 1 = 0,得z(3+ 2i) = 2i 3—1,所以|z||3+ 2i| = |2i3—1|.①设3= x+ yi(x, y 駅),则|3+ 2i| = x + (y + 2)i|="'x2+ y+ 2 2= x2+ y2+ 4y + 4.|2i3—1|= | —(2y+ 1) + 2xi|=■ '[ —2y+ 1 ]2+ 4x2=\：.:-4x2+ 4y2+ 4y+ 1.又|z|= 3,所以①可化为3(x2+ y2+ 4y+ 4) = 4x2+ + 4y+ 1. 所以x2+ y2—8y= 11.所以|3—4i|= |x+ (y—4)i|=x2+ y—4 2= x2+ y2—8y + 16= 3 .3.所以7 2+ -5所以|3—4i|的值是常数，且等于 3 .3.。
高中数学人教A版选修1-2优化练习：第三章 3.2 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 Word版含解析
[课时作业][A 组 基础巩固]1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i故z 对应的点(－1，－3)在第三象限．答案：C2．在复平面内的平行四边形ABCD 中，AC →对应的复数是6＋8i ，BD →对应的复数是－4＋6i ，则DA →对应的复数是( )A ．2＋14iB ．1＋7iC ．2－14iD ．－1－7i解析：依据向量的平行四边形法则可得DA →＋DC →＝DB →，DC →－DA →＝AC →，由AC →对应的复数是6＋8i ，BD →对应的复数是－4＋6i ，依据复数加减法的几何意义可得DA →对应的复数是－1－7i. 答案：D3．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4解析：由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故 ⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋4＝0，a ＋3＝0，4－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.答案：A4．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．答案：B5．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )A ．0B ．1C.22D.12解析：由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离．答案：C6．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R)，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R)为纯虚数．∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0.解得a ＝－1. 答案：－17．若复数z 满足z －1＝cos θ＋sin θi ，则|z |的最大值为________．解析：∵z －1＝cos θ＋sin θi ，∴z ＝1＋cos θ＋sin θi.则|z |＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2(1＋cos θ)≤2.答案：28．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a 2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C ＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．解析：因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a 2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，得a －b ＝－4. 答案：－49．设m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)．(1)若z 为实数，求m 的值．(2)若z 为纯虚数，求m 的值．解析：z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.(1)若z 为实数，则m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1或2.(2)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0， 解得m ＝－12. 故当m ＝－12时，z 为纯虚数． 10．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数；(2)向量CA →对应的复数；(3)向量OB →对应的复数．解析：(1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.[B 组 能力提升]1．设f (z )＝|z |＋z －5，且z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( )A ．52＋5iB ．5＋5iC ．2＋5iD ．3＋11i解析：∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，∴z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i又∵f (z )＝|z |＋z －5∴f (z 1－z 2)＝|5＋5i|＋(5＋5i)－5＝52＋5i.答案：A2．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：设复数z 与复平面内的点Z 相对应，由△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3及|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|可知点Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z 即为△ABC 的外心．答案：A3．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于( )A ．10B ．25C ．100D ．200解析：根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，∵|OM →|＝42＋32＝5，∴|M 1M 2|＝10，∴|z 1|2＋|z 2|2＝|OM 1→|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→|2＝100.答案：C4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是________．解析：∵OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i∴BA →对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i又在平行四边形ABCD 中，CD →＝BA →故CD →对应的复数为4－2i.答案：4－2i5．已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|.解析：设复数z 1，z 2， z 1＋z 2在复平面上对应的点分别为Z 1，Z 2，Z ，由|z 1|＝|z 2|＝1知，以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ 1Z 中，由余弦定理得cos ∠OZ 1Z ＝|z 1|2＋|z 2|2－|z 1＋z 2|22|z 1||z 2|＝－12， 所以∠OZ 1Z ＝120°，所以∠Z 1OZ 2＝60°，因此，△OZ 1Z 2是正三角形，所以|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1|＝1.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设复数z ＝cos A ＋sin A i ，且满足|z ＋1|＝1.(1)求复数z ；(2)求b －c a cos (60°＋C )的值． 解析：(1)∵z ＝cos A ＋sin A i ，∴z ＋1＝1＋cos A ＋sin A i.∴|z ＋1|＝ (1＋cos A )2＋sin 2A ＝2＋2cos A .又∵|z ＋1|＝1，∴2＋2cos A ＝1.∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴sin A＝32.∴复数z＝－12＋32i.(2)由正弦定理，得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C(其中R为△ABC外接圆的半径)，∴原式＝sin B－sin Csin A·cos(60°＋C). ∵B＝180°－A－C＝60°－C，∴原式＝sin(60°－C)－sin Csin 120°·cos(60°＋C)＝32cos C－32sin C 32·cos(60°＋C)＝cos C－3sin C12cos C－32sin C＝2.。
高中数学人教A版选修1-2练习课件：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
C． 0 D．10＋8i → ＋OZ → 对应的复数 解析：由复数加法的几何意义知，OZ 1 2
是(5－4i)＋(－5＋4i)＝0.故选 C.
答案：C
→ ，OB → 对应的复数分别为 2－3i， 4．设 O 是原点，向量OA → 对应的复数是__________． －3＋2i，那么向量BA → ＝OA → －OB → ＝(2－3i)－(－3＋2i)＝5－5i，即BA → 解析：BA
对应的复数为 5－5i.
答案：5－5i
知识点三
复数加减运算几何意义的应用
• 5.若|z－1|＝1，试说明复数z对应点的轨迹． • 解：根据复数的减法和模的几何意义，知|z－1| ＝1表示复数z对应的点到点(1,0)的距离为1， • ∴复数z对应点的轨迹是以点(1,0)为圆心，以1为 半径的圆．
课后提升训练
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.2 数系的扩充和复数的概念
课时作业40 复数代数形式的加、减运算 及其几何意义
1
课堂对点训练
2
课后提升训练
• [目标导航] • 1．掌握复数代数形式的加、减运算法则． • 2．理解复数代数形式的加、减运算的几何意 义．
课堂对点训练
知识点一
复数的加减运算
• 1.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等 于( ) • A．8i B．6 • C．6＋8i D．6－8i • 解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4 －4)i＝6，故选B. • 答案：B
• • • •
2．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为( ) A. －4＋20i B. －2＋10i C. －8＋20i D. －2＋20i 解析：z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝ －2＋10i何意义
人教版高中数学选修1-2《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》
表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求： → → (1)AO 所表示的复数，BC 所表示的复数； → (2)对角线CA 所表示的复数； → → (3)对角线OB 所表示的复数及OB 的长度．
【思路点拨】 画出图形，作出相应的向量借用 向量加减法求复数．
【解】 如图所示， → → → (1)∵AO ＝－OA，∴AO 所表示的复数为－3－ 2i. → → → ∵BC＝ AO ，∴BC所表示的复数为－ 3－ 2i.
4. 复数的减法 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i 说明：两个复数的差是一个确定的复数 .
探究点5.复数减法运算的几何意义 复数z2－z1 向量Z1Z2
y
符合向量 减法的三 角形法则.
Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
|z1-z2|表示什么?
x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
探究点3 复数与复平面内的向量有一一对应关系 我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发 讨论复数加法的几何意义吗？ 设 OZ1 , OZ2 分别与复数a+bi,c+di对应
y
Z
Z2(c,d)
OZ2 =(c,d) OZ1=（a,b），
OZ1 + OZ2 =（a+c,b+d）
Z1(a,b)
OZ =(a+c)+(b+d)i
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2复数代数形式的四则运算
引入
随着生产发展的需要，我们将数的范围扩
展到了复数
a bi
实部 虚部
运算是“数”的最主要的功能，复数不同于 实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的 整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简 单的复数运算——复数的加、减法．
高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》教案 新人教A版选修1-2
1 3.2.2 复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2⨯ （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
=，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
2014年高二数学课堂基础规范教案第三章3.2《复数代数形式的四则运算》(新人教A版选修1-2)
复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（ 1）(1(2+⨯- （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
=，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子 例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
2015-2016学年高二数学人教A版选修1-2教案：3.2.2复数的乘法和除法 Word版含答案
§3.2.2 复数的乘法和除法【学情分析】：学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算是,应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的.在学习了复数的加减法之后，学生对复数的乘除法以及其与实数乘除法的区别的好奇心自然也呼之欲出。
.【教学目标】：（1）知识目标：能进行复数代数形式的乘除运算.（2）过程与方法目标：从实数的乘除运算及其运算律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律，通过2||⋅=实现实数与虚数的转化，培养学生转化的思想。
z z z（3）情感与能力目标：通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。
【教学重点】：i的运算和分母实数化。
【教学难点】：复数除法中的分母实数化。
【课前准备】：powerpoint课件=2(a1．若复数z 满足方程02=+z ，则=z （ ）A.22±B. 22-C. i 22-D. i 22± 解：Ｄ2．复数10(1)16(1)i i +-等于（ ）A ．1i +B 。
1i --C 。
1i -D 。
1i -+解：Ｄ3．i 是虚数单位，=+ii1（ ） A ．i 2121+ B ．i 2121+-C ．i 2121-D ．i 2121--解：Ａ 4．已知220031z z z z =++++L 求的值。
解：220031z z z ++++L ＝20041(1)1z z--，又3200436681,1,()12z z z z =-∴=∴==，所以原式＝0。
5222004()1i ++解：1i -。
6．已知,(0),()1a i z a w z z i i -=>=+-复数的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数w 的模解：21(1)1,()222a a i a a az w z z i i ++-++=∴=+=+，2213,4,2222a a a a a ++-=∴==±Q ，0,2,||a a w >∴=∴==Q 。
2014-2015学年 高中数学 人教A版选修2-2 复数课后作业含答案
§3.1 数系的扩充和复数的概念3．1.1 数系的扩充和复数的概念一、基础过关1． “复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2． 下列命题正确的是( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3． 以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋iD ．5＋5i 4． 若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A ．12B ．2C ．0D ．15． 若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1二、能力提升6． 若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k 2π＋π4(k ∈Z )7．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝______，n ＝______. 8． 给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根． 则其中正确命题的个数为________．9． 已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．11．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？3.1.2 复数的几何意义一、基础过关1． 复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2． 当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i4． 已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )A ．实轴B ．虚轴C ．原点D ．原点和虚轴5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3IC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________． 二、能力提升7． 若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8． 复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A ．虚轴B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点9．复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第______象限．10．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 11．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：（1）位于第四象限； （2）位于x 轴负半轴上； （3）在上半平面(含实轴)．13．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .三、探究与拓展14．（1）满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆（2）已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值为________．§3.2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义一、基础过关1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i 5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2011i)．二、能力提升7． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是____．8． 如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． 9． 若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.（1）求AB →，BC →，AC →对应的复数； （2）判断△ABC 的形状； （3）求△ABC 的面积．3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、基础过关 1． 复数－i ＋1i等于( )A ．－2iB ．12I C ．0D ．2i 2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i3． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14． 在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于 ( )A ．34B ．43C ．－43D ．－346． 若z ＝1＋2ii，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2－iD ．2＋i二、能力提升7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 8．复数2i－1＋3i的虚部是________．9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z=________．10．计算：（1）2＋2i (1－i )2＋(21＋i)2 010； （2）(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .探究与拓展13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．（1）求b ，c 的值；（2）试说明1－i 也是方程的根吗？习题课一、基础过关1． 复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A ．15iB ．15C ．－15iD ．－152． 复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35iB ．35I C ．－iD ．i3． 若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．04． 设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2 5． 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．126． 复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于( )A ．5B ．13C ．15D ．17二、能力提升7．已知复数z ＝2－i1－i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝________.8．已知(a －i)2＝2i ，那么实数a ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．10．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.（1）如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； （2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．章末检测一、选择题1． i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD ．2i∈S2． z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3． i 是虚数单位，复数3＋i1－i等于( )A ．1＋2iB ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i 4． 已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2 5． 若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i 6． (1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．1 024i7． i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．158． 若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9． 已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个二、填空题10．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 11．给出下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________．12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是______． 13．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在； ⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．三、解答题14．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，（1）z 是实数？（2）z 是纯虚数？15．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.16．计算：（1）(2＋2i )4(1－3i )5；（2）(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.17．实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：（1）x 轴上方；（2）直线x ＋y ＋5＝0上．18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.（1）求复数z ；（2）设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．19．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； （2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．复数参考答案第一节1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．2 ±2 8．1 9．－110．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．11．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2. 所以实数x ，y 的值分别为12，2.12．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.13．解 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ② 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.第二节1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．2<k <6或－6<k <－2 7．B 8．C 9．三 10．2 5 11．212．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.13．解 根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3， 即点Z 的坐标为(－1，3)， ∴z ＝－1＋3i. 14．(1)C(2) 3第三节1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i ＝－1 005＋1 005i. 7．3＋i 8.115＋3i 9．110．解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )． 11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ， 由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2， ∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.第四节1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．1 8．－129．－2i10．解 (1)2＋2i(1－i )2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 12．解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.13．解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根． 第五节1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 8．－1 9．410．解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限． 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线， 方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．11．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i.因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )． 由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.13．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0. 所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0， 即－4≤a ≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.章末检测答案1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．(3,4) 11．0 12．(1，5) 13．⑤14．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．15．解 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由z 1·z 2＝1＋i ， 得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ， 所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1， 所以z 2＝i.16．解 (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i )＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4 ＝－41＋3i＝－1＋3i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 17．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)， ∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0， 整理得2m 2＋3m －4＝0，。
人教新课标版数学高二-练习14-15高中数学选修1-2检测 3.2.1复数代数形式的加减运算
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课堂达标·效果检测
1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z= ( )
A.0
B.2i
C.6
D.6-2i
【解析】选D.因为z+i-3=3-i,
所以z=3-i-(i-3)=6-2i.
2.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.z1-z2=(3-4i)-(-2+3i)=5-7i,对应点为(5,-7),在第四象限.
3.设复数ω=-+i,则1+ω=
【解析】1+ω=+i.
答案:+i
4.设平行四边形ABCD在复平面内,A为原点, B,D两点对应的复数分别是3+2i和2-4i,则点C对应的复数是.
【解析】设AC与BD的交点为E,则E点坐标为,设点C坐标为(x,y),则x=5,y=-2,故点C对应复数为5-2i.
答案:5-2i 5.设向量1OZ 及2OZ 在复平面内分别与复数z 1=5+3i 及复数z 2=4+i 对应,试计算z 1-z 2,并在复平面内表示出来.
【解析】z 1-z 2=(5+3i)-(4+i)=(5-4)+(3-1)i=1+2i. 如图所示,21Z Z 即为z 1-z 2所对应的向量.
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高中数学人教A版选修1-2课件：3.2.2《复数的乘除运算》
对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬背，乘 法可按多项式类似的办法进行，除法只需记住两个复数相 除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子、分 母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
例3 计算：i＋i2＋i3＋…＋i2011. [分析] 由题目可获取以下主要信息： 已知虚数单位i的幂，求和． 解答本题可利用等比数列求和公式化简
或者利用in的周期性化简．
[①[点解i4评析n＋]]1＝1方i，.虚法i4数n一＋单2：＝位－原i1式的，＝周i4in(期 ＋13－ 1＝性－i－．2i01i1，)＝i4ni(＝1－1(1(n－i∈2)1iN00)5．·i)， n＝也i·(1可1－＋以ii)推＝广i·22到i＝整－数1集． ②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． 方法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0， 2．记住以下结果，可提高运算速度． ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)， ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. ∴原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)…＋(i2005＋i2006 ＋i200②7＋11－ ＋i20ii0＝8)＋－(ii，200119＋＋ －iii2＝010i＋. i2011＋i2012)－i2012 ③＝1－i ＝i2－012i＝. －1
(1)P，Q 分别表示什么曲线？ (2)设 z1∈P，z2∈Q，求|z1－z2|的最大值与最小值．
→
代则 [ 入分 abz＝ ＝·析 z2－＋x023]yi0(z－，将z(1)＋ )xy005设＝ ＝＝z12－0＝b12xa→＋yi代化，入简(x， 整x20y＋理∈(得yR0P－)，的3即)轨2＝P迹(4x方，程y)
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课时提升作业(十一)
复数代数形式的乘除运算
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·深圳高二检测)i为虚数单位,则=( )
A.-i B.-1 C.i D.1
【解析】选C.因为==i,所以原式=i2 013=i4×503+1=i.
2.(2014·东营高二检测)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示
复数的点是( )
A.E B.F C.G D.H
【解析】选D.依题意得z=3+i,====2-i,该复数对应的点的
坐标是(2,-1).
3.(2013·山东高考)复数z=(i为虚数单位),则|z|=( )
A.25 B. C.5 D.
【解题指南】从复数的运算法则及复数的模的概念角度处理.
【解析】选C.z==-4-3i,
所以|z|==5.
4.(2014·江西高考)z是z的共轭复数.若z+z=2，(z-z)i=2(i为虚数单位)，
则z=( )
A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i
【解题指南】设出复数的代数形式，利用运算法则进行计算.
【解析】选D.设z=a+bi(a,b∈R),
则z=a-bi,z+z=2a=2，
故a=1，(z-z)i=-2b=2，
故b=-1，所以z=1-i.
5.(2013·四川高考)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复
数的点是( )
A.A B.B C.C D.D
【解题指南】解决本题的关键是明确复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数的形式是
=a-bi,然后根据图示进行选择即可.
【解析】选B.由于点A表示复数z=a+bi(a,b∈R),所以其共轭复数是=a-bi,在
图中应该是点B对应的复数,故选B.
6.下面关于复数z=的结论,正确的是( )
①=2; ②z2=2i;
③z的共轭复数为1+i; ④z的虚部为-1.
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【解析】选C.z==
=-1-i,
所以==,
z2=(-1-i)2=2i.
z的共轭复数为-1+i.
z的虚部为-1,所以②④正确.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.计算(7-i)= .
【解题指南】复数乘法运算可以把虚数单位i看作一个字母,按照实数的多项式
乘法运算法则进行运算.
【解析】(7-i)
=×7-i+i·7-i·i
=+i.
答案:+i
8.如果x-1+yi与i-3x是共轭复数,则实数x= ,实数y= .
【解析】由已知得所以
答案: -1
9.(2014·银川高二检测)已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,
则a+b= .
【解析】根据已知可得=b+i⇒2-ai=b+i⇒即从而a+b=1.
答案:1
【变式训练】i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则乘积ab的值是( )
A.-15 B.-3
C.3 D.15
【解析】选B.=
=-1+3i=a+bi,
所以a=-1,b=3,所以ab=-3.
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.计算:(1)(2+i)(2-i).
(2)(1+2i)2.
(3)+.
【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.
(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.
(3)原式=+
=i6+=-1+i.
【一题多解】(3)原式=+=i6+i=-1+i.
【拓展延伸】复数的运算顺序
复数的运算顺序与实数运算顺序相同,都是先进行高级运算乘方、开方,再进行
次级运算乘、除,最后进行低级运算加、减,如i的幂运算,先利用i的幂的周期
性,将其次数降低,然后再进行四则运算.
11.(2014·天津高二检测)已知复数z满足z=(-1+3i)(1-i)-4.
(1)求复数z的共轭复数.
(2)若w=z+ai,且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的
取值范围.
【解题指南】先利用乘法法则计算出z,再求出复数z,w的模,进而计算出a的范
围.
【解析】(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以复数z的共轭复数为-2-4i.
(2)w=-2+(4+a)i,复数w对应向量为(-2,4+a),
其模为=.
又复数z所对应向量为(-2,4),其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z
所对应向量的模得,20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,a(a+8)≤0,
所以,实数a的取值范围是-8≤a≤0.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·武汉高二检测)已知复数z1=cos23°+isin23°和复数
z2=sin53°+isin37°,则z1·z2=( )
A.+i B.+i
C.-i D.-i
【解析】选A.由已知及复数乘法与三角公式得,z1·z
2
=(cos23°+isin23°)(sin53°+isin37°)
=(cos23°+isin23°)(cos37°+isin37°)
=(cos23°cos 37°-sin 23°sin 37°)
+i(cos 23°sin 37°+sin 23°cos 37°)
=cos 60°+isin 60°
=+i.
故选A.
2.(2014·长春高二检测)已知3-i=z·(-2i),那么复数z在复平面内对应
的点应位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解题指南】先计算出z,再判断z所在的象限.
【解析】选A.z==+i.
【举一反三】若结论改为求复数z的共轭复数的模,则结果如何?
【解析】z==+i.则=-i,
即得||===1.
3.(2014·安徽高考)设i是虚数单位，复数32ii1i=( )
A.-i B.i C.-1 D.1
【解题指南】利用复数的运算性质进行计算.
【解析】选D. 32i2iii1i1i
=2i1ii1i(1i)－
=2i1ii1.2
4.(2014·长沙高二检测)定义:复数b+ai是z=a+bi(a,b∈R)的转置复数,记为
z′=b+ai;复数a-bi是z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数,记为=a-bi.给出下列命题:
①z′=i;②′+=0;③z′1·z′2=;其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.i=i(a-bi)=b+ai=z′,①正确;
′+=(a-bi)′+
=-b+ai+b-ai=0,②正确;
设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R).z′1·z′
2
=(a1+b1i)′·(a2+b2i)′
=(b1+a1i)·(b2+a2i)
=(b1b2-a1a2)+(b1a2+a1b2)i.
=1122(abi)(abi)
=12121212(aabb)+(baab)i
=(a1a2-b1b2)-(b1a2+a1b2)i,
所以z′1·z′2≠,③错,故选C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2014·石家庄高二检测)若复数z=的实部为3,则z的虚部为 .
【解析】z==
=,
由条件知,= 3,所以a=-1,
所以z=3+i,所以z的虚部为1.
答案:1
6.复数z满足方程i=1-i,则z= .
【解析】·i=1-i,所以==
=-i(1-i)=-1-i,所以z=-1+i.
答案:-1+i
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.定义运算=ad-bc,复数z满足=1+i,求z.
【解析】由题意知,=i·z-i=1+i,所以iz=1+2i,所以z==2-i.
8.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).
(1)求b,c的值.
(2)试说明1-i也是方程的根吗?
【解析】(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,
所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,
即(b+c)+(2+b)i=0.
所以得
(2)方程为x2-2x+2=0.
把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,所以1-i也是方程的
一个根.
【变式训练】若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,求b,c
的值.
【解析】由于1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根,则
(1+i)2+b(1+i)+c=0,整理得(b+c-1)+(2+b)i=0,则
解得
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