充分条件和必要条件,充要条件学案
充分条件和必要条件预习学案
充分条件和必要条件课前预习学案预习目标：理解充分条件、必要条件的概念预习内容：充分条件、必要条件的概念例1 例2提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1．理解充分条件、必要条件的意义2．能进行充分条件、必要条件的判断学习重点：充分条件、必要条件概念的理解难点：理解必要条件的概念．二、学习过程学生探究过程：1．练习与思考写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x ＞a2 + b2，则x ＞2ab，（2）若ab ＝0，则a ＝0．学生容易得出结论；命题（1）为真命题，命题（2）为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．2．给出定义命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p q．定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p q，那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．上面的命题（1）为真命题，即x ＞a2 + b2x ＞2ab，所以“x ＞a2 + b2”是“x ＞2ab”的充分条件，“x ＞2ab”是“x ＞a2 + b2”＂的必要条件．3．例题分析：例1：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x ＝1，则x2 －4x ＋3 ＝0；（2）若f（x）＝x，则f（x）为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数．解析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．解略．例2：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件？（1）若x ＝y，则x2 ＝y2；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a ＞b，则ac＞bc．分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．解略．三、反思总结充分、必要的定义．在“若p，则q”中，若p q，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．注：（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：①p是q的充分而不必要条件；②p是q的必要而不充分条件；③p是q的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件．四、当堂检测P10 练习第1、2、3、4题课后练习与提高1．指出下列命题中p 是q的什么条件？（1）p：x＞1，q：x2＞1（2）p：四边形的四个角相等q：四边形是正方形（3）p：两直线垂直q：两直线的斜率的积为-12．指出下列命题中p 是q的什么条件？填（充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件）（1）p：x-1=0，q：（x-1）（x+2）=0（2）p：a＞b q：a2＞b2（3）p：四边形的四条边相等q：四边形是正方形3．作业P12：习题组第1（1）（2），2（1）（2）题。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件习题课学案(含解析)新人教A版选修1-1-
1.2 充分条件与必要条件习题课自主预习·探新知情景引入某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯，这就是电器上常用的“双刀”开关．A开关闭合时B灯一定亮吗？B灯亮时A 开关一定闭合吗？新知导学1．x<13是x<5的__必要不充分__条件．2．x>2是x2－3x＋2>0的__充分不必要__条件．3．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件．若A＝B，则p是q的__充要__条件．若A B，则p是q的__充分不必要__条件．q是p的__必要不充分__条件．若A B，则p不是q的__充分__条件，q不是p的__必要__条件．4．p是q的充要条件是说，有了p成立，就__一定有__q成立．p不成立时，__一定有__q 不成立．预习自测1．(2020·湖南湘潭市高二期末)“x>2”是“x>1”的( A )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]结合题意可知x>2可以推出x>1，但x>1并不能保证x>2，故为充分不必要条件，故选A．2．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( B )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]ln(x＋1)＜0⇔0＜x＋1＜1⇔－1＜x＜0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件．3．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的( C )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]若－1<x<3成立，则x<3成立；反之，若x<3成立，则－1<x<3未必成立，如x ＝－2，所以p是q的必要不充分条件．4．“lg x>lg y”是“x>y”的__充分不必要__条件．[解析]由lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y，充分条件成立．又由x>y成立，当y＝0时，lg x>lg y不成立，必要条件不成立．5．(2020·山东昌平高二检测)已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，当a为何值时，(1)p是q的充分不必要条件；(2)p是q的必要不充分条件；(3)p是q的充要条件．[解析]A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，B＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，(1)因为p是q的充分不必要条件，所以A B，而当a＝1时，A＝{1}，显然成立，当a>1，A＝[1，a]，需1<a<2，综上可知1≤a<2时，p是q的充分不必要条件．(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B A，故A＝[1，a]，且a>2，所以a>2时，p是q的必要不充分条件．(3)因为p是q的充要条件，所以A＝B，故a＝2.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶利用图示法进行充分、必要条件判断典例1 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么：(1)s是q的__充要__条件？(2)r是q的__充要__条件？(3)p是q的__必要__条件？[解析]根据题意得关系图，如图所示．(1)由图知：∵q⇒s，s⇒r⇒q，∴s是q的充要条件．(2)∵r⇒q，q⇒s⇒r，∴r是q的充要条件．(3)∵q⇒s⇒r⇒p，∴p是q的必要条件．『规律方法』对于多个有联系的命题(或两个命题的关系是间接的)，常常作出它们的有关关系图表，根据定义，用“⇒”“⇐”“⇔”建立它们之间的“关系链”，直观求解，称作图示法．┃┃跟踪练习1__■已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s 的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④r是s的充分条件而不是必要条件．则正确命题的序号是( B )A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②④[解析] 由题意知，故①②正确；③④错误． 命题方向❷利用集合法进行充分、必要条件的判断典例2 设p 、q 是两个命题，p ：log 12(|x |－3)>0，q ：x 2－56x ＋16>0，则p 是q的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[思路分析] p 、q 都是不等式的解集，解不等式可得其解集，利用集合之间的子集关系即可判断出p 是q 的什么条件．[解析] 由log 12 (|x |－3)>0得，0<|x |－3<1，∴3<|x |<4，∴3<x <4或－4<x <－3， 由x 2－56x ＋16>0得x <13或x >12，显然(3,4)∪(－4，－3)(－∞，13)∪(12，＋∞)，∴p 是q 的充分不必要条件．故选A ．『规律方法』 如果条件p 与结论q 是否成立都与数集有关(例如方程、不等式的解集、参数的取值范围等)，常利用集合法来分析条件的充分性与必要性，将充要条件的讨论转化为集合间的包含关系讨论，可借助数轴等工具进行．┃┃跟踪练习2__■设命题甲为0<x <5，命题乙为|x －2|<3，那么甲是乙的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] 由|x －2|<3得－1<x <5， 令A ＝{x |0<x <5}，B ＝{x |－1<x <5}， ∴AB ，∴甲是乙的充分不必要条件．命题方向❸利用充要性求参数范围典例3 已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，且p 是q 的充分条件，求a 的取值范围．[思路分析] 先分别求出命题p 、q 中x 的取值范围，再探求符合条件的a 的取值范围． [解析] p ：由x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0得，3a <x <a ；q ：由x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，得x <－4或 x ≥－2.∵p 是q 的充分条件，∴a ≤－4或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0.综上可知a 的取值范围是a ≤－4或－23≤a <0.『规律方法』 利用条件的充要性求解参数问题，关键是将条件属性转化为适当的解题思路，如数集类问题，一般是将条件属性转化为集合包含关系，借助数轴列出不等式(组)，从而求解．┃┃跟踪练习3__■ 已知p ：－1≤x －13≤3，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由p ：－1≤x －13≤3得－2≤x ≤10，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得－m ≤x －1≤m ， ∴1－m ≤x ≤1＋m .∵p 是q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≤101－m ≥－2，∴m ≤3，又∵m >0，∴0<m ≤3.学科核心素养 数学中的等价转化1．证明充要条件一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”和“必要性”这两个方面．解题时要避免将充分性当作必要性来证明的错误，这就需要分清条件与结论，若“条件”⇒“结论”，即是证明充分性，若“结论”⇒“条件”，即是证明必要性．2．等价法：就是从条件开始，逐步推出结论，或者是从结论开始，逐步推出条件，但是每一步都是可逆的，即反过来也能推出，仅作说明即可，必要性(或者充分性)可以不再重复证明．典例4 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝aq n＋b (a ≠0，q 是不等于0和1的常数)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.[解析] (1)先证充分性：∵a ＋b ＝0，∴S n ＝aq n＋b ＝aq n－a ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq －a ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(aq n－a )－(aq n －1－a )＝a (q －1)·qn －1(n ≥2)．∴a 1＝aq －a ，a 2＝aq 2－aq ，∴a 2a 1＝aq 2－aq aq －a ＝q ，且a n ＋1a n ＝a q －1·q n a q －1·q n －1＝q ，n ≥2. 故数列{a n }是公比为q 的等比数列． (2)再证必要性： ∵数列{a n }为等比数列，∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 11－q －a 11－qq n .∵S n ＝aq n＋b ，∴a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q ，∴a ＋b ＝0.故数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.『规律方法』 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证命题的必要性．证明分为两个环节：一是充分性；二是必要性，证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．┃┃跟踪练习4__■已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．[解析] 因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}． 所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．易混易错警示 转化要保持等价性典例5 已知方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0有两个大于2的根，试求实数m 的取值范围．[错解] 由于方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0有两个大于2的根，设这两个根为x 1、x 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m ＋22－4m 2－1≥0x 1＋x 2＝2m ＋2>4x 1x 2＝m 2－1>4，解得m > 5.所以当m ∈(5，＋∞)时，方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0有两个大于2的根．[错解分析] 若x 1>2，x 2>2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>4x 1x 2>4，成立；但若⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>4x 1x 2>4，则不一定有x 1>2，x 2>2成立，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>4x 1x 2>4，是x 1>2，x 2>2的必要不充分条件．[正解] 由于方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0有两个大于2的根，设这两个根为x 1、x 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m ＋22－4m 2－1≥0x 1－2＋x 2－2>0x 1－2x 2－2>0，结合⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ＋2x 1x 2＝m 2－1，解得m >5.所以m的取值范围为(5，＋∞)．。
充分条件与必要条件教学设计
标准化教学设计教学基本信息指导思想与理论依据教学大纲要求：掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。
课程标准要求：通过大量问题，观察并归纳其共性和个性，培养逻辑推理的能力，形成基本的数学逻辑思维。
这节课文字信息量较大，我设计了学案供学生自主阅读学习，充分还原了学生主体地位。
学案中环环相扣的问题及不同类型的题组引领学生进行思考，再进行自我检测，教师在关键处点拨深化。
数学阅读过程，是学生思维展开的过程，是学生自主求知的活动。
数学知识必须经过学生的认知加工、思维消化，通过学生自身的再创造活动才能被学生接受，并纳入其认知结构中。
数学阅读课能使学生感受数学本身的文化底蕴，丰富数学史内容，从而激发学习兴趣。
教学背景分析教学内容：本课选自高中数学人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学（版）》选修第一章《常用逻辑用语》第二节内容。
本节内容安排在真假命题、四种命题及其关系之后，讨论了命题条件与结论之间的逻辑关系。
教材对概念的处理简单精炼，这为实际教学中补充挖掘教材，拓展课程资源奠定了基础。
对这几个概念的理解需要一定时间的体会和思考。
教师教学时，不可追求一步到位，要在后续的教学中经常借助于这些概念去表达、阐述、分析。
我把这节内容设置为学案导学为主的数学阅读课。
学生情况：学生在学习本章内容之前，已经熟知一些生活的逻辑语言，数学的逻辑知识也比较零散，不成系统，逻辑思维能力的训练还不够充分。
高二的学生已经具备一定的数学阅读能力，能够在在自主阅读的基础上，通过组内合作分析，互动交流，独立建构数学概念。
但是学生理解必要条件时还是有一定困难。
教学重点：理解充分、必要条件的概念及判断方法。
教学难点：必要条件的理解；从集合语言的包含关系角度深刻理解充分、必要条件。
教学方式：学案导学法和阅读指导法教学手段：借助多媒体课件，学案技术准备：制作多媒体课件，打印学案标准化教学设计教学目标）知识与技能：对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解。
高考数学一轮复习 专题02 充分条件、必要条件与命题的四种形式教学案 文
专题02 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.1．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．【特别提醒】等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．高频考点一四种命题的关系及其真假判断例1、(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真、假、真 B．假、假、真C．真、真、假 D．假、假、假【答案】(1)C (2)B【感悟提升】(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【变式探究】已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题【解析】由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．【答案】 D高频考点二、充分条件与必要条件的判定例2、(1)函数f(x)在x处导数存在．若p：f′(x)＝0；q：x是f(x)的极值点，则( ) A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件(2)(2017·衡阳一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件．【答案】(1)C (2)B【感悟提升】充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．【举一反三】(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．【答案】 A高频考点三充分条件、必要条件的应用例3、已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}． ∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，可知m ≥0≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．学【特别提醒】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； (2)要注意区间端点值的检验．【变式探究】 ax 2＋2x ＋1＝0只有负实根的充要条件是________．【解析】 当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根x ＝－12.【答案】 0≤a ≤11.【2016高考山东理数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a,b 可能相交，也可能平行,故选A.2.【2016高考天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.3.【2016高考上海理数】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件，选A. 4.【2015高考湖北，理5】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ；对命题，①当0=n a 时，5.【2015高考天津，理4】设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,2202x x x +->⇔<-或1x >，所以 “21x -< ”是“220x x +-> ”的充分不必要条件，故选A. 6.【2015高考重庆，理4】“1x >”是“12log (2)0x +<”的（ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B .7.【2015高考安徽，理3】设:12,:21xp x q <<>，则p 是q 成立的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A8.【2015高考湖南，理2】.设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C.【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件，选C.9.【2014·安徽卷】“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】ln(x ＋1)<0⇔0<1＋x <1⇔－1<x <0，而(－1，0)是(－∞，0)的真子集，所“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件．10【2014·北京卷】 设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】当a 1<0，q >1时，数列{a n }递减；当a 1<0，数列{a n }递增时，0<q <1.故选D. 11.【2014·福建卷】 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A12.【2014·湖北卷】U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由维思图可知，一定存在C ＝A ，满足A ⊆C ，B ⊆∁U C ，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选C.13.【2014·陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真，假，真 B ．假，假，真 C ．真，真，假 D ．假，假，假 【答案】B【解析】设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i ，且a ，b ∈R ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2，故原命题为真，所以其否命题为假，逆否命题为真．当z 1＝2＋i ，z 2＝－2＋i 时，满足|z 1|＝|z 2|，此时z 1，z 2不是共轭复数，故原命题的逆命题为假．学14.【2014·天津卷】 设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】当ab ≥0时，可得a >b 与a |a |>b |b |等价．当ab <0时，可得a >b 时a |a |>0>b |b |；反之，由a |a |>b |b |知a >0>b ，即a >b .15.【2014·浙江卷】 已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，2ab ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.故选A.16.【2014·重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧綈q C ．綈p ∧q D ．p ∧綈q【答案】D1．设m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0【解析】 根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”． 【答案】 D2．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 因为x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根为x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件． 【答案】 A3．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，则“m ∥β”是“α∥β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 B4．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 显然a ＝0时，f (x )＝sin x －1x为奇函数；当f (x )为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0.又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝0.因此2a ＝0，故a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件． 【答案】 C5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 【解析】 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题．【答案】 C6．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由|x －2|<1，得1<x <3，所以1<x <2⇒1<x <3；但1<x <3⇒/ 1<x <2. 所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件． 【答案】 A7．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]【答案】 A8．已知a ，b 都是实数，那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立．【答案】 B9．已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 由y ＝2x ＋m －1＝0，得m ＝1－2x ，则m <1.由于函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数，所以0<m <1.因此“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．【答案】 B10．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．【解析】 cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立．∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要11．已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．【解析】 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 【答案】 (0，3)12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．【答案】 ②③13．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．【解析】 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.【答案】 (2，＋∞)14．下列四个结论中正确的是________(填序号)．①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x ∈R ，sin x >1”；③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.【解析】 ①中“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，故①错误．对于②，命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x ∈R ，sin x >1”，故②正确．对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误．对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 23≠－log 32， ∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误．【答案】 ②。
人教A版选修2-1 1.2充分条件与必要条件学案
_1.2 充分条件与必要条件1.2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关．问题1：A开关闭合时B灯一定亮吗？提示：一定亮．问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是C开关闭合．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p⇒/_q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件充要条件已知p：整数x是6的倍数；q：整数x是2和3的公倍数．问题1：“若p，则q”是真命题吗？提示：是．问题2：“若q，则p”是真命题吗？提示：是．问题3：p是q的什么条件？提示：是充分条件，也是必要条件．充要条件(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．3．p与q互为充要条件，也称“p等价于q”，“q当且仅当p”等．4．当命题“若p，则q”与其逆(或否)命题都为真时，p是q的充要条件．充分条件、必要条件、充要条件的判断[1] 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．[精解详析](1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A B，所以p是q的充分不必要条件．[一点通](1)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．1．下列命题中，p是q的充分条件的是( )A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a> b解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；对D，当a>b>0时，有a>b，而a>0>b或0>a>b时，a或b无意义，∴p⇒/ q.答案：A2．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．故φ＝0是函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．答案：A3．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.解：(1)△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cos B ＝a2＋c2－b22ac<0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q .若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件.根据充分、必要条件求参数的取值范围[例6≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 解决本题可先求出命题p 和q 成立的条件，再得到綈p ，利用綈p 是綈q 的必要不充分条件，即綈q ⇒綈p 求出a 的取值范围，或利用等价条件p ⇒q 求得a .[精解详析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得 3a <x <a ， ∴p ：3a <x <a .由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3， ∴q ：－2≤x ≤3.∵綈q ⇒綈p ，∴p ⇒q .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－2，a≤3，a<0⇒－23≤a <0，∴a 的取值范围是[－23，0)．[一点通] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．4．集合A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ”≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．(0,2]C ．(－2,2)D ．[－2,2]解析：A ＝{x |x －1x ＋1<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2.答案：C5．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为 A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为 B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}． 依题意p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B . 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1＋a≤10，1－a>－2或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1＋a<10，1－a≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3].充要条件的证明和求解[例3] a ＋b ＋c ＝0. [思路点拨] 证明时首先搞清楚条件p 和结论q 分别指什么，然后证明p ⇒q (充分性)和q ⇒p (必要性)成立．[精解详析] 充分性：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中得 ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， ∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0.∴有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. [一点通](1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p⇒q .若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．6．试证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明：必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca<0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0. 充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝ca <0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号， 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．7．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件． 解：当a ＝0时，x ＝－12符合题意．当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1. 因为f (0)＝1>0，∴若a >0时，则－2a <0，1a >0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1.若a <0，则1a <0，Δ＝4－4a >0，方程恒有两异号实数根． 综上所述，a ≤1为所求．1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种： (1)定义法(直接法).条件p 与结论q 的关系结论p ⇒q ，但q ⇒/ p p 是q 成立的充分不必要条件 q ⇒p ，但p ⇒/ q p 是q 成立的必要不充分条件 p ⇒q ，q ⇒p ，即p ⇔q p 是q 成立的充要条件p ⇒/ q ，q ⇒/ pp 是q 成立的既不充分也不必要条件(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B，则p是q的充分不必要条件若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⃘B，且B⃘A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(3)等价转化法，即利用A⇒B与綈B⇒綈A，A⇔B与綈B⇔綈A来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )B．必要不充分条件A．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件C．充要条件解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．答案：B 2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的 ( )B．必要而不充分条件A．充分而不必要条件D．既不充分又不必要条件C．充要条件解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.答案：A 3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，又因丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．所以有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，综上，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案：A4．设p ：|x |>1，q ：x <－2或x >1，则綈p 是綈q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由已知得綈p ：－1≤x ≤1，綈q ：－2≤x ≤1，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．答案：A＝2相切的充要条件是________．2－1)y (＋2－1)x ＝0与圆(m ＋y ＋x 5．直线 的0＝m ＋y ＋x 到直线(1,1)圆心⇔相切2＝21)－y (＋21)－x (与圆0＝m ＋y ＋x 直线解析：2距离等于 0.或4＝－m ⇔2＝2|＋m |⇔2＝|1＋1＋m|2⇔答案：m ＝－4或06．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A ⇒/ B .又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ，所以A 是B 的必要不充分条件．答案：必要不充分∈x ：p 1}，命题≥|m －x ||x ＝{B ，2]}，12[－∈x ＋1，x 32－2x ＝y |y ＝{A 7．已知集合A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．，配方，得1＋x 32－2x ＝y ，由A 先化简集合解：.716＋2)34－x (＝y ，2]，12－[∈x ∵ ．2]，716[∈y ∴ ．2}≤y ≤716|y {＝A ∴ 由|x －m |≥1，解得x ≥m ＋1或x ≤m －1. ∴B ＝{x |x ≥m ＋1或x ≤m －1}． ∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .3.≥m 或916－≤m ，解得2≥1－m 或716≤1＋m ∴ ．)∞，＋[3∪]916，－∞－(的取值范围是m 故实数 }为等比数列的充要n a 1)，求证：数列{≠p 0且≠p (q ＋n p ＝n S 项和n }的前n a 8．已知数列{条件为q ＝－1.1.－p ＝1a 时，1＝－q 充分性：当证明： ．1)－p (1－n p ＝1－n S －n S ＝n a 时，2≥n 当 当n ＝1时，上式也成立．为等比数列．}n a {，即数列p ＝错误!＝an ＋1an于是 .q ＋p ＝1S ＝1a 时，1＝n 必要性：当 ．1)－p (1－n p ＝1－n S －n S ＝n a 时，2≥n 当 ∵p ≠0且p ≠1， .p ＝错误!＝an ＋1an ∴ 为等比数列，}n a {因为 ，1＝－q ∴，错误!＝p ＝an ＋1an＝a2a1所以}n a{即数列为等比数列的充要条件为q＝－1.。
充分条件、必要条件、充分必要条件
充分条件、必要条件、充分必要条件一．已经学过什么：（一）主要知识：1．有关概念及关系的判定；充分条件 必要条件充分不必要条件 必要不充分条件充要条件 既不充分又不必要条件2．充要条件关系的证明．充分性、必要性（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断p q ⇒是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．二．考点分析及考试要求：掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系三．考过什么：（一）.江苏高考四年没有直接考（二）.其他省高考题选录1.（11湖南文）３．"1""||1"x x >>是的 条件2.（10上海文）16.“()24x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的 条件3.（10山东文）(7)设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 条件4、（09上海）15.”“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的 条件（三）.近期模拟题选录1.（12苏北四市一检）10、已知222:450,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为2.（12南通一检）设a ＞0，集合A ={（x ，y ）|3,40,20x x y x y a ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥}，B ={（x ，y ）|222(1)(1)x y a -+-≤}．若点P （x ，y ）∈A 是点P （x ，y ）∈B 的必要不充分 条件，则a 的取值范围是 ．四．会怎么考：题型一、单一判断型关键是考察给定的两个条件中，分清哪个是条件，哪个是结论后，再判断是“条件⇒结论”还是“结论⇒条件”？由此判断其条件关系.例1已知条件p:|x+1|＞2,条件q:5x-6＞x 2,则⌝p 是⌝q 的什么条件？解析：记A={x|⌝p}={x||x+1|≤2}={x|-3≤x ≤1},B={x|⌝q}={x|5x-6≤x 2}={x|x ≥3或x ≤2},显然A ⊂≠B ，故⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件.说明：满足条件p 所对应的集合与满足条件⌝p 所对应的集合是互为补集的关系，这里用到了补集的思想.题型二、多重判断型关键是将所有充分(必要)条件有“⇒”、“⇔”和“⇒/”表示，画出它们的关系网络图，再找要求的两个条件之间的互推关系.例2已知p,q 都是r 的必要条件,s 是r 的充分条件，q 是s 的充要条件，则p 是q____条件. 解：由题意画出关系网络图，如右图：∴p 是q 的必要条件.题型三、条件证明型关键是要弄清条件和结论之间的关系，分两步证明，即证充分性(由条件推出结论)和必要性(由结论推出条件).例3求证：关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.证明：必要性因为方程ax 2+bx+c=0有一个根为-1，所以x=-1适合方程ax 2+bx+c=0，即a ·(-1)2+b ·(-1)+c=0,也就是a-b+c=0.再证充分性 因a-b+c=0，所以a ·(-1)2+b ·(-1)+c=0，也就是x=-1适合方程ax 2+bx+c=0，因此方程ax 2+bx+c=0有一个根为-1.综上所述，命题得证.说明：必须注意“p 是q 的充分而不必要条件”与“p 的充分而不必要条件是q ”这两种语句的区别.前者用数学符号表示即为“p ⇒q ”且“q ⇏p ”,而后者即为“q ⇒p 且p ⇏q ”，这两种表达意义相反，必须搞清楚.题型四、条件探求型探求充要条件问题一般有两种处理方法，一是将题意等价转化化简求得；二是先由题意求出条件，再证明充分性.例4设a 、b 、c 为△ABC 的三边，求方程x 2+2ax+b 2=0与x 2+2cx-b 2=0有公共根的充要条件. 解析：先由题意求出条件：设α是两方程的公共根，显然α≠0，则α2+2a α+b 2=0…①，α2+2c α-b 2=0…②，①+②，得2α2+2α(a+c)=0,∴α=-(a+c),代入①，得(a+c)2-2a(a+c)+b 2=0,即a 2=b 2+c 2,以上求条件的过程事实上就是必要性的证明过程.再证明充分性：∵a 2=b 2+c 2,∴方程x 2+2ax+b 2=0可化为x 2+2ax+a 2-c 2,它的解为x 1=-(a+c),x 2=c-a,同理方程x 2+2cx-b 2=0可化为x 2+2cx+c 2-a 2，它的解为x 3=-(a+c),x 4=a-c,∵x 1=x 3,∴方程x 2+2ax+b 2=0与x 2+2cx-b 2=0有公共根.综上所述得，方程x 2+2ax+b 2=0与x 2+2cx-b 2=0有公共根的充要条件是a 2=b 2+c 2.题型五、条件应用型此类题型主要是根据两个条件的条件关系，探求满足条件的相关知识.例5已知p:x 2-8x-20≤0,q:|x-1|≤m,求m 的取值范围，使p 为q 的必要条件.解析：记A={x|p},B={x|q}，要使p 为q 的必要条件只要B ⊆A ，而A={x|-2≤x ≤10}.(1)当m ＜0时，B=∅，满足B ⊆A.(2)当m ≥0时，B={x|1-m ≤x ≤m+1},要使B ⊆A ，只要1-m ≥-2且1+m ≤10，解得0≤m ≤3.综合(1)(2)知，当m ≤3时，p 为q 的必要条件.例6已知p:|1﹣x-13|≤2,q:x 2-2x ＋1-m 2≤0(m ＞0),若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.解：由|1﹣x-13|≤2，得-2≤x ≤10,∴┐p:x ∈A={x|x ＜-2或x ＞10}, 由x 2-2x+1-m 2≤0，得1-m ≤x ≤1+m(m ＞0),∴┐q:x ∈B={x|x ＜1-m 或x ＞1+m}(m ＞0),由┐p是┐q 的必要而不充分条件，即┐p ⇒┐q 知A ⊇B ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞01-m ≤-2⇒m ≥31+m ≥10故m ≥9为所求的范围.五．巩固练习1.（12无锡调研）2．已知复数i a z 3)4(2+-=，R a ∈，则“2a =”是“z 为纯虚数”的_____ ▲ 条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）2、（08安徽）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的 条件3、（08陕西） “18a =”是“对任意的正数x ，21a x x+≥”的 条件 4、（08上海） 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 条件 必要非充分【解析】直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直，即充分性不成立；5．已知q p m m x x q x p ⌝⌝>≤-+-≤--是若),0(012:,2311:22的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围。
吉林省伊通满族自治县第三中学校高二数学选修2-1 1-1-3充分必要条件条件 学案 精品
二、新知应用
类型一判断充分条件、必要条件、充要条件命题角度1 在常见数学问题中的判断
例1下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
边形.
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；
(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根；
(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交.
反思与感悟
判断充分条件和必要条件的方法：一、定义法；二、等价命题法，原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断中经常用到；
三、集合法，P是Q的充分不必要条件⇔集合P Q，P是Q的必要不充分条件⇔集合P Q，P是Q的充要条件⇔集合P＝Q，P是Q的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q，且P⊉Q；四、传递法，对于较复杂的
跟踪训练2俗语云“好人有好报”，“好人”是“有
五、布置作业。
充分条件和必要条件-课件
【解】 (1)欲使 2x＋m＜0 是 x2－2x－3＞0 的充 分条件，则只要{x|x＜－m2 }⊆{x|x＜－1 或 x＞3}， 则只要－m2 ≤－1，即 m≥2.故存在实数 m≥2，使 2x＋m＜0 是 x2－2x－3＞0 的充分条件． (2)欲使 2x＋m＜0 是 x2－2x－3＞0 的必要条件，
课堂互动讲练
考点一
考点突破 充分、必要条件及充要条件的判断
判断 p 是 q 的什么条件，主要是判断若 p 成立 时，能否推出 q 成立；反过来，若 q 成立时， 能否推出 p 成立．若 p⇒q 为真，则 p 是 q 的充 分条件；若 q⇒p 为真，则 p 是 q 的必要条件．
例1 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件(在 “充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充 要 条 件 ” 、“ 既 不 充分 也 不 必要 条 件 ”中 选 出 一 种)． (1)p： a＋ b＝ 0， q： a2＋ b2＝ 0； (2)p：函数 f(x)＝2x＋1，q：函数 f(x)是增函数； (3)p：△ABC 有两个角相等，q：△ABC 是等腰三 角形； (4)p：α>β，q：sin α>sin β.
解：(1)当|a|≥2时，如a＝3时，方程可化为x2＋3x ＋6＝0，无实根；而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根， 则必有Δ＝a2－4(a＋3)≥0，即a≤－2或a≥6，从 而可以推出|a|≥2.综上可知，由q能推出p，而由p 不能推出q，所以p是q的必要不充分条件．
(2)由 “ 四 边形 的 对角 线 相等 ” 推不 出 “ 四边 形 是 矩形”；而由“四边形是矩形”可 以推出“四边形的 对角线相等”，所以 p 是 q 的必要不充分条件． (3)当 x＝1 或 x＝2 时，x－1＝ x－1显然成立；而解 方程 x－1＝ x－1，可得 x＝1 或 x＝2，所以 p 是 q 的充要条件．
北师大版高中数学选修2-1同步学案：第1章 充要条件
2.4 充要条件学习目标：1.理解充要条件的意义．(难点) 2.掌握充分、必要、充要条件的应用．(重点、难点) 3.区分充分不必要条件、必要不充分条件．(易混点)1．充要条件如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分必要条件,简称充要条件,记作p⇔q．2．常见的四种条件(1)充分不必要条件,即p⇒q且q_p．(2)必要不充分条件,即p_q且q⇒p．(3)充要条件,即p⇒q且q⇒p．(4)既不充分也不必要条件,即p_q且q_p．思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示]p是q的充要条件说明p是条件,q是结论；p的充要条件是q说明q是条件,p是结论．1.判断正误(1) 若p是q的充要条件,则q成立当且仅当p成立．( )(2)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题．( )(3)若p q和q p有一个成立,则p一定不是q的充要条件．( ) [答案](1)√(2)√(3)√2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件A[解x2－2x＋1＝0得x＝1,所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．]3.在△ABC中,“A＞B”是“a＞b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[在△ABC中,A＞B⇔a＞b,∴A＞B是a＞b的充要条件．]4.若“x<a”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要条件,则a的取值范围是________．(－∞,－1][∵x2－2x－3≥0,∴x≥3或x≤－1.∵“x<a”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要条件,∴a≤－1.]充要条件的判断【例1】(1)设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)判断下列各题中,p是否为q的充要条件？①在△ABC中,p：∠A>∠B,q：sin A>sin B；②若a,b∈R,p：a2＋b2＝0,q：a＝b＝0；③p：|x|>3,q：x2>9.C[(1)由于函数y＝x3在R上是增函数,∴当x>1时,x3>1成立,反过来,当x3>1时,x>1也成立．故“x>1”是“x3>1”的充要条件,故选C.](2)[解] ①在△ABC中,显然有∠A>∠B⇔sin A>sin B,所以p是q的充要条件．②若a2＋b2＝0,则a＝b＝0,即p⇒q；若a＝b＝0,则a2＋b2＝0,即q⇒p,故p⇔q,所以p是q的充要条件．③由于p：|x|>3⇔q：x2>9,所以p是q的充要条件．判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q 成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件；若二者都成立,则p与q互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．1．(1)a,b 中至少有一个不为零的充要条件是( ) A ．ab ＝0 B ．ab>0 C ．a 2＋b 2＝0D ．a 2＋b 2>0(2)“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是________．(1)D (2)a<－1 [(1)a 2＋b 2>0,则a,b 不同时为零；a,b 中至少有一个不为零,则a 2＋b 2>0. (2)函数没有零点,即方程x 2－2x －a ＝0无实根,所以有Δ＝4＋4a<0,解得a<－1.反之,若a<－1,则Δ<0,方程x 2－2x －a ＝0无实根,即函数没有零点．故“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是a<－1.]充要条件的证明[探究问题]1．如何求一个问题的充要条件？[提示] 求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合．这就要求我们转化的时候思维要缜密．2．充要条件的问题需要从哪两方面证明？[提示] 充要条件的证明需要从充分性和必要性两方面证明,应分两步：证明充分性时,把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时,结论当已知去推证条件的正确性．【例2】 试证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.[思路探究] 本题可分充分性和必要性两种情况证明,即由ac<0推证一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根和由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根推证ac<0.[证明] (1)必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根,所以Δ＝b 2－4ac>0,x 1x 2＝c a<0(x 1,x 2为方程的两根),所以ac<0.(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b 2－4ac>0及x 1x 2＝c a <0(x 1,x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c＝0有两个相异实根,且两根异号, 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述,一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.(变条件)试证：二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数的充要条件是b ＝0.[证明] (1)必要性：因为二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数,所以f(x)＝ f(－x),即ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c,所以bx ＝0对任意的x 都成立,即b ＝0.(2)充分性：由b ＝0可推得f(x)＝ax 2＋c.所以f(－x)＝ax 2＋c ＝f(x) 即二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数．综上所述,二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数的充要条件是b ＝0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时,要注意：若证明“p 的充要条件是q”,那么“充分性”是q ⇒p,“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”,则与之相反．(2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后加以证明．提醒：证明该类问题时,务必分清题设的条件与结论．1．已知向量a ＝(x －1,2),b ＝(2,1),则a⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0D [a⊥b ⇔2(x －1)＋2＝0⇔x ＝0.]2．已知α：“a＝±2”；β：“直线x －y ＝0与圆x 2＋(y －a)2＝2相切”,则α是β的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [a ＝±2时,直线x －y ＝0与圆x 2＋(y±2)2＝2相切；当直线x －y ＝0与圆x 2＋(y －a)2＝2相切时,得|a|2＝2,∴a ＝±2.∴α是β的充要条件．] 3．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和直线l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0,则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________． －1 [由1×3－a×(a－2)＝0得a ＝3或－1, 而a ＝3时,两条直线重合,所以a ＝－1.]4．用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空： (1)“m≠3”是“|m|≠3”的________；(2)“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB∥CD”的________； (3)“a>b ,c>d ”是“a－c>b －d”的________．(1)必要不充分条件 (2)充分不必要条件 (3)既不充分也不必要条件 [(1)|m|≠3⇒m ≠±3,故“m≠3”是“|m|≠3”的必要不充分条件；(2)“四边形ABCD 为平行四边形”可推出“AB∥CD”,反之,未必成立,故“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB∥CD”的充分不必要条件；(3)“a>b,c>d”“a－c>b－d”,反之,未必成立,故“a>b,c>d”是“a－c>b－d”的既不充分也不必要条件．]5．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明] 必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1,∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.∴a×12＋b×1＋c＝0,即a＋b＋c＝0.∴必要性成立．充分性：∵a＋b＋c＝0,∴c＝－a－b.代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得：ax2＋bx－a－b＝0,即(x－1)(ax＋b＋a)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.。
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第二节 充分条件和必要条件，充要条件
一、复习练习1：试写出下面命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假。
“若1x >,则21x >”.
2.认识：⇒与≠>
一般地：若p 则q 为真，记作p ⇒q ； 若p 则q 为假，记作p ≠>q 。
练习2：用“p ⇒q ”或“ p ≠>q ”的形式表示练习1的四种命题。
二、1.充分条件和必要条件定义：
一般地，如果 ，读作 ，那么我们说，
p 是 q 的充分条件，如果q ⇒p,称p 是q 的必要条件；
反之如果 ，p 是q 的不充分条件，
如果q ≠>p,称p 是q 的不必要条件。
例1：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件：
（1) p:x y ≠;q:22x y ≠. （2） P:0x >;q:20x > .
（3) P :两个三角形的面积相等，q:两个三角形全等
例2：已知p:内错角相等，q:两直线平行。
问p 是q 的什么条件？
2.充要条件定义：
一般地，如果既有 又有 就记作 。
这时，
p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们就说，p 是 q 的充分
必要条件， 简称充要条件。
总结1：条件可分为以下四种类型：
（1）若p⇒q且q≠>p,则称p是q的充分不必要条件；
（2）若；
（3）若；
（4）若。
例3.“x是6的倍数”是“x是2的倍数”的；
“x是2的倍数”是“x是6的倍数”的；
“x既是2的倍数也是3的倍数”是“x是6的倍数”的；
“x是4的倍数”是“x是6的倍数”的。
三、练习3.指出下列各组命题中，p是q的什么条件
（1）p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.
（2）p：同位角相等；q：两直线平行.
（3）p：x=3；q:2x=9.
（4）p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形。
.总结2：判断p是q的什么条件时先要确认，再判断且是否成立，从而得出结论。
练习4.1. 从“⇒”、“≠>”与“⇔”中选出适当的符号填空：
(1)x>-1___x>1; (2)234
x x
=+___x=
(3)两个角是对顶角________两个角相等; (4)a=b____a+c=b+c.
2.从“充分而不必要的条件”、“必要而不充分的条件”与“充要条件”中选出适当的一种填空：
(1) “两三角形全等”是“两三角形相似”的;
(2) “a=b”是“ac=bc”的;
(3) “a≠0”是“ab ≠0”的;
(4) “四边形的两条对角线相等”是“四边形是矩形”的. 总结：若p：集合A，q:集合B。
p是q的四种条件为：
1.p是q的充分不必要条件时，A B
⊂，简记为“小”；
2. p是q的必要不充分条件时，B A
⊂，简记为“大”；
3. p是q的充要条件时，A B
=，简记为“相等”；；
4. p是q的既充分也不必要条件时，A B
⊄，简记为“反面”；。