解析江苏省江阴市四校高二上学期期中考试数学试题含解析
江苏省无锡市四校2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题解析(解析版)
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1.命题“∀x ∈R ，x 2+x+1≥0”的否定是 ． 【答案】01,2<++∈∃x x R x 【解析】试题分析：全称命题的否定为特称命题，并将命题的结论加以否定，因此命题的否定为01,2<++∈∃x x R x 考点：全称命题与特称命题2.过点()3,2-且与直线012=+-y x 垂直的直线的方程为 【答案】012=++y x 【解析】试题分析：直线012=+-y x 的斜率为12，所以所求直线斜率为()322y x ∴-=-+，即012=++y x 考点：直线方程3.设βα,为两个不重合的平面，n m ,为两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αα⊄⊥⊥n m n m ,,,则α//n ；②若βα//,//,n m n m ⊥,则βα⊥；③若m n n m ⊥⊂=⋂⊥,,,αβαβα则β⊥n ；④若αβα,,⊂⊂m n 与β相交且不垂直，则n 与m 一定不垂直. 其中，所有真命题的序号是 . 【答案】①③考点：空间线面垂直平行的判定与性质4.已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动. 则21--x y 范围是__ ____【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 【解析】 试题分析：12y x --看作点(),x y 与点()2,1连线的斜率，当连线与圆相切斜率取得最值，设切线为()12120y k x kx y k k -=-∴-+-=∴=21--x y 范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33考点：1.直线和圆的位置关系；2.数形结合法5.设134:≤-x p ，()()0112:2≤+++-a a x a x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0考点：1.不等式解法；2充分条件与必要条件6.若圆422=+y x 与圆012222=-+-+m mx y x 相外切，则实数m = ． 【答案】3± 【解析】试题分析：422=+y x 的圆心()0,0，半径为2，012222=-+-+m mx y x 的圆心(),0m ，半径为1，两圆外切，所以33m m =±∴=± 考点：两圆相切的位置关系 7.焦点在x 轴，两准线间的距离为5518，焦距为52的椭圆方程为 【答案】14922=+y x【解析】试题分析：由题意可知222222a c a b c c ===+229,4a b ∴==∴14922=+y x 考点：椭圆方程及性质8.长方体1111D C B A ABCD -则1BD 与平面1111D C B A 所成的角的大小为【答案】6π【解析】试题分析：连结11B D ，所以1BD 与平面1111D C B A 所成的角为11BD B ∠111111,6BB B D BD B π===考点：线面所成角9.圆锥的表面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数为______ 【答案】32π考点：扇形和圆锥的相关计算10.若圆C ：034222=+-++y x y x ，关于直线062=++by ax 对称，则由点()b a ,向圆所作的切线长的最小值为 ． 【答案】4 【解析】试题分析：圆C ：034222=+-++y x y x 可化为()()22122x y ++-=，圆心坐标为C （-1，2），代入直线062=++by ax 得：-2a+2b+6=0，即点（a ，b ）在直线l ：-x+y+3=0，过C （-1，2），作062=++by ax 的垂线，垂足设为D ，则过D 作圆C 的切线，切点设为E ，则切线长DE最短，于是有CE CD === 4DE == 考点：直线与圆的位置关系11.在坐标平面内，与原点距离为1，且与点（2，2）距离为2的直线共有 条 【答案】4 【解析】试题分析：以原点为圆心 画一个半径为1的圆1O ，再以点（2，2）为圆心 画一个半径为2的圆2O ，这两个圆，圆心的距离为，大于两圆半径的和，∴此两圆相离，不相交的两个圆，可以做出四条公切线，这四条线即为所求考点：1.点到直线的距离；2.两圆位置关系 12.曲线C ：y y x 22--=与直线0:=--m y x l 有两个交点，则实数m 的取值范围是【答案】(]2,12--- 【解析】 试题分析：由y y x 22--=可知0x ≥，得()2211x y ++=， 作出曲线C ：y y x 22--=的图象如图：当直线0x y m --=经过点A （-2，0）时，直线直线和曲线有两个交点，此时-2-m=0，交点m=-2，当直线与曲线相切时，圆心（-1，0）到直线x-y-m=0的距离d ，即|m+1|=2，解得m=2−1（舍去）或−2−1，此时直线和曲线只有一个交点，故满足条件的m 的取值范围为（−2−1，-2]考点：1.直线和圆的位置关系的应用；2.数形结合法13.已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，F 1，F 2是左右焦点,l 是右准线，若椭圆上存在点P ，使|PF 1|是P 到直线l 的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是【答案】⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-1,2173考点：椭圆的简单性质14.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为()1422=+-y x ，若直线3-=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大是 ． 【答案】724【解析】试题分析：圆C 的方程为：()1422=+-y x ，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：()2249x y -+=与直线y=kx-3有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-3的距离为d，则3d ，即224724007k k k -≤∴≤≤，∴k 的最大值是724． 考点：直线与圆的位置关系二、解答题：（本大题共6小题，共90分。
江苏省无锡市江阴实验中学2020-2021学年高二数学文测试题含解析
江苏省无锡市江阴实验中学2020-2021学年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线过点，与圆有两个交点时，斜率的取值范围是( )A B C D参考答案：C2. 在等差数列中,,则的前5项和（）A、10B、7C、20D、25参考答案：A3. 已知i为虚数单位，复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为（）A．{a|a＜﹣6} B．{a|﹣6＜a＜} C．{a|a＜} D．{a|a＜﹣6或a＞}参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出复数的表达式，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围．【解答】解：∵复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，∴===﹣i；∴，解得﹣6＜a＜，∴实数a的取值范围{a|﹣6＜a＜}．故选：B．4. 已知为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，则A.B.C.D.参考答案：A略5. 已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是: （）A．B．C．D．参考答案：B6. 在一次试验中，测得的四组值分别是，则Y与X之间的回归直线方程为（）A． B． C．Ｄ．参考答案：A7. 用反证法证明“若，则中至少有一个小于1”时，应（）A、假设至少有一个大于1B、假设都大于1C、假设至少有两个大于1D、假设都不小于1参考答案：D8. “”是“直线和直线互相平行”的（）条件充分不必要必要不充分充分必要既不充分又不必要参考答案：C略9. 求由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积错误的为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据定积分知识，可确定正确；利用图形的对称性可将转变为；利用反函数的思想，结合定积分可确定所求面积为，错误，结合图形对称性可知正确.【详解】曲线，直线及轴所围成的图形如下图阴影部分所示：则阴影部分面积可表示为：，可知正确；根据对称性可知，阴影部分面积可表示为：，可知正确；由得：；由得：可画出图象如下图所示：则阴影部分面积可表示为：，可知错误；根据对称性可知：阴影部分面积可表示为：，可知正确.本题正确选项：【点睛】本题考查利用定积分来求解曲边梯形面积的问题，关键是能够准确确定两函数的位置关系，同时结合图形的对称性将面积进行等量转化.10. 利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（）B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”参考答案：B【分析】由，结合临界值表，即可直接得出结果.【详解】由，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B 【点睛】本题主要考查独立性检验，会对照临界值表，分析随机变量观测值即可，属于基础题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定积分= 。
江苏省无锡市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023年-2024学年度第一学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.直线()1330a x y +++=与直线()110x a y +-+=平行，则实数a 的值为（）A.2B.12C.2-D.2或2-【答案】C 【解析】【分析】求出两直线不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线()1330a x y +++=与直线()110x a y +-+=不相交时，(1)(1)3a a +-=，解得2a =±，当2a =时，直线3330x y ++=与直线10x y ++=重合，不符合题意，舍去；当2a =-时，直线330x y -++=，即330x y --=与直线310x y -+=平行，所以实数a 的值为2-.故选：C2.已知A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则可以得到结论是,,,P A B C 四点（）A.共面B.不一定共面C.无法判断是否共面D.不共面【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量线性运算化简得1166AP PB PC =+，即可判断四点位置情况.【详解】311488OP OA OB OC =++,则3311114488808OC OA OP OB OP OP ---+=+，所以3110488PA PB PC ++=，则1166A P PBC P -=- ，故,,,P A B C 四点共面.故选：A3.已知向量()2a = ，向量(= b ，则向量a 在向量b上的投影向量为（）A.122骣ççç÷ç桫,,0 B.()2C.(D.)【答案】D 【解析】【分析】由空间向量数量积的几何意义及投影向量的定义，应用向量数量积、模长的坐标运算求向量a 在向量b上的投影向量.【详解】向量a 在向量b 上的投影向量为()434||||a b b b b ⋅⋅=⋅=.故选：D.4.若圆222410x y x y ++-+=被直线()2200,0ax by a b -+=>>平分，则11a b+的最小值为（）A.14B.9C.4D.19【答案】C 【解析】【分析】由题意得圆心(1,2)-在直线()2200,0ax by a b -+=>>上，即得1a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】由圆222410x y x y ++-+=被直线()2200,0ax by a b -+=>>平分，得圆心(1,2)-在直线()2200,0ax by a b -+=>>上，则2220a b --+=，即1a b +=，而0,0a b >>，则1111()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为4.故选：C5.已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，M 为11C D 的中点，则向量AM的模长为（）A.B.4C.D.【答案】C 【解析】【分析】以1,,AB AD AA 为基底表示出AM，再利用数量积的运算律计算可得.【详解】由平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAADAA ∠=∠=∠=︒，得1122cos602AB AD AA AD AB AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，依题意，11112AM AD DD D M AB AD AA =++=++，因此22222111111()224AM AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅22212222222174=⨯+++++⨯=，所以MN = .故选：C6.已知A 、B 为椭圆22143x y +=上两点，O 为坐标原点，M （异于点O ）为弦AB 中点，若AB 两点连线斜率为12，则OM 两点连线斜率为（）A.23-B.32-C.34-D.43-【答案】B 【解析】【分析】首先利用直线和椭圆的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式和中点坐标公式的应用求出结果．【详解】由于直线AB 的斜率为12，故设直线的方程为12y x b =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，故2214312x y y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2230x bx b ++-=，则()222431230b b b ∆=--=->，即22b -<<，故12x x b +=-，故()121213222b y y x x b +=++=．利用中点坐标公式，3,,24b b M b ⎛⎫-⎪⎝⎭不是零，故34322OMbk b ==--．故选：B ．7.已知点P 是圆M ：()()22222x y -+-=上的动点，线段AB 是圆C ：()()22114x y +++=的一条动弦，且AB =PA PB +的最大值是（）A.1+B.C.1+D.2+【答案】D 【解析】【分析】设AB 中点为D ，计算1CD =，CM =2PA PB PD +=，计算最值得到答案.【详解】圆M ：()()22222x y -+-=，圆心()2,2M，半径1r =；圆C ：()()22114x y +++=，圆心()1,1C --，半径22r =；设AB 中点为D ，则圆心C 到直线AB 的距离为1CD ==，圆心距为CM ==，2PA PB PD +=，PD最大值为11+=，故PA PB +的最大值为2+.故选：D.8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，90BDC ∠=︒，222BD AB CD ===，E 是BC 的中点，H 是ABD △内的动点（含边界），且//EH 平面ACD ，则CA EH ⋅的取值范围是（）A.[]0,3 B.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.111,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.113,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面//EFG 平面ACD ，再由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面ABD ，进而有EG FG ⊥，cos FGEFG EF∠=，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F ，G 分别为AB ，BD 的中点，连接FG ，EF ，EG ，如图，易得//FG AD ，//EF AC ，//EG CD ，因为FG ⊂平面EFG ，AD ⊄平面EFG ，所以//AD 平面EFG ，同理//AC 平面EFG ，又因为,AC AD ⊂平面ACD ，AC AD A ⋂=，所以平面//EFG 平面ACD .因为//EH 平面ACD ，所以H 为线段FG 上的点.由AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，得AB CD ⊥，又90BDC ︒∠=，则BD CD ⊥，由,,AB BD B AB BD =⊂I 平面ABD ，得CD ⊥平面ABD ，因为//EG CD ，所以EG ⊥平面ABD ，EG FG ⊥，cos FGEFG EF∠=.因为222BD AB CD ===，所以122FG AD ==，BC =，122EF AC ==.所以()2222CA EH EF EF FH EF EF FH⋅=⋅+=+⋅ ()2222cos π22cos EF EF FH EFG EF EF FH EFG =+⋅-∠=-⋅∠2223EF FH FG =-⋅= .因为0,2FH ⎡∈⎢⎣⎦，所以1,32CA EH ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦ .故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H 为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到3CA EH ⋅= ，从而得解.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.直线l 过点()2,1A ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 在y 轴上的截距可能是（）A.1- B.1C.3D.0【答案】ACD 【解析】【分析】考虑直线过原点，直线不过原点且截距相同，直线不过原点且截距相反，计算得到答案.【详解】当直线过原点时，设直线方程为y kx =，则12k =，解得12k =，此时在y 轴上的截距为0；当直线不过原点且截距相同，设直线方程为1x ya a +=，则211a a +=，解得3a =，此时在y 轴上的截距为3；当直线不过原点且截距相反，设直线方程为1x y a a -=，则211a a-=，解得1a =，此时在y 轴上的截距为1-；综上所述：截距可能为0,1,3-.故选：ACD10.已知直线l ：kx y k 0--=，圆M ：2210x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（）A.直线l 恒过点()1,0B .4D =-，2E =-C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.若点(),P x y 是圆M 上一动点，x y -的最小值为-【答案】AB 【解析】【分析】直线l 恒过点()1,0A ，A 正确，根据圆的一般方程计算B 正确，计算弦长的最小值为C 错误，确定1x y ⎡-∈-+⎣，D 错误，得到答案.【详解】圆M ：2210x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1M ，故22D -=，12E -=，解得4D =-，2E =-，圆方程为()()22214x y -+-=，对选项A ：因为直线():1l y k x =-恒过点()1,0A ，正确；对选项B ：4D =-，2E =-，正确；对选项C ：当直线l 与AM 垂直时，弦最短，此时AM =弦长为=，错误；对选项D ：设x y a -=，即0x y a --=2=，解得1a =-或1a =+，故1x y ⎡-∈-+⎣，错误；故选：AB11.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1F ，)2F ，过点2F 且垂直于x 轴的直线与该椭圆相交于A ，B 两点，且1AB =，点P 在该椭圆上，则下列说法正确的是（）A.存在点P ，使得1290F PF ∠=︒B.若1260F PF ∠=︒，则123F PF S =△C.满足12F PF △为等腰三角形的点P 只有2个D.12PF PF -的取值范围为⎡-⎣【答案】AD 【解析】【分析】求出椭圆方程，利用动点P 的位置变化，研究12F PF ∠的取值范围判断A ；根据椭圆的几何性质及余弦定理求解判断B ；分类讨论，借助方程组求动点坐标判断C ；利用三角形不等式求解判断D.【详解】由椭圆2222:1x y M a b+=的左右焦点分别为()1F 、)2F ，得c ==将x =代入22221x y a b +=，则22231y a b +=，解得2b y a =±，不妨令2b A a ⎫⎪⎭，2b B a ⎫-⎪⎭，由1AB =，则221b a =，即22a b =，将其代入223a b -=，可得232a a -=，化简得()()2320a a +-=，由0a >，解得2a =，则椭圆22:14x M y +=，对于A ，当点P 为椭圆的上（或下）顶点时，12F PF ∠最大，如图：由椭圆22:14x M y +=，则1PO =，22PF =，在2Rt OPF 中，260POF ∠=，由对称性得12120F PF ∠=，因此12F PF ∠的取值范围为2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，A 正确；对于B ，如图：设1PF m =，2PF n =，则24m n a +==，1223F F c ==，在12F PF △中，由余弦定理得22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅⋅，即2212cos 602m n mn+-=o，整理得43=mn ，因此121212113sin sin 60223F PF S PF PF F PF mn =⋅⋅⋅∠==，B 错误；对于C ，设1PF m =，2PF n =，则4m n +=，1223F F c ==，当2m n ==时，12F PF △为等腰三角形，此时P 的坐标为()0,1或()0,1-，当12m F F =时，12F PF △为等腰三角形，此时3m =，设(),P x y ，则()22221433x y x y ⎧+=⎪⎪++=，消去y 得2383320x x +-=，由(()28343325760∆=-⨯⨯-=>，则方程有解，C 错误；对于D ，显然12123||||||||PF PF F F -≤=，当且仅当点P 为椭圆长轴端点时取等号，因此12|||323|2PF PF -≤≤-D 正确.故选：AD12.直三棱柱111ABC A B C -中，1,1AB AC AB AC AA ⊥===，点D 是线段1BC 上的动点（不含端点），则（）A.CD 与1AC 一定不垂直B.AC //平面1A BDC.三棱锥1A ABC -的外接球表面积为3πD.AD DC +的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】利用空间向量法判断AD 选项的正确性，根据线面平行、外接球的知识判断BC 选项的正确性.【详解】A 选项，以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，()()()()110,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,1C B C BC =-，设()101BD BC λλ=<<，则(),,BD λλλ=- ，()()1,,,1,1,AD AB BD CD λλλλλλ=+=-=--，1121CD AC λλλ⋅=-+=-，可知当12λ=时，CD 与1AC 垂直，所以A 选项错误.B 选项，由于11//,AC A C AC ⊄平面11A BC ，11AC ⊂平面11A BC ，所以//AC 平面11A BC ，而平面1A BD 即平面11A BC ，所以AC //平面1A BD ，B 选项正确.C 选项，将三棱锥1A ABC -补形成正方体如图所示，三棱锥1A ABC -的外接球也即正方体的外接球，设正方体外接球的半径为R ，则2R =所以外接球的表面积为24πR 3π=，C 选项正确.D 选项，先证明不等式≥，当且仅当ad bc =且0ac bd +≤时等号成立：设()()(),,,,,x a b y c d x y a c b d ==+=++，所以x y x y +=+=根据向量加法的三角形法则可知x y x y +≥+，当,x y同向，即ad bc =且0ac bd +>时等号成立，+≥，当且仅当ad bc =且0ac bd +≤时等号成立.（证毕）所以AD CD AD CD +=+===≥，当且仅当1233λλ⎫⎫-=-⎪⎪⎭⎭12033λλ⎫⎫--+⎪⎪⎭⎭，即12λ=时等号成立，所以D 选项正确.故选：BCD三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）13.直线2390x y --=的一个方向向量为________.【答案】2(1,)3（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，再写出方向向量即可.【详解】直线2390x y --=的斜率23k =，所以直线直线2390x y --=的一个方向向量为2(1,)3.故答案为：2(1,)314.已知直线1l ：220x y --=的倾斜角为θ，直线2l 的倾斜角为2θ，且直线2l 在y 轴上的截距为3，则直线2l 的一般式方程为________.【答案】4390x y -+=【解析】【分析】确定1tan 2θ=，计算4tan 23θ=，得到直线斜率，再计算直线方程得到答案.【详解】直线1l ：220x y --=的倾斜角为θ，则1tan 2θ=，故22tan 4tan 21tan 3θθθ==-，故直线2l 的斜率为43k =，截距为3，故直线方程为433y x =+，即4390x y -+=.故答案为：4390x y -+=15.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP ·FP 的取值范围为________.【答案】[]2,6【解析】【分析】可设(,)P x y ，可求得OP 与FP 的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得其答案．【详解】点P 为椭圆22143x y +=上的任意一点，设(,)(22,P x y x y -≤≤≤≤，依题意得左焦点(1,0)F -，(,)OP x y = ，(1,)FP x y =+uu r ，2(1)OP FP x x y ⋅=++ 221234x x x -=++2134x x =++21(1)22x =++，22x -≤≤ ，10122x ∴≤+≤，210(1)42x ∴≤+≤，212(1)262x ∴≤++≤．则26OP FP ≤⋅≤ ．故答案为：[]2,6．16.已知圆C ：()()221310x y -++=和点()5,M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是________.【答案】51t -≤≤-【解析】【分析】利用题设条件，分析MA MB ⊥且与圆C 交于,A B 的临界情况，由点M 在临界点之间移动的变化情况运算即可得解.【详解】圆C ：()()221310x y -++=，则半径为，()1,3C -，如上图，对于直线5x =上任意一点()5,M t ，当,AM BM 均为圆的切线时AMB ∠最大，由题意，MA MB ⊥即90AMB ∠= 时，此时M 为满足题设条件的临界点，此时有=sin 2AC AMC CM ∠≥.当M 在临界点之间移动时，有2AC CM ≥2≥，即有：()234t +≤，解得：51t -≤≤-.故答案为：51t -≤≤-.四、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17.已知ABC 的顶点()4,2A ，顶点C 在x 轴上，AB 边上的高所在的直线方程为20x y m ++=.（1）求直线AB 的方程；（2）若AC 边上的中线所在的直线方程为40x y --=，求m 的值.【答案】（1）260x y --=；（2）6-.【解析】【分析】（1）求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程；（2）设点(),0C t ，利用AC 的中点在直线40x y --=上，求出t 值，再由点C 在直线20x y m ++=上求出m 值.【小问1详解】依题意，由AB 边上的高所在的直线的斜率为12-，得直线AB 的斜率为2，又()4,2A ，所以直线AB 的方程为()224y x -=-，即260x y --=.【小问2详解】由C 点在x 轴上，设(),0C t ，则线段AC 的中点4(,1)2t D +，由点D 在直线40x y --=上，得41402t +--=，得6t =，即()6,0C ，又点C 在直线20x y m ++=上，因此60m +=，解得6m =-，所以m 的值为6-.18.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，解答以下问题：（1）证明：直线//MN 平面OCD ；（2）求直线AC 与平面OCD 所成角的余弦值.（3）求点N 到平面OCD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）由（1）结论，利用线面角的向量求法求解即得.（3）由（1）结论，利用点到平面距离的向量求法求解即得.【小问1详解】在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，则,,AB AD AO 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AO 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图，由2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，得()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A M N O C D ，即()()()2,1,1,2,2,2,0,2,2MN OC OD =-=-=- ，设平面OCD 的法向量为(),,n x y z = ，则2220220n OC x y z n OD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1z =，得()0,1,1n = ，则110n MN ⋅=-= ，MN ⊄平面OCD ，所以直线//MN 平面OCD .【小问2详解】由（1）知，()2,2,0AC = ，且平面OCD 的一个法向量为()0,1,1n = ，设直线AC 与平面OCD 所成角为θ，则||1sin |cos ,|2||||n AC n AC n AC θ⋅=〈〉==，cos 2θ==所以直线AC 与平面OCD所成角的余弦值为2【小问3详解】由（1）知，()0,1,0NC = ，且平面OCD 的一个法向量为()0,1,1n = ，所以点N 到平面OCD的距离||2||NC n d n ⋅=== .19.一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心()0,0O 为圆心，半径为400km 的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km 处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km 的速度做匀速直线运动：（1）运输车将在无人区经历多少小时？（2）若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？【答案】（1）5小时（2）800km【解析】【分析】（1）根据题意，以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，结合点到直线的距离公式求得弦长，即可得到结果；（2）根据题意，由直线与圆相切，即可得到结果.【小问1详解】以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，记运输车从()600,0A 出发，点N 处开始进入无人区，到M 处离开无人区，则圆O 方程为222400x y +=，由运输车沿北偏西60°方向运动，可得直线AB的斜率tan1503k =︒=-，则():6003AB l y x =--，即30y +-=，因为O 到AB l 的距离为300km OO '==,则2MN =⨯==，5=小时.【小问2详解】设运输车至少应离火山口km a 出发才安全，此时运输车的行驶直线刚好与圆O 相切，且直线方程为)33y x a =--30y +-=，则O到直线的距离400d ==，解得800a =，即运输车至少应离火山口800km 出发才安全.20.已知点()4,1-A ，()0,3B ，圆C 的半径为1.（1）若圆C 的圆心坐标为()3,2C ，过点A 作圆C 的切线，求此切线的方程；（2）若圆C 的圆心C 在直线l ：1y x =-上，且圆C 上存在点M ，使2MB MO =，O 为坐标原点，求圆C 圆心的横坐标a 的取值范围.【答案】（1）4x =或43130x y +-=（2）,,2222⎡--⎢⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）确定圆方程，考虑切线斜率不存在和存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案.（2）确定圆方程，根据2MB MO =得到M 的轨迹为圆，确定两圆的位置关系，解得答案.【小问1详解】圆C 的圆心坐标为()3,2C ，半径为1，故圆方程为()()22321x y -+-=，当切线斜率不存在时，易知4x =与圆相切；当切线斜率存在时，设切线方程为()41y k x =--，即410kx y k ---=，1=，解得43k =-，切线方程为：43130x y +-=；综上所述：切线方程为4x =或43130x y +-=.【小问2详解】圆方程为()()2211x a y a -+-+=，设(),M x y ，2MB MO ==整理得的()22+1=4x y +，故M 在两圆的交点上，故两圆相切或者相交，即212+1-≤≤，解得32222a -≤≤-或23222a ≤≤，故322232,,2222a ⎡∈--⎢⎣⎦⎣⎦.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AD CD ⊥，且AD CD ==，BC =2PA =.（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得平面MAC 与平面PBC 所成角的大小为30︒，如果存在，求PM PD 的值，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12或78；理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意可先证明AB APC ⊥面，又因为PC 在面APC 内，从而可证；（2）建立空间向量直角坐标系，根据已知条件用空间向量求解证明是否存在.【小问1详解】如图，取BC 的中点为E ，连接AE ，因AD EC =，AD EC ∥，所以得：四边形AECD 为平行四边形.从而得：AE CD ∥，AE CD =，又因为AD BC ∥，AD CD ⊥，所以得：4AB ==，4AC ==，从而得：22232AB AC BC +==，所以得：AC AB ⊥，因为PA PAC ⊥平面，AB PAC ⊂平面，得：PA AB ⊥；又因为,AC PA PAC ⊂平面，且AC PA A ⋂=，所以得：AB PAC ⊥平面；又因为PC PAC ⊂平面，所以得：AB PC ⊥.故可证：AB PC ⊥.【小问2详解】存在，理由如下：由（1）如图建立以A 点为原点的空间直角坐标系.得：()0,0,0A，()0,D，()C ，()002P ,,，()B -得：()AC =，()0,2PD =- ，()0,0,2AP =，()2CP =--，()0,CB =- 设()01PM PD λλ=≤≤，得：()02,,PM λ=-，()022,,AM AP PM λ=+=- ，设平面MAC 的一个法向量为(),,n x y z = ，得：()0220n AC n AM y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令：1x λ=-，得：1y λ=-，z =，所以得：()11,n λλ=-- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m a b c = ，得：020m CB m CP c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令：1a =，得：0b =，c =所以得：(m = ，又因为平面MAC 与平面PBC 所成角的大小为30︒，所以得：cos302m n m n ⋅︒===⋅ ，化简得：2162270λλ-+=，解之得：12λ=或78λ=.故答案为：存在，12或78.22.已知()0,1P 为椭圆C ：()222210x y a ba b+=>>上一点，长轴长为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）不经过点P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 必过定点，并求出这个定点坐标.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析，定点为()2,1-【解析】【分析】（1）根据长轴长确定a =1b =，得到答案.（2）设直线l x my n =+，联立方程得到根与系数的关系，根据斜率的关系计算化简得到20n m --=，代入直线方程得到定点.【小问1详解】长轴长为2a =，故a =()0,1P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，故1b =，椭圆方程为：2212x y +=；【小问2详解】直线与x 轴平行时，根据对称性知斜率和为0，不成立；设直线l ：x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线不过()0,1P ，则0m n +≠，则2212x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2222220m y mny n +++-=，()()222244220m n n m ∆=--+>，即2220-+>m n ，则12221222222mn y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，1212111AP BP y y k k x x --+=+=-，即()()()()()()122112110y my n y my n my n my n -++-++++=，整理得到()()222222222022n mn m m n m mn n n m m -+⋅--+⋅+-=++，化简得到()()20m n n m +--=，0m n +≠，则20n m --=，直线方程2x my m =++，直线过定点()2,1-.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据根与系数的关系来计算定点，可以简化运算，是解题的关键.。
江苏省各中学2021-2022学年高二上学期期中数学训练试题含详解
江苏省各中学2021-2022学年高二上学期期中数学训练试题含详解试卷主标题姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 一、选择题（共24题）1、已知直线l 的方程为，则直线的倾斜角为（）A ．B ．60°C ．150°D ．120° 2、与的等比中项是（）A ．B ．C ．D ．3、与椭圆的焦点坐标相同的是（）A ．B ．C ．D ．4、已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为（）A ．B ．C ．D ．5、已知方程表示双曲线，则的取值范围是（）A ．B ．C ．或D ．6、在等差数列中，若，则的值等于（）A ．8B ．10C ．13D ．26 7、直线与曲线有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8、已知是椭圆的左焦点，为右顶点，是椭圆上一点，轴，若，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．9、若直线的倾斜角，则其斜率（）A ．B ．C ．1D ．10、已知向量，2 ，，，，，且，那么（）A ．B ．C ．D ．11、若直线与直线平行，则实数（）A ．1B ．C ．0D ．12、已知三棱柱，点为线段的中点，则（）A ．B ．C ．D ．13、在棱长为2 的正方体中，点M 、N 分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．14、两直线，则直线关于直线对称的直线方程为（）A ．B ．C ．D ．15、已知椭圆上两点，若的中点为，直线的斜率等于，则直线的斜率等于（）A ．B ．C ．D ．16、若圆上仅有4 个点到直线的距离为1 ，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．17、对任意的，方程所表示的曲线可能为（）A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．圆18、已知是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）A ．椭圆的焦距为2B ．椭圆的离心率C ．D ．的面积的最大值是4 19、已知为等差数列，其前项和，若，，则（）A ．公差B ．C ．D ．当且仅当时20、在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的值可能是（）A ．B ．C ．D ．21、下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B ．直线l 的方向向量，平面α 的法向量是，则C ．两个不同的平面α ，β 的法向量分别是，，则D ．直线l 的方向向量，平面α 的法向量是，则22、下列说法正确的是（）A ．过，两点的直线方程为B ．点关于直线的对称点为C ．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 2D ．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为23、已知曲线（）A ．若，则是椭圆，其焦点在轴上B ．若，则是椭圆，其焦点在轴上C ．若，则是圆，其半径为D ．若，，则是两条直线24、已知四面体的所有棱长均为2 ，则下列结论正确的是（）A ．异面直线与所成角为B ．点 A 到平面的距离为C ．D ．四面体的外接球体积为二、填空题（共8题）1、两平行直线，之间的距离是__________.2、等差数列的前项和，等比数列的前项和，（其中、为实数）则的值为__________. 3、点到直线的距离的最大值为________. 4、已知双曲线左焦点为为双曲线右支上一点，若的中点在以为半径的圆上，则的横坐标为_________. 5、两平行线，的距离是__________. 6、若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆的一个焦点为，且长轴长是短轴长的倍，则标准方程为____________ ．7、如果实数x ，y 满足等式，那么的最大值是______________ ．8、当曲线与直线有两个公共点时，t 的取值范围是__________ ．三、解答题（共12题）1、已知直线l 1 ：3 x + y +2=0 ；l 2 ：mx +2 y + n =0 ．（1 ）若l 1 ⊥ l 2 ，求m 的值；（2 ）求过点且与直线l 1 平行的直线的方程；2、已知数列{ a n } 为等差数列，且a 1 ＋a 5 ＝-12 ，a 4 ＋a 8 ＝0. （1 ）求数列{ a n } 的通项公式；（2 ）若等比数列{ b n } 满足b 1 ＝-8 ，b 2 ＝a 1 ＋a 2 ＋ a 3 ，求数列{ b n } 的通项公式．3、已知直线被圆截得的弦长为．（1 ）求的值；（2 ）求过点（3 ，5 ）与圆相切的直线的方程．4、如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.（1 ）求抛物线的方程；（2 ）一条直线的斜率等于2 ，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值 . 5、已知数列满足 . （1 ）证明是等比数列，并求的通项公式；（2 ）求数列落入区间的所有项的和 . 6、已知椭圆（）的离心率为．（ 1 ）点是椭圆上异于左右顶点的任意一点，，，证明点与，连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值；（2 ）若椭圆的短轴长为，直线与椭圆交于，两点，且坐标原点在以为直径的圆上．判断坐标原点到直线的距离是否为定值，若是，求该定值；若不是，请说明理由．7、求经过直线与交点M ，且满足下列条件的直线的一般式方程．（1 ）经过点；（2 ）与直线垂直．8、椭圆的长轴长等于圆的直径，且的离心率等于，已知直线交于，两点 . （1 ）求的标准方程；（2 ）求弦的长 . 9、如图，在长方体中，，，点在线段上．（ 1 ）求异面直线与所成的角；（2 ）若二面角的大小为，求点到平面的距离．10、已知圆和．（ 1 ）求证圆和圆相交；（2 ）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长；（3 ）求过点且与圆相切的直线方程．11、如图，在直三棱柱中，是变长为6 的等边三角形，D ，E 分别为的中点．（1 ）证明：平面；（2 ）若异面直线与所成的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．12、平面直角坐标系中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线上．（1 ）若圆M 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B （不同于原点O ），求证：的面积为定值；（2 ）设直线直线：与圆M 交于不同的两点C ，D ，且，求圆M 的方程；（3 ）设直线与（2 ）中所求圆M 交于点E 、F ，P 为直线上的动点，直线，与圆M 的另一个交点分别为G ，H ，求证：直线过定点．============参考答案============ 一、选择题1、C 由直线方程得斜率，从而可得倾斜角．由题意直线的斜率为，而倾斜角大于等于且小于，故倾斜角为．故选：C ．2、C 根据等比中项的定义可得结果 . 与的等比中项是 . 故选：C. 3、A 先确定已知椭圆的焦点在x 轴上，求出焦点坐标，接着分别求出四个选项中曲线的焦点坐标，再与已知椭圆的焦点坐标进行比较，即可得答案 . 椭圆的焦点在轴上，且，所以，所以椭圆的焦点坐标为 . 对 A 选项，双曲线方程，其焦点在x 轴上，且，故其焦点坐标为，与已知椭圆的焦点坐标相同；对B 选项，其焦点在x 轴上，且，故其焦点坐标为；对C 选项，其焦点在x 轴上，且，故其焦点坐标为；对 D 选项，其焦点在y 轴上 . 故选 A. 本题考查椭圆、双曲线焦点坐标的求解，主要考查两种曲线中之间的关系 . 4、D 将抛物线方程化为标准形式即可求解 . 由抛物线方程为，即，所以其准线方程为 . 故选：D 5、C 双曲线的焦点可能在x 轴，也可能在y 轴上，分别写出两种情况下的双曲线的标准方程，或，可得或，解不等式可得答案 . 当双曲线的焦点在x 轴上，双曲线方程，则解得：；当双曲线的焦点在y 轴上，双曲线方程，所以解得：；故选C. 本题考查双曲线标准方程，求解的关键在于双曲线方程标准形式的认识 . 6、C 根据等差数列的性质求出，然后根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质即可求出答案 . 因为，所以，即，所以 . 故选：C. 7、D 根据题意直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为 1 的轴上方的半圆，设直线与半圆相切时，切点为，进而数形结合求解即可得答案 . 解：根据题意，直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为1 的轴上方的半圆，设直线与半圆相切时，切点为，如图，在中，，所以所以直线与曲线有公共点时，直线的倾斜角的取值范围为 . 故选：D 8、D 求出，即可得到的方程，解方程即可得到答案；将代入椭圆方程得：，，且，，故选：D 9、C 直接求倾斜角的正切值即可得解 . 因为直线的倾斜角，所以直线的斜率，故选：．10、A 根据题意，设，即，，，2 ，，分析可得、的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．解：根据题意，向量，2 ，，，，，且，则设，即，，，2 ，，则有，则，，则，，，故；故选：．11、B 利用平行的判断方法计算出的值，除去使直线重合的情况即可 . 由两直线平行得，解得又当时，直线与直线重合，与题意不符当时，直线与直线平行，符合题意故选：B. 12、D 根据空间向量的线性运算求解即可解：在三棱柱，点为线段的中点，则，所以，故选：D 13、B 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中利用余弦定理求出此角即可 . 如图，将AM 平移到E ，NC 平移到F ，则∠ E F 为直线AM 与CN 所成角或其补角因为边长为2 ，则∴ 由余弦定理得，即直线AM 和CN 所成角的余弦值为故选：B. 14、D 求出两直线的交点，在直线上任取一点，求出其关于的对称点，利用点斜式求出直线方程 . 联立方程，解得，在直线上任取一点，其关于的对称点为，则直线关于直线对称的直线方程为，即故选：D. 15、D 设，，把两点坐标代入椭圆方程相减后可得与的关系，从而得出结论．设，，，则，两式相减得，整理得，即．故选：D ．方法点睛：在遇到椭圆的弦中点时，常常用点差法求解．即设弦两端点为，弦中点，两端点坐标代入椭圆方程相减珀可得与的关系．双曲线的弦中点也可这样求解．16、A 到已知直线的距离为 1 的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于 1 的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有 4 个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得的取值范围．解：作出到直线的距离为1 的点的轨迹，得到与直线平行，且到直线的距离等于1 的两条直线，圆的圆心为原点，原点到直线的距离为，两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，又圆上有4 个点到直线的距离为 1 ，两条平行线与圆有 4 个公共点，即它们都与圆相交．由此可得圆的半径，即，实数的取值范围是．故选：．本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．17、ACD 分别讨论的范围求方程所表示的曲线，即可得正确选项 . 当时，，，方程可化为，此时为直线；当且时，，，且，此时原方程可化为，此时表示椭圆；当时，时，可化简为表示圆，当时，，，方程可化为，此时为直线；当时，，，此时原方程可化为，此时表示焦点在轴上的双曲线；当时，，原方程即，此时轨迹不存在；当时，，，此时方程表示的轨迹不存在；当时，，，原方程即，此时轨迹不存在；当时，，，此时原方程可化为，此时表示焦点在轴上的双曲线，综上所述：方程所表示的曲线可能为双曲线、椭圆、圆，故选：ACD. 18、BD 根据方程求得，进而求得焦距，离心率，判定AC ；根据椭圆的定义可以判定C 错误；利用椭圆的性质可以求得的面积的最大值，判定D ,∴ , , 焦距，，当M 为短轴的端点时的面积的取得最大值，是, 故选：BD. 19、ABC 根据题意，结合等差数列前项和的公式和性质，一一判断即可 . 由，得，即 . 因，所以，且，故选项AB 正确；因，且，故时，最大，即，故选项C 正确；由，得，即，故D 错 . 故选：ABC. 20、BCD 设点的坐标为，根据题设条件，求得，由圆上存在点，转化为两圆相交或相切，列出不等式即可求解 . 由圆可得圆心，半径为，设点的坐标为，因为，即，整理得：，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，因为圆上存在点，满足，所以两圆相交或相切，所以，即，所以，所以选项B 、C 、 D 正确，故选：BCD. 21、AC 利用空间向量的共线向量定理和数量积运算求解判断 . A. 因为两条不重合直线，的方向向量分别是，，且，共线，则，故正确；B. 因为直线l 的方向向量，平面α 的法向量是，且，则，故错误；C. 因为两个不同的平面α ，β 的法向量分别是，，且，则，故正确；D. 因为直线l 的方向向量，平面α 的法向量是，且，则不平行，故选：AC 22、BC 运用直线的两点式方程判断A 的正误；利用对称知识判断B 的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断 C 的正误；利用直线的截距相等可判断 D 的正误．对于 A ：当，时，过，两点的直线方程为，故 A 不正确；对于B ：点(0,2) 与(1,1) 的中点坐标，满足直线方程, 并且两点的斜率为：−1, 所以点(0,2) 关于直线y = x +1 的对称点为(1,1) ，所以B 正确；对于C ：直线在两坐标轴上的截距分别为：2,−2, 直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C 正确；对于D ：经过点(1,1) 且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x + y −2=0 或y = x ，所以D 不正确；故选：BC. 本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为的情况，属于基础题．23、AD 结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示两条直线 . 对于A ，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A 正确，故B 错误；对于C ，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故 C 不正确；对于D ，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故 D 正确；故选：AD. 本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养 . 24、BCD 由题意画出图形，证明AC ⊥ BD ，可知A 错误，同理得到C 正确；直接求出A 到底面的距离判断B ；求出正四面体外接球的半径，进一步求得外接球的体积判断D ．如图，由题意，四面体ABCD 为正四面体，取底面BCD 的中心为G ，连接CG 并延长，交BD 于 E ，则 E 为BD 的中点，且CE ⊥ BD ，连接AG ，则AG ⊥ 底面BCD ，得AG ⊥ BD ，又AG ∩ CE ＝G ，∴ BD ⊥ 平面ACG ，则AC ⊥ BD ，故A 错误；同理，故C 正确；由四面体的所有棱长为 2 ，可得，又AC ＝2 ，∴ ，即点A 到平面BCD 的距离为，故B 正确；设四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，连接OC ，则，解得，则四面体ABCD 的外接球体积为，故D 正确；故选：BCD ．二、填空题1、根据两直线平行的条件求出的值，然后利用两平行线间的距离公式求出答案即可 . 因为，所以，解得，所以，即，所以两平行线间的距离为 . 故答案为： . 2、根据前项和与通项的关系求出数列、的通项公式，可求得、的值，即可得解 . 当时，， . 当时，，，因为数列为等差数列，则，可得，因为数列为等比数列，则，可得 . 因此， . 故答案为：. 3、求出直线所过定点坐标，时，距离最小为．直线l 的方程可整理为，故直线l 过定点 . 因为P 到直线l 的距离，当且仅当时等号成立，故 . 故答案为：．本题考查点到直线的距离，求出动直线所过定点坐标是解题关键．这样由距离的定义知就是最小值．4、# 根据中位线的性质求出；根据双曲线的定义求出，从而在中求出，然后根据即可求出答案 . 设为的中点，为双曲线的右焦点，易知，因为为的中点，所以，由双曲线的定义，知，连结，则，，所以，所以，即 . 故答案为：. 5、直线的方程可化为，故两平行直线之间的距离，故答案为 . 6、根据条件列式求出即可 . 由已知，解得故标准方程为 . 故答案为：. 7、## 的几何意义为圆上的点到点的距离，求出最大距离即可得答案 . 实数x ，y 满足等式，即则的几何意义为圆上的点到点的距离，则距离的最大值为所以的最大值是故答案为：. 8、依题意表示以为圆心，为半径的圆的轴及轴右半部分，作出图形，求出半圆的切线，从而得出的范围．解：因为，所以，所以表示以为圆心，为半径的圆的轴及轴右半部分，图形如下所示：设直线与半圆相切，则，解得（舍或．当直线恰过点时，；直线与曲线恰有两个公共点，．故答案为：三、解答题1、（1 ）；（2 ）. （1 ）根据两直线的位置关系即可求出的值，（2 ）根据两直线平行设出所求直线方程，然后把点的坐标代入即可求出 . （ 1 ）因为l 1 ⊥ l 2 ，所以3 m +2=0 ，解得 . （2 ）因为所求直线与直线l 1 平行，所以设所求直线方程为3 x + y + c =0 ，把点代入，得3+2+ c =0 ，解得，故过点且与直线l 1 平行的直线的方程为 . 2、（1 ）a n ＝2 n -12 ；（2 ）. （1 ）根据等差数列的性质得到，然后根据等差数列的通项公式求出和的值即可 . （2 ）根据（1 ）的条件求出b 2 ＝-24 ，b 1 ＝-8 ，然后根据等比数列的通项公式求出的值即可 . （ 1 ）设等差数列{ a n } 的公差为d ，因为a 1 ＋a 5 ＝2 a 3 ＝-12 ，a 4 ＋a 8 ＝2 a 6 ＝0 ，所以，所以，解得，所以 a n ＝-10 ＋2( n -1) ＝ 2 n -12. （ 2 ）设等比数列{ b n } 的公比为q ，因为b 2 ＝a 1 ＋a 2 ＋a 3 ＝-24 ，b 1 ＝-8 ，所以－8 q ＝－24 ，即q ＝3 ，因此 . 3、（1 ）a =1 ；（2 ）或 . （1 ）求出圆心，半径，利用圆心到直线的距离，通过勾股定理列方程求解即可．（2 ）判断点与圆的位置关系，① 当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离求解即可；② 当过斜率不存在，判断直线与圆是否相切，推出结果．（ 1 ）依题意可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，由勾股定理可知，代入化简得，解得或，又，所以；（2 ）由（1 ）知圆，又在圆外，① 当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离可解得，切线方程为，② 当过斜率不存在，易知直线与圆相切，综合①② 可知切线方程为或 . 本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．4、（1 ）圆的圆心坐标为，即抛物线的焦点为,。
江苏省江阴市要塞中学2020-2021学年高二上学期期中复习数学试卷一 含答案
，则数列 bn 的前
n
项和
Sn
为
（）
6
A．
4n n 1
【答案】A．
B．
2n n 1
C．
n 2n 1
D．
2n 2n
1
【解析】因为 an
1 n 1
2 n 1
n n 1
n n 1 1
2 n1
n 2
所以 bn
1 an an 1
1 n n1
4
1 n
1 n 1
22
所以
Sn
41
1 2
1 2
1 3
1 n
均速度 v 为多少时车流量 y 最大？最大车流量为多少？(精确到 0.01) (2)为保证 在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围 内？
21.已知椭圆
的短轴长为 2．（1）若椭圆 C 经过点
，
求椭圆 C 的方程；（2）A 为椭圆 C 的上顶点，B（0，3），椭圆 C 上存在点 P，
)
A．不存在 x R ， 3x3 2x2 4 0
B．存在 x R ， 3x3 2x3 4 0
C．存在 x R ， 3x3 2x2 4 0
D．存在， x R ， 3x3 2x2 4 0
3．若 p :“直线 y x+b 与圆 x2 y2 1 相交”， q :“ 0 b 1”；则 p 是 q（ ）
∴实数 m 的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．故选 C． 9.首项为正数，公差不为 0 的等差数列{an}，其前 n 项和为 Sn，现有下列 4 个命题中正确的有（ ） A.若 S10＝0，则 S2+S8＝0； B.若 S4＝S12，则使 Sn＞0 的最大的 n 为 15； C.若 S15＞0，S16＜0，则{Sn}中 S8 最大；
江苏省2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷含解析
江苏省2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线l 经过原点，且经过另两条直线2310x y ，460x y --=的交点，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y += C ．20x y -=D ．20x y -=2．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）A ．7B ．9C ．21D ．423．椭圆221259x y +=与221925x y k k+=--(0<k <9)的（ ）A ．长轴的长相等B ．短轴的长相等C ．离心率相等D ．焦距相等4．若两条直线()2(2)340m x m m y ++-+=和2(3)10x m y +-+=互相平行，则m 的值为（ ） A ．3B ．4-或4C ．3或4-D ．3或45．设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与圆22:1C x y +=相切于点P ，且P 位于第一象限，O 为坐标原点，则AOB 的面积的最小值为（ ）A．1B 2C D ．26．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为 A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．若直线:l y x b =+与曲线y b 的取值范围是（ ）A ．{b b -<∣B ．{2b b <<∣C ．{222}b b <∣D ．{}2bb =±∣8．已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- B ．经过点()1,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-= C ．若方程22220x y x y m +-+-=表示圆，则2m >-D ．圆224x y +=上有且只有三点到直线:0l x y -+=的距离都等于1 10．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，P 为C 上一点，下列说法正确的是（ ） A ．C 的准线方程为116y =-B ．直线1y x =-与C 相切C ．若()0,4M ，则PM 的最小值为D ．若()3,5M ，则PMF △的周长的最小值为1111．设椭圆22:132x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则（ ）A ．12PF PF +=B ．CC ．12PF F △D ．C 上有且只有4个点P ，使得12PF F △是直角三角形12．已知直线l ：20ax by r +-=与圆C ：222x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切三、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为_______．14．已知数列{an }满足an ＋2＝－an (n ∈N ＋)，且a 1＝1，a 2＝2，则数列{an }的前2017项的和为_______15．已知向量13=(-,),=22a OA ab - OB a b =+，若OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB 的面积为________．四、双空题16．已知抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且23AB FA =-，则抛物线的准线方程为________；BF 的值为________．五、解答题17．已知{an }是公差不为零的等差数列，a 5＝17，a 1，a 2，a 7成等比数列． (1)求数列{an }的通项公式；(2)将数列{an }与{3n }的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn }，求数列{bn }的前n 项和Sn ．18．求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x 轴上，半径为5，且过点()2,3A -； (2)经过点()4,5A --、()6,1B -，且以线段AB 为直径； (3)圆心在直线y =-2x 上，且与直线y =1-x 相切于点()2,1-； (4)圆心在直线x -2y -3=0上，且过点()2,3A -，()2,5B --．19．若两条相交直线1l ，2l 的倾斜角分别为1θ，2θ，斜率均存在，分别为1k ，2k ，且120k k ⋅≠，若1l ，2l 满足______（从∈12θθπ+=；∈12l l ⊥两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：(1)1k ，2k 满足的关系式；(2)若1l ，2l 交点坐标为()1,1P ，同时1l 过(),2A a ，2l 过()2,B b ，在（1）的条件下，求出a ，b 满足的关系；(3)在（2）的条件下，若直线1l 上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数a ，b 的值．20．已知一直线经过点()1,2，并且与点()2,3和()0,5-的距离相等，求此直线的方程． 21．已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为2，且16.FA OA ⋅= (1)求抛物线的方程；(2)过点(8,0)M 作直线l 交抛物线于,B C 两点，设1122(,),(,)B x y C x y ，判断OB OC ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦点坐标为(，长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l 不过点(0,1)P 且与椭圆C 交于A B 、两点，从下面∈∈中选取一个作为条件，证明另一个成立.∈直线PA PB 、的斜率分别为12,k k ，则121k k ⋅=；∈直线l 过定点5(0,)3-.参考答案：1．B【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可.【详解】联立方程2310460x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得：21x y =⎧⎨=-⎩ 所以两直线的交点为()2,1-，所以直线的斜率为101202--=--， 则直线l 的方程为：12y x =-，即20x y +=.故选：B 2．C【解析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()1212121632a a S +==， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.3．D【分析】根据椭圆方程求得两个椭圆的2c ，由此确定正确选项.【详解】椭圆221259x y +=与221925x y k k+=-- (0<k <9)的焦点分别在x 轴和y 轴上， 前者a 2＝25，b 2＝9，则c 2＝16，后者a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，则216c =． 显然只有D 正确． 故选：D 4．C【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程（不等式）组，解得即可；【详解】解：因为直线()2(2)340m x m m y ++-+=和2(3)10x m y +-+=互相平行， 所以()()223(2)131(2)14m m m m m ⎧-+=⨯-⎪⎨⨯+≠⨯⎪⎩，解得3m =或4m =-； 故选：C 5．A【分析】根据题意，设出直线与坐标轴的交点坐标(,0)A a ，(0,)B b ，利用直线方程截距式列出方程并化简方程，再根据基本不等式求出2ab ≥，代入三角形面积公式，即可求解三角形面积的最小值.【详解】依题意，设(,0)A a ，(0,)B b ，直线l 与圆22:1C x y +=相切于点P ，P 位于第一象限则直线过一、二、四象限，即0a >，0b >，则直线方程为1x ya b+=，化简得bx ay ab +=，直线与圆相切，故圆心到直线的距离1d r ===，ab ≥，∈2ab ≥，当且仅当a b ==.∈s 112AOB S ab =≥.即三角形面积最小值为1 故选：A.【点睛】本题考查直线的截距式方程，考查基本不等式，综合性较强，属于中等题型. 6．D【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是b y x a=2b a =∈，抛物线2y =的准线是x =c =2227a b c +==∈，由∈∈联立解得2a b =⎧⎪⎨⎪⎩为22143x y -=．故选D ． 考点：双曲线的标准方程． 7．C【分析】求出直线与曲线相切时实数b 的值，再结合图象，即可得到答案；【详解】化简方程y 224(0)x y y +=≥，方程224(0)x y y +=≥对应的曲线为以()0,0为圆心，以2为半径的圆在x 轴上方的部分（含点()2,0,()2,0-）；当直线y x b =+与半圆相切时，2=0b >，所以b =，当直线过点()2,0-时，2b =，所以实数b 的取值范围为2,⎡⎣， 故选：C.8．B【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数. 【详解】设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=-，，由AP BP ⊥，得 22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-=，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个. 故选：B.9．CD【分析】由直线的两点式方程可判断A ，利用直线的截距式方程可判断B ，由二元二次方程表示圆的条件可判断C ，利用直线和圆的位置关系可判断D.【详解】对于A ，由当12x x =或12y y =时，过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程不能表示为112121y y x x y y x x --=--，故A 错误； 对于B ，经过点()1,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程还有2y x =，故B 错误； 对于C ，若方程22220x y x y m +-+-=表示圆，则()()222240m -+-->即2m >-，故C 正确；对于D ，圆224x y +=的圆心为原点()0,0，半径为2，圆心到到直线:0l x y -+=的距离为1d =，则圆224x y +=上有且只有三点到直线:0l x y -的距离都等于1，故D 正确.故选：CD. 10．BCD【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A ，联立直线与抛物线方程，消元，由0∆=判断B ，设点(),P x y ，表示出2PM ，根据二次函数的性质判断C ，根据抛物线的定义转化求出PMF △的周长的最小值，即可判断D.【详解】解：抛物线C ：214y x =，即24x y =，所以焦点坐标为()0,1F ，准线方程为1y =-，故A 错误；由2141y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，即2440x x -+=，解得()24440∆=--⨯=，所以直线1y x =-与C 相切，故B 正确；设点(),P x y ，所以()()22222441621212x P y y y y M =+-=-+=-+≥，所以min PM =C 正确；如图过点P 作PN 准线，交于点N ，NP PF =，5MF =，所以5611PFMCMF MP PF MF MP PN MF MN =++=++≥+=+=，当且仅当M 、P 、N 三点共线时取等号，故D 正确； 故选：BCD 11．ACD【分析】根据椭圆的方程求得,,a b c 的值，结合椭圆的定义，离心率的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，椭圆22:132x y C +=，可得1a b c ==，根据椭圆的定义，可得122PF PF a +==A 正确；根据离心率的定义，可得椭圆的离心率为c e a ==，所以B 不正确； 由椭圆的几何性质，可得12PF F S最大值为1211222S F F b =⋅⨯=⨯，所以C 正确；因为以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=，联立方程组22221132x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，整理得23x =-，即方程组无解，所以以点P 为直角顶点的12PF F △不存在；过1F 作x 的垂线，交椭圆C 于12,P P 两点，此时可得直角112PF F 和212P F F ； 过2F 作x 的垂线，交椭圆C 于34,P P 两点，此时可得直角312P F F △和412P F F ， 综上可得，椭圆上有且仅有4个点使得12PF F △为直角三角形，所以D 正确. 故选：ACD. 12．ABD【分析】根据点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A ：∈点A 在圆C 上，∈222a b r +=， ∈圆心()0,0C 到直线l的距离为d r ==，∈直线与圆C 相切，故A 选项正确；对于选项B ：∈点A 在圆C 内，222a b r ∴+<， ∈圆心()0,0C 到直线l的距离为d r =>，∈直线与圆C 相离，故B 选项正确；对于选项C ：∈点A 在圆C 外，∈222a b r +>， ∈圆心()0,0C 到直线l的距离为d r =<，∈直线与圆C 相交，故C 选项错误；对于选项D ：∈点A 在直线l 上，∈222a b r +=， ∈圆心()0,0C 到直线l的距离为d r ==，∈直线与圆C 相切，故D 选项正确． 故选：ABD ． 13．13【分析】设点B 为椭圆的左顶点，由题得AM AFBQ BF=，化简即得解. 【详解】设点B 为椭圆的左顶点，由题意知AM∈BQ ，且AM ＝12BQ, ∈AM AF BQ BF =，则12a ca c-=+求得a ＝3c ，即e ＝13．故答案为13【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14．1【分析】推导出数列的周期为4，再求和即可【详解】an ＋2＝－an ，42n n n a a a ++∴=-=，则数列周期为4，又314212341,2,0a a a a a a a a =-=-=-=-∴+++= 则2017项的和为()123415041a a a a a ⨯++++= 故答案为1【点睛】本题考查数列求值，准确推得周期是关键，是基础题 15．1【分析】根据向量的垂直推出1a b =＝，继而求得||||2OA OB ==式求得答案.【详解】由题意，得112a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA OB ⊥，||||OA OB =,由OA OB ⊥得22()()0a b a b a b -⋅+=-=，所以1a b =＝，由||||OA OB =得||||a b a b -=+，故22||a b a b -=+，所以·0a b ＝ ，所以222||||2a b a b +=+=，所以|||||2OA OB ==112OABS =, 故答案为：1 16． 1x =-32【分析】根据焦点坐标可得12p=，求得p 的值即可求解；由已知条件可得2AF FB =，取AF 的中点为C ，分别过点A ，C ，F ，B 作准线的垂线，设BN t =，则2AM t =，根据抛物线的定义以及梯形中位线的性质即可求解.【详解】抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，则12p=， ∈2p =，所以抛物线方程为24y x =，准线为1x =-.如图取AF 的中点为C ，分别过点A ，C ，F ，B 作准线的垂线， 垂足分别为M ，Q ，P ，N ．由23AB FA =-可知2AF FB =， 由抛物线的定义可得：AM AF =，BN BF =， 所以2AM BN =． 设BN t =，则2AM t =，又2PF =，2PF BN CQ =+，所以4CQ t =-， 又2PF AM CQ +=，即()2224t t +=-， 解得32t =，所以32BF =．故答案为：1x =-；32【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是根据2AF FB =以及2PF =结合抛物线的定义、梯形中位线的性质列方程. 17．(1)an ＝4n －3(2)9(91)8=-n n S【分析】（1）由517a =及127,,a a a 成等差数列建立等式求解即可；（2）根据条件求出数列239n nn b ==，再求和即可.(1)设等差数列的公差为d ，d ≠0， 由条件得()()12111417,6,a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解之得11,4,a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为an ＝4n －3． (2)设4n －3＝3m ，则n ＝334+m ＝(41)34-+m ＝()()111144 (14134)m mm m m m m m m C C C ----+-+-+，当m ＝2k ，k ∈N *时，(－1)m mm C ＋3＝4，所以n ∈N *， 当m ＝2k －1，k ∈N *时，(－1)m mm C ＋3＝2，所以n ∈N *，所以239n nn b ==，所以9(19)9(91)198n nn S -==--．18．(1)()22225x y ++=或()22625x y -+= (2)()()221329x y -++= (3)()()22122x y -+=+ (4)()()221210x y +++=【分析】利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程. （1）设圆的标准方程为()2225x a y -+=．因为点()2,3A -在圆上，所以()()222325a -+-=，解得a =-2或a =6，所以所求圆的标准方程为()22225x y ++=或()22625x y -+=． （2）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由题意得4612a -+==，5132b --==-； 又因为点()6,1-在圆上，所以()()222611329r =-+-+=．所以所求圆的标准方程为()()221329x y -++=． （3）设圆心为(),2a a -．因为圆与直线y =1-x 相切于点()2,1-解得a =1．所以所求圆的圆心为()1,2-，半径r =所以所求圆的方程为()()22122x y -+=+． （4）设点C 为圆心，因为点C 在直线230x y --=上，故可设点C 的坐标为()23,a a +． 又该圆经过A 、B 两点，所以CA CB =．a =-2，所以圆心坐标为()1,2C --，半径r = 故所求圆的标准方程为()()221210x y +++=． 19．(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析【分析】（1）依题意11tan k θ=，22tan k θ=，若选∈利用诱导公式计算可得；若选∈根据两直线垂直的充要条件得解；（2）首先表示出直线1l 、2l ，再将点代入方程，再结合（1）的结论计算可得；（3）按照函数的平移变换规则将直线1l 进行平移变换，即可求出1k ，从而求出直线1l 的方程，即可求出a ，再根据（1）求出直线2l 的方程，即可求出b 的值； （1）解：依题意11tan k θ=，22tan k θ=，且1θ，2θ均不为0或2π， 若选∈12θθπ+=，则12θπθ=-，则()122tan tan tan θπθθ=-=-，即120k k +=； 若选∈12l l ⊥，则121k k（2）解：依题意直线1l ：()111y k x -=-，直线2l ：()211y k x -=-，又1l 过(),2A a ，所以()1121k a -=-且1a ≠，即()111k a =-且1a ≠，又2l 过()2,B b ，所以()2211b k -=-且1b ≠，即21b k -=且1b ≠；若选∈，则120k k +=，所以121b k k -==-，即()()111b a =--且1a ≠、1b ≠； 若选∈，则121k k ，所以()()21111b a k k -⨯=-⨯，即2b a +=且1a ≠、1b ≠；（3）解：直线1l ：()111y k x -=-，将直线1l 向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到()14121y k x -⎡⎤-=-+⎣⎦，即11215x y k k --=+，所以1152k k -+=-，解得112k =，此时直线1l ：()1112y x -=-，所以()1112a =-，解得3a =； 若选∈，则212k =-，此时直线2l ：()1112y x -=--，所以121b -=-，解得12b =；若选∈，则22k =-，此时直线2l ：()121y x -=--，所以12b -=-，解得1b =-； 20．420x y --=或1x =【分析】当直线斜率存在时，设出方程，由点到直线的距离解出斜率即可；斜率不存在时检验满足条件即可.【详解】假设所求直线的斜率存在，则可设其方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=．，即17k k -=-，解得4k =，则直线方程420x y --=．又所求直线的斜率不存在时，方程为1x =，适合题意．∈所求直线的方程为420x y --=或1x =．21．(1)28y x = (2)是，0【分析】（1）根据题意，设抛物线的方程为：22(0)y px p =>，则,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，(A ，进而根据16FA OA ⋅=得4p =，进而得答案；（2）直线l 的方程为8x ky =+，进而联立方程，结合韦达定理与向量数量积运算化简整理即可得答案. (1)解：由题意，设抛物线的方程为：22(0)y px p =>，所以点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，点A 的坐标为(2,，因为16FA OA ⋅=，所以(2,2,162p ⎛-⋅= ⎝，即4416p p -+=，解得4p =.所以抛物线的方程为：28y x = (2)解：设直线l 的方程为8x ky =+，则联立方程288y xx ky ⎧=⎨=+⎩得28640y ky --=，所以128y y k +=，1264y y ⋅=-， 因为1122(,),(,)OB x y OC x y ==，所以12121112(8)(8)OB OC x x y y ky ky y y ⋅=+=+++221212(1)8()6464(1)88640k y y k y y k k k =++++=-++⋅+=.所以OB OC ⋅为定值0. 22．(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由条件可得22224c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解出即可；（2）选∈证∈，当直线l 的斜率存在时，设l ：y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得122841km x x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+，然后由121k k ⋅=可算出53m =-，即可证明，选∈证∈，设l ：53y kx =-，1122(,),(,)A x y B x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得()12240341k x x k +=+，()12264941x x k =+，然后可算出121k k ⋅=.(1)由条件可得22224c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆方程为2214x y +=(2)选∈证∈：当直线l 的斜率存在时，设l ：y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y由2214x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=，则122841km x x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+ 由121k k ⋅=得1212111y y x x --⋅= 即1212(1)(1)0y y x x ---=，即1212(1)(1)0kx m kx m x x +-+--=所以()221212(1)1()(1)0k x x k m x x m -+-++-=代入()222224(1)8(1)1()(1)04141m kmk k m m k k --+--+-=++ 所以()()222224(1)(1)81(41)10m k k m m k m ----++-= 所以()224410m m ---= 解得：1m =（舍去），53m =-所以直线过定点503⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当直线斜率不存在时，设l ：,x s = (,),(,)A s t B s t -所以2214s t +=，由121k k ⋅=得111t t s s ---⋅= 所以221s t +=，即224s s =，解得0s =所以直线0x =（不符合题意，舍去） 综上：直线过定点503⎛⎫- ⎪⎝⎭， 选∈证∈：由题意直线l 的斜率存在，设l ：53y kx =- 1122(,),(,)A x y B x y由221453x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得224064(41)039k x kx +-+= 则()12240341k x x k +=+，()12264941x x k =+ 所以2121212121212121288864()()()113339kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++--⋅=⋅== ()()()2222648406439941341164941k k k k k k ⋅-⋅+++==+.。
江苏省无锡市江阴市六校2024-2025学年高二上学期11月期中联考试题 数学含答案
2024-2025学年度秋学期期中联考试卷高二数学（答案在最后）命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l 的一个方向向量为(2,-，则l 的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒2.若i2i z =+，则z =（）A.12i55-+ B.12i 55--C.12i 55+ D.12i 55-3.经过点()2,4-且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（）A.6y x =+ B.28y x =+C.2y x =-或6y x =+ D.2y x =-或28y x =+4.已知直线20x ay a ++=与直线()2320x a y +++=平行，则这两条平行直线间的距离为（）A.4B.2C.2105D.1055.设{},,a b c 为空间的一个基底，235OA a b c =++ ，22OB a b c =+- ，3OC ka b c =++ ，若OA ，OB ，OC共面，则k =（）A.14B.12C.23D.346.圆2224200x y x y +-+-=与圆224410x y x y ++--=的公切线条数是（）A.1B.2C.3D.47.已知直线20mx y m +-+=与圆22(2)25x y ++=交于A B ，两点，则AB 的最小值为（）A. B. C. D.8.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为棱AB 的中点，F 为线段1CC 上的一点，且1A C EF ⊥，则直线BF 与直线1AC 所成角的余弦值为（）A.15B.15C.15D.15二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.直线32120x y -+=的横截距与纵截距之积为24-B.方程230x ty +-=（t ∈R ）能表示平行y 轴的直线C.过点(2,1)P 引直线l ，使点(2,3)A -，(1,2)B 到l 的距离相等，则l 的方程为350x y +-=D.点(2,0)关于直线10x y --=对称的点为(1,1)10.对于复数z ，下列说法正确的是（）A.若1z =，则1z =±B.()i 2z z+⋅=C.z z -一定是纯虚数D.若0z ≠，z z z =⋅，则1z =11.已知曲线C ：2222x y x y +=+（x y ，不同时为零），则（）A.C 上的点的到点(33)，的距离的最大值为B.C 上的点的横坐标的取值范围是[1+C.C 围成的图形的面积为4π8+D.若C 上有四个点到直线y x m =+的距离等于2，则33m -<<三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过圆:E 22(2)4x y -+=上的点(1的E 的切线方程为____________.13.已知斜三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1160ABC ABB CBB ∠=∠=∠= ，M ，N 分别为AB ，11B C 的中点，则MN =______.14.已知两条互相垂直的直线1l ，2l 分别经过点(40)A -，，(22)B ，，公共点为T ，00O (，)，则当OT 取最小值时，TAB S =△______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD ==，E 为棱PD 的中点.（1）求证：AE ⊥平面PCD ；（2）求直线PC 和平面ACE 所成的角的正弦值.16.已知复数i z b =（b ∈R ），21iz ++为实数.（1）求2z z +；（2）若复数2()m z +在复平面内对应的点在第四象限，且z 为实系数方程()22940x m x +-+=的根，求实数m 的值.17.已知圆()()22:112M x y ++-=，点(40)A -，.（1）过A 的直线l 截M 所得的弦长为2，求l 的方程；（2）经过点(0)2，和(06)，的圆N 与M 外切，过A 作N 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求直线PQ 的方程.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB BC ===，⊥BC AB ，M 为棱11A C 的中点，P 为棱1BB 上一动点.（1）试确定P 的位置，使得//MP 平面1A BC ；（2）求点1C 到平面1A PC 距离的最大值；（3）在（2）的条件下，求平面1A PC 与平面1A BC 夹角的大小.19.已知圆22:8O x y +=，过点(40)P ，的直线与O 相切，切点M 在第一象限，M 在x 轴上的射影为点F .（1）求F 的坐标；（2）过P 且斜率不为零的另一条直线与O 交于,A B 两点，A 在线段PB 上.①若FA PB ⊥，求A 的坐标及线段AB 的长；②设N 为线段FP 的中点，直线BN 交直线MF 于点Q ，证明：AQ 与x 轴平行.2024-2025学年度秋学期期中联考试卷高二数学命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l 的一个方向向量为(2,-，则l 的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由直线的方向向量可得其斜率，从而可得直线的倾斜角.【详解】因为直线l 的一个方向向量为(2,-，所以直线l 的斜率tan 2k θ===-，又0180θ︒≤<︒，所以120θ=︒.故选：C.2.若i2i z =+，则z =（）A.12i55-+ B.12i 55--C.12i 55+ D.12i 55-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据共轭复数的定义求解.【详解】由i2i z=+可得()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 5z -+===++-，故z =12i 55-，故选：D3.经过点()2,4-且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（）A.6y x =+ B.28y x =+C.2y x =-或6y x =+D.2y x =-或28y x =+【答案】C 【解析】【分析】设直线在x 轴上的截距为a ，分别在0a =，0a ≠条件下利用待定系数法求直线方程即可.【详解】设直线在x 轴上的截距为a ，当0a =时，所求直线的方程可设为y kx =，因为直线y kx =过点()2,4-，所以42k =-，故2k =-，即直线方程为2y x =-，当0a ≠时，可设直线方程为1x y a a+=-，由直线1x ya a+=-过点()2,4-可得，241a a -+=-，所以6a =-，故直线方程为6y x =+.所以经过点()2,4-且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是2y x =-或6y x =+.故选：C.4.已知直线20x ay a ++=与直线()2320x a y +++=平行，则这两条平行直线间的距离为（）A.4B.102C.2105D.105【答案】B 【解析】【分析】根据两直线平行，建立方程，可得直线方程，利用平行直线的距离公式，可得答案.【详解】由题意可得12232a a a =≠+，则23a a =+，解得3a =，经检验符合题意，可得直线360x y ++=与直线2620x y ++=，整理可得310x y ++=，两直线之间的距离2d ==.故选：B.5.设{},,a b c 为空间的一个基底，235OA a b c =++ ，22OB a b c =+- ，3OC ka b c =++ ，若OA ，OB ，OC共面，则k =（）A.14B.12C.23D.34【答案】D 【解析】【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可.【详解】由已知OA ，OB ，OC共面，则可设OC xOA yOB =+，即()()323522ka b c x a b c y a b c ++=++++-，即2321523x y k x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得121434x y k ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，故选：D.6.圆2224200x y x y +-+-=与圆224410x y x y ++--=的公切线条数是（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据方程可知圆心和半径，可得()52,8MN =∈，进而判断两圆的位置关系，即可得结果.【详解】由题意可知：圆2224200x y x y +-+-=，即()()221225x y -++=，可知其圆心为()1,2M -，半径5R =；圆224410x y x y ++--=，即()()22229x y ++-=，可知其圆心为()2,2N -，半径3r =；因为()52,8MN =∈，即R r MN R r -<<+，所以两圆相交，公切线有2条.故选：B.7.已知直线20mx y m +-+=与圆22(2)25x y ++=交于A B ，两点，则AB 的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意，分析圆C 的圆心与半径，求出直线恒过定点(1,2)M -，分析可得M 在圆C 内部，分析可得：当直线l 与CM 垂直时，弦||AB 最小，求出此时||CM 的值，由弦长公式即可求解.【详解】根据题意，圆22(2)25x y ++=，圆心C 的坐标为(2,0)-，半径=5r ，直线:20l mx y m +-+=，即(1)20m x y -++=，恒过定点(1,2)M -，又由圆C 的方程为22(2)25x y ++=，则点(1,2)M -在圆内，当直线l 与CM 垂直时，弦||AB 最小，此时||CM ==，则||AB 的最小值为=；故选：A8.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为棱AB 的中点，F 为线段1CC 上的一点，且1A C EF ⊥，则直线BF 与直线1AC 所成角的余弦值为（）A.15B.15C.15D.15【答案】B 【解析】【分析】以点D 为原点建立空间直角坐标系，根据1A C EF ⊥，求出点F 的坐标，再利用向量法求解即可.【详解】如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，不妨设2AB =，则()()()()12,0,4,2,2,0,0,2,0,2,1,0A B C E ，设()[]0,2,,0,4F a a ∈，则()()12,2,4,2,1,A C EF a =--=-，因为1A C EF ⊥，所以14240A C EF a ⋅=+-= ，解得32a =，所以30,2,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32,0,2BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以1112cos ,5152A C BF A C BF A C BF ⋅===，即直线BF 与直线1AC所成角的余弦值为15.故选：B.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.直线32120x y -+=的横截距与纵截距之积为24-B.方程230x ty +-=（t ∈R ）能表示平行y 轴的直线C.过点(2,1)P 引直线l ，使点(2,3)A -，(1,2)B 到l 的距离相等，则l 的方程为350x y +-=D.点(2,0)关于直线10x y --=对称的点为(1,1)【答案】ABD 【解析】【分析】由截距的定义即可判断A ，当0t =时，即可判断B ，分直线斜率存在与不存在，再结合点到直线的距离公式即可判断C ，由两点关于直线对称，代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，令0x =可得6y =，则直线的纵截距为6，令0y =可得4x =-，则直线的横截距为4-，所以直线的横截距与纵截距之积为24-，故A 正确；对于B ，当0t =时，方程为230x -=，表示平行y 轴的直线32x =，故B 正确；对于C ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，不满足,A B 到直线l 的距离相等；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则()12y k x -=-，化简可得120kx y k -+-=，由,A B 到直线l的距离相等可得，=13k =-或35k =-，当13k =-时，直线l 方程为350x y +-=，当35k =-时，直线l 方程为35110x y +-=，所以l 的方程为350x y +-=或35110x y +-=，故C 错误；设点(2,0)关于直线10x y --=对称的点坐标为(),a b ，则21022112a bb a +⎧--=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪-⎩，解得1a b ==，则对称的点坐标为()1,1，故D 正确；故选：ABD10.对于复数z ，下列说法正确的是（）A.若1z =，则1z =±B.()i 2z z+⋅=C.z z -一定是纯虚数D.若0z ≠，z z z =⋅，则1z =【答案】BD【解析】【分析】对于AC ：举反例说明即可；对于BD ：根据复数的运算结合模长公式分析判断.【详解】对于选项A ：例如i z =，则1z =，故A 错误；对于选项C ：例如1z =，则1z =，0z z -=∈R ，故C 错误；设i,,z a b a b =+∈R ，则i,z a b z =-=，对于选项B ：因为))())()i i i i z a b b a +⋅=+=-++，所以)i 2z z +⋅=，故B 正确；对于选项D ：若z z z =⋅()()22i i a b a b a b =-+=+，且0z ≠，即220a b +≠，可得221a b +=，即1z =，故D 正确；故选：BD.11.已知曲线C ：2222x y x y +=+（x y ，不同时为零），则（）A.C 上的点的到点(33)，的距离的最大值为B.C 上的点的横坐标的取值范围是[1+C.C 围成的图形的面积为4π8+D.若C 上有四个点到直线y x m =+的距离等于2，则33m -<<【答案】ACD【解析】【分析】通过对称性确定曲线图形，再结合图形逐项判断即可.【详解】将x -或y -代入方程，方程不发生改变，故曲线2222x y x y +=+关于x 轴，y 轴对称，当0x ≥，0y ≥时，曲线2222x y x y+=+可化为：22(1)(1)2x y -+-=，表示的图形为以()1,1的一个半圆，其图象为：对于A ：坐标原点到(33)，的距离为32所以C 上的点的到点(33)，的距离的最大值为223252+=，正确；对于B：由图象可知C 上的点的横坐标的取值范围是[122]-+，，故B 错误；对于C:第一象限围成的面积为211122π22π22S =⨯⨯+=+，故曲线2222x y x y +=+围成的图形的面积为()42π84πS =+=+.C 正确；对于D:连接第二象限和第四象限的圆心得到直线：y x =-，显然y x =-与y x m =+垂直，画出3y x =+与3y x =-两条直线，由−1,1到3y x =+113222--+=，可知曲线C 上恰有三个点到直线3y x =+的距离等于22，由()1,1-到3y x =-113222+-=，可知曲线C 上恰有三个点到直线3y x =-的距离等于22，所以结合图象可知：若C 上有四个点到直线y x m =+的距离等于22，则33m -<<，故D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过圆:E 22(2)4x y -+=上的点(13)，的E 的切线方程为____________.【答案】320x -+=【解析】【分析】由过切点的半径与切线垂直得切线斜率，从而求得切线方程.【详解】圆心为()2,0E，切点为(P，则EP k ==，所以切线斜率为3k =，得：切线方程为()13y x =-，化简得：20x +=.故答案为：20x +=13.已知斜三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1160ABC ABB CBB ∠=∠=∠= ，M ，N 分别为AB ，11B C 的中点，则MN =______.【答案】【解析】【分析】首先以向量{}1,,BB BA BC 为基底向量，得：11122MN BA BB BC =-++ ，然后两边平方，根据条件由向量的数量积的运算性质求解即可.【详解】因为M ，N 分别为AB ，11B C 的中点，所以11111111112222MN MB BB B N BA BB B C BA BB BC =++=-++=-++ ，两边平方得：2222211111111122442MN BA BB BC BA BB BC BA BB BB BC BA BC ⎛⎫=-++=++-⋅+⋅-⋅ ⎪⎝⎭2221111112222222225442222=⨯++⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=，因此可得：MN =.14.已知两条互相垂直的直线1l ，2l 分别经过点(40)A -，，(22)B ，，公共点为T ，00O (，)，则当OT 取最小值时，TAB S =△______.【答案】【解析】【分析】根据已知条件分析出动点T 在以线段AB 为直径的圆上，进而求出当||OT 取得最小值时点T 的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可.【详解】由题可知，12l l ⊥且点T 为垂足，故点T 在以线段AB 为直径的圆上，此时该圆的圆心(1,1)M -，半径12||R AB ===，故圆M 的方程为22(1)(1)10x y ++-=.此时易知，当点T 为直线OM 与圆M 在第四象限的交点时||OT 取得最小值，此时直线OM 的方程为y x =-，将该直线与圆M 的方程联立，解得11x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，或11x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（舍），故此时11,T -，所以12||||TAB S AT BT =⨯⨯=△故答案为：【点睛】关键点点睛：动点问题求解的关键是分析出动点的轨迹，本题中是利用了定义法求出了动点T 的轨迹方程.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD ==，E 为棱PD 的中点.（1）求证：AE ⊥平面PCD ；（2）求直线PC 和平面ACE 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得线面角的正弦值.【小问1详解】1PA AD == ，且E 为棱PD 的中点，AE PD ∴⊥，四边形ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥，又PA ⊥ 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PA CD ∴⊥，AD PA A = ，AD ，PA ⊂平面PAD ，CD \^平面PAD ，AE ⊂ 平面PAD ，CD AE ∴⊥，又PD CD D = ，PD ，CD ⊂平面PCD ，AE ∴⊥平面PCD ；【小问2详解】四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴⊥，∴以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP ，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则0,0,0，1,1,0，0,1,0，0,0,1，又E 为PD 中点，110,,22E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，则()1,1,0AC = ，110,,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,1PC =- ，设平面ACE 的法向量为 =s s ，则011022AC n x y AE n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，即 =1,−1,1，1cos,3PC n∴==-，所以直线PC与平面ACE所成角的正弦值为13.16.已知复数iz b=（b∈R），21iz++为实数.（1）求2z z+；（2）若复数2()m z+在复平面内对应的点在第四象限，且z为实系数方程()22940x m x+-+=的根，求实数m的值.【答案】（1）（2）3-【解析】【分析】（1）根据复数为实数求出b，代入化简后求复数模即可；（2）由复数是实系数方程的根代入求出m，再结合所在象限舍去不合适的值.【小问1详解】由iz b=，21iz++为实数，则()()()()2i1i2i22i1i1i1i22bb b b+-++-==+++-为实数，所以2022b b-==，，即2iz=，24z=-，所以242iz z+=-+=【小问2详解】由()()2222i44im z m m m+=+=-+在复平面内对应的点在第四象限，所以240240mmm⎧->⇒<-⎨<⎩，又2iz=为实系数方程()22940x m x+-+=的根，则()2429i40m+--=，所以290m-=，3m=±，又2m<-，所以3m=-.17.已知圆()()22:112M x y++-=，点(40)A-，.（1）过A的直线l截M所得的弦长为2，求l的方程；（2）经过点(0)2，和(06)，的圆N 与M 外切，过A 作N 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求直线PQ 的方程.【答案】（1）0y =或者34120x y -+=.（2）32100x y +-=【解析】【分析】（1）由弦长得到圆心到直线l 的距离为1，即可求解；（2）求得圆22:(2)(4)8N x y --=+，再结合A P Q N ，，，四点在以AN 为直径的圆上，即可求解.【小问1详解】易知知直线l 斜率存在，设l 的方程为：40kx y k -+=，因为l 截圆M 所得的弦长为2，所以()11M -，到l 的距离为1，1=，解得34k =或者0k =，所以l 的方程为0y =或者34120x y -+=.【小问2详解】因为圆N 经过点(0)2，和(06)，，所以设(,4)N t ，又圆N 与圆M 外切于点(0)2，，所以()11M -，，(,4)N t ，与点(0)2，共线，则()2142010t --=---，得2t =，(2,4)N 则圆N半径为，圆N 方程为22(2)(4)8x y -+-=，又AP ，AQ 与圆N 相切，所以A P Q N ，，，四点在以AN 为直径的圆E 上，圆E 的方程为()()()4240x x y y +-+-=，即222480x y x y ++--=，直线PQ 为圆E 与圆N 的公共点所在的直线，则由2222248048120x y x y x y x y ⎧++--=⎨+--+=⎩，两式相减得直线PQ 的方程为32100x y +-=.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB BC ===，⊥BC AB ，M 为棱11A C 的中点，P 为棱1BB 上一动点.（1）试确定P 的位置，使得//MP 平面1A BC ；（2）求点1C 到平面1A PC 距离的最大值；（3）在（2）的条件下，求平面1A PC 与平面1A BC 夹角的大小.【答案】（1）P 在1BB 中点处（2）263（3）π6.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果；（2）由空间向量的坐标运算，结合点到平面的距离公式，代入计算，即可得到结果；（3）由空间向量的坐标运算，结合二面角的夹角公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】当P 在1BB 中点处时，//MP 面1A BC .证明如下：在直棱柱111ABC A B C -中，BC AB ⊥，以B 为坐标原点，以BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,2,0A ，()0,0,0B ，()2,0,0C ，()10,0,2B ，()10,2,2A ，()12,0,2C ，()1,1,2M .设平面1A BC 的一个法向量为(),,n x y z = ，()2,0,0BC = ，()10,2,2BA = ，1120220n BC n BC x n BA n BA y z ⎧⎧⊥⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=+=⎪⎪⎩⎩ ，令1y =，得011x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即()0,1,1n =-.设()()0,0,02P λλ≤≤，则()1,1,2PM λ=- ，又MP ⊄平面1A BC ，则令120PM n λ⋅=+-= ，解得1λ=，故P 在1BB 中点处时，//MP 平面1AB C .【小问2详解】设()()0,0,02P t t ≤≤，(),,m a b c =为平面1A PC 的一个法向量.()12,2,2A C =-- ，()2,0,CP t =- ，()10,0,2CC = 11222020m AC m AC x y z m CPm CP x tz ⎧⎧⊥⋅=--=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=-+=⎪⎪⎩⎩ ，令x t =得22x t y t z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩即(),2,2m t t =- .1C 到平面1A PC的距离为1CC m m ⋅= ，当1t =时，1C 到平面1A PC的距离的最大值为3.【小问3详解】由（2）知平面1A PC 的一个法向量为()112m =- ，，，又平面1A BC 的一个法向量为()011n =- ，，，则cos 2m n m n m n ⋅〈〉===-⋅ ，，所以平面1A PC 与平面1A BC夹角的余弦值为2，则平面1A PC 与平面1A BC 夹角的大小为π6.19.已知圆22:8O x y +=，过点(40)P ，的直线与O 相切，切点M 在第一象限，M 在x 轴上的射影为点F .（1）求F 的坐标；（2）过P 且斜率不为零的另一条直线与O 交于,A B 两点，A 在线段PB 上.①若FA PB ⊥，求A 的坐标及线段AB 的长；②设N 为线段FP 的中点，直线BN 交直线MF 于点Q ，证明：AQ 与x 轴平行.【答案】（1）(2,0)（2）①A的坐标为833⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或者833⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3AB =；②证明见解析【解析】【分析】（1）通过OMP 为以OP 为斜边的等腰直角三角形，确定F 为OP 的中点，即可求解；（2）①设0,0，由FA PB ⊥，列出方程，结合0,0在圆上即可求解；②设直线AB 方程为(4)y k x =-，(0)k ≠，1,1,2,2，联立圆方程，结合韦达定理，通过10Q y y -=可求证【小问1详解】因为直线PM 与圆O 相切，切点为M ，所以OM PM⊥由4,2OP OM ==，所以OMP 为以OP 为斜边的等腰直角三角形，由第一象限的点M 在x 轴上的射影为F ，所以F 为OP 的中点，所以点F 的坐标为(2,0).【小问2详解】①设0,0，FA PB ⊥，则1PA FA k k ⨯=-，即0000142y y x x ⨯=---，2200068y x x =-+-又22008y x =-，解得083x =，0223y =±，所以A 的坐标为8233⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或者82233⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，此时63AP =，取H 为线段AB 的中点，则OH AB ⊥，由FA PB ⊥，且F 为OP 中点，则AP AH =，所以4623AB AP ==.②证明：因为N 为线段FP 的中点，所以(3,0)N ，设直线AB 方程为(4)y k x =-，(0)k ≠，1,1,2,2联立方程组()2284x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222181680k x k x k +-+-=，21222122811681k x x k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩，且0∆>，1k <，0k ≠，直线BN 方程为22(3)3y y x x =--，直线MF 方程为2x =，得2223y Q x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，则()()()21221212112223443333Q x k x k x y y x y y y y y x x x -------=-==---()()2222221212222816888388381110333k k k k k k x x x x k k k x x x ⎛⎫⎛⎫-+⨯--- ⎪ ⎪+--+++⎝⎭⎝⎭====---，所以1Q y y =，又10y ≠，所以AQ 与x 轴平行.【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +的形式；（5）代入韦达定理求解.。
江苏省无锡市江阴市某校2024-2025学年高二上学期12月学情调研数学试题
江苏省无锡市江阴市某校2024-2025学年高二上学期12月学情调研数学试题一、1．已知复数z 满足i 32i z =+，则z =（）AB ．5C ．1D ．132．抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（）A ．32B ．3C ．6D ．83．已知()()3,,,u a b a b a b =+-∈R 是直线l 的方向向量，()1,2,3n = 是平面α的法向量，若l α⊥，则2+a b =（）A ．152B ．32-C ．6D ．924．已知{}n a 为递增的等差数列，3415a a ⋅=，258a a +=，若21n a =，则n =（）A ．9B ．10C ．11D ．125．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数m =6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→……．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时．当23m =时，使得1n a =的最小正整数n 值是（）A ．17B ．16C ．15D ．106．P 为直线2y kx =-上一点，过P 总能作圆221x y +=的切线，则k 的最小值（）ABC．D．7．在三棱锥P ABC -中，G 为ABC V 的重心，()1,,,,0,12PD PA PE PB PF PC λμλμ===∈ ，若PG 交平面DEF 于点M ，且12PM PG =，则λμ+的最小值为（）A ．12B ．23C ．1D ．438．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>左、右焦点，过点1F 的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，且1221sin 2sin 3NF F NF F ∠=∠，()220MF MN NF +⋅= ，则双曲线C 的离心率是（）AB．2CD．29．已知复数z ，下列命题正确的是（）A ．若1z +∈R ，则z ∈RB ．若i z +∈R ，则z 的虚部为1-C ．若||1z =，则1z =±D ．若2z ∈R ，则z ∈R10．下列结论正确的是（）A ．()212:21230,:340l x a y a l ax y a +-+-=+++=，若1l //2l ，则1a =-或32a =B ．直线10kx y k ---=和以(3,1),(3,2)M N -为端点的线段相交，则12k ≤-或32k ≥C ．直线10x y +-=与直线2210x y ++=D ．与点()1,2A -的距离为1，且与点()3,1B -的距离为4的直线共有3条11．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到()2,t 时，4PF =，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，点()4,1M ，下列结论正确的是（）A ．抛物线的方程为28y x=B ．存在直线l ，使得A 、B 两点关于60x y +-=对称C ．PM PF +的最小值为6D ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切二、填空题12．已知椭圆的方程为22254100x y +=，则它的焦点坐标为．13．已知点()2,0A ，0,0，()0,4B -，则AOB V 的外接圆的标准方程为．14．如图，两条异面直线a ，b 所成角为60︒，在直线上a ，b 分别取点A '，E 和点A ，F ，使AA a '⊥且AA b '⊥．已知2A E '=，3AF =，=EF ．则线段AA '的长为．三、解答题15．已知(1,2)A ，(,1)B a ，(2,3)C ，(1,)D b -，(),a b ∈R 是复平面上的四个点，且向量AB，CD对应的复数分别为1z ，2z .（1）若121z z i +=+，求1z ，2z ；（2）若122z z +=，12z z -为实数，求a ，b 的值.16．已知圆22:4640C x y x y +--+=，过点()4,2P 的直线l 与C 交于点M ，N ，且4MN =.(1)求圆的圆心坐标和半径：(2)求l 的方程；(3)设O 为坐标原点，求OM ON ⋅的值.17．已知等差数列{}n a 的公差为正数,2a 与8a 的等差中项为8,且3728a a =.()1求{}n a 的通项公式；()2从{}n a 中依次取出第3项,第6项,第9项,L，第3n 项,按照原来的顺序组成一个新数列{}n b ,判断938是不是数列{}n b 中的项？并说明理由.18．在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，△PAC 为等腰直角三角形，PA PC ⊥，AC BC ⊥，24BC AC ==，M 为AB 的中点.(1)求证：AC PM ⊥.(2)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.(3)在线段PB 上是否存在点N ，使得平面CNM ⊥平面PAB ？若存在，求出PNPB的值；若不存在，说明理由.19．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长与焦距相等，且椭圆过点1,2P ⎛- ⎝⎭，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点，且与椭圆交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，射线OM 与椭圆于点C .(1)求椭圆方程；(2)若直线12k =-，求点C 的坐标；(3)是否存在正数k ，使四边形OACB 是平行四边形？若存在，求出直线AB 的方程，若不存在，请说明理由.。
江苏省江阴一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷
- 1 - 2018～2019学年度第一学期期中调研测试高二数学试题
参考公式：锥体的体积公式13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．若直线经过A（1，0），B（0，1）两点，则直线AB的倾斜角为▲．2．如果平面∥平面且直线l，那么直线l与平面的位置关系是▲．
3．方程13322kyk
x表示椭圆，则k的取值范围是▲．
4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为▲．5．已知椭圆13422yx的左、右两个焦点分别为1F、2F，若经过1F的直线l与椭圆相交于A、B两点，则△2ABF的周长等于▲．
6. 已知直线l平面，则过直线l与平面垂直的平面有▲个．7．已知焦点x轴上的椭圆的离心率为21，且它的长轴长等于圆C：015222xyx的半径，则椭圆的标准方程是▲．8.已知mn，是两条不同直线，，是两个不同平面，给出四个命题：①若，，，mnnm则②若，，则∥③若，，，nmnm则④若m∥，n∥，m∥n,则∥其中正确的命题是▲．（请填上所有正确命题的序号）
9.将椭圆2214xy上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，所得曲线的方程为▲ . 10．如图，在长方体1111DCBAABCD中，2ADABcm，13AAcm，则四棱锥DDBBA11的体积为▲cm3．11．已知椭圆C：)0(12222babya
x，F分别为椭圆的右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF
交椭圆于另一点B,若FBAF2,则椭圆C的离心率为▲．- 2 -
12．已知曲线C：241yx与直线：l)5(xky有2个不同的交点，则实数k的取值范围是▲．
13．在平面直角坐标xOy中，已知圆1)(22ymxC：及点，，，，)21()01(BA若圆C上存在点P使得1222PBPA,则实数m的取值范围是▲．
14．已知点P在椭圆22143xy上，,AB为椭圆短轴的两个端点，QP，是椭圆上关于y对称的两点，直线BQAP，的斜率分别为，，21kk则22122kk的最小值▲．
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江苏省江阴市四校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题） 1. 不等式x2-5x+6＜0的解集是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 2. 与的等比中项是（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的长轴在x轴上，焦距为4，则m的值为（ ） A. 8 B. 4
C. 8或4 D. 以上答案都不对
4. “a=-2”是“直线l1：ax-y+3=0与l2：2x-（a+1）y+4=0互相平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知数列{an}是递增的等比数列，a4=4a2，a1+a5=17，则S2019-2a
2019的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 6. 若椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且
△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A. B. C. D. 7. 若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式x2-mx+4＞0在x∈[1，3]上有解，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 10. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货
物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车
站（ ） A. 4km B. 5km C. 6km D. 7km
11. 设f（n）=2+23+25+27+…+22n+7
（n∈Z），则f（n）等于（ ）
A. B. C. D. 12. 已知等差数列{an}首项为a，公差为1，，若对任意的正整数n都有bn≥b
5，则实数
a的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题） 13. 命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为 ．
14. 在等比数列{an}中，an＞an+1且a7•a11=6，a4+a14
=5，则=______．
15. 已知椭圆的方程为（a＞b＞0），过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，直线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率为______． 16. 已知x＞0，y＞0，且，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共6小题） 17. 已知关于x的不等式：ax2-2（a+1）x+4＞0，a∈R．
（1）当a=-4时，求不等式的解集； （2）当a＞0时，求不等式的解集．
18. 在等差数列{an}中，a2=3，a5=6．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
19. 已知函数f（x）=x2+ax+3．
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围． （2）当a∈[4，6]时，f（x）≥0恒成立，求x的取值范围．
20. 某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=800m，BC=1600m，CD=4000m，在点P处有一灯塔（如图），且点P到BC，CD的距离
都是1200m，现拟将养殖区ACD分成两块，经过灯塔P增加一道分隔网EF，在△AEF内试验养殖一种新的水产品，当△AEF的面积最小时，对原有水产品养殖的影响最小．设AE=d． （1）若P是EF的中点，求d的值； （2）求对原有水产品养殖的影响最小时的d的值，并求△AEF面积的最小值． 21. 在数列{an}中，已知，且2an+1=an+1（n∈N*
）．
（1）求证：数列{an-1}是等比数列； （2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，
F2，P为椭圆C上一点，且PF2垂直于x轴，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，
设=λ． （1）若点P的坐标为（2，3），求椭圆C的方程及λ的值； （2）若4≤λ≤5，求椭圆C的离心率的取值范围． 答案和解析 1.【答案】D
【解析】解：不等式x2-5x+6＜0化为（x-2）（x-3）＜0， 解得2＜x＜3， 所以不等式的解集是{x|-2＜x＜3}． 故选：D． 把不等式化为（x-2）（x-3）＜0，求出解集即可． 本题考查了求一元二次不等式解集的应用问题，是基础题． 2.【答案】C
【解析】解：由a，b，c成等比数列，可得b为a，c的等比中项， 即有b=±． 则两数与的等比中项是± =±．
故选：C． 由a，b，c成等比数列，可得b为a，c的等比中项，即有b=±．代入计算即可得到所求值． 本题考查等比中项的定义和求法，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于基础题． 3.【答案】A
【解析】解：∵椭圆的长轴在x轴上， ∴m-2＞10-m＞0，解得6＜m＜10， ∵椭圆的焦距为4， ∴c2=m-2-10+m=4，
解得m=8． 故选：A． 利用椭圆的简单性质列出不等式求出m的范围，然后利用椭圆的焦距直接求解即可． 本题考查椭圆中参数的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质． 4.【答案】A
【解析】解：当a=-2时，l1：2x+y-3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件； 若直线l1：ax-y+3=0与l2：2x-（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=-2，或a=1，不是必要条件， 故选：A． 根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案． 本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题． 5.【答案】B
【解析】解：依题意，a4=4a2，所以q2=4， 又a1+a5=17=a1+16a1，所以a1=1， 因为数列{an}是递增的等比数列，所以q=2， 所以S2019-2a2019=-2×22019-1=22019-1-22019=-1， 故选：B． 由a4=4a2，得q=2，再将a1+a5=17，转化为a1的方程，求出a1，即可求出S2019-2a2019
的值． 本题考查了等比数列的性质，等比数列的前n项和公式，等比数列的通项公式，属于基础题． 6.【答案】D
【解析】解：椭圆（其中a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a+2c=16， 椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，可得，解得a=5，c=3，则b=4， 所以椭圆C的方程为：． 故选：D． 利用三角形△F1F2M的周长以及离心率列出方程求解a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查． 7.【答案】A
【解析】解：正数a、b满足ab=a+b+3， ∵a+b≥2，当且仅当a=b时取等号， ∴ab=a+b+3 解不等式可得，≥3或≤-1（舍） 则ab≥9 故选：A． 由基本不等式可得，ab=a+b+3，解不等式可求． 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题． 8.【答案】B
【解析】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10
斤，
则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金， 由题意得，即， 解得d=， ∴每一等人比下一等人多得斤金． 故选：B． 根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案． 本题考查等差数列在实际问题中的应用，以及方程思想，是基础题． 9.【答案】A
【解析】解：关于x的不等式x2-mx+4＞0在x∈[1，3]上有解， 即m＜x+在x∈[1，3]上能成立． 设f（x）=x+，则f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增， 故当x=2时，f（x）取得最小值4， 又f（1）=5，f（3）=，故当x=1时，函数f（x）取得最大值． 则实数m＜5， 故选：A． 由题意可得m＜x+在x∈[1，3]上能成立．设f（x）=x+，求出函数f（x）在x∈[1，3]上的最大值，可得m的范围． 本题考查了含有参数的一元二次不等式在某一闭区间上有解的应用问题，考查构造法以及转化思想的应用．是基本知识的考查，属于中档题．