【恒心】中国人民大学附属中学2014届高三热身练习(一)数学(文科)试题及参考答案

中国人民大学附属中学2014届高三热身练习（一）数学试题（文科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }，若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)2．若角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点P(－4,3)为其终边上一点，则cosα的值为（ A ）A ．－45 B.－35 C. 45 D.35 3.下列函数中，既是偶函数又在区间( ,0)上单调递增的是( D ) A ．y ＝x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝tan xD ．y ＝1x4．设a ＝20.5，b ＝0.32，c ＝log 20.3，则a 、b 、c 的大小关系是（ C ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜a D ．b ＜c ＜a5．“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( B )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6．一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该棱锥的体积是(单位：m 3)．( D )A ．4＋2 6B ．4＋ 6 C. 23 D. 437．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件2014.5由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x ≥2x 8×800x ＝20，当且仅当x ＝80等号成立．8．动圆C 经过点F (1,0)，并且与直线x = -1相切，若动圆C 与直线221y x =++总有公共点，则圆C 的面积( A )A. 有最小值4πB. 有最小值2πC.有最小值3πD. 有最大值8π第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9.复数22-1(2-3)a a a i ++（）为纯虚数(其中i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ．1-10. 设变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为 ．611. 某品牌计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的该品牌的计算机，9年后的价格大约是 . 300元12. 函数f (x ) = A sin (ωx +ϕ)（A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜2π）的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为 . f (x ) = 2sin 4πx13．如图所示，菱形ABCD 的边长为3，60ABC ∠=,点P 为对角线BD 上任意一点，则(-)BP PA PC ⋅= ；()BP PA PC ⋅+的取值范围是 ．0；9[9,]8- 14. 已知函数f (x )＝41(0),(1)(0).xx f x x -⎧-≤⎨->⎩ 则(2014.5)f = ；若关于x 的方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．1，(－∞，1)在同一直角坐标系内画出函数y ＝f (x )和y ＝x ＋a 的图象如图可知a <1.三．解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出xy0 262 － 2DABCP文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,．求ABC ∆的面积； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．解：（Ⅰ）在ABC ∆中，1cos ,2B =-3sin 2B ∴=, 由正弦定理可得：223,sin sin A B=解得1sin 2A =，1c o s 0,2B =-<2B ππ∴<<，02A π<<，2,36B A ππ∴==， 6C π∴=,∴3sin 21==∆C ab S ABC . ……7分 （Ⅱ）41)62sin(21sin )3sin(sin sin -+=⋅-=⋅ππC C C C A ……10分⎪⎭⎫⎝⎛∈3,0πC ,)65,6(62πππ∈+∴C ]1,21()62sin(∈+∴πC ,则]41,0(sin sin ∈⋅C A .……13分16．（本题满分13分）某市规定，高三毕业生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据为样本，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[95,100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若该市高三毕业生共有10万人，利用抽取的样本试估计全市毕业生社区服务不合格的人数；（Ⅲ）按时间段将不少于90小时的数据分为[)90,95，[95,100）两层，利用分层抽样的方法从样本中抽取8个数据，再从这8个数据中随机抽取2个，求抽取的两个数据至少有一个在[95,100]的概率.解：（Ⅰ）由已知得：(0.005+0.040+0.075+a +0.020)×5=1,解得：a =0.060; ……………3分（Ⅱ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)75,80小时的学生人数为200×0.005×5=5（人），所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间在时间段[)75,80的学生人数5人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不合格的概率估计为：5120040P ==， 由此估计全市毕业生社区服务不合格的人数为：100000×1=2500.40……………8分（Ⅲ）参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）， 利用分层抽样的方法从样本中抽取8个，则在时间段[)90,95的有6个，分别记为a 、b 、c 、d 、e 、f 在时间段[]95,100的有2个，分别记为A 、B ，从中任取2个，不同的取法是：组距频率 0.0050.075 75 80 85 90 95 0.020 1000.040 0.060 服务时间/小时Oaab ，ac ，ad ，ae ，af ，aA ，aB ，bc ，bd ，be ，bf ，bA ，bB ，cd ，ce ，cf ，cA ，cB ，de ，df ，dA ，dB ，ef ，eA ，eB ，fA ，fB ，AB ，共有28种，其中至少有一个在[]95,100的不同取法是：aA ，aB ，bA ，bB ，cA ，cB ，dA ，dB ，eA ，eB ，fA ，fB ，AB ，共13种， 所以，抽取的两个数据至少有一个落在[95，100]的概率为1328. ……………13分17．（本题满分14分）四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC =22，P A ＝PB=PC ＝3，点O 是BC 中点，点M 是PD 的中点. （Ⅰ）求证：PB //平面AMC ； （Ⅱ）证明：PO ⊥平面ABCD ； （Ⅰ）连结BD ，设BDAC N =,∵底面ABCD 为平行四边形， ∴N 是BD 的中点， 又点M 是PD 的中点， ∴PB //MN ,MN AMC ⊂平面，PB AMC ⊄平面, ∴PB //平面AMC ；……………6分 （Ⅱ）∵PB=PC , 点O 是BC 中点， ∴PO ⊥BC ,连结AO ,在AOB ∆中，AB ＝2，BO=122BC =,∠ABC ＝45°，∴222cos45 2.AO AB BO AB BO =+-⋅= ∵PB=PC , 点O 是BC 中点， ∴PO ⊥BC ,在POB ∆和POA ∆中，P A ＝PB , AO ＝BO , PO ＝PO , ∴POB POA ∆≅∆, ∴PO ⊥OA ,BO AO O =,,,AO ABCD BO ABCD ⊂⊂平面平面 ∴PO ⊥平面ABCD ； ……………13分 18．（本题满分13分）设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R . （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的单调区间；M OBA CDPM OBACDP N（Ⅱ）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1.解： （Ⅰ）1a =时, 2()ln (0)f x x ax x x =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'∴=+-＝ ， ……………1分11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，()f x 的减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，. ……………4分（Ⅱ）1()2f x x a x'=+-()f x 在区间(01]，上是减函数， ()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立，即120x a x+-≤对任意(01]x ∈，恒成立， ……………5分 12a x x ∴≤-对任意(01]x ∈，恒成立， 令1()2g x x x=-， min ()a g x ∴≤， ……………7分易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-. 1a ∴≤-. ……………10分（Ⅲ）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x'=+-， 所以，切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-,即 21(ln )2()y t at t t a x t t-+-=+--（） 又切线过原点，所以，210(ln )2(0)t at t t a t t-+-=+--（）， 即 2ln 10t t +-=，显然1t =是方程21ln 0t t -+=的解，设()21ln t t t ϕ=-+，()1'20t t tϕ=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ， 所以方程21ln 0t t -+=有唯一解1.所以，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1. ……………13分 19．（本题满分14分）已知椭圆:G 22221x y a b +=(0)a b >>的离心率e =33，长轴长为23．（Ⅰ）求G 的方程；（Ⅱ）直线1y kx =+与曲线W 交于不同的两点A ，B ，若存在点(,0)M m ，使得AM BM =成立，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）由已知得22222333a c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩，解得： 312a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴G 的方程是22132x y +=． ……………………4分（Ⅱ）设A ，B 两点坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ，A ，B 中点为00(,)N x y ．当0k =时，显然0m =； 当0k ≠时，由221132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 22(32)630k x kx ++-=．所以122632kx x k +=-+，∴12023232x x k x k +==-+，从而0022132y kx k =+=+．∴MN 斜率2002232332MNy k k k x m m k +==---+． 又∵AM BM =， ∴AB MN ⊥，∴222132332k k k m k +=---+ ，212323k m k k k =-=-++66[,0)(0,]1212∈-． 故所求m 的取范围是66[,]1212-． ……………………14分 20．（本题满分13分）对于函数()y f x =与常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“P 数对”；设函数)(x f 的定义域为R +，且(1)3f =．（Ⅰ）若(,)a b 是)(x f 的一个“P 数对”，且,9)4(,6)2(==f f 求常数,a b 的值； （Ⅱ）若(1,1)是()f x 的一个“P 数对”，求(2)(*)N n f n ∈；（Ⅲ）若(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，且当[1,2)x ∈时()f x =23k x --，求k 的值及()f x 在区间[1,2)n (*)N n ∈上的最大值与最小值；解：（Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+)4()2()2()1(f b af f b af ，即⎩⎨⎧=+=+9663b a b a ，解得：⎩⎨⎧==31b a ；………………………………3分（Ⅱ）由题意知(2)()1f x f x =+恒成立，令2(*)N k x k =∈， 可得1(2)(2)1k k f f +=+，∴{(2)}k f 是公差为1的等差数列，故0(2)(2)n f f n =+，又0(2)3f =，故(2)3n f n =+． ………………………8分 （Ⅲ）当[1,2)x ∈时，()|23|f x k x =--，令1x =，可得(1)13f k =-=， 解得4k =， ………………………10分所以，[1,2)x ∈时，()4|23|f x x =--， 故()f x 在[1,2)上的取值范围是[3,4]． 又(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，故(2)2()f x f x =-恒成立， 当1[2,2)k k x -∈(*)N k ∈时，1[1,2)2k x -∈，()2()4()24x x f x f f =-==…11(2)()2k k xf --=-， …………………9分故k 为奇数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[32,2]k k -+⨯； 当k为偶数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[2,32]k k +---⨯． …………………11分所以当1n =时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为4，最小值为3；当n 为不小于3的奇数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为12n +，最小值为2n -； 当n 为不小于2的偶数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为2n ，最小值为12n +-．…13分。